第1章金属塑性成形的力学基础

度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
➢ 为引起形状改变的偏应力张量(deviatoric stress tensor)， 为引起体积改变的球张量(spherical stress tensor)（静水 压力）。
➢ 与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：
I1'
' x
' y
' z
1'
' 2
' 3
0
I
' 2
1'
' 2
' '
23
3'
因为
8
2 3
(I12 3I2 )
等效应力
e
1 2
[(
1
2 )2
( 2
3 )2
( 3
1)2]
3/
28
e
1 [(
2
x
y
)2
(
y
z
)2
(
z
x )2
6(
2 xy
2 yz
2 zx
)]
讨论：1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形成织构等） ➢ 变形机理：弹性变形——原子间距的变化；
塑性变形——位错运动为主 ➢ 弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；塑性变
形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程中，工件的塑
性变形与工模具的弹性变形共存。
第1章 应力分析与应变分析
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 §1.8 §1.9
d ij
1 2 xi
(dU j )
x j
(dUi )
§1.8 应变速度张量
设某一瞬间起dt时间内，产生位移增量 dUi，则应有dUi=Vidt。其中Vi为相应位移
速度。代入增量应变张量，有：
d ij
1 2
xi
(V
j dt)
x
j
(Vi
dt
)
1 2
Vi x j
Vi xi
dt
令 即为应变速率张量 ij
5.推导中应用到小变形假设、连续性假设 及泰勒级数展开等。
§1.5.2 变形连续方程
x
zx
y
xy
z
yz
x
2 x
yz
y
xy
z
yz
x
zx
y
2 y
xz
z
yz
x
zx
y
xy
z
2 z
xy
2
xy
xy
2
yz
yz
2
zx
zx
1 2 x
2 y 2
这组截面的方向余弦为：
1
lx ly lz 3
54o44'
正应力
8
1 3
(1
2
3)
1 3
I1
剪应力
8
1 3
(1 2 )2 ( 2 3)2 ( 3 1)2
总应力
P8
2 8
2 8
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有
关。
八面体应力的求解思路：
ij (i, j x, y, z) 1, 2, 3 8,8 I1, I2
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3 I1 2 I2 I3 0
( 3 I1 2 I2 I3 0)
( 1)( 2)( 3) 0
应力不变量
式中
I1 x y z 1 2 3
I2
应力（stress）
➢ 应力S 是内力的集度 ➢ 内力和应力均为矢量
lim S
P
A0 A
➢ 应力的单位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
Sn2
2 n
（求和约定的缩写形式）
一点的应力状态及应力张量
➢ 一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有
截面上的应力的有无、大小、方向等情况。
➢ 一点的应力状态的描述：
数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2）
张量表达： x xy xz
应力与点的应力状态 点的应力状态分析 应力张量的分解与几何表示 应力平衡微分方程 应变与位移关系方程 点的应变状态 应变增量 应变速度张量 主应变图与变形程度表示
§1.1 应力与点的应力状态
外力(load)与内力(internal force) 外力P：施加在变形体 上的外部载荷。 内力Q：变形体抗衡外 力机械作用的体现。
2.位移包含变形体内质点的相对位移 （产生应变）和变形体的刚性位移 （平动和转动）； 3.工程剪应变
理论剪应变：
xy
tg
tg
u x y
u y x
xy
yx
1
2
xy
1 2
( ux y
u y x
)
4.应变符号规定： 正应变或线应变 ( xy , yz , zx )： 伸长为正，缩短为负； 剪应变或切应变（ x , x , x ）： 夹角减小为正，增大为负；
ij
.
y
y
z
. . z
(i,j=x,y,z)
（对称张量，9个分量，6个独立分量。）
应力分量图示
图1-2 平行于坐标面上应力示意图
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
法线方向平行的坐标轴)
j——应力分量本身作用的方向
的变化量 ➢ 相对变形
——指绝对变形量与原始尺寸的比值， 常称为形变率 ➢ 真实变形量
——即变形前后尺寸比值的自然对数
应力应变分析的相似性与差异性
➢ 屈服(yielding)：开始产生塑性变形的临界状态 ➢ 断裂(fracture)：宏观裂纹产生、扩展到变形体
破断的过程
弹性、塑性变形的力学特征
➢ 可逆性：弹性变形——可逆；塑性变形——不可逆 ➢ -关系：弹性变形——线性；塑性变形——非线性 ➢ 与加载路径的关系：弹性——无关；塑性——有关 ➢ 对组织和性能的影响：弹性变形——无影响；塑性变形——
➢ 最大剪应力(maximun shear stress)：
通常规定：
1 2 3
则有最大剪应力：
m
ax
1
2
3
或者： 其中：
且有：
max max{12 , 23 , 31 }
12
1
2 2
, 23
2
3 2
, 31
3
1 2
12 23 31 0
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
当 i=j 时为正应力
i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）
当 i≠j 时为剪应力
i、j同号为正，异号为负
➢ 应力的坐标变换（例题讲解）*
实际应用：晶体取向、织构分析等
➢ 应力莫尔圆**：
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书）
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
§1.6 点的应变状态
指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间 夹角的变化情况。
可表示为张量形式：
ij xxy
.
y
.
.
xz yz z
( i, j = x, y, z )
应变张量（strain tensor）也可进行与应力张 量类似的分析。
§1.7 应变增量
全量应变与增量应变的概念 前面所讨论的应变是反映单元体在某一变 形过程终了时的变形大小，称作全量应变 增量应变张量
r
r
1 r
r
zr
z
1 r
(
r
)
0
r
r
1 r
zr
z
2 r
r
0
rz 1 z z rz 0 r r z r
➢ 球坐标下的应力平衡微分方程？
§1.5 应变与位移关系方程
§1.5.1 几何方程 §1.5.2 变形连续方程
§1.5.1 几何方程
xx
x
u x x
, yy
1 2 y
2 z 2
1 2
2 z
x 2
2 y
x 2
2 z
y 2
2 x
z 2
讨论：
1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续 协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积； 2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中 有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可以 确定； 3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量 自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分 量，则必须校验其是否满足连续性条件。
金属塑性成形原理
Principle of Metal Forming
2000.9
绪论
➢ 研究内容 ➢ 几个基本概念 ➢ 弹性、塑性变形的力学特征
研究内容
塑性力学是研究物体变形规律的一门学科，是 固体力学的一个分支。研究变形体受外界作用 （外载荷、边界强制位移、温度场等）时在变形 体内的反应（应力场、应变场、应变速度场等）。
y
u y y
, zz
z
u z z
xy
yx
1 2
xy
1 ( ux 2 y
u y ) x
yz
zy
1 2
yz
1 ( uz 2 y
u y ) z
zx
xz
1 2
xz
1 ( uz 2 x
ux ) z
讨论：
1.物理意义：表示位移 (displacement) 与应变(strain) 之间的关系；
➢ 应力可以进行分解 Sn n 、n （n—normal,法向）
某截面（外法线方向为n）上的应力：
全应力(stress) 正应力(normal sress) 剪应力(shear stress)
r
Srnn
rrnx
rrny
r
z
rn rx ry rz
或者
Snn
ijlil j ijli
n
与其它工程力学（理论力学、材料力学、结构 力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。 弹塑性力学的研究对象是整体（而不是分离体） 变形体内部的应力、应变分布规律（而不是危险 端面）。
几个基本概念
➢ 弹性(elasticity)：卸载后变形可以恢复特性， 可逆性
➢ 塑性(plasticity)：物体产生永久变形的能力， 不可逆性
' 1
（体现变形体形状改变的程度）
I
' 3
1'
2'
' 3
const
§1.4 应力平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程*
ij 0 i
(i, j x, y, z)
x
x
xy
y
xz
z
0
即
yx
x
y
y
yz
z
0
（不计体力）
zx
zy
z
0
x
y
z
物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态 的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。
1 2
Vi x j
V j xi
§1.9 主应变图与变形程度表示
主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。 主变形图只可能有三种形式
➢ 主应力、主应变图示： 主应力—9种； 主应变—3种
[但只有23种可能的应力应变组合（塑性变形力 学图），为什么？]
变形程度表示
➢ 绝对变形量 ——指工件变形前后主轴方向上尺寸
➢ 推导原理：
静力平衡条件： X 0,Y 0,Z 0
静力矩平衡条件： Mx 0, My 0, Mz 0
泰勒级数展开：
f
(x dx)
f
(x) 1 f (x) 1! x
1 2 f (x) 2! x2
......
f (x) f (x) x
xdx
x
x
x
➢ 圆柱坐标下的应力平衡微分方程
§1.3 应力张量的分解与几何表示
ij
' ij
ij m
(i,j=x,y,z)
பைடு நூலகம்
其中
m
1 3
(
x
y
z
)
即平均应力，
为柯氏符号。
即
x
.
xy y
xz yz
.x'
xy
' y
xz yz
m
1 0
0 1
0 0
.
. z .
.
' z
0 0 1
' x
x
m,
' y
y
m
' z
z
m
讨论：
➢ 分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形 状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。
x yx
xy y
y zy
yz z
z xz
zx x
x
y
y z
z
x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2 2 3 31
x xy xz I3 . y yz
. . z
1 2 3
➢ 讨论：
1. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 2. 三个主平面是相互正交的； 3. 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 4. 应力特征方程的解是唯一的； 5. 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 6. 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程