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数学分析
湖南人文科技学院
第十章 定 积 分的应用
§1平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的弧长 §4 旋转曲面的面积
§5 定积分在物理中的应用 §6 定积分的近似计算
小结与习题
数学分析
（一）直角坐标系下的面积公式
湖南人文科技学院
由连续曲线y=f(x)(≥0),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形
b
S a | f ( x) g( x) | dx
y
y=f(x)
oa
y=g(x) x
b
数学分析
湖南人文科技学院
例1 计算由两条抛物线y2=x,和y=x2所围成的图形的 面积.
解 两曲线的交点 为(0,0),(1,1),选x为积 分变量, x[0,1]
y
x y2
A
1
0 (
x x2 )dx
2 3 x3 1 3 x 2 3 0
的面积S为
y
y=f(x)
b
S a f ( x)dx
x
oa
b
数学分析
湖南人文科技学院
(2)若函数f(x)在[a,b]上连续,且对任意x[a,b], f(x)≤0,
则由曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0所围成的平面图形的面积S为
y
a
b
x
b
S a f ( x)dx
o
y=f(x)
数学分析
湖南人文科技学院
y
4ab 2 sin2 tdt 0
ab.
t
x
O
数学分析
湖南人文科技学院
例5 求由摆线x=a(t-sint), x=a(1-cost)(a>0)的一拱与
x轴所围成的平面图形的面积.
解: 摆线的一拱可取t[0,2],故所求面积为
y
A a2 2 (1 cos t )2 dt 0
ta
3 a2 .
1. 3
O
y x2
x
数学分析
湖南人文科技学院
例2
求曲线
y
1 2
x2,y
1 1 x2
, 与直线x=2,x=-2
所围成的图形的面积.
y
y 1 x2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
y 1 1 x2
O 12 x
-1
下页
数学分析
湖南人文科技学院
解: 由对称性,所围图形关于y轴对称,因此只要求第一 象限部分的两倍即可.
S
2
2
|
0
1 2
x2
1
1 x
2
| dx
2
11
0
( 1
x2
1 2
x2 )dx
2
21 ( 12
x2
1
1 x
2
)dx
2( 1) 2(7 arctan 2 )
46 6
4
2 arctan 2.
数学分析
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例3 计算抛物线y2x 与直线x2y-3=0所围成的图形
的面积. 解:易求得两曲线的交点为:(1,1)，(9,3). 图形在y轴
可微,且 (t) 0. )则曲边梯形的面积为
A | (t) (t) | dt.
数学分析
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例4
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的面积.
解:
椭圆的参数方程
x
y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A 4 2 | bsin t(a cos t) | dt 0
上的投影为区间[1,9].
故所求面积为
S 3 (2 y 3 y2 )dy 1
32 .
3
(-1,1)
首页
数学分析
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（二）参数函数的面积公式
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
(
t
)
其中 y (t) 在[,]上连续, x (t) 在[,]上可微,且
(t) 0, (或 x (t) 在[,]上连续, y (t) 在[,]上
O
x
2a
数学分析
三、极坐标系的面积计算
设由曲线r= r()及射线 、 围成一曲边扇形,求其面积. 这里, r()在[, ]上连续，且 r()
面积元素 dA 1[ ( )]2 d
2
曲边扇形的面积
A 1[ ( )]2 d . 2
湖南人文科技学院
d
r r( )
d
o
x
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解 由对称性知
d
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20
a2
(1 2cos cos2 )d
0
a2
23
2 sin
1 4
sin
2
0
3 2
a2 .
例6 求双纽线 2 a 2 cos 2 所围平面图形的面积.
解 由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍, 所以
y x
A1
2 a2 cos 2
A 4A1
4
4
0
1 a2 cos 2 d
2
a2.
数学分析
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例7 求心形线
r a(1 cos ), (a 0)
所围平面图形的面积.
湖南人文科技学院
(3)若f(x)和g(x)都在[a,b]上连续,且对任意x[a,b],
g(x)≤ f(x),则由曲线y=f(x), x=a,x=b,y=g(x)所围成的平面
图形的面积S为
f(x) y
b
S a ( f ( x) g( x))dx
g(x)
O
x
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(4)若f(x)和g(x)都在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x), x=a, x=b,y=g(x)所围成的平面图形的面积S为
(3)若f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x), x=a,x=b,y=0
所围成的平面图形的面积S为
S S1 S2 S3
c1 f ( x)dx
c2 f ( x)dx
b
f (x)dx
a
c1
c2
b
| f ( x) | dx y a
y=f(x)
S1
S3
oa
c1 S2 c2
x b
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第十章 定 积 分的应用
§1平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的弧长 §4 旋转曲面的面积
§5 定积分在物理中的应用 §6 定积分的近似计算
小结与习题
数学分析
（一）直角坐标系下的面积公式
湖南人文科技学院
由连续曲线y=f(x)(≥0),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形
b
S a | f ( x) g( x) | dx
y
y=f(x)
oa
y=g(x) x
b
数学分析
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例1 计算由两条抛物线y2=x,和y=x2所围成的图形的 面积.
解 两曲线的交点 为(0,0),(1,1),选x为积 分变量, x[0,1]
y
x y2
A
1
0 (
x x2 )dx
2 3 x3 1 3 x 2 3 0
的面积S为
y
y=f(x)
b
S a f ( x)dx
x
oa
b
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(2)若函数f(x)在[a,b]上连续,且对任意x[a,b], f(x)≤0,
则由曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0所围成的平面图形的面积S为
y
a
b
x
b
S a f ( x)dx
o
y=f(x)
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y
4ab 2 sin2 tdt 0
ab.
t
x
O
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例5 求由摆线x=a(t-sint), x=a(1-cost)(a>0)的一拱与
x轴所围成的平面图形的面积.
解: 摆线的一拱可取t[0,2],故所求面积为
y
A a2 2 (1 cos t )2 dt 0
ta
3 a2 .
1. 3
O
y x2
x
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例2
求曲线
y
1 2
x2,y
1 1 x2
, 与直线x=2,x=-2
所围成的图形的面积.
y
y 1 x2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
y 1 1 x2
O 12 x
-1
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解: 由对称性,所围图形关于y轴对称,因此只要求第一 象限部分的两倍即可.
S
2
2
|
0
1 2
x2
1
1 x
2
| dx
2
11
0
( 1
x2
1 2
x2 )dx
2
21 ( 12
x2
1
1 x
2
)dx
2( 1) 2(7 arctan 2 )
46 6
4
2 arctan 2.
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例3 计算抛物线y2x 与直线x2y-3=0所围成的图形
的面积. 解:易求得两曲线的交点为:(1,1)，(9,3). 图形在y轴
可微,且 (t) 0. )则曲边梯形的面积为
A | (t) (t) | dt.
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例4
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的面积.
解:
椭圆的参数方程
x
y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A 4 2 | bsin t(a cos t) | dt 0
上的投影为区间[1,9].
故所求面积为
S 3 (2 y 3 y2 )dy 1
32 .
3
(-1,1)
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（二）参数函数的面积公式
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
(
t
)
其中 y (t) 在[,]上连续, x (t) 在[,]上可微,且
(t) 0, (或 x (t) 在[,]上连续, y (t) 在[,]上
O
x
2a
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三、极坐标系的面积计算
设由曲线r= r()及射线 、 围成一曲边扇形,求其面积. 这里, r()在[, ]上连续，且 r()
面积元素 dA 1[ ( )]2 d
2
曲边扇形的面积
A 1[ ( )]2 d . 2
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d
r r( )
d
o
x
数学分析
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解 由对称性知
d
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20
a2
(1 2cos cos2 )d
0
a2
23
2 sin
1 4
sin
2
0
3 2
a2 .
例6 求双纽线 2 a 2 cos 2 所围平面图形的面积.
解 由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍, 所以
y x
A1
2 a2 cos 2
A 4A1
4
4
0
1 a2 cos 2 d
2
a2.
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例7 求心形线
r a(1 cos ), (a 0)
所围平面图形的面积.
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(3)若f(x)和g(x)都在[a,b]上连续,且对任意x[a,b],
g(x)≤ f(x),则由曲线y=f(x), x=a,x=b,y=g(x)所围成的平面
图形的面积S为
f(x) y
b
S a ( f ( x) g( x))dx
g(x)
O
x
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(4)若f(x)和g(x)都在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x), x=a, x=b,y=g(x)所围成的平面图形的面积S为
(3)若f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x), x=a,x=b,y=0
所围成的平面图形的面积S为
S S1 S2 S3
c1 f ( x)dx
c2 f ( x)dx
b
f (x)dx
a
c1
c2
b
| f ( x) | dx y a
y=f(x)
S1
S3
oa
c1 S2 c2
x b
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