16-置换群的应用

|Gx|×|Gx|=|G|
Σy∈Gx|Gy|值与所在轨道无关 值与所在轨道无关 ∈
对任意的y∈X, 若y∈Gx, 则|Gx|=|Gy| 实 际 上 ， G(x y) 是 Gy 的 左 陪 集 ： 即 ∀h∈G(x y), G(x y)= hGy
若 α ∈ hGy, 令 α =hβ (β∈Gy), α(x)=β(h(x))=β(y)=y, ∴α∈G(x y) 则 ∀ x∈X,
但是，真的需要这么多种电路吗？
x y z t z⋁t x⋁y
f(x,y,z,t) 由于对称性，只要调整接入线， 同样的电路可以实现不同的函 数。
等价类计数
如果定义上述函数的集合上的关系R：函数f1, f2满足 关系关系R当且仅当它们可以用同一个电路实现(只需调 整接入方式，也可以用外部转相器)。 显然，上述关系R是等价关系。 可以用同一电路实现的所有函数包含在同一个等价类 中。 因此，计算需要多少种不同电路才能实现所有可能的 函数问题就转化为等价类计数问题。
对称在计数中的作用
用6种不同颜色给正方体的六个面着 色，每个面有6中选择，假如给定每 个面的编号，不同的着色序列有6！ 真正”不同 (=720)个，但哪些是“真正 真正 的？
±90° 180°
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180° 120°
6种
3种
6种
8种
1种
因此：不同的着色有6!/(6+3+6+8+1)=30种
更一般的情况
置换群的应用
离散数学 第16讲
上一讲内容的回顾
变换和变换群 置换及其表示 置换群 任意群与变换群同构 置换群的应用
置换群的应用
置换群诱导的等价关系 轨道 轨道的大小 轨道的个数-Burnside定理 Burnside定理的应用
相同？不同？ 相同？不同？
x y z t
f(x,y,z,t)
4个变量, 可能的输入值有24个; 因此, 可以定义216(65,536)个 不同的函数。
比立方体简单一点的例子
3个黑珍珠和6个白珍珠能做出多少样式不同的 项链？
α翻转 顺时针旋转80°
α轴
置换群诱导的等价关系
假设G是集合X上的置换群。定义X上的关系“∼”如 下：
∀x,y∈X, x∼y ⇔ ∃g∈G, 使得 ∈ ∼ ∈ 使得g(x)=y
“∼”是等价关系
自反性：置换群中的单位元素一定是恒等映射。 对称性：由群的逆元素性保证。 传递性：由群的封闭性保证。
利用下列矩阵计数：
Lx L M g M √ g行x列有√表示：g(x)=x
按行算：每行√数是在置换g之下不变的x的个数。总数即Σg∈G|F(g)| 按列算：每列√数是保持特定x不变的置换的个数，总数即Σx∈X|Gx|
Burnside定理 定理
Σx∈X|Gx| = t•|G| Σg∈G|F(g)| = Σx∈X|Gx| 於是：
若 α ∈ G(x y), 则 ∀ y∈X, α(h-1(y))=α(x)=y, 即 h1α∈G , ∴α∈ hG y y
所以，对每个轨道，Σy∈Gx|Gy|=|Gx|×|Gx|=|G|,
Σy∈Gx|Gy|是“一个轨道中保持各元素不变的置换的总数”
轨道的个数
令轨道数为t, 因为每个轨道中保持各元素不变的置换的总数均为 |G|, ∴ Σx∈X|Gx| = t•|G|。 F(g)表示在置换g之下保持不变的x的个数。计算Σg∈G|F(g)|显然比 计算Σx∈X|Gx|容易，而且： Σg∈G|F(g)| = Σx∈X|Gx| ∈ ∈
1 t= ∑ | F (g) | G | g∈G
项链问题的解
3个黑珍珠和6个白珍珠能做出多少样式不同的项链？ 个白珍珠能做出多少样式不同的项链？ |X|=84, 即C93 (Why?) |G|=18 9个旋转，9个翻转 对每个翻转g, |F(g)|=4 旋转0°的|F(g)|=84; 旋转120° 和240° 的|F(g)| 各为3； 其它均为0。 结果是：
轨道的大小
子群与相应的陪集等势，因此：若y∈Gx, |G(x y)|=|Gx|, 否则 |G(x y)|=0。 对任意x∈X, x所在的轨道的大小与保持x不变的置换的个数的 乘积与x无关。 给定x∈X, 构造如下的矩阵： Ly L M g √ g行y列有√表示：g(x)=y M
对√计数：按行数：每行恰有1个√。总数为|G|。按列数，若某 个y∈Gx, 则该列恰有|G(x y)|=|Gx|个√，否则为空列。所以：
如果不是每个面的着色都不同, 比如有两个面 是红的，如何判断两种着色是“真正 真正”不同？ 真正 设着色对象的集合是S，允许使用的颜色的集 合是C(我们只考虑有限集)。一种着色方案就是一个 函数f:S→C。f与f2被认为“实际上 实际上”是一样的， 实际上 当且仅当在所允许的变换(即前面例子中的对称旋转)下， f1能转变为f2或相反。 而对称旋转即置换群的元素。我们称“(置换) 群作用于S，也作用于C。”
将关系"∼"所决定的等价类记为Gx:
Gx={y|y∈X, 且∃g∈G, 使得 ∈ ∈ 使得g(x)=y}
这样的等价类称为X上G的轨道。
保持x不变的置换构成子群 保持 不变的置换构成子群
G中所有“将x变为y”的置换构成的集合： G(x→y) = {g|g∈G, 且g(x)=y} → G中所有“保持x不变”的置换的集合： Gx={g|g∈G, 且g(x)=x} 注意：Gx构成子群(只需证明封闭性)。 G(x y)是Gx的右陪集：∀h∈G(x y), G(x y)=Gxh 若α∈Gxh, 令α=βh(β∈Gx), 则∀x∈X, α(x) = h(β(x)) = h(x) =y, ∴α∈G(x y) 若α∈ G(x y), 则∀x∈X, h-1(α(x))=h-1(y)=x, 即αh-1∈Gx, ∴α∈ Gxh
(4•9+84+3•2)/18 =⑦
α翻转
顺时针旋转 80°
α轴
没有几何结构的例子
3个输入的逻辑电路有多少种”真正”不同的?
可能的输入共有8个(相当与珠子). 可能的输出共有2个(相当于颜色). 由于没有几何对称的限制, 我们考虑S3上所有的置换(共6个). 对于对换(1 2), 保持不变的元素由f (0,1,x) = f(1,0,x)确定, 有26个. 而这样的对换共有3个. 对于置换(1 2 3), (000, 111)总是不变, 因此函数值可以任意设定; (001, 100, 010)与(011, 101, 110)分别构成环, 其函数值相等的函 数将分别保持它们不变, 因此,共有24个, 而这样的置换有2个. 恒等置换保持所有的256个函数不变. 因此, 不同的电路数: (256+3×26+2×24)/6=80
作业
Z5是“模5剩余加群”，π(x)=2x (mod 5) 是Z5 上的一个置换。 G是以π为生成元的循环置换 群，写出G中的元素，并求出G的轨道。 解13个白珍珠和3个黑珍珠的项链问题。