实数系到复数系的发展史
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从记数法到复数域：数系理论的历史发展引言数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。
数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。
一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。
今天，我们所应用的数系，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。
在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？一、记数法、位置制和零人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识数”的才能，心理学家称这种才能为“数觉”（perceptionofnumber）。
动物行为学家则认为，这种“数觉”并非为人类所独有。
人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法。
《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。
东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。
结之多少，随物众寡”。
以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。
直到1826年，英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。
随着人类社会的进步，数的语言也在不断发展和完善。
数系发展的第一个里程碑出现了：位置制记数法。
所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。
引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。
如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。
最早发展的一类数系应该是简单分群数系（simplegroupingsystem），如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例,它是10进的，但却不是位置的。
在公元前3000到2019年之间，巴比伦人发展了60进位的定位数系（positionalnumeralsystem），它采用了位置制，却不是10进的。
复数的发展过程
复数的发展过程高祥旭在高中数学的学习中我们就学习了有关“复数”的知识，知道这是根据实际的需要，在实数的基础上扩充得到的新的数域。
这是许多数学家经过200多年不懈努力的结果,下面来看看它的发展过程：16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表了《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称为“卡当公式”,他是第一个把复数的平方根邪道公式中得数学家。
他在讨论能否把10分成两部分，使它们的积为40时。
尽管他认为是没有意义的,可还是把答案写成就这样把10分成两部分,而答案为40。
1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》一书中提出：“虚的数”与“实的数相对应"。
自此,虚数流传开来，但却引起数学系的一片困惑。
很多大数学家都不承认。
1702年德国数学家莱布尼茨说:“虚数是神灵循迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界种的两栖物”.欧拉也说过：“一切形如，的数学式子是不可能有的”,“它们纯属虚幻的”.然而。
真理是经得起考验的。
1747年，法国数学家达朗贝尔指出按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算法则对虚数进行运算结果总是（a，b是实数）的形式。
1730年，法国数学家棣莫佛发现公1748年，欧拉发现了有名的关系式并且在1777年发表的《微分公式》中第一次用了i来表示—1的平方根。
1779年,挪威的测量学家成塞尔给虚数以直观的几个解释并首先发表了其作法，但没有引起学术界的重视。
1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法,又在1832年提出“复数”这个名词，并且将复数的知识系统的表述出来。
终于虚数在高斯手中得到发展.自此复数理论才比较完整和系统的建立起来。
然而复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。
人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。
在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识,而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地.1545年,此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们智力又面临一个新的“怪物"的挑战.笛卡尔（Descartes,1596-1650)也抛弃复根，并造出了“虚数"（imaginary number）这个名称.对复数的模糊认识,莱布尼兹（Leibniz，1646- 1716）的说法最有代表性：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的—1的平方根。
数系的扩充和复数的概念
必要不充分
条件.
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思
考
复数集与实数集、虚数集、纯虚数集
之间有什么关系？
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复数的分类
实数(b 0) 纯虚数(a 0，b 0) 1、复数z=a+bi 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
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在测量过程中，常常会发生度量不尽的 情况，如果要更精确地度量下去，就必然 产生自然数不够用的矛盾.这样，正分数就 应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃 及纸草书中已经记有关于正分数的问题.引 进正分数,这是数的概念的第一次扩展. 最初 人们在记数时，没有“零” 的概念.后来，在 生产实践中,需要记录和计算的东西越来越 多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记 数法，零的产生就不可避免的了.我国古代 筹算中，利用 “空位”表示零.公元6世纪， 印度数学家开始用符号“0”表示零.
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• 上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须 指出，数的概念的产生，实际上是交错进 行的.例如，在人们还没有完全认识负数之 前，早就知道了无理数的存在;在实数理论 还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程 了. 直到19世纪初，从自然数到复数的理论 基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学 严密性的需要以及公理化倾向的影响，促 使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构. 从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G.Peano， 1855~1939)、康托尔(G.Cantor， 1845~1918)、戴德金(R.Dedekind， 1831~1916)、外尔斯特拉斯
x 2 y i (2x 5) (3x y)i
求 x与 y .
，
y R,
复数的概念发展过程
复数的概念发展过程复数的概念发展过程经历了多个阶段，从早期对负数的困惑到最终复数作为数学体系中的基本元素的确立，以下是其主要发展历程概要：1. 古希腊时期：-在古希腊数学中，数学家们最初仅考虑正数和零，对于负数以及后来的虚数持怀疑态度，因为它们当时被认为缺乏直观的几何解释或物理意义。
2. 负数的接受：-到了中世纪，随着数学问题解决的需求增加，负数逐渐被接受并在代数运算中开始应用。
3. 虚数的萌芽：-在解代数方程的过程中，尤其是遇到像x²=-1这样的二次方程无实数解时，数学家们开始意识到需要扩展数系。
16世纪初，意大利数学家Scipione del Ferro和NiccolòFontana Tartaglia等人在解三次方程时，实际上已经涉及到类似于虚数的运算。
4. 正式引入：-16世纪中期，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺在探讨代数方程的解时，首次提出了“想象数”（imaginary numbers）的概念，这可以看作是虚数的初步形式。
5. 虚数的符号化：-17世纪，笛卡尔在自己的工作中，虽然他本人对虚数持保留意见，但首次使用了类似“实”和“虚”的术语来区分不同的数，并将虚数表示为直角坐标系中的垂直轴上的量。
6. 复数的规范化：-18世纪，欧拉在1777年开始使用现在通用的符号"i" 表示虚数单位，即i²= -1，并明确地提出了形如a + bi 的复数表达方式。
7. 理论完善：-19世纪，德国数学家高斯对复数进行了系统的理论研究，建立了复数的代数和几何基础，包括引入极坐标形式、复共轭、复数的加法和乘法法则等，并且证明了每一个复系数多项式都可以分解成线性因子（一次和二次的复数因子），这是复数理论的重大突破。
8. 广泛接受与应用：-随着复数理论的成熟，它逐渐被数学界接受并成为现代数学的基础之一。
到了19世纪及以后，复数在工程、物理学（特别是电磁学和量子力学）、信号处理、控制论以及现代数学的各个分支，如复分析、泛函分析等领域中找到了丰富的应用，从而确立了复数在现代数学和科学技术中的重要地位。
数系扩充的历史发展
数系扩充的历史发展数系扩充是数学领域的重要发展方向之一，它们的出现不仅丰富了数学的内容，也拓展了数学的应用范围。
本文将从整数、有理数、实数、复数等数系的扩充过程入手，探讨数系扩充的历史发展。
1. 整数的扩充整数是我们最早接触到的数系，它由正整数、0和负整数组成。
然而，在某些情况下，整数无法满足我们的需求。
为了解决这个问题，数学家引入了自然数的扩充概念，将其称为整数。
整数在数轴上可以表示正数、0和负数，通过加法和乘法运算，整数形成了一个封闭的数系。
2. 有理数的扩充有理数是整数的扩充，它可以表示为分数的形式。
有理数包括整数和所有可以表示为两个整数的比值的数。
然而，有理数在某些情况下也无法满足我们的需求，例如无理数的开方运算。
为了解决这个问题，我们引入了无理数的概念，将其加入到有理数中，形成了实数。
实数是一个包括有理数和无理数的数系，通过加法、减法、乘法、除法等运算，实数形成了一个完备的数系。
3. 实数的扩充实数是数学中最为常见的数系，它包括了所有的有理数和无理数。
然而，实数在某些情况下也无法满足我们的需求，例如方程x²+1=0在实数范围内无解。
为了解决这个问题，数学家引入了虚数的概念，将其加入到实数中，形成了复数。
复数由实部和虚部组成，其中虚部用虚数单位i表示。
复数的加法、减法、乘法和除法等运算满足一定的规律，形成了一个复数域。
4. 复数的扩充复数的引入解决了实数无法解决的方程问题，但复数本身也存在一些限制。
为了进一步扩充数系，数学家引入了超复数的概念。
超复数包括复数和一些特殊的数，例如双复数、超实数等。
超复数在数学物理、工程学等领域有广泛的应用，它们的性质和运算规则也在不断地研究和发展中。
5. 数系扩充的意义数系的不断扩充，丰富了数学的内容，使得数学在解决实际问题时更加灵活和高效。
数系的扩充也推动了数学理论的发展，激发了数学家们对抽象和推理的思考。
同时，数系的扩充也为其他学科的发展提供了基础和支撑，例如物理学中的复数分析、工程学中的矩阵运算等。
数系发展
6. 数集的地位
数学之比喻
数学像游戏，离不开 道具和规则。 数学中，各种集合是 道具，而在各种集合上赋 予的各种结构是规则。
6. 数集的地位
数学之比喻
数学像演戏，离不开 演员和剧本。 数学中，各种集合是 演员，演员被分配了角色 才能演戏。
6. 数集的地位
在这里：
数集 就是数学的一种道具， 要在其上赋予
1843 年爱尔兰数学家哈 密尔顿 发现有序四元实 数组完全可以组成一个 数系 —— 叫“四元数”， 这是一个乘法不满足交 换律的数系。
哈密尔顿 （Hamilton, William Rowan, 1805—1865）
3. 超复数的产生
1847 年 ， 英 国 数 学 家凯莱进一步发现了 八元数。这个数系的 乘法不满足交换律， 也不满足结合律。
一天，该旅馆所有的客房已满。这时，
又来了一位客人坚持要住下来。……
数系扩充概述
1. 实数系扩充历史
自然数是“数”出来的，其历史最早 可以追溯到五万年前。
1. 实数系扩充历史
分数（有理数）是“分”出来的，早 在古希腊时期，人类已经对有理数有 了非常清楚的认识，而且他们认为有 理数就是所有的数。
4. 数系扩充的科学道理
自然数中减法产生0和负数， 整数系统；
整数中除法产生分数， 有理数系统； 负数中开方产生虚数， 复数系统。
自然数中开方产生无理数， 实数系统；
数系的每一次扩充， 基本都是运算的需要
1 实数的结构
5. 实数的结构
实数中正、负数、有理数都是容易被 认识的，而无理数则是神秘的、复杂 的、难以被认识的； 实数中，整系数代数多项式的根叫代 数数，例如，1，1/2，31/2，其中有理 数是整系数一次多项式的根； 实数中不是代数数的数叫超越数，例 如，，e。
数学的三个发展时期现代数学时期
数学的三个发展时期——现代数学时期现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。
抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。
它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。
变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。
18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。
然而，这只是暴风雨前夕的宁静。
19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。
19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。
大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。
这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。
非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。
它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。
后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。
从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。
1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。
非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。
1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。
在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。
不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。
它的革命思想打开了近代代数的大门。
另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。
复数系是怎样建立的
复数系是怎样建立的复数系的建立，经历了一段曲折而漫长的过程．1484年，法国数学家舒开在《算术三篇》中，解一元二次方程243x x +=得到的根是39424x =±-．他声明这根是不可能的． 1545年意大利数学家卡尔丹（Cardano ，1501~1576）在解一元二次方程(10)40x x -=和一元三次方程3154x x =+时，分别得到类似的结果，引入负数的平方根，并称它为“诡辩量”． 1637年，法国数学家笛卡尔（Descartes ，1596~1650）正式开始使用“实数”、“虚数”这两个名词．此后，德国数学家莱布尼茨（Leibniz ，1646~1716）、瑞士数学家欧拉（Euler ，1707~1783）和法国数学家棣莫弗（De Moivre ，1667~1754）等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，除了解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出许多很有价值的结果，“虚数”被证明“不虚”了．1747年，法国数学家达朗贝尔（D ′Alembert ，1717~1783）的研究使得人们对虚数的认识又推进一步．他指出，形如1a b +-（a ，b 是实数）的数按多项式的四则运算规则进行运算，所得的结果仍具有a b +1-的形式．这在实质上提出了复数的概念．1748年，欧拉对这类新数作了系统研究，并得出欧拉公式i e cos isin θθθ=+．1777年欧拉首次用i 表示1-的平方根．1801年，高斯系统地使用这个符号，使i 通行于世． 值得一提的是，欧拉的一个惊人的等式i πe 10+=包含了现代数学中最重要的一些常数． 1797年，丹麦数学家韦塞尔（Wessel ，1745~1818）首次提出实轴、虚轴，并以实轴与虚轴所确定的平面表示这类新数，这实际上给出了复数的几何意义．1799年、1815年和1816年，德国著名数学家高斯（Gauss ，1777~1855）证明了代数基本定理，即在复数集中，一元n 次方程有且仅有n 个根（k 重根算作k 个根）．证明中，他应用并论述了这类新数，并首次引进了“复数”这个名词，把复数与直角坐标平面内的点一一对应起来，这就有效地使人们接受了复平面的思想，从而建立了复数的几何基础．1837年，爱尔兰数学家哈密顿（Hamilton ，1805~1865）用有序实数对（a ，b ）定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律，而实数a 则看成特殊的复数（a ，0）．这样，历经近300年的努力，数系从实数系向复数系的扩充才大功告成．。
数系的历史发展进程和逻辑依据及对教学的启示
数系的历史发展进程和逻辑依据及对教学的启示一、数系的发展数系通常是指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。
这些数之间的关系如下表：数的观念具有悠久的历史，特别是自然数观念，其产生当在史前时期，详情已难于追索。
但对数系建立严谨的理论基础，却在19世纪下半叶才完成。
1．自然数建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。
古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。
事实上，英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵）演变来的。
中国古藉《易系辞》中说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。
”这些都是匹配计数法的反映。
但直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。
2．整数在整数系中，自然数为正整数，称0为零，称-1，-2，-3，…，-n，… 为负整数。
正整数，零与负整数构成整数系。
零不仅表示“无”，更是表示空位的符号。
中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。
印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是“空”或“空白”。
中国最早引进了负数。
《九章算术方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。
减法的需要也促进了负整数的引入。
减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。
为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
3．有理数古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。
中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。
分数的使用导源于除法运算的需要。
除法运算可看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则所给方程未必有整数解。
为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有理数系。
值得注意的是, 可以证明, 以下关于有理数系的三种描述是互相等价的:定义1：正负整数、分数和零的总体称为有理数。
定义2：有理数由各式各样的分数组成。
数的发展史
数的发展史提到数，大家都不陌生。
小学期间我们学习了自然数和正分数；在初一学习了负数以后，解决了在正有理数不够减的问题，数的范围扩充为有理数；在初二又学习了无理数，解决了开方开不尽的矛盾，数的范围进一步扩充为实数；在高中，我们为了解方程的需要又引入了虚数单位i，数系最终达到复数系。
实际上，时至今日数系已构造得非常的完备和缜密。
然而你是否知道，数系的形成和发展并非完全遵循上述演变过程，又是否知道人类智慧在此过程中经历的种种曲折和艰辛。
一、古代数字及计数法人类最初完全没有数量的概念。
而是在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。
比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。
捕获了3头，就放3块石子。
“结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。
《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。
东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。
结之多少，随物众寡”。
以结绳和书契记数的方法遍及世界各地。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大不相同。
古代巴比伦人的数字用点来表示，五个点表示5，八个点表示8，九个点表示9，点太多，数不清时，发明了专用的计数符号，“<”表示10，“T”表示360等等；在中国，一二三四五六七八九十百千万这13个数字在甲骨文中就已经出现。
古罗马的数字相当进步。
罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C 代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。
这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。
它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数。
1、重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。
如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”。
2、右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”。
中学数学研究第一章
二、自然数的加法和乘法
定义一（自然数的加法）： 在自然数集N中，满足下列条件的二元运算
“+”，叫做加法： ⑴对任意的a,有a+1=a’ ； ⑵对任意的a,b∈N，都有a+b∈N，a+b’=(a+b)’. 其中,a+b叫做a和b的和, a和b分别称为被加数
第二数学归纳法 设是一个与自然数有关的命题，若 ⑴ p(1)成立； ⑵假设p(n)对于所有满足m k的自然数m成立,则p(k)成立. 那么,命题p(n)对一切自然数都成立.
第二数学归纳法证明
设 M n p(n)成立,n N,T=N -M.
假设T ,由自然数集最小数原理, T有最小数t0 .由⑴知:1 M ,故t0 1. 因此1，2， ,t0 1 M .又根据⑵知： t0 M ,这和t0 T矛盾,故T ,从而 M N . 结论成立.
数学归纳法应用举例
例1：设数列an满足
1 a1
1 ;2
2
n i 1
ai
n2an
n
1 .
证明：an
1
nn
1
.
（提示:分别用第一、第二数学归纳法证明）
例2：试证对任意自然数n,方程x2 y2 zn都有正整数解.?
（提示：跳板数学归纳法）
例3：证明算术平均——几何平均不等式,即An Gn .? （提示：反向数学归纳法）
⑴1 M；⑵a M a M 则M N .
皮亚诺公理推论
► 每一元有且只有一个后继 ► 后继元不能重复 ► 该公理体系中1是最小的自然数 ► “后继”是自然数集上的一个顺序关系
德国著名数学家克罗内克的名言“上帝创造了自 然数，其他的数都是人造的”。意思为：自然数是所
有 数的基础，其他数系都是在自然数系的基础上定义出
数学的发展历史
姚多
数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成 若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期
• 1．数学萌芽期（公元前600年以前） • 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶） • 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代） • 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战） • 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）
初等数学时期
• 赫伦写出了使用具体数解释求积法的《测量术》等著作。 • 托勒密完成了到那时为止的数理天文学的集大成著作《数学汇
编》，结合天文学研究三角学。 • 丢番图著《算术》，使用简略号求解不定方程式等问题，它对数
学发展的影响仅次于《几何原本》。 • 希腊数学中最突出的三大成就--欧几里得的几何学，阿基米德的
• 19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础 已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。
现代数学时期
1945年，第一台电子计算机诞生，促进了数学的发展，使数学分为 了三个领域，纯粹数学，计算机数学，应数学。
初等数学时期
• 古巴比伦开始使用60进位制的记数法进行较复杂的计算了，并出 现了60进位的分数，用与整数同样的法则进行计算；已经有了关 于倒数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的数表。
• 埃及古代数学采用10进位制的记数法。
初等数学时期
• 希腊的数学是辉煌的数学，第一个时期开始于公元前6世纪，结 束于公元前4世纪。
初等数学时期
• 在中国，春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已 使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义 的。
• 《九章算术》为代表的数学著作的出现。 • 刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒
数系的扩展历程
数系的扩展历程从数学史发展的角度来看，数系扩展伊始主要是由于实践的需要。
正是为了解决实践中出现的问题，人们不断将数的领域加以扩展。
人们为了计量的需要，引入了自然数，这样就可以表示任何离散的对象的数目了；因为测量、天文研究等实践活动，有时候结果不能用整数表示，就有了分数；另外，由于现实生活中有很多相反的过程，如收入与支出，上升与下降，前进与后退等，要用数来表示这些过程，负数就产生了;因为现实世界中除了离散量外，还存在大量连续量，而为了刻画出连续量就必须引入无理数，从而将数系扩展到实数系。
因此，实践活动的需要是数系扩展的不可缺少的动力.尤其在前期，实践的需要在促使数系发展方面起着重要作用。
数系的扩充初期是源于现实生活中的需要，后来随着数学体系的发展，数系扩展也成了数学内部体系运算封闭性的必然要求。
所谓运算（如我们熟知的加、减、乘、除），抽象的看，包括一个集合与一个对应法则，这个对应法则规定了这个集合中的任意两个元素所对应的元素。
若该运算对集合中的任何两个数可普遍实施，且其结果仍然在该集合中，则称该运算在这个集合上是封闭的。
容易知道，加法、乘法在正整数集合上是封闭的。
人们在研究加法、乘法的逆运算时，发现方程a+x=c和ax=b（这里a,b,c都是正整数）。
在正整数集合内，并不是每个这样的方程都有解的。
从而减法和除法对正整数并不是可以普遍施行的，事实上，2+x=2和2+x=3，2x=3就都没有正整数解。
为了使这类方程可解,0和负整数分数就立即成为必要。
这样，数系就扩展到有理数。
我们知道，数系还要进一步扩充——实数。
在这个扩充过程中，“实际需要”所起的推动作用显得更小，而更多是数学内容的需要。
我们同样可以从运算的封闭性来讨论这种扩充。
事实上，为了使指数运算（特殊的，比如开平方）能普遍施行，就必须有无理数，举例来说，在有理数集合内，2就没有平方根。
要使开平方这种运算可以普遍施行，就要有无理数（当然，2的平方根是无理数中的一类，叫代数数，还有所谓超越数，如圆周率）。
数系的历史发展进程和逻辑依据及对教学的启示
数系的历史发展进程和逻辑依据及对教学的启示一、数系的发展数系通常是指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。
这些数之间的关系如下表：数的观念具有悠久的历史，特别是自然数观念，其产生当在史前时期，详情已难于追索。
但对数系建立严谨的理论基础，却在19世纪下半叶才完成。
1．自然数建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。
古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。
事实上，英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵）演变来的。
中国古藉《易系辞》中说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。
”这些都是匹配计数法的反映。
但直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。
2．整数在整数系中，自然数为正整数，称0为零，称-1，-2，-3，…，-n，… 为负整数。
正整数，零与负整数构成整数系。
零不仅表示“无”，更是表示空位的符号。
中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。
印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是“空”或“空白”。
中国最早引进了负数。
《九章算术方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。
减法的需要也促进了负整数的引入。
减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。
为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
3．有理数古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。
中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。
分数的使用导源于除法运算的需要。
除法运算可看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则所给方程未必有整数解。
为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有理数系。
值得注意的是, 可以证明, 以下关于有理数系的三种描述是互相等价的:定义1：正负整数、分数和零的总体称为有理数。
定义2：有理数由各式各样的分数组成。
实数的产生及发展历史
实数的产生及发展历史阐述实数的诞生和发展历史实数是数学领域中的一个重要概念，它描述的是实际存在的所有数字，包括有理数和无理数。
它的发展可以追溯到古埃及文明，由此数学的科学化发展开始。
古埃及文明早在3000年前，已发明了能用来表示实数的系统。
这种系统采用十进制，通过以表块为代表的硬币，能够很好地表示实数。
据称，古埃及文明是第一种使用十进制表示实数的文明。
在古希腊文明，有著名的几何学家苏格拉底和厄泽罗，于公元前400年建立了几何研究的理论基础。
他们的研究建设的几何学，为数学的后续发展奠定了基础。
同时，他们也完善了古埃及文明的实数表示系统，引入了无理数的概念，能够很好的用来表示形状的直线、圆及曲线。
在欧洲，实数的应用十分盛行，但此时无法表示所有的数字，以至于不能一致写出一些问题的答案。
直到14纪末新数学（新古典数学）的出现，才把新坡罗文明中早期发明的有理数、整数、分数等整合在一起，形成了完整的实数体系。
15世纪出现的新的实数体系，引入很多新的知识，能表示高精度的运算，甚至能够对无理数问题进行运算，重塑了实数体系。
15纪末，19纪法国数学家巴塞尔继续提出有理数、算术运算等数学技术，他的尼科彻斯定理又被称为实数理论的开端，因为它可以用来证明实数系统是有界的，这为进一步系统研究实数体系提供了基础。
同时，19世纪德国数学家赫尔巴特还提出了以冗余十进制表示实数的系统，能够有效的解决运算实数时的误差问题。
自从20世纪以来，实数的应用变得更加广泛，其中，像浮点数运算技术及矩阵理论等，都把实数的应用拓展到了更为广泛的领域。
因此，实数的功能表现出前所未有的强大，它不仅能够完成大量运算，而且可以解决现实生活中的许多数学问题。
从古埃及。
数系的扩展历程
数系的扩展历程文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）数系的扩展历程从数学史发展的角度来看，数系扩展伊始主要是由于实践的需要。
正是为了解决实践中出现的问题，人们不断将数的领域加以扩展。
人们为了计量的需要，引入了自然数，这样就可以表示任何离散的对象的数目了；因为测量、天文研究等实践活动，有时候结果不能用整数表示，就有了分数；另外，由于现实生活中有很多相反的过程，如收入与支出，上升与下降，前进与后退等，要用数来表示这些过程，负数就产生了;因为现实世界中除了离散量外，还存在大量连续量，而为了刻画出连续量就必须引入无理数，从而将数系扩展到实数系。
因此，实践活动的需要是数系扩展的不可缺少的动力.尤其在前期，实践的需要在促使数系发展方面起着重要作用。
数系的扩充初期是源于现实生活中的需要，后来随着数学体系的发展，数系扩展也成了数学内部体系运算封闭性的必然要求。
所谓运算（如我们熟知的加、减、乘、除），抽象的看，包括一个集合与一个对应法则，这个对应法则规定了这个集合中的任意两个元素所对应的元素。
若该运算对集合中的任何两个数可普遍实施，且其结果仍然在该集合中，则称该运算在这个集合上是封闭的。
容易知道，加法、乘法在正整数集合上是封闭的。
人们在研究加法、乘法的逆运算时，发现方程a+x=c和ax=b（这里a,b,c都是正整数）。
在正整数集合内，并不是每个这样的方程都有解的。
从而减法和除法对正整数并不是可以普遍施行的，事实上，2+x=2和2+x=3，2x=3就都没有正整数解。
为了使这类方程可解,0和负整数分数就立即成为必要。
这样，数系就扩展到有理数。
我们知道，数系还要进一步扩充——实数。
在这个扩充过程中，“实际需要”所起的推动作用显得更小，而更多是数学内容的需要。
我们同样可以从运算的封闭性来讨论这种扩充。
事实上，为了使指数运算（特殊的，比如开平方）能普遍施行，就必须有无理数，举例来说，在有理数集合内，2就没有平方根。
数系的扩展历程
精品文档.数系的扩展历程从数学史发展的角度来看，数系扩展伊始主要是由于实践的需要。
正是为了解决实践中出现的问题，人们不断将数的领域加以扩展。
人们为了计量的需要，引入了自然数，这样就可以表示任何离散的对象的数目了；因为测量、天文研究等实践活动，有时候结果不能用整数表示，就有了分数；另外，由于现实生活中有很多相反的过程，如收入与支出，上升与下降，前进与后退等，要用数来表示这些过程，负数就产生了;因为现实世界中除了离散量外，还存在大量连续量，而为了刻画出连续量就必须引入无理数，从而将数系扩展到实数系。
因此，实践活动的需要是数系扩展的不可缺少的动力.尤其在前期，实践的需要在促使数系发展方面起着重要作用。
数系的扩充初期是源于现实生活中的需要，后来随着数学体系的发展，数系扩展也成了数学内部体系运算封闭性的必然要求。
所谓运算（如我们熟知的加、减、乘、除），抽象的看，包括一个集合与一个对应法则，这个对应法则规定了这个集合中的任意两个元素所对应的元素。
若该运算对集合中的任何两个数可普遍实施，且其结果仍然在该集合中，则称该运算在这个集合上是封闭的。
容易知道，加法、乘法在正整数集合上是封闭的。
人们在研究加法、乘法的逆运算时，发现方程a+x=c和ax=b（这里a,b,c都是正整数）。
在正整数集合内，并不是每个这样的方程都有解的。
从而减法和除法对正整数并不是可以普遍施行的，事实上，2+x=2和2+x=3，2x=3就都没有正整数解。
为了使这类方程可解,0和负整数分数就立即成为必要。
这样，数系就扩展到有理数。
我们知道，数系还要进一步扩充——实数。
在这个扩充过程中，“实际需要”所起的推动作用显得更小，而更多是数学内容的需要。
我们同样可以从运算的封闭性来讨论这种扩充。
事实上，为了使指数运算（特殊的，比如开平方）能普遍施行，就必须有无理数，举例来说，在有理数集合内，2就没有平方根。
要使开平方这种运算可以普遍施行，就要有无理数（当然，2的平方根是无理数中的一类，叫代数数，还有所谓超越数，如圆周率）。
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实数系到复数系的发展史
数的概念是从实践中产生和发展起来的．早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了自然数；随着生产和科学的发展，数的概念也得到了发展：为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了满足记数需要和表示具有相反意义的量，人们引进了负数；为了解决开方开不尽的矛盾，人们引进了无理数；在解方程时，为了使负数开平方有意义，人们就
引进了虚数，使实数域扩大到复数域．
十六世纪中叶，意大利数学家卡尔丹在解一元二次方程和一元三次方程时，分别得到类似下面的结果：由于负数在实数系内没有平方根，于是他首先产生了将负数开平方的思想，基于自己的设想，卡尔丹研究了类似于的新数，并进行了计算．后来又有一位意大利数学家帮加利探究了这类新数的运算法则．但最初，人们对复数的概念和性质的了解不甚清楚，对于卡尔丹将40表示成的乘积认为只不过是一种纯形式的表示而已，莫名其妙；再者用这类新数的运算法则计算又会得到一些矛盾，因而长期以来，人们把复数看作是不能接受的“虚数”．直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，以及这个时期复数有了几何的解释，“虚数”才被揭去缥缈的面纱，渐露端倪．1637年，法国数学家笛卡尔正式开始使用“实数”、“虚数”这两个名词；同一时期，德国数学家莱布尼茨、瑞士数学家欧拉和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，除了解方程外，还把它用于微积分等方面进行应用研究，得到很多有价值的结果．1777年，欧拉系统地建立了复数理论，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上；欧拉首先用符号“i”作为虚数的单位，并定义1797年，挪威数学家维赛尔在平面内引进数轴，以实轴与虚轴所确定的平面向量表示虚数，不同的向量对应不同的点，他还用几何术语定义了虚数与向量的运算，揭示了虚数及其运算所具有的几何意义．
十八世纪末十九世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时，就应用并论述了卡尔丹所设想的新数，并首次引进了“复数”这个名词，把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．这样历经300年的努力，数系从实数系到复数系的扩张才基本完成，复数才被人们广泛承认和使用．
复数在数学中起着重要的作用，除了上述的代数基本定理外，还有“实系数的一元n次方程虚根成对出现”定理等，特别是以复数为变量的“复变函数论”，是数学中一个重要分支．十九世纪，复变函数论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程，概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支．同时，它在电学、热力学、
弹性理论和天体力学等方面都得到了实际应用．
虚数不虚
在学习开方时，总是要再三强调，被开方数一定要是非负数，被开方数为负数时，开方没有意义，众所周知，人们对事物的认识总是螺旋式上升的。
现在，我们知道对负数进行开方可以用来表示一个虚数。
在很久以前，大多数学家都认为负数没有平方根。
到1545年，意大利数学家卡尔丹在所著《重要的艺术》的第37章中列出并解出把10分成两部分，使其乘积为40的问题，方程是ｘ（10－ｘ）＝40，他求得根为，然后说，"不管会受到多大的良心责备"，把相乘，得乘积为25－（－15）或即40，卡尔丹在解三次方程时，又一次运用了负数的平方根。
卡尔丹肯定了负数的平方根的用处，但当时，人们对它的认识也仅止于此。
"实数"、"虚数"这两个词是由法国数学家笛卡尔在1637年率先提出来的。
而用ｉ＝表示虚数的单位是18世纪著名数学家欧拉的功绩。
后来的人在这两个成果的基础上，把实数和虚数结合起来，记成ａ＋ｂ
ｉ形式，称为复数。
在虚数刚进入数的领域时，人们对它的用处一无所知，实际生活中也没有用复数来表示的量，因而，最初人们对虚数产生怀疑和有一种不接受的态度。
莱布尼兹称虚数是既存在又不存在的两栖物。
欧拉尽管用它，但也认为虚数是虚幻的。
测量学家维塞尔用ａ＋ｂｉ表示平面上的点。
后来，高斯的复平面的概念，使复数有了真正的立足之地，从此复数就开始表示向量（有方向的数量），在水力学、地图学、航空学中有着日益广泛的应用。
复数来表示的量，因而，最初人们对虚数产生怀疑和有一种不接受的态度。
莱布尼兹称虚数是既存在又不存在的两栖物。
欧拉尽管用它，但也认为虚数是虚幻的。
测量学家维塞尔用ａ＋ｂｉ表示平面上的点。
后来，高斯的复平面的概念，使复数有了真正的立足之地，从此复数就开始表示向量（有方向的数量），在水力学、地图学、航空学中有着日益广泛的应用。