2014_全国新课标卷2(理科数学)

则
即
n1· A→E＝ 0，
31 2 y＋ 2z＝ 0，
可取 n1＝
3 , 1, 3 .
m
又 n2＝ (1， 0， 0)为平面 DAE 的法向量，
由题设易知
|cos〈
n
1，
n
2〉
|＝
1 2
，即
3 3＋ 4m
2＝
1，解得 2
m＝
3 2.
因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥
E-ACD
的高为
1 2.三棱锥
BM ， AN 所成的角．设
BC＝ 1，则
B
1M
＝
1 2
B1
A1
＝
22，所以
MB
＝ 1＋ 12＝ 26＝ NE，AN＝AE ＝ 25，
在△ ANE 中，根据余弦定理得
6＋ 5－ 5
cos
4 ∠ ANE ＝
2×
44 ＝
6× 5 22
30 10 .
12． 设函数 f(x)＝ 3sinπmx，若存在 f( x)的极值点 x0 满足 x20＋ [ f(x0)] 2＜ m2，则 m 的取值 范围是 ( )
E-ACD 的体积
V＝
1× 3
1× 2
3
× 3× 1＝ 22
3 8.
19．[2014 新·课标全国卷Ⅱ ] 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 千元 )的数据如下表：
y(单位：
年份
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号 t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入 y
2
(2)证明
1 ＋ 1 ＋…＋ a1 a2
1
＜
3 .
an 2
1
1
17． 解： (1)由 an＋1 ＝ 3an＋ 1 得 an＋1＋ 2＝ 3 an
.
2
又 a1＋ 12＝ 32，所以
an
1 2
是首项为 32，公比为
3 的等比数列，所以
n
an＋
12＝
3 2
，因此
数列 { an} 的通项公式为
an＝
3
n－ 2
AC＝
1
2
21
2
2
＝ 1＝ AB，
2
易知 A 为直角，此时△ ABC 为直角三角形，所以
B 为钝角，即
B＝
3π 4
，所以
AC ＝
1 2 2 1 2 ( 2 ) ＝ 5. 2
5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是
0.75，连续两天为
优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
2014·新课标全国卷Ⅱ (理科数学 )
1． 设集合 M ＝ {0 ， 1，2} ， N＝ { x|x2－3x＋ 2≤ 0} ，则 M ∩N＝ (
)
A． {1} B． {2} C． {0 ，1} D． {1 ， 2}
[解析 ]D 集合 N＝ [1， 2]，故 M ∩ N＝ {1 ， 2} ．
2． 设复数 z1， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1＝ 2＋ i，则 z1z2＝ (
1＋ x20 ＝
1
，所以
sin α sin 45°
1＋ x20＝ 2sin
0≤ x20≤ 1，即－ 1≤ x0≤ 1，故符合条件的 x0 的取值范围为 [ －1， 1] ．
α ∈ [1， 2]，所以
17． 已知数列 { an} 满足 a1＝ 1， an＋1＝ 3an＋ 1.
1
(1)证明 an
是等比数列，并求 { an} 的通项公式；
2
1
2
＋ 3<m .因为
k
2
2
1 2
的最小值为 14，
所以只要
1 4m
2＋
3<m
2
成立即可，即
m2>4，解得 m>2 或 m<－ 2，故 m 的取值范围是 (－∞，
－ 2)∪ (2，＋∞ )． 13． ( x＋a)10 的展开式中， x7 的系数为 15，则 a＝ ________． (用数字填写答案 )
长，建立空间直角坐标系
Leabharlann Baidu
A-xyz，则 D( 0， 3， 0) ， E 0,
31 ,
，A→E＝ 0,
31 ,.
22
22
设 B(m， 0，0)( m>0) ，则 C(m， 3，0) ，A→C＝ (m， 3， 0)．
设 n1＝ (x，y， z)为平面 ACE 的法向量，
n1· A→C＝0， mx＋ 3y＝0，
16． 设点 M ( x0， 1)，若在圆 O： x2＋ y2＝ 1 上存在点 N，使得∠ OMN ＝ 45°，则 x0 的 取值范围是 ________．
16．[－ 1，1] [解析 ] 在△ OMN 中，OM ＝ 1＋ x20≥1＝ ON，所以设∠ ONM ＝ α，则 45°
≤ α <135° .根据正弦定理得
13 <.
a1 a2
an 2
18． 如图 1-3，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA⊥平面 ABCD ，E 为 PD 的 中点．
(1)证明： PB∥平面 AEC ；
(2)设二面角 D -AE-C 为 60°， AP＝ 1，AD＝ 3，求三棱锥 E-ACD 的体积．
图 1-3 18． 解： (1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO. 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点．
b
i1 n
2
ti t
， a? y b?t
i1
解： (1)由所给数据计算得
－t
＝
1 7(1＋
2＋3＋
4＋
5＋
6＋
7)＝
4，
－ y
＝
1 7(2.9
＋3.3＋
3.6＋
4.4
＋
4.8＋
5.2
＋
5.9)＝
4.3，
(ti － －t )(y i － －y ) ＝ (－ 3)× (－ 1.4) ＋ ( － 2)× ( － 1) ＋ ( － 1)× (－ 0.7)＋ 0× 0.1＋ 1× 0.5＋
3x y 5 0
A． 10 B． 8 C． 3 D ．2 9． B [ 解析 ] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的 几何意义可知，目标函数在点 A(5， 2)处取得最大值，故目标函数的最大值为 2× 5－ 2＝ 8.
10． 设 F 为抛物线 C：y2＝ 3x 的焦点， 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，
1 13.2
[解析 ]
展开式中
x7 的系数为
C310a3＝ 15，即 a3＝ 18，解得
a＝
1 2.
14．、 [2014 ·新课标全国卷Ⅱ ] 函数 f(x)＝ sin( x＋ 2φ) － 2sin φ cos(x＋ φ) 的最大值为 ________ ．
14． 1 [解析 ] 函数 f(x)＝ sin(x＋ 2φ)－ 2sin φ cos(x＋ φ )＝ sin[( x＋φ)＋ φ]－ 2sin φ cos(x ＋ φ)＝ sin(x＋ φ)cos φ － cos(x＋ φ)sin φ ＝sin x，故其最大值为 1.
又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥ PB. 因为 EO? 平面 AEC ， PB?平面 AEC， 所以 PB ∥平面 AEC. (2)因为 PA⊥平面 ABCD ， ABCD 为矩形， 所以 AB ，AD， AP 两两垂直． 如图，以 A 为坐标原点， A→B，AD，AP 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向， |A→P|为单位
()
A． 0.8 B ． 0.75 C．0.6 D． 0.45
5． A [ 解析 ] 设“第一天空气质量为优良”为事件
A，“第二天空气质量为优良”为
事件 B，则 P(A)＝ 0.75，P(AB)＝0.6，由题知要求的是在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的
概率，根据条件概率公式得
P(B|A)＝ P（ AB） ＝ 0.6 ＝ 0.8. P（ A） 0.75
6． 如图 1-1，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm) ，图中粗线画出的是某零件
的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部
分的体积与原来毛坯体积的比
值为 ( )
图 1-1
17 5 10 1 A. 27 B.9 C.27 D.3 6．C [解析 ] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体， 其体积为 π ×32× 2＋ π× 22× 4 ＝ 34π (cm3)，原毛坯的体积为 π × 32× 6＝ 54π (cm3)，切削掉部分的体积为 54π － 34π＝ 20
A． (－∞，－ 6)∪ (6，＋∞ ) B． (－∞，－ 4)∪ (4，＋∞ )
C． ( －∞，－ 2)∪ (2 ，＋∞ ) D． (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )
12．C
[解析 ] 函数 f(x)的极值点满足 πmx＝π2 ＋ kπ ，即 x＝m k
1
，k∈ Z ，且极值
2
为 ± 3，问题等价于存在 k0 使之满足不等式 m2 k
2× 0.9＋ 3× 1.6＝ 14，
n
ti t yi y
b
i1 n
2
＝ 1248＝ 0.5，
ti t
i1
a^＝ －y － b^－t ＝ 4.3－ 0.5× 4＝ 2.3， 所求回归方程为 y^＝ 0.5t＋ 2.3.
)
A．－ 5 B ． 5 C．－ 4＋ i D ．－ 4－ i [解析 ]A 由题知 z2＝－ 2＋ i，所以 z1z2＝ (2＋ i)( －2＋ i)＝ i 2－ 4＝－ 5.
3． 设向量 a，b 满足 |a＋ b|＝ 10， |a－ b|＝ 6，则 a·b＝ ( )
A． 1 B．2 C．3 D． 5 A [解析 ] 由已知得 |a＋ b|2＝ 10，|a－ b|2＝ 6，两式相减，得 4a·b＝ 4，所以 a·b＝ 1.
8． 设曲线 y＝ ax－ ln( x＋ 1)在点 (0， 0)处的切线方程为 y＝ 2x，则 a＝ ( )
A． 0 B．1 C．2 D． 3
8．D
[ 解析
]
y′＝
1 a－x＋
，根据已知得，当 1
x＝ 0 时， y′＝ 2，代入解得 a＝ 3.
xy70 9． 设 x， y 满足约束条件 x 3y 1 0 则 z 2x y 的最大值为 ( )
O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为 ( )
3 3 9 3 63 9 A. 4 B. 8 C.32 D.4
10．D
[解析 ] 抛物线的焦点为
F
3 ,0
，则过点
F 且倾斜角为
30°的直线方程为
y
4
＝
3 3
x
3 4
，即 x＝
3y＋34，代入抛物线方程得
y2－ 3
3y－ 94＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
π (cm3)，故所求的比值为
20π 54π
＝
10 27.
7． 执行如图 1-2 所示的程序框图，如果输入的 x， t 均为 2，则输出的 S＝ ( )
A． 4 B．5 C．6 D． 7
图 1-2
7． D [ 解析 ] 逐次计算，可得 M ＝2， S＝ 5， k＝ 2； M ＝ 2， S＝ 7， k＝3，此时输出 S ＝ 7.
12
30
2
A. 10 B.5 C. 10 D. 2
11．C [ 解析 ] 如图，E 为 BC 的中点．由于 M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，故 MN ∥B1C1
且
MN
＝
1 2B
1C
1，故
MN ∥BE，所以四边形
MNEB 为平行四边形，所以
EN∥ BM，所以直线
AN ，NE 所成的角即为直线
4． 钝角三角形 ABC 的面积是 12， AB＝ 1， BC＝ 2，则 AC＝ (
)
A． 5 B. 5 C．2 D．1
B [ 解析 ] 根据三角形面积公式，得
1 2BA ·BC· sin
B＝ 12，即 12× 1×
2×sin B＝ 12，得
sin B＝
22，其中
π C<A.若 B 为锐角， 则 B＝ 4 ，所以
1 .
(2)证明：由
(1)
知
1＝ an
3
2 n－
1
.
因为当 n≥ 1 时， 3n－ 1≥ 2× 3n－1，
所以
1 3n－
1
≤
1 2× 3
n－
1，即
1＝ an
3n
2 －
1≤
1 3n－1 .
11
1
1
13
13
于是 ＋ ＋…＋ a1 a2
≤ 1＋ ＋…＋
an
3
3n－ 1＝ 2
1
3n
< 2.
所以 1 ＋ 1 ＋…＋
15．已知偶函数 f(x)在 [0，＋∞ )单调递减， f (2)＝ 0，若 f(x－ 1)＞ 0，则 x 的取值范围是
________ ．
15．(－ 1，3) [ 解析 ] 根据偶函数的性质， 易知 f(x)>0 的解集为 (－ 2，2)，若 f(x－ 1)>0 ， 则－ 2<x－1<2 ，解得－ 1<x<3.
9
1
13
2
则 y1＋ y2＝ 3 3， y1y2＝－ 4，则 S△OAB＝2|OF ||y1－ y2|＝ 2× 4× 3 3
4
9 4
＝
9 4.
11． 直三棱柱 ABC -A1B1C1 中，∠ BCA＝ 90°， M ， N 分别是 A1B1， A1C1 的中点， BC ＝ CA＝ CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 ( )
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求 y 关于 t 的线性回归方程； (2)利用 (1) 中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
n
ti t yi y