趣话数学：虚数真的不虚
趣话数学：虚数真的不虚
从我们接触数学开始，就会遇到各种各样的数，从自然数开始，我们逐渐学习了整数、分数、负数、有理数、实数。到初中结束也就到此为止了，那有没有除了实数以外的数呢？与“实”字相对应，以后我们会接触到一种叫“虚数”的数，实数与虚数统称为复数。
那什么是虚数？
01
从认识数开始
在认识虚数之前，我们先来说说什么叫数？
1和a有什么区别？对于数，我们会有各种运算，比如1+2=3、2×3=6，但是对于字母，我们得不到像a+b=c或xy=z这样的结果。
简单说，数是具有运算功能的符号！
如果没有运算，1和a除了长得不一样，其他并没有区别，所以数存在的开始就有了运算，学习数的过程也是学习运算的过程。
02初识有理数
我们从运算的角度来简单叙述一下数的发展史，我们最早认识的是自然数，什么叫自然数呢？其实就是来源于我们实际生产生活，比如说1张桌子有4条腿，这里的“1”和“4”，这次考试，张三第1，李四第2，王二毛第3，这里所出现的“1”、“2”、“3”,可以说自然数无处不在。
对任意两个自然数做加法，我们仍然会得到自然数，但是如果对两个自然数作减法呢？结果可就不一定了，比如：2-3=-1。现在我们都知道这叫作负数，但在很长时间里，负数却一直不被承认。
原因很简单，我们无法找到一个具体的事物来描述负数啊！
我们可以用1根手指、1个苹果等等来描述什么叫1，但什么叫-1呢？后来也有人提出可以用“亏损”或者“负债”这样的方式来描述负数，但总归不像自然数那么自然，并不能让所有人都接受。
其实可以换个角度来看，为什么一定要有找到一个具体的事物来对应呢？
数学源于生活但不是生活，数学是一门定好规则的符号游戏，只要符合我们预先设置的规则，就是合理的。所以我们不需要指出负数具体是什么，只要能说清其来源，并且适用于我们现有的运算体系且不会产生一些不可调和的矛盾，我们就可以承认其存在。
于是由于作减法可能会产生新的数，自然数不再满足我们对计算的要求，我们的数系便扩大到了整数，包括正整数、0、负整数。
那分数是怎么来的呢？有了上面的思路，这里就很显然了，对两个整数作乘法，结果一定还是个整数，但是对任意两个整数作除法呢？就会出现我们现在所谓的分数，所以整数并不能满足我们所有乘除法的运算，我们需要继续扩大数的范围。
以上的所有组成的大家庭我们称为有理数。有理数会具有这么一个性质：对任意两有理数作四则运算（除数不为0），结果一定还是有理数，这么个性质称为“封闭性”。这对数与计算而言，是个很重要的性质。
03无理数的发现
最后，我们还有乘方和开方，乘方等同于乘法，不用多说，开方呢？
根号1等于1，根号4等于2，根号9等于3这些都是我们认识的数，也会有一些新面孔，比如说：根号2。
据说最早发现根号2的是毕达哥拉斯学派一个叫希帕索斯的年轻人，大约公元前400年（差不多在春秋战国时期），他发现，正方形边长为1时，对角线的长（即根号2）不是个有理数。
解释这一点很简单，根号2肯定不是个整数，没有整数的平方会等于2，同样也不会是个分数，因为分数的平方还是分数，那根号2是什么呢？在当时没有人能解释它的存在，犹如晴天霹雳，从根本上动摇了毕达哥拉斯学派万物皆数（他们所认识的数仅限于有理数）的理论，引发了第一次数学危机。
当然现在我们都知道根号2是无理数，对有理数作开方运算，结果可能并非有理数，所以如果将运算扩大到六则，则数的范围将继续扩大，有理数与无理数统称为实数。但并非所有的无理数都能通过有理数作开方所得，比如圆周率π，像这样的数我们归类为：超越数。不能表示为整系数方程（形如
）根的数称为超越数。
其实实数会比我们所认识到的复杂很多。
很快我们发现，其实仅仅实数也还是不够的，在实数里我们可以对0和正数作开方运算，负数呢？
04虚数不虚
是什么？
我们的第一反应通常是：这不存在的！
正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方还是0，所以不可能存在一个数的平方等于-1,。如果事实如此的话，那结果就不尽完美了，对于开方运算，实数并不具备封闭性。对于高次方程，结果可能是灾难性的。
数学家怎么会允许这样的遗憾发生，之前没有，并不代表不存在，就像负数一样，也许此刻我们眼中的虚数就像数百年前人眼中的负数一样。
1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》中说道：“负数开平方是不可思议”，并且他创造一名字“imaginary number”（虚数），意思为“虚幻之数”。但后来他改变了看法，正确认识了虚数的存在，把“虚幻之数”改为“虚数”，与“实数”相对应。“虚数”因此得名，沿用至今。
140年后，欧拉首次创用符号“i”来表示，即我们所说的虚数单位。
定义：，形如：的数叫做虚数，其中a,b是实数。
虚数与实数构成的集合叫做复数。复数的一般形式为：，a叫做实数部分，bi称为虚数部分，当b=0时为实数，当a=0时称为纯虚数。
虽然有了虚数个概念，但虚数到底是什么？是不是只是纯粹臆想出来，照这么操作，是不是也可以定义一个w使得1/0=w？
我们先来解释其存在的合理性。
创造新的数的必要条件是，一定要适用于我们现有的运算系统。
考虑对任意两复数作加法，会有：
考虑对任意两复数作乘法，会有：
考虑对任意两复数作除法，会有：
对任意复数作开方，则其结果必然还是复数。
综合以上运算，可以发现，复数完全适用于我们的这套算法体系啊，甚至，还解决了对开方具有封闭性的这个问题。
反观为何不能定义w使得，如1/0=w果存在，则w+1=?，我们只能得到w+1=w，两边同减去w，得到1=0，what？所以这样的w无法存在。
05再识虚数
实数我们都能够理解的一个主要原因是我们有一条叫做数轴的直线，每个实数对应数轴上的一个点，准确讲，这条轴应该叫实数轴，与此对应，其实也可以有虚数轴。
问：-1×（-1）=？
结果当然都知道，负负得正，所以结果等于1嘛。
再问：为什么负负得正？
提供一种思路，我们知道2×（-1）=-2，可以这么理解，所谓×（-1）就是将数轴上的数绕原点逆时针旋转180°。
2×（-1）便是将2绕原点转180°，其结果就是-2，-1×（-1）=1也是同样的道理，将-1这个点绕原点逆时针转动180°便得到1.
观察式子：1×i×i=-1，对1做两次×i的操作，结果为-1，相当于把1绕原点逆时针转了180°。
观察式子：1×i=i，对1做一次乘i的操作，得到的结果为i，那i在什么地方？
相当于把1绕原点逆时针转了90°！
一次转90°，两次转180°，所以有1×i×i=-1。
所以i所在的位置是一条与实数轴垂直的直线，我们称其为虚数轴。
是否觉得似曾相识，和平面直角坐标系是不是像得很？
实际上，高斯同学曾表示，既然复数有数部和虚部两个部分，不如用符号（a,b）来表示，（a,b）是一组有序数对，每一个（a,b）对应一个复数。
曾经，我们用（a,b）表示平面中的每一个点。
重点来了，我们可以将平面中的点与复数建立起对应关系，正如同我们将直线上的点与实数建立起的关系一样，一个点对应一个数，每个数必有一个点对应。
纯实数在实轴上，纯虚数在虚轴上，而由实数和虚数共同构成的复数则在整个平面中，这个平面称为复平面。
我们所谓的实数、虚数，并无真正虚实之分、只是由一元数变为二元数而已。
06复平面中的复数
解个方程：
解得三个根：1，，
放到复平面中来看
三个解恰好把一个半径为1的圆三等分。
举其中一个解为例，可以理解为这是一个把1绕原点逆时针旋转120°的操作，所以操作三次回到单位1，即。
同理另外一解x=可以理解为是把1绕原点旋转240°的操作，三次之后回到1。
再看方程的解：±1，±i，
在复平面中看就是把圆四等分，以其中一解i为例，可以看成是把1绕原点逆时针旋转90°的操作，故满足方程。
原来这就是方程的解呐。
形如也称为分圆方程。是否会解的5个解了？
还是高斯同学表示，来我们再学个定理。
代数基本定理： n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。
二次方程在复数域内必有两个复数根；三次方程在复数域内必有三个复数根……
高中数学必修一集合的基本运算教案
数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ?
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x
高中数学集合概念与运算
第一讲 集合的概念与运算 【考点透视】 1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2．了解空集和全集的意义. 3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题. 5．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ?B ,则有A =?或A ≠?两种可能，此时应分类讨论. 【例题解析】 题型1． 正确理解和运用集合概念 理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例1.已知集合M={y|y=x 2 ＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ） A ．（0，1），（1，2） B ．{（0，1），（1，2）} C ．{y|y=1,或y=2} D ．{y|y≥1} 思路启迪：集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对(x,y)，因此M 、N 分别表示函数y=x 2＋1(x∈R)，y=x ＋1(x∈R)的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集． 解：M={y|y=x 2＋1,x ∈R}={y|y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D ． 点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组21,1.y x y x ?=+?=+?0,1,x y =??=?得 1,2.x y =??=?或 从而选B 的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x 2＋1}、{y|y=x 2 ＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x 2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的． 例2.若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ） A ．P B ．Q C ． D ．不知道
实数系到复数系的发展史
实数系到复数系的发展史 数的概念是从实践中产生和发展起来的．早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了自然数；随着生产和科学的发展，数的概念也得到了发展：为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了满足记数需要和表示具有相反意义的量，人们引进了负数；为了解决开方开不尽的矛盾，人们引进了无理数；在解方程时，为了使负数开平方有意义，人们就 引进了虚数，使实数域扩大到复数域． 十六世纪中叶，意大利数学家卡尔丹在解一元二次方程和一元三次方程时，分别得到类似下面的结果：由于负数在实数系内没有平方根，于是他首先产生了将负数开平方的思想，基于自己的设想，卡尔丹研究了类似于的新数，并进行了计算．后来又有一位意大利数学家帮加利探究了这类新数的运算法则．但最初，人们对复数的概念和性质的了解不甚清楚，对于卡尔丹将40表示成的乘积认为只不过是一种纯形式的表示而已，莫名其妙；再者用这类新数的运算法则计算又会得到一些矛盾，因而长期以来，人们把复数看作是不能接受的“虚数”．直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，以及这个时期复数有了几何的解释，“虚数”才被揭去缥缈的面纱，渐露端倪．1637年，法国数学家笛卡尔正式开始使用“实数”、“虚数”这两个名词；同一时期，德国数学家莱布尼茨、瑞士数学家欧拉和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，除了解方程外，还把它用于微积分等方面进行应用研究，得到很多有价值的结果．1777年，欧拉系统地建立了复数理论，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上；欧拉首先用符号“i”作为虚数的单位，并定义1797年，挪威数学家维赛尔在平面内引进数轴，以实轴与虚轴所确定的平面向量表示虚数，不同的向量对应不同的点，他还用几何术语定义了虚数与向量的运算，揭示了虚数及其运算所具有的几何意义． 十八世纪末十九世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时，就应用并论述了卡尔丹所设想的新数，并首次引进了“复数”这个名词，把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．这样历经300年的努力，数系从实数系到复数系的扩张才基本完成，复数才被人们广泛承认和使用． 复数在数学中起着重要的作用，除了上述的代数基本定理外，还有“实系数的一元n次方程虚根成对出现”定理等，特别是以复数为变量的“复变函数论”，是数学中一个重要分支．十九世纪，复变函数论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程，概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支．同时，它在电学、热力学、 弹性理论和天体力学等方面都得到了实际应用． 虚数不虚 在学习开方时，总是要再三强调，被开方数一定要是非负数，被开方数为负数时，开方没有意义，众所周知，人们对事物的认识总是螺旋式上升的。现在，我们知道对负数进行开方可以用来表示一个虚数。 在很久以前，大多数学家都认为负数没有平方根。到1545年，意大利数学家卡尔丹在所著《重要的艺术》的第37章中列出并解出把10分成两部分，使其乘积为40的问题，方程是ｘ（10－ｘ）＝40，他求得根为，然后说，"不管会受到多大的良心责备"，把相乘，得乘积为25－（－15）或即40，卡尔丹在解三次方程时，又一次运用了负数的平方根。卡尔丹肯定了负数的平方根的用处，但当时，人们对它的认识也仅止于此。 "实数"、"虚数"这两个词是由法国数学家笛卡尔在1637年率先提出来的。而用ｉ＝表示虚数的单位是18世纪著名数学家欧拉的功绩。后来的人在这两个成果的基础上，把实数和虚数结合起来，记成ａ＋ｂ
高中数学-集合的运算练习
高中数学-集合的运算练习 5分钟训练 1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},则P∩(Q)等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5} 答案：A 2.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( ) A.［0,2］ B.［1,2］ C.［0,4］ D.［1,4］ 答案：A 提示：在数轴上表示出两个集合,观察公共部分. 3.设A、B、I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中错误的是( ) A.（A）∪B=I B.（A）∪（B）=I C.A∩（B）=? D.（A）∩（B）= B 答案：B 解析：画出韦恩图，有（A）∪（B）=（A∩B），知B错. 4.设全集为U,用集合A、B、C的交、并、补集符号表示图中的阴影部分. (1)__________________;(2) __________________. 答案：(1)(A)∩B (2)(C)∩(A∩B) 10分钟训练 1.下列说法：①??{0}；②x?A，则x∈A的补集；③若C=A∪B，D=A∩B，则C?D；④适合{a}?A?{a，b，c}的集合A的个数为4.其中不正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案：B 解析：①空集是任何集合的子集；②没有指明全集,若A=N,全集U=Z,则A负整数集,x=3.5, 则x?A且x? A.故②错；③可用韦恩图验证；④分析至少含有一个元素a，最多含有三个元素a、b、c的集合的个数. ①③④都正确，所以选B. 2.已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m-1}，且B≠?，若A∪B=A，则( ) A.-3≤m≤4 B.-3＜m＜4
高中数学-集合的概念及其基本运算练习
高中数学-集合的概念及其基本运算练习 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【新课标I 卷文】已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合中 的元素，最后求得结果. 详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得 ，故选A. 2.【天津文】设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C =U I （A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6} 【答案】B 【解析】由题意可得：{}(){}1,2,4,6,1,2,4A B A B C =∴=U U I .本题选择B 选项. 3．【浙江省嘉兴市高三上期末】已知集合{|1}P x x =<， {} 0Q x x =，则（ ） A. P Q ? B. Q P ? C. P ? R C Q D. R C P Q ? 【答案】D 【解析】R C P =[1,)+∞∴ R C P Q ?,选D. 4．【浙江省嵊州市高三上期末】已知集合2 {|1}A x x =≤， {}21B =-，，则A B ?=（ ） A. {}1 B. {}21-， C. {|11}x x -≤≤ D. {|211}x x x =--≤≤， 或 【答案】A 【解析】Q {} 2|1A x x =≤ {}=|11x x -≤≤， {}21B =-，， {}1A B ∴?=，故选A. 5．【浙江省杭州市高三上期末】设集合{|22}A x x =+≤， [] 0,4B =，则()R C A B ?=（ ） A. R B. {}0 C. {|,0}x x R x ∈≠ D. ?
高中数学必修一集合的基本运算教案
第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.3集合的基本运算 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A B A A ∪ B B A ?
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤， (){|1, 9U C A B x x x =<-≥或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------. （1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C =， 得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------. ∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------. A B B A -1 3 5 9 x
高一数学集合的基本运算练习题及答案
高一数学必修1集合练习题 1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于() A．{x|x≥3}B．{x|x≥2} C．{x|2≤x＜3} D．{x|x≥4} 【解析】B＝{x|x≥3}．画数轴(如下图所示)可知选B. 【答案】B 2．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝() ` A．{3,5} B．{3,6} C．{3,7} D．{3,9} 【解析】A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B＝{3,9}．故选D. 【答案】D 3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．【解析】 设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有(30-x)人，只参加乙项的有(25-x)人．(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5. \ ∴只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人， ∴仅参加一项的有45人． 【答案】45 4．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值． 【解析】∵A∩B＝{9}， ∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}． 此时A∩B＝{－4,9}≠{9}．故a＝5舍去． $ 当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去．
经检验可知a ＝－3符合题意． 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 【解析】 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}，又A ∪B ＝{0,1,2,4,16}， " ∴{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4，故选D. 【答案】 D 2．设S ＝{x|2x ＋1>0}，T ＝{x|3x －5<0}，则S∩T ＝( ) A ．? B ．{x|x<－12} C ．{x|x>53} D ．{x|－12 3．1.1 实数系 3．1.2 复数的概念 明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 1．复数的有关概念 (1)复数 ①定义：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． (2)复数集 ①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系 (1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R ) ? ?? 实数b ＝虚数b ????? 纯虚数a ＝非纯虚数a (2)集合表示： 3．复数相等的充要条件 设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d . [情境导学] 为解决方程x 2 ＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数 范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 复数的概念 思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数． 思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i 2＝－1. (2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律． (3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立． (4)若i 2＝－1，那么i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？ 答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部． 对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数． ①2＋3i ；②－3＋12 i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12 ，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数． 反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． (1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数； (3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数． 解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0. 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．若集合{},,a b c 当中的元素是△ABC 的三边长，则该三角形是 （ ） A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．等腰直角三角形 2．集合{1，2，3}的真子集共有 （ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 3．设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ?B ，则下列式子成立的是 （ ） A ．C U A ?C U B B ． C U A ?C U B=U C ．A ?C U B=φ D ．C U A ?B=φ 4．如果集合A={x|ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，那么a 的值是 （ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 5．设集合{} 32|≤=x x M ，a =()0,1b ∈，则下列关系中正确的是（ ） A ．a ≠ ?M B ．M a ? C ．{}M a ∈ D ．{}a ≠ ?M 6．已知A={1，2，a 2-3a-1},B={1,3},A =?B {3,1}则a 等于 （ ） A ．-4或1 B ．-1或4 C ．-1 D ．4 7． 设S 、T 是两个非空集合，且S ?T ，T ?S ，令X=S ,T ?那么S ?X= （ ） A ．X B ． T C ． φ D ．S 8．给定集合A B 、，定义 {|,,}A B x x m n m A n B ==-∈∈※．若 {4,5,6},{1,2,3}A B ==， 则集合 A B ※ 中的所有元素之和为 （ ） A ．15 B ．14 C ．27 D ．-14 9．设集合M={x|x ∈Z 且－10≤x ≤－3}，N={x|x ∈Z 且|x|≤5 }，则M ∪N 中元素的个 1 题型一 集合的基本运算 【例1】若{}|1,I x x x =-∈Z ≥，则I N e= ． 【例2】已知全集{(,)|R ,R}I x y x y =∈∈，{(1,1)}P =，表示I P e． 典例分析 板块三.集合的运算 2 【例3】若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =U ，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或0 【例4】若{}{}{},,|,A a b B x x A M A ==?=，求B M e． 【例5】已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B I 等于 （ ） A ．? B ．{1,3}- C ．R D ．[1,3]- 3 【例6】若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =I ，则x = ． 【例7】若集合{}{} 22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x y =+==+=∈∈R R ，则有（ ） A ．M N M =U B ．M N N =U C ．M N M =I D ．M N =?I 【例8】已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-I ，求实数a 的 值． 4 【例9】设集合{|(3)()0,R}A x x x a a =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B U I ． 【例10】设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B =I （ ） A ．0 B ．{}0 C ．? D ．{}1,0,1- 【例11】已知全集是R ，{|37},{|210}A x x B x x =<=<<≤，求R ()A B U e，R ()A B I e 教学任务 教学过程设计 集合的运算 一、选择： 1、设集合M ＝1|),{(22=+y x y x ,∈x R,∈y R },N ＝{0|),(2=-y x y x ,∈x R,∈y R },则集合N M 中元素的个数为 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2、设P 和Q 是两个集合,定义集合Q P -={}Q x P x x ?∈且,|,如果{}1log 2<=x x P ,{} 12<-=x x Q 那么Q P -等于（ ） A ．{x|0 高中数学-集合的基本运算教案 教学目的：理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。教学重点：集合补集的概念； 教学难点：集合的补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 教学过程： 一、引入 观察集合A,B,C与D的关系:A={菱形}，B={矩形}，C={平行四边形}，D={四边形} 思考（P9思考题），引入并集概念。 二、新课教学 1.补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x∈U且x∈A} 补集的Venn图表示 说明：补集的概念必须要有全集的限制 例题（P12例8、例9） 2.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并 集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 3.集合基本运算的一些结论： A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩?=?,A∩B=B∩A A?A∪B，B?A∪B，A∪A=A，A∪?=A,A∪B=B∪A （C U A）∪A=U，（C U A）∩A=? 若A∩B=A，则A?B，反之也成立 若A∪B=B，则A?B，反之也成立 若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B 若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B 4.举例 例1.设全集为R,A={x︱x<5}，B={x︱x>3}求A∩B，A∪B，C R A，C R B，（C R A）∩（C R B） 例2. 设U={x︱x是小于9的整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求C U A，C U B 5.课堂练习 设全集为U={2，4，a2-a+1},A={a+1,2},C U A={7},求实数a的值. 三、归纳小结（略） 四、作业布置 P12练习1-4 数学·必修1(人教A 版) 1.1.3 集合的基本运算 ?基础达标 1．若集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ＝0}，则M ∩N ＝( ) A ．{3} B ．{0} C ．{0,2} D ．{0,3} 答案：B 2．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3} ，C ＝{2,3,4}，则(A ∩B )∪C ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2,4} C ．{2,3,4} D ．{1,2,3,4} 答案：D 3．满足{1,3}∪A ＝{1,3,5}的所有集合A 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：由于{1,3}∪A ＝{1,3,5}，所以A ?{1,3,5}且A 中至少有一 个元素为5，从而A 中其余的元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而 {1,3}有4个子集，因此满足条件的A 的个数是4，它们分别是{5}， {1,5}，{3,5}，{1,3,5}． 答案：D 4．设全集U ＝{}1，2，3，4，5，集合M ＝{}1，4，N ＝ {}1，3，5，则N ∩()?U M ＝( ) A ．{1,3} B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{4,5} 解析：?U M ＝{}2，3，5，N ＝{}1，3，5，则N ∩()?U M ＝ {}1，3，5∩{}2，3，5＝{}3，5. 答案：C 5．设集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x |x 是2的倍数}，则M ∩N ＝( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8} 解析：因为N ＝{x |x 是2的倍数}＝{…，0,2,4,6，8，…}，故M ∩N ＝{}2，4，8，选C. 答案：C 6．设集合M ＝{x |0＜x ＜1}，N ＝{x |－2＜x ＜2}，则( ) A ．M ∩N ＝? B ．M ∩N ＝M C ．M ∪N ＝M D ．M ∪N ＝R 解析：画数轴表示集合： ∴M ∩N ＝M . 答案：B ?巩固提高 7．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是( ) A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．8个 解析：A ＝{1,2}，A ∪B ＝{1,2,3}，则集合B 中必有元素3，即此题可 转化为求集合A ＝{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 2 集合的基本运算 一、基础训练 1．设是全集，若，则，， ． 2．若集合，，则．3．已知集合，，若，则的取值范围为． 4．如图，为全集，和是的子集，则阴影部分所表示的集合是． 5．（2011上海卷）若全集，集合，则 ． 6．设集合，．若，则实数． 7．已知，集合，．若，则实数的取值范围是． 8．已知集合，，若，则实数的最大值是． 二、例题精讲 例1．设全集，，．求： （1）；（2）． 例2．已知集合，，且，求． 例3．已知集合，， 满足且，求实数的值． 例4．已知集合，．分别根据下列条件，求实数的取值范围． （1）；（2）． 三、巩固练习 1．已知全集，且，，则 ． 2．已知集合，，则 ． 3．已知集合，，假设等可能地从中取出，那么的概率是． 4．已知，集合，，若只有一个元素，则满足的关系为． 四、要点回顾 1．理解集合运算的含义，会求补集、交集与并集，体会它们都是由给定的两个集合经运算得到的集合． 2．注意集合的包含关系与集合的运算的联系，如，等． 3．处理与集合相关的问题时，首先要理解集合语言的含义，其次要善于将题中集合具体化或图形化． 集合的基本运算作业 1．已知集合，集合，若集合满足：且，则． 2．已知集合，集合，则． 3．若全集，，，则 ． 4．已知，集合，．若，则的最大值为；若，则的最小值为． 5．如图，已知集合，，，用列举法写出右图中阴影部分表示的集合为． 6．设全集，，，，则，． 7．已知集合，，且，试求实数的值及集合． 8．已知集合，同时满足：，，求的值． 9．若集合满足，则称是集合的一个分拆．当且仅当时，与为同一个分拆．试分别求出 及时的分拆总数． 10．已知集合，．分别根据下列条件，求实数的取值范围． （1）；（2）． 虚数 虚数就是其平方是负数的数。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。 基本信息 ?中文名 ?虚数 ? ?英文名 ?imaginary number ? ?定义 ?虚数都是复数。定义为i2=-1 ? ?形式 ?bi，a+bi，r∠θ ? 目录 1简介 2历史 2.1起源 2.2符号来历 2.3相关描述 3释义 3.1概念 3.2通俗解释 3.3基本运算 4计算 4.1四则运算 4.2三角函数 4.3共轭复数 4.4乘方 4.5特殊示例 简介折叠 虚数可以指以下含义： (1)[unreliable figure]：虚假不实的数字。 (2)[imaginary part]：复数中a+bi，b叫虚部，a叫实部。 (3)[imaginary number]：汉语中不表明具体数量的词。 如果有数平方是负数的话，那个数就是虚数了；所有的虚数都是复数。“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面，复平面上每一点对应着一个复数。 历史折叠 起源折叠 要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。 有理数出现的非常早，它是伴随人们的生产实践而产生的。 无理数的发现，应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派。无理数的出现，与德谟克利特的“原子论”发生矛盾。根据这一理论，任何两个线段的比，不过是它们所含原子数目的经。而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段。不可通约线段的存在，使古希腊的数学家感到左右为难，因为他们的学说中只有整数和分数的概念，他们不能完全表示正方形对角线与边长的比，也就是说，在他们那里，正方形对角线与边长的比不能用任何“数”来表示。西亚他们已经发同了无理数这个问题，但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了，甚至到了希腊最伟大的代数学家丢番图那里，方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”。 “虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。 人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能长度解决代数方程的求解问题。像x^2+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解。12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负数平方根的存在。 到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》（《数学大典》）中，把记为1545R15-15m这是最早的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637年法国数学家笛卡尔，在其《几何学》中第一次给出 §1.1 集合的概念与运算 一、知识导学 1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ?则B a ∈），则称 集合A 为集合B 的子集，记为A ?B 或B ?A ；如果A ?B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A. 4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ?B 、B ?A ，则A=B. 5.补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为 A C s . 6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U. 7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ?B. 8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ?B. 9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ. 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集. 12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）. 13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R . 二、疑难知识导析 1.符号?，，?，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“?”包括“”和“=”两种情况，同样“?”包括“”和“=”两种情况.符号∈，?表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”. 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式 中，B =Φ易漏掉的情况. 5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之. 6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏. 7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来. 趣话数学：虚数真的不虚 从我们接触数学开始，就会遇到各种各样的数，从自然数开始，我们逐渐学习了整数、分数、负数、有理数、实数。到初中结束也就到此为止了，那有没有除了实数以外的数呢？与“实”字相对应，以后我们会接触到一种叫“虚数”的数，实数与虚数统称为复数。 那什么是虚数？ 01 从认识数开始 在认识虚数之前，我们先来说说什么叫数？ 1和a有什么区别？对于数，我们会有各种运算，比如1+2=3、2×3=6，但是对于字母，我们得不到像a+b=c或xy=z这样的结果。 简单说，数是具有运算功能的符号！ 如果没有运算，1和a除了长得不一样，其他并没有区别，所以数存在的开始就有了运算，学习数的过程也是学习运算的过程。 02初识有理数 我们从运算的角度来简单叙述一下数的发展史，我们最早认识的是自然数，什么叫自然数呢？其实就是来源于我们实际生产生活，比如说1张桌子有4条腿，这里的“1”和“4”，这次考试，张三第1，李四第2，王二毛第3，这里所出现的“1”、“2”、“3”,可以说自然数无处不在。 对任意两个自然数做加法，我们仍然会得到自然数，但是如果对两个自然数作减法呢？结果可就不一定了，比如：2-3=-1。现在我们都知道这叫作负数，但在很长时间里，负数却一直不被承认。 原因很简单，我们无法找到一个具体的事物来描述负数啊！ 我们可以用1根手指、1个苹果等等来描述什么叫1，但什么叫-1呢？后来也有人提出可以用“亏损”或者“负债”这样的方式来描述负数，但总归不像自然数那么自然，并不能让所有人都接受。 其实可以换个角度来看，为什么一定要有找到一个具体的事物来对应呢？ 数学源于生活但不是生活，数学是一门定好规则的符号游戏，只要符合我们预先设置的规则，就是合理的。所以我们不需要指出负数具体是什么，只要能说清其来源，并且适用于我们现有的运算体系且不会产生一些不可调和的矛盾，我们就可以承认其存在。 于是由于作减法可能会产生新的数，自然数不再满足我们对计算的要求，我们的数系便扩大到了整数，包括正整数、0、负整数。 那分数是怎么来的呢？有了上面的思路，这里就很显然了，对两个整数作乘法，结果一定还是个整数，但是对任意两个整数作除法呢？就会出现我们现在所谓的分数，所以整数并不能满足我们所有乘除法的运算，我们需要继续扩大数的范围。 以上的所有组成的大家庭我们称为有理数。有理数会具有这么一个性质：对任意两有理数作四则运算（除数不为0），结果一定还是有理数，这么个性质称为“封闭性”。这对数与计算而言，是个很重要的性质。 03无理数的发现 最后，我们还有乘方和开方，乘方等同于乘法，不用多说，开方呢？2017-2018版高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念学
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