第六章变异指标概论
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往往应用于生产过程的质量控制中
二、分位差
从变量数列中，剔除了一部分极端值后
计算的类似于极差的指标。
四分位差
八分位差
十分位差
十六分位差 三十二分位差
百分位差
Q.D Q3 Q1
2
上四
下四
分位
分位
数
数
三、平均差
是各个数据与其算术平均数的离差
绝对值的算术平均数，用 A.D表示
计算公式：
⑴ 简单平均差——适用于未分组资料
某班三名同学三门课程的成绩如下：
单位：分 课程 学生 语文 数学 英语 总成绩 平均成绩
甲 60 65 70 195
65
乙 65 65 65 195
65
丙 55 65 75 195
65
请比较三名同学学习成绩的差异。
《统计学》第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
一、离中趋势的涵义
指总体中各单位标志值背离 离中趋势 分布中心的规模或程度，用
95
3
2500
105 10
17200
115
3
4400
—
18
24900
解：计R算该X公m司ax1该20季Xm度8in计0划1完4100成﹪程1度0的全9距0 。10
全距的特点
优点:计算方法简单、易懂；
缺点: ①易受极端数值的影响，不能全 面反映所有标志值差异大小及分布状况， 准确程度差； ②受个别极端值的影响过于显著， 不 符合稳健性和耐抗性的要求
峰度 偏度
《统计学》第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差
一、全距
指所研究的数据中，最大值与最小值之差，
又称极差。
R X m ax X m in
最大变量值或最 最小变量值或最
高组上限或开口 低组下限或开口
组假定上限
组假定下限
【例A】某售货小组5人某天的销售额分别 为440元、480元、520元、600元、750 元，则
N
2
Xi X
i 1
N
第 i 个单位 总体单 总体算术
的变量值 位总数 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分 别为440元、480元、520元、600元、750元， 求该售货小组销售额的标准差。
解：X 440 480 520 600 750 2790 558元
5
5
N
值或组中值 出现的次数 平均数
平均差系数
VAD
A D 100﹪ X
【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。
月工资（元） 组中值（元）
X
300以下
250
300～400
350
400～500
450
500～600
550
600～700
650
700～800
750
800～900
850
900以上
950
合计
—
Fra Baidu bibliotek
职工人数（人） f
2
Xi X
i 1
440 5582 750 5582
R X max X min 750 440 310 元
全距系数
V全距
全距 X
100﹪
【例B】某季度某工业公司18个工业企业 产值计划完成情况如下：
计划完成程度 （﹪） 90以下 90～100 100～110 110以上 合计
组中值 企业数 计划产值
（﹪）X （个） （万元）f
85
2
800
N
A D X1 X X N X i1 X i X
N
N
第 i 个单位 总体单 总体算术
的变量值 位总数 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额 分别为440元、480元、520元、600元、750 元，求该售货小组销售额的平均差。
解：
X 440 480 520 600 750 2790 558元
2000
即该公司职工月工资的平均差为138.95元。
平均差的特点
优点:不易受极端数值的影响，能综合 反映全部单位标志值的实际差异程度；
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与 算术平均数离差的正负值问题，不便于 作数学处理和参与统计分析运算。
一般情况下都是通过计算另一种标志 变异指标——标准差，来反映总体内
标志变异指标来反映。
反映统计数据差异程度的综
合指标，也称为标志变动度
变异指标值越大，平均指标的代表性越小； 反之，平均指标的代表性越大
测定离中趋势的意义
用来衡量和比较平均数代表性的大小； 用来反映社会经济活动过程的均衡性和 节奏性； 用来衡量风险程度。
例如：某车间有两个生产小组，各有7名 工人，各人日产量如下: 甲组：20，40，60，70，80，100，120 乙组：67，68，69，70，71，72，73
5
5
N
A D i1 X i X 440 558 750 558
N
5
468 93.6元
5
即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。
⑵ 加权平均差——适用于分组资料
m
A D
X1 X
f1 X m X f1 fm
fm
i 1
Xi X
m
fi
fi
i 1
第 i 组的变量 第 i 组变量值 总体算术
208 314 382 456 305 237 78 20
2000
解：
X 250 208 950 20 1045900 522.95元
2000
2000
m
Xi X f
A D i1
f
250 522.95 208 950 522.95 20
2000
277893.6 138.95元
部各单位标志值的差异状况
《统计学》第六章 变异指标
平均差系数
VAD
A D X
100﹪
《统计学》第六章 变异指标
第三节 标准差和标准差系数
一、标准差
计算公式：
是各个数据与其算术平均数的离差平方
的算术平均数的开平方根，用 来表示；
标准差的平方又叫作方差，用 来表示2 。
⑴ 简单标准差——适用于未分组资料
《统计学》第六章 变异指标
【学习目标】通过本章的学习和习题演算，掌握 变异指标的意义和作用；标准差和标准差系数的计算 和应用。了解变异指标的分布特性；极差、平均差和 四分位差的概念、计算公式和特点；分布的偏度与峰 度。
第一节 变异指标的基本理论 第二节 全距、分位差和平均差 第三节 标准差和标准差系数 第四节 偏度和峰度 第五节 变异指标的应用
X 甲 X乙 70件
供货计划完成百分比(%)
季度总供 货计划执 1月 2月 3月
行结果
甲 厂
100
钢
厂
乙 厂
100
32
34
34
20
30
50
二、变异指标的种类
以标志值之间相互比较说明变异情况
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况
平均差 方差 标准差
平均差系数
标准差系数
以正态分布为标准说明分配数 列偏离情况的指标
二、分位差
从变量数列中，剔除了一部分极端值后
计算的类似于极差的指标。
四分位差
八分位差
十分位差
十六分位差 三十二分位差
百分位差
Q.D Q3 Q1
2
上四
下四
分位
分位
数
数
三、平均差
是各个数据与其算术平均数的离差
绝对值的算术平均数，用 A.D表示
计算公式：
⑴ 简单平均差——适用于未分组资料
某班三名同学三门课程的成绩如下：
单位：分 课程 学生 语文 数学 英语 总成绩 平均成绩
甲 60 65 70 195
65
乙 65 65 65 195
65
丙 55 65 75 195
65
请比较三名同学学习成绩的差异。
《统计学》第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
一、离中趋势的涵义
指总体中各单位标志值背离 离中趋势 分布中心的规模或程度，用
95
3
2500
105 10
17200
115
3
4400
—
18
24900
解：计R算该X公m司ax1该20季Xm度8in计0划1完4100成﹪程1度0的全9距0 。10
全距的特点
优点:计算方法简单、易懂；
缺点: ①易受极端数值的影响，不能全 面反映所有标志值差异大小及分布状况， 准确程度差； ②受个别极端值的影响过于显著， 不 符合稳健性和耐抗性的要求
峰度 偏度
《统计学》第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差
一、全距
指所研究的数据中，最大值与最小值之差，
又称极差。
R X m ax X m in
最大变量值或最 最小变量值或最
高组上限或开口 低组下限或开口
组假定上限
组假定下限
【例A】某售货小组5人某天的销售额分别 为440元、480元、520元、600元、750 元，则
N
2
Xi X
i 1
N
第 i 个单位 总体单 总体算术
的变量值 位总数 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分 别为440元、480元、520元、600元、750元， 求该售货小组销售额的标准差。
解：X 440 480 520 600 750 2790 558元
5
5
N
值或组中值 出现的次数 平均数
平均差系数
VAD
A D 100﹪ X
【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。
月工资（元） 组中值（元）
X
300以下
250
300～400
350
400～500
450
500～600
550
600～700
650
700～800
750
800～900
850
900以上
950
合计
—
Fra Baidu bibliotek
职工人数（人） f
2
Xi X
i 1
440 5582 750 5582
R X max X min 750 440 310 元
全距系数
V全距
全距 X
100﹪
【例B】某季度某工业公司18个工业企业 产值计划完成情况如下：
计划完成程度 （﹪） 90以下 90～100 100～110 110以上 合计
组中值 企业数 计划产值
（﹪）X （个） （万元）f
85
2
800
N
A D X1 X X N X i1 X i X
N
N
第 i 个单位 总体单 总体算术
的变量值 位总数 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额 分别为440元、480元、520元、600元、750 元，求该售货小组销售额的平均差。
解：
X 440 480 520 600 750 2790 558元
2000
即该公司职工月工资的平均差为138.95元。
平均差的特点
优点:不易受极端数值的影响，能综合 反映全部单位标志值的实际差异程度；
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与 算术平均数离差的正负值问题，不便于 作数学处理和参与统计分析运算。
一般情况下都是通过计算另一种标志 变异指标——标准差，来反映总体内
标志变异指标来反映。
反映统计数据差异程度的综
合指标，也称为标志变动度
变异指标值越大，平均指标的代表性越小； 反之，平均指标的代表性越大
测定离中趋势的意义
用来衡量和比较平均数代表性的大小； 用来反映社会经济活动过程的均衡性和 节奏性； 用来衡量风险程度。
例如：某车间有两个生产小组，各有7名 工人，各人日产量如下: 甲组：20，40，60，70，80，100，120 乙组：67，68，69，70，71，72，73
5
5
N
A D i1 X i X 440 558 750 558
N
5
468 93.6元
5
即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。
⑵ 加权平均差——适用于分组资料
m
A D
X1 X
f1 X m X f1 fm
fm
i 1
Xi X
m
fi
fi
i 1
第 i 组的变量 第 i 组变量值 总体算术
208 314 382 456 305 237 78 20
2000
解：
X 250 208 950 20 1045900 522.95元
2000
2000
m
Xi X f
A D i1
f
250 522.95 208 950 522.95 20
2000
277893.6 138.95元
部各单位标志值的差异状况
《统计学》第六章 变异指标
平均差系数
VAD
A D X
100﹪
《统计学》第六章 变异指标
第三节 标准差和标准差系数
一、标准差
计算公式：
是各个数据与其算术平均数的离差平方
的算术平均数的开平方根，用 来表示；
标准差的平方又叫作方差，用 来表示2 。
⑴ 简单标准差——适用于未分组资料
《统计学》第六章 变异指标
【学习目标】通过本章的学习和习题演算，掌握 变异指标的意义和作用；标准差和标准差系数的计算 和应用。了解变异指标的分布特性；极差、平均差和 四分位差的概念、计算公式和特点；分布的偏度与峰 度。
第一节 变异指标的基本理论 第二节 全距、分位差和平均差 第三节 标准差和标准差系数 第四节 偏度和峰度 第五节 变异指标的应用
X 甲 X乙 70件
供货计划完成百分比(%)
季度总供 货计划执 1月 2月 3月
行结果
甲 厂
100
钢
厂
乙 厂
100
32
34
34
20
30
50
二、变异指标的种类
以标志值之间相互比较说明变异情况
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况
平均差 方差 标准差
平均差系数
标准差系数
以正态分布为标准说明分配数 列偏离情况的指标