2011年高考理科数学试题及答案-全国卷1

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）
理科数学
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数
212i
i
+-的共轭复数是（ ） （A ）35i - （B ）35
i （C ）i - （D ）i
（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）
单调递增的函数是（ ） （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -=
（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（ ）
（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040
（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每
位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3
4
（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）
（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45
（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为（ ）
（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）
（A 2 （B 3 （C ）2 （D ）3
（8）5
12a x x x x ⎛
⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40
（9）由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 （ ）
（A ）
103 （B ）4 （C ）16
3
（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 （ ）
12:10,3
P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤
+>⇔∈
⎥⎝⎦
3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤
->⇔∈ ⎥⎝⎦
其中的真命题是 （ ） （A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><
的最小正周期为π，且
()()f x f x -=，则 （ ） （A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,
44ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
（D ）()f x 在3,
44
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 (12)函数1
1-y x
=
的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若变量,x y 满足约束条件329,
69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 。

（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2
2。

过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。

（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥
O ABCD -的体积为 。

（16）在ABC 中，60,3B AC ==，则2AB BC +的最大值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9.a a a a a +==
（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
(18)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：P A ⊥BD ；
(Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

（19）（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B 配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t 的关系式为
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望.（以试验
结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） （20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA ，
MA AB MB BA ⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

（21）（本小题满分12分）
已知函数ln ()1a x b
f x x x
=
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k
f x x x
>+-，求k 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4 - 1：几何证明选讲
如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合。

已知AE 的长为m 、AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2
140x x mn -+=的两个根。

（Ⅰ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；
（Ⅱ）若90A ∠=︒，且4,6m n ==，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径。

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩
（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与C 1的异于极点的交点为A ，
与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .
(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1
x x ≤- ，求a 的值。

2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
一、选择题
（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题
（13）-6 （14）
22
1168
x y += （15） （16） 三、解答题 （17）解：
（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以2
19
q =。

由条件可知a>0,故13
q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113
a =。

故数列{a n }的通项式为a n =
13n。

（Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++
(12...)(1)2
n n n =-++++=-
故
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311
n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21
n
n -+ (18)解：
（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则()1,0,0A ,()03,0B ，,()
3,0C -,()0,0,1P 。

(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-
设平面PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则0,
0,
n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即
3030
x z -=-=
因此可取n=3,1,3)
设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,
m 0,
PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
可取m=（0，-1，3 27
cos ,727
m n =
=- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27
7
-
（19）解
（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的平率为228
=0.3100
+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为3210
0.42100
+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[)[)[]90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，,054, 0.42，因此
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X 的分布列为
X 的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20）解：
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以MA =（-x,-1-y ）, MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).
再由题意可知（MA +MB ）• AB =0, 即（-x,-4-2y ）• (x,-2)=0.
所以曲线C 的方程式为y=14x 2
-2. (Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '
=12x,所以l 的斜率为12x 0
因此直线l 的方程为0001()2
y y x x x -=-，即2
000220x x y y x -+-=。

则O 点到l 的距离2
002
04
d x =
+.又2
00124
y x =
-，所以 2
020220014
12(42,244
x d x x x +==+≥++
当2
0x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2. （21）解：
（Ⅰ）22
1
(
ln )
'()(1)x x b x f x x x
α+-=
-+
由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,
1'(1),2
f f =⎧⎪
⎨=-⎪⎩即
1,
1,22
b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩
解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1
f ()1x x x x
=
++，所以
22ln 1(1)(1)
()()(2ln )11x k k x f x x x x x x
---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)
k x x
-- (0)x >，则
22
(1)(1)2'()k x x
h x x
-++=。

(i)设0k ≤，由22
2
(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <。

而(1)0h =，故
当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得
2
1
()01h x x
>-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211
x - h （x ）>0
从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k
.
（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0, 故'
h (x ）>0, 而
h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得2
11
x -h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时'
h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得2
11
x - h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0] （22）解：
（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD×AB=mn=AE×AC, 即
AB
AE
AC AD =.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE ∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E 四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2,x 2=12.
故 AD=2，AB=12.
取CE 的中点G,DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ，因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.
由于∠A=900，故GH ∥AB, HF ∥AC. 从而HF=AG=5，DF= 2
1
(12-2)=5. 故C,B,D,E 四点所在圆的半径为52 （23）解：
（I ）设P(x,y),则由条件知M(
,22
x y
).由于M 点在C 1上，所以 2cos ,222sin 2x a y a ⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪=+⎪⎪⎩⎭
即 4cos 44sin x a y a =⎧⎫
⎨⎬=+⎩⎭
从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩
（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。

射线3
π
θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3
π
ρ=， 射线3
π
θ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
π
ρ=。

所以21||||AB ρρ-==. （24）解：
（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为
|1|2x -≥。

由此可得 3x ≥或1x ≤-。

故不等式()32f x x ≥+的解集为
{|3x x ≥或1}x ≤-。

( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组
30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30
x a
a x x ≤⎧⎨
-+≤⎩ 即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2
x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2
a x x ≤-
由题设可得2
a
-= 1-，故2a =。