椭圆方程的推导

a 2 ? c 2 ? 0,设
b 2 x2 ? a 2 y2 ? a 2b 2
椭圆的标
两边除以 a 2 b 2 得
y2 x2
准方程
a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)
(x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? 2a
（问题：下面怎样化简？）
移项，再平方
(x ? c)2 ? y2 ? 4a 2 ? 4a (x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2
a 2 ? cx ? a ( x ? c ) 2 ? y 2
两边再平方，得
a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y2
2.1.1椭圆及其标准方程
第一课时 徐慧敏
椭圆的定义
M
F1
F2
平面内到两个定点 F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做 椭圆。
这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离 叫做椭圆的 焦距。
MF1 ? MF2 ? 2a F1F2 ? 2c 2a ? 2c ? 0时,为椭圆
? ? 1(a ? b ? 0 ). a2 b2
椭圆的标 准方程
刚才我们得到了焦点在 x轴上的椭圆方程， 如何推导焦点在 y轴上的椭圆的标准方程呢？
由椭圆的定义得，限制条件： | PF 1 | ? | PF 2 |? 2 a
由于 | PF1 |? x2 ? ( y ? c)2 ,| PF2 |? x2 ? ( y ? c)2
a 2 ? cy ? a x2 ? ( y ? c)2
两边再平方，得
a 4 ? 2a 2cy ? c2 y2 ? a 2 x2 ? a 2 y2 ? 2a 2cy ? a 2c2
整理得 (a 2 ? c2 ) y2 ? a 2 x2 ? a 2 (a 2 ? c2 )
由椭圆定义可知 2 a ? 2c, 即 a ? c, 所以
则F1、F2的坐标分别是 (? c,0)、(c,0) .
F1 0
F2
P与F1和F2的距离的和为 固定值2a(2a>2c)
由椭圆的定义得，限制条件： | PF 1 | ? | PF 2 |? 2 a
由于 | PF1 |? (x ? c)2 ? y2 ,| PF2 |? (x ? c)2 ? y2
得方程
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
F2
M
O O O xx x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在
的直线作为坐标轴 .)
y
设P (x, y)是椭圆上任意一点，
Ｐ(x , y)
椭圆的 焦距 |F1F2|=2 c(c>0) ，
思考：建立直角坐标系之后，要 怎么表达椭圆？
y
Ｐ(x , y)
F1 0
F2
我们可以先来看看圆的表 达方式：
x2 ? y2 ? 4
圆方程的推导（以本圆形为例）
1、建立适当的坐标系，设上面任意一点为 M（x，y）（即用有序实数对（ x,y）表示 曲线上任意一点 M的坐标）;
2、写出符合M点坐标的条件：半径不变 ;
整理得 (a 2 ? c 2 ) x2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )
由椭圆定义可知 2 a ? 2 c,即 a ? c, 所以
a 2 ? c 2 ? 0 , 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0),
b 2 x2 ? a 2 y2 ? a 2b 2
x2 y2
两边除以 a 2 b 2 得
得方程
x2 ? ( y ? c)2 ? x2 ? ( y ? c)2 ? 2a
（焦问点题在：x轴下面怎(x样? c化)2 简? y？2 ?） (x ? c)2 ? y2 ? 2a
x2 y2 a 2 ? b 2 ? 1( a ? b ? 0 ).
移项，wenku.baidu.com平方
x2 ? ( y ? c)2 ? 4a 2 ? 4a x2 ? ( y ? c)2 ? x2 ? ( y ? c)2
3、用坐标表示条件 P（M），列出方程
x2 ? y2 ? 4
4、化方程为最简形式。
椭圆方程的推导
回忆圆标 准方程推 导步骤
? 求动点轨迹方程的一般步骤： 坐标法
1、建立适当的坐标系，用有序实数对 （x,y）表示曲线上任意一点 M的坐标;
2、写出适合条件 P（M） ; 3、用坐标表示条件 P（M），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。