实数系到复数系的发展史

实数系到复数系的发展史

数的概念是从实践中产生和发展起来的．早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了自然数；随着生产和科学的发展，数的概念也得到了发展：为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了满足记数需要和表示具有相反意义的量，人们引进了负数；为了解决开方开不尽的矛盾，人们引进了无理数；在解方程时，为了使负数开平方有意义，人们就

引进了虚数，使实数域扩大到复数域．

十六世纪中叶，意大利数学家卡尔丹在解一元二次方程和一元三次方程时，分别得到类似下面的结果：由于负数在实数系内没有平方根，于是他首先产生了将负数开平方的思想，基于自己的设想，卡尔丹研究了类似于的新数，并进行了计算．后来又有一位意大利数学家帮加利探究了这类新数的运算法则．但最初，人们对复数的概念和性质的了解不甚清楚，对于卡尔丹将40表示成的乘积认为只不过是一种纯形式的表示而已，莫名其妙；再者用这类新数的运算法则计算又会得到一些矛盾，因而长期以来，人们把复数看作是不能接受的“虚数”．直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，以及这个时期复数有了几何的解释，“虚数”才被揭去缥缈的面纱，渐露端倪．1637年，法国数学家笛卡尔正式开始使用“实数”、“虚数”这两个名词；同一时期，德国数学家莱布尼茨、瑞士数学家欧拉和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，除了解方程外，还把它用于微积分等方面进行应用研究，得到很多有价值的结果．1777年，欧拉系统地建立了复数理论，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上；欧拉首先用符号“i”作为虚数的单位，并定义1797年，挪威数学家维赛尔在平面内引进数轴，以实轴与虚轴所确定的平面向量表示虚数，不同的向量对应不同的点，他还用几何术语定义了虚数与向量的运算，揭示了虚数及其运算所具有的几何意义．

十八世纪末十九世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时，就应用并论述了卡尔丹所设想的新数，并首次引进了“复数”这个名词，把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．这样历经300年的努力，数系从实数系到复数系的扩张才基本完成，复数才被人们广泛承认和使用．

复数在数学中起着重要的作用，除了上述的代数基本定理外，还有“实系数的一元n次方程虚根成对出现”定理等，特别是以复数为变量的“复变函数论”，是数学中一个重要分支．十九世纪，复变函数论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程，概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支．同时，它在电学、热力学、

弹性理论和天体力学等方面都得到了实际应用．

虚数不虚

在学习开方时，总是要再三强调，被开方数一定要是非负数，被开方数为负数时，开方没有意义，众所周知，人们对事物的认识总是螺旋式上升的。现在，我们知道对负数进行开方可以用来表示一个虚数。

在很久以前，大多数学家都认为负数没有平方根。到1545年，意大利数学家卡尔丹在所著《重要的艺术》的第37章中列出并解出把10分成两部分，使其乘积为40的问题，方程是ｘ（10－ｘ）＝40，他求得根为，然后说，"不管会受到多大的良心责备"，把相乘，得乘积为25－（－15）或即40，卡尔丹在解三次方程时，又一次运用了负数的平方根。卡尔丹肯定了负数的平方根的用处，但当时，人们对它的认识也仅止于此。

"实数"、"虚数"这两个词是由法国数学家笛卡尔在1637年率先提出来的。而用ｉ＝表示虚数的单位是18世纪著名数学家欧拉的功绩。后来的人在这两个成果的基础上，把实数和虚数结合起来，记成ａ＋ｂ

ｉ形式，称为复数。

在虚数刚进入数的领域时，人们对它的用处一无所知，实际生活中也没有用复数来表示的量，因而，最初人们对虚数产生怀疑和有一种不接受的态度。莱布尼兹称虚数是既存在又不存在的两栖物。欧拉尽管用它，但也认为虚数是虚幻的。

测量学家维塞尔用ａ＋ｂｉ表示平面上的点。后来，高斯的复平面的概念，使复数有了真正的立足之地，从此复数就开始表示向量（有方向的数量），在水力学、地图学、航空学中有着日益广泛的应用。

复数来表示的量，因而，最初人们对虚数产生怀疑和有一种不接受的态度。莱布尼兹称虚数是既存在又不存在的两栖物。欧拉尽管用它，但也认为虚数是虚幻的。

测量学家维塞尔用ａ＋ｂｉ表示平面上的点。后来，高斯的复平面的概念，使复数有了真正的立足之地，从此复数就开始表示向量（有方向的数量），在水力学、地图学、航空学中有着日益广泛的应用。