概率论第二章补充练习答案

《概率论》第二章 练习答案

一、填空题：

1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨

⎧0

2x 其它

1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复

的观察中事件(X≤

21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。

⎰

==

≤

41

20

2

1)2

1(xdx X P 64

9)43()41()2(1

223=

==C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：

ax+b 0

f (x) =

0 其他 且EX ＝

3

1，则a = _____-2___________， b = _____2___________。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+=+→

⎰⎰解之31)(0

11)(0

1

dx b ax x dx b ax 3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 12 4. 设=

+==）（，则，为随机变量，

1041132

ξξ

ξξE E E 22104=+ξE

=+)104(ξD [

]

3216162

2

=-=）（ξξ

ξE E D

5. 已知X 的密度为=)(x ϕ

b ax +

且

其他,10<

1<

x ）

=P(X>3

1

) ， 则a = , b =

⎰⎰⎰

+=+⇒==+∞

∞

-101

33

1

3

131

1

dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：

4

72

3=

-

=b a ，

6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰

+∞

∞

-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。

7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩

⎪⎨⎧≥<≤<=2

,110,

4/0

,0)(2

x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。

8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝

()

⎪⎩

⎪⎨⎧≥)(0100100

2其他x x

，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不

需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2

100x

x≥100

∴ ϕ(x)=

0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰

=

-+

=+

=150

100

150

100

2

3

213

211001100x

dx x

[P(ξ≥150)]3=(

3

2)3=

27

8

9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________，

P ＝_________________。

EX = np = 1.6

DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2

10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝9

5，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。

解：

11. 随机变量X ～N （2， σ2），且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿

%

2.8081

6581

1614

014

==

-

=-=q

p C

o )

0(1)1(=-=≥Y P Y p 3

1,329

4)

0(9

4)1(9

5)1(2

=

=

⇒=

∴===

〈⇒=≥p q q

X p X p X p

2

.08.01)2

(

1)2

(2

008.05.03.0)2

(

,3.0)0()2

(

3

.02

22

42442000

0000

=-=Φ-=-

Φ=-Φ=<=+=Φ=Φ-Φ=-Φ--Φ=<-<=<<σ

σσ

σ

σ

σ

σ

）（）（再代入从而即：）（）（）（）（）（X P X P X P X P

12. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望)(2X e X E -+= ___4/3________ 3

43

1110

222=

+

=⋅+

=+=+⎰

+∞

----dx e

e

Ee

EX e

X E x

x

X

X

）（

13. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X －2的期望 E (Z)＝3EX-2=3x2-2=4 。

14．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P ( X= 1) = P ( X=2 ) 则E (X) = __2_______. D (X) = __2___________.

02!

2!12

2

=-⇒=

--λλλ

λ

λ

λ

e

e

∴)0(2舍==λλ

15. 若随机变量ξ服从参数λ=0.05的指数分布，则其概率密度函数为：

=)(x φ⎩

⎨

⎧<≥-,

0,005.005.0x x e x

；E ξ= 20 ；D ξ= 400 。

16. 设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7，活到15岁以上的概率为0.2，则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为286

.0727

.02.0)

10()15()10/15(===>>=

>>ξξξξ

P P P

17. 某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在

一小时内有4个用户使用电话的概率为 P 3(4)=0.168031

解：算：

利用泊松定理作近似计,99.0*01.0*4300)4()

01.0,300(~296

4⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==X P b X

一小时内使用电话的用户数服从301.0300=⨯==np λ的泊松分布

18 通常在n 比较大，p 很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式，其期望为 n p =λ ，方差为 n p =λ

19．618.0)3(,045.0)5(),,(~2

=≤=-