普通物理学教程力学第八章 弹性体的应力和应变课后答案

第八章弹性体的应力和应变

习题解答

8.1.1 一钢杆的截面积为5.0×10-4m 2，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B ，B 、C 和C 、D 之间的应力。

N F N F N F N F 4

44

34

24

1103,105,108,106⨯=⨯=⨯=⨯=

解： E G H

F F 4 根据杆的受力情况，可知杆处于平衡状态。分别在AB 之间E 处，BC 之间

G 处，CD 之间

H 处作垂直杆的假想截面S 。

隔离AE 段，由平衡条件，E 处S 面上的内力F=F 1,∴A 、B 之间的应力 2

810

0.51061/102.1//4

4m N S F S F ⨯==

==-⨯⨯σ

隔离AG 段，由平衡条件，G 处S 面上的内力F=F 2-F 1,∴B 、C 之间压应力

2

810

0.510)68(/104.04

4

1

2m N s

F F ⨯-=-

=-

=-⨯⨯--σ

隔离HD 段，由平衡条件，H 处S 面上的内力F=F 4,∴C 、D 之间的应力 2

810

0.51034/106.0//4

4m N S F S F ⨯==

==-⨯⨯σ

8.1.2 利用直径为0.02m 的钢杆CD 固定刚性杆AB.若CD 杆内的应力不得超过σmax =16×10

7

P a

.问B 处最多能悬挂多大重量？

解：隔离AB ，以A 点为轴，由力矩平衡条件，有

T W W T 39.0)6.00.1(0.12

2

8

.00.18.0=∴+⨯=⨯⨯

+

隔离CD ，杆CD 应力 σ=T/S,∴T=σS=σπ(D/2)2

. 杆能承受的最大拉力 4

7

24

1max 4

max 1002.510

1602.014.32

⨯=⨯⨯⨯⨯==

σπD T N

B 处能悬挂的最大重量 N T W 4

m

a x

m

a x 1096.139.0⨯==

8.1.3 图中上半段为横截面等于4.0×10-4m 2。且杨氏模量为6.9×1010P a 的铝制杆，下半段为横截面等

于1.0×10-4

m 2

且杨氏模量为19.6×1010

P a 的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为7.8×107

P a ,钢杆内允许最大

应力为13.7×107P a .不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。

解：设铝杆与钢杆的长度、横截面、杨氏模量、应力分别为：l 1、S 1、Y 1、σ1，l 2、S 2、Y 2、σ2., 显

然，σ1=F/S 1，σ2=F/S 2.

设铝杆和钢杆所能承担的最大负荷分别为F 1max ，F 2max ，则

N S F 4

4

7

1max 1max 11012.310

0.4108.7⨯=⨯⨯⨯==-σ

N S F 4

4

72max

21max 21037.110

0.1107.13⨯=⨯⨯⨯==-σ

整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷：N F 4max 1037.1⨯=

根据拉伸形变的胡克定律，对于铝杆

1

11

max l l S F Y

∆=，所以，

1

11max 1S Y l F l =

∆；对于钢杆，同样有 2

22max 2S Y l F l =

∆. 整个杆的伸长量是：

(

max 21F l l l =∆+∆=∆+

1

11S Y l )2

22S Y l

m 3

10

0.110

6.190

.210

0.410

9.60

.34

10

89.2)(

1037.14

10

4

10

-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+

⨯=--

8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂。电梯质量为500kg 。最大负载极限5.5kN 。每根钢索都

能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索直径为多少？

将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为 6.0×108P a . T T T

解：设每根钢索承受拉力为T,电梯自重为 W=mg,负荷为W'=m'g.由牛顿第二定律， N

W mg W mg g m m W W T g m m a m m W W T 3

3

3

1311016.4)105.58.9500(4.0)

'(4.0)'2.12.1(]

)'(2.0'[)'(2.0)'('3⨯=⨯+⨯⨯=+=+=

+++=+=+=--

设钢索直径为D ，每根钢索的应力 2

)

5.0(D T

πσ=

mm

m T D 15.610

15.6)

100.67.014.3/(1016.42)/(23

8

3

=⨯=⨯⨯⨯⨯==∴-πσ

8.1.5 ⑴矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε，此材料的泊松系数为μ，求证杆体积的相对改变为 (V -V 0)/V 0=ε(1-2μ)，V 0表示原体即，V 表示形变后体积. ⑵上式是否适用于压缩？⑶低碳钢杨氏模量为Y=19.6×1010P a ，泊松系数μ=0.3，受到的拉应力为σ=1.37P a ，求杆件体积的相对改变。

解：⑴设杆原长为l 0，矩形截面两边原长分别为a 0和b 0，据线应变定义：轴向应变0

0l l l -=ε，横向应

变0

00

01a a a b b b --=

=

ε，所以：

01010)1(,)1(,)1(b b a a l l εεε+=+=+=，由泊松系数定义||

1ε

εμ=，拉伸时，ε>0, ε1<0, ∴ε1=-

με

)

)(21(1)1)(21(1

)1()1(1)1()1()1()1()1(2

2

2

2

10

000

00001010

000

000

略去高级小项

μεεεμεμεεμεεεεε-=-++-=-+-=-++=-+++=

-=

-l b a l b a l b a l b a l b a abl V V V ⑵对于压缩，ε<0, ε1>0,

仍有