矩形脉冲信号的分解与合成实验报告

理论值（电压峰峰值，v）
测量值（电压峰峰值，v）
（2）完成实验步骤 3，填写表 3，可适当添加认为有必要演示的波形。
六、实验要求
（1）完成实验步骤 1、2，填写表 1、表 2。
表 1 500Hz 方波信号的频谱
谐波频率
f0 2 f0 3 f0 4 f0 5 f0 6 f0 7 f0
理论值（电压峰峰值，v）
测量值（电压峰峰值，v）
表 2 占空比 τ = 25% 的 500Hz 矩形脉冲信号的频谱 T
谐波频率
f0 2 f0 3 f0 4 f0 5 f0 6 f0 7 f0
基波，它的频率与基波频率相同；当 k = 2 时，即为 c2 cos(2ω0t + ϕ2 ) ，称此为二次
-1-
谐波，它的频率是基波频率的二倍；依次类推， ck cos(kω0t + ϕk ) 称为 k 次谐波， 而相应的 ck 为 k 次谐波分量的振幅；ϕk 为 k 次谐波分量的初始相位。
利用式（2）可以将信号分解成直流分量及许多余弦分量，研究其频谱分布 情况。
波形合成同样利用 DSP 芯片完成，DSP 将参与合成的谐波相加从 TP8 输出。 三、实验设备 3.1 信号与系统实验箱 一台
本实验采用了凌特公司生产的 LTE-XH-03A 信号与系统综合实验箱。该实验 箱是专门为《信号处理与系统》课程而设计的，提供了信号的频域、时域分析等 实验手段；自带实验所需的电源、信号发生器、扫频信号源、数字电压表、数字 频率计，并且采用了 DSP 数字信号处理新技术，将模拟电路难以实现或结果不 理想的实验得以准确地演示，并能生动地验证理论结果。
-5-
波形合成时为合成波形的输出。 S2：复位开关。 SW1：4 位拨码开关。
图 6 数字信号处理模块的主要器件
3.2 双踪示波器 一台 本实验采用 GDS-1102 100MHz 数字存储示波器，可以直接利用示波器的
“save”按键存储当前示波器的显示内容至 SD 卡内。 四、实验内容
（1）方波信号的分解。调整“信号源及频率计模块”各主要器件，通过 TP1~TP8 观察 500Hz 方波信号的各次谐波，并记录各次谐波的峰峰值。
k =−∞
（3）
∫ 式中
Xk
=
1 T
T /2 −T /2
x(t)e−
jkω0t
dt
。计算出指数形式的复振幅
X
k
后，再利用单边幅度
谱和双边幅度谱的关系：Ck
=
⎧⎪2 X
⎨ ⎪⎩
X
0
k
,
,
k ≠ 0 ，即可求出第 k 次谐波对应的振幅。 k =0
E
τ
T 图 2 周期矩形脉冲信号
上图所示的幅度为 E，脉冲宽度为τ ，周期为T 的周期矩形脉冲信号，如果
（2）矩形波信号的分解。将矩形脉冲信号的占空比变为 25%，再通过 TP1~TP8 观察 500Hz 矩形脉冲信号的各次谐波，并记录各次谐波的峰峰值。
（3）方波的合成。将矩形脉冲信号的占空比再变为 50%，通过调节 8 位拨 码开关，观察不同组合的方波信号各次谐波的合成情况，并记录实验结果。 五、实验步骤
An
0 ω0 3ω0 5ω0
ω
(a)
(b)
(c)
图 1 信号的时域特性和频域特性
信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图 1
来形象地表示。其中图(a)是信号在幅度－时间－频率三维坐标系统中的图形；
图(b)是信号在幅度－时间坐标系统中的图形即波形图；图(c)是信号的幅度谱。
在本实验中只研究信号幅度谱。周期信号的频谱有三个性质：离散性、谐波性、
号，只要满足荻里赫勒(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式 的傅里叶级数。由于三角形式的傅里叶级数物理含义比较明确，所以本实验利用 三角形式实现对周期信号的分解。
一个周期为T 的时域周期信号 x(t) ，可以在任意 (t0 ,t0 + T ) 区间，精确分解为 以下三角形式傅里叶级数，即
∞
∑ x(t) = a0 + (ak cos kω0t + bk sin kω0t) k =1
（1）
∫ ∫ 式
中
，
ω0
=
2π T
称
为
基
波
频
率
，
a0
=
1 T
t0 +T x(t)dt
t0
，
ak
=2 T
t0 t0
+T
x(t)
cos
kω0tdt
，
∫ bk
=
2 T
t0 t0
+T
x(t)
sin
kω0tdt
。 a0、 ak、bk
在本实验中，应首先将“数字信号处理模块”的四位拨码开关 SW1 调节到 “0101”（on 时为 1）并保持不变，有需要时还应按下 DSP 复位开关 S2。 5.1 方波信号的分解
①连接“信号源与频率计模块”的模拟输出端口 P2 与“数字信号处理模块” 的模拟输入端口 P9。
②将“信号源及频率计模块”的模式切换开关 S2 置信号源方式，扫频开关 S3 置 off，利用波形切换按钮 S4 产生矩形波（默认方波），利用频率调节按钮 ROL1 保证信号频率为 500Hz。
③将“数字信号处理模块”模块的 8 位拨码开关调节为“00000000”。
-6-
④打开信号实验箱总电源（右侧边），打开各 2 个模块供电开关，通过 TP1~TP8 观察各次谐波，并测量峰峰值。
5.2 矩形波信号的分解
①按下“信号源及频率计模块”的频率调节按钮 ROL1 约 1 秒钟后，数码管 左边显示 dy，右边显示 50，表示此时矩形波的占空比 τ 为 50%。
= 2 Xk
= 2Eτ T
Sa
⎛ ⎜⎝
kω0τ 2
⎞ ⎟⎠
。
由上式可见第 k 次谐波的振幅与 E 、 T 、τ 有关。 2.3 信号的分解提取
进行信号分解和提取是滤波系统的一项基本任务。当我们仅对信号的某些分 量感兴趣时，可以利用选频滤波器，提取其中有用的部分，而将其它部分滤去。
测量多个谐波的振幅时，测量方法可以采用同时分析法和顺序分析法。同时 分析法的基本工作原理是利用多个滤波器，把它们的通带中心频率分别调到被测 信号的各个频率分量上。当被测信号同时加到所有滤波器上时，通带中心频率与 信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。在被测信号发生的实际 时间内可以同时测得信号所包含的各频率分量。在本实验中采用同时分析法进行 频谱分析，如图 3 所示。
该实验系统由以下 9 个模块组成：
图 4 实验箱整体架构
本实验主要使用了“信号源及频率计模块”S2 以及“数字信号处理模块” S4。 ①信号源及频率计模块
信号源可提供三种波形的模拟信号，分别为：正弦波、三角波、矩形波。这 三 种 波 形 的 频 率 可 以 通 过 “ ROL1 ” 来 调 节 ， 正 弦 波 频 率 的 可 调 范 围 为 ： 10Hz~2MHz，三角波和方波频率的可调范围为：10Hz ~100KHz。模拟信号输出 幅度可由“模拟输出幅度调节”旋钮控制，可调范围为：0V~5V。
图 5 简要标示了实验中用到的“信号源及频率计模块”上的相应器件，其中， P2：模拟信号输出端口。 W1：模拟信号输出幅度调节旋钮。 S1：模块的供电开关。
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S2：模式切换开关。开关拨上选择“信号源”模式，开关拨下选择“频率计 模式”。
S3：扫频开关。当开关拨向上拨时，开始扫频；当开关向下拨时，停止扫频。 S4：波形切换开关。有正弦波、三角波、矩形波三种波形可供切换。选择其 中一种波形后，该波形相应的指示灯会亮。在方波模式下，会涉及到矩形波占空 比的调节，具体方法如下：按开关 S4 将波形切换到方波；在方波模式下，按下 “ROL1”约 1 秒钟后，频率计上数码管会显示“dy”；当数码管显示“dy”和数 字时，可以通过调节“ROL1”来调节矩形波的占空比，其可调范围是 6%~93%。 S5：扫频设置按钮。当 S3 拨为“OFF”时，输出单频信号。 ROL1：模拟信号频率调节。顺时针旋转增大频率，逆时针旋转减小频率。 轻按可选择信号源频率步进。频率旋钮下有三个标有×10、×100、×1K 的指示 灯指示频率步进，将亮灯的步进值相乘即可得到频率步进值。
信号分解
被测信号
滤波器1 滤波器2 滤波源自文库3
一次谐波 二次谐波 三次谐波
...
滤波器8
八次及以 上谐波
信号合成
∑
合成的信号
图 3 用同时分析法进行频谱分析
目前 DSP 数字信号处理系统构成的数字滤波器已基本取代了传统的模拟滤 波器，数字滤波器与模拟滤波器相比具有许多优点，如灵活性高、精度高和稳定 性高，体积小、性能高，便于实现等。因此本实验采用数字滤波器组来实现信号 的分解。在数字信号处理模块，选用了有 8 路输出的 D/A 转换器 TLV5608，因 此数字滤波器组的滤波器个数为 8。分别利用一个低通、六个带通、一个高通滤 波器得到一次谐波、二至七次谐波，八次及以上谐波。分解输出的 8 路信号可以 用示波器观察，测量点分别是 TP1、TP2、TP3、TP4、TP5、TP6、TP7、TP8。 2.4 信号的合成
该信号为偶信号的话，其复振幅为
-2-
∫ X k
=
1 T
T /2 x(t) ⋅ e− jkω0t dt = Eτ Sa kω0τ
−T /2
T2
（4）
即使待分解的周期矩形脉冲信号不是偶信号，利用傅里叶系数的时移性质，
x(t − t0 ) ↔ X ke− jkω0t0 ，可以得出第 k 次谐波的振幅 Ck
图 5 信号源及频率计模块的主要器件
②数字信号处理模块 该模块可以完成多个实验内容，通过 4 位拨码开关 SW1 开关的不同设置，
可加载 EPROM 中的不同的程序，以选择不同的实验。本实验中 SW1 的开关需 设为 0101
图 6 简要标示了实验中用到的“数字信号处理模块”上的相应器件，其中， P9：模拟信号输入。 P1、P2、P3：这三个插孔是分别是基波、二次谐波、三次谐波的输出点（其 对应的信号观测点分别为 TP1、TP2、TP3）。 S3：对应着 8 位拨码开关。分别为各次谐波的叠加开关，只要有开关闭合， 意味着进行信号合成实验；所有开关都断开，意味着进行信号分解实验。 TP1~TP8：各次谐波观测点，其中 TP8 在波形分解时为八次及以上谐波，在
∫ 收敛性。对信号
Xk
=
1 T
T /2 x(t) ⋅ e− jkω0tdt = Eτ Sa kω0τ 幅度谱进行测量时利用了这
−T /2
T2
些性质。从幅度谱上可以直观地看出各频率分量所占的比重。
2.2 矩形脉冲信号的幅度谱
一般利用指数形式的傅里叶级数计算周期信号的幅度谱。
∞
∑ x(t) =
X k e jkω0t
T ②旋转 ROL1，将矩形波的占空比变为 25%。 ③再次通过 TP1~TP8 观察各次谐波，并测量峰峰值。 5.3 方波的合成
①将矩形波的占空比变为 50％。 ②将“数字信号处理模块”模块的 8 位拨码开关 S3 的第 1 位拨至 1，其余 为 0，通过 TP1 观察基波信号，并与 TP8 处信号进行比较。 ③再将开关 S3 的第 2 位拨至 1，3~8 位拨至 0，通过 TP8 观察一次与二次谐 波的合成波形。 ④以此类推，按实验要求调节拨码开关的 1~8 位，观察不同谐波的合成情况， 并记录实验结果。
分别代表了信号
x(t)
的直流分量、余弦分量和
正弦分量的振荡幅度。
将式（1）中的同频率的正余弦项合并，得到
∞
∑ x(t) = c0 + ck cos(kω0t + ϕk ) k =1
（2）
其中，c0 = a0 ，ck =
ak2
+ bk2
，tgϕk
=
−bk ak
。c0 为周期信号的平均值，它是周期
信号 x(t) 中包含的直流分量；当 k = 1 时，即为 c1 cos(ω0t + ϕ1) ，称此为一次谐波或
周期矩形脉冲信号的分解与合成 实验指导书
一、实验目的
¾ 进一步了解信号分解与合成原理 ¾ 掌握方波信号谐波分量的特点 ¾ 观察不同的谐波分量合成的信号波形 ¾ 进一步了解 Gibbs 现象 ¾ 加深对滤波器的理解
二、实验原理
2.1 信号的时域特性与频域特性 时域特性和频域特性是信号的两种不同的描述方式。一个时域上的周期信
经过前面的信号分解之后，可以选择多种组合进行波形合成，例如可选择基 波和三次谐波的合成，可选择基波、三次谐波和五次谐波的合成等等，也可以将 各次谐波全部参于信号合成。
-3-
电路中用一个 8 位的拨码开关 S3 分别控制各路滤波器输出的谐波是否参加 信号合成。把拨码开关 S3 的第 1 位闭合，则基波参于信号的合成；把开关 S3 的第 2 位闭合，则二次谐波参于信号的合成；依此类推，若 8 位开关都闭合，则 各次谐波全部参于信号合成。