高级通信原理第5章 数字信号频带传输

k 1,2,, N
证明：
例 5－1－1 研究一个 M 元的基带 PAM 信号集，在该信号集中的 基本脉冲形状 g t 是高度为 a，宽度为 T 的矩形。加 性噪声 nt 是均值为 0， 功率谱密度为 N0 / 2 （W/Hz） 。 计算基函数 f t ，相关解调器的输出， pr | sm 。
2 Erk Esmk nk smk ； r2 n N 0 / 2
3) 条件概率密度
pr | s m prk | s mk
k 1 k 1
N
N
rk s mk 2 exp N0 N 0 1
m 1,2,, M
练习：
练习：
误码率分析？
当信道带宽受限时，如果发送信号设计成带限且
具有零ISI，则相对于无带宽限制的通信系统，不 会造成误码率性能的损失。
4 points QAM

假定先验等概，则平均发送功率
1 Pav 4 2 A2 2 A2 4
1 2 2 2 Pav 23 A 2 A 2 A 4
检测器的功能是根据矢量在Ｍ个可能信号波形中判断 哪一个波形被发送.
1) 相关解调器
接收信号的正交展开 用 相 同 的 归 一 化 正 交 函 数 集 f k t 对 接 收 信 号
r t sm t nt
T T 0 k 0 m
0 t T 进行正交展开。
相关解调器 MF解调器 最佳检测器 最大后验概率准则
最大似然准则
最小距离准则
无论是数字基带传输还是数字频带传输，都存在着“最 佳接收”的问题。最佳接收理论是以接收问题作为研究对象， 研究从噪声中如何准确地提取有用信号。 对于数字信号而言， “最佳”可描述为使接收信号的差错率最低。
假定发送 M 个信号波形 sm t , m 1,2,, M ，每个 波形的持续时间为 T。在 0 t T 间隔内，接收信号表示为
则判错。如何使平均错判概率最小？
如何确定判决准则？ 根据观察矢量 r 落入哪个判决区域 Rm ， 作出发端发送的是哪个 s m 的
ˆ ˆ 估计，用 s 表示。若输出判决 s 不等于 s m ，则判错。所以错误概率表示为
ˆ PM P( s m ) P( s s m | s m ) P( s m ) 1 pr | s m dr m 1 m 1 Rm
解：
随着M的增大，MFSK信号功率谱
的主瓣宽度随之增大，
频带利用率随之减小。
练习
总结：频带利用率
(假定基带信号采用不归零矩形脉冲)
Rs 1Baud / Hz 基带PAM信号 W R log 2 M (bit / s / Hz ) R R s log2 M , W ASK信号或频带PAM R 1 Rs log 2 M R R s log2 M , 1 / 2, W 2 B
k
rt f t dt s t nt f t dt
可得观察矢量 r r1r2 rN 。
rk smk nk , where
T
k 1,2,..., N nk nm t f k t dt
T 0
smk sm t f k t dt,
0
相关解调器
因 为 正 交 函 数 集 f k t 不 能 构 建 噪 声 空 间 ， 接 收 信 号
r t smk f k t nk f k t nt rk f k t nt
k 1 k 1 k 1
N
N
N
其中 nt nt
1 1 N rk smk 2 ln pr s m N lnN 0 2 N 0 k 1
ln pr s m 最大，等价于“欧式距离 Dr, sm rk smk ”最小。
N 2 k 1
距离度量：
2 D r, s m rn2 2 rn smn smn n 1 n 1 n 1 N N N
双正交信号
一组 M 个双正交信号集可以由 M/2 个正交信号与其负的正交信号构成。 注意：在任何一对波形之间的相关系数为-1 或 0，相应的距离为 2 E 或
2 E ，且后者为最小距离。
解：
二、最佳检测器
前面已经证明， 对于 AWGN 信道传输的信号， 相关解调 器或者匹配滤波器解调器产生的向量 r r1 , r2 ,rN 包含了 接收信号波形中所有的信息。本节将描述基于观测向量 r 的 最佳判决准则。 假定在连续信号间隔内的发送信号中不存在记忆。设计 一个信号检测器，它根据每个信号间隔中的观测向量
n f t ， nt 表示 nt 与 nt 在基
k 1 k k
N
函数 f n t 上投影的对应部分之差。 可以证明：nt 不包含与判决有关的任何信息。 也就是说， 判决完全可以根据相关器的输出 rk 来进行。
2) MF解调器
对输入信号的匹配 !
问题：匹配于基函数，输出信号和噪声功率为多少？
第5章
数字信号的频带传输
本章主要内容
数字调制原理
调制原理、功率谱密度和频带利用率 2ASK、QAM在AWGN条件下的最佳接收 2ASK、QAM在理想限带及AWGN条件下的最佳接收
数字调制系统的最佳接收和误码率分析
矢量表示 统计判决理论 AWGN条件下的最佳接收及误码率分析
数字调制方式的比较
ˆ s argsm max P(sm ) pr | sm
根据贝叶斯公式，后验概率
Ps m pr | s m Ps m | r pr
“最大的 P(sm ) pr | sm ”即为“最大的 Psm | r ” ，则判决准 则为
ˆ s argsm max Ps m | r
可以证明，AWGN 信道中， “ML 准则”等价于“最小距离准则” 。 最小距离准则： 选择在距离上最接近接收信号向量 r 的信号 s m 。 也就是使得下列欧式距离
Dr, sm rk smk
k 1
N
2
最小的信号 s m
pr s m prk smk , m 1,2,..M
PSK、QAM信号
R 1 log 2 M W 2
FSK信号
R 2 log 2 M W M
如果M很大
频带利用率
(假定基带信号采用滚降频谱的波形)
基带PAM信号
Rs 2 W 1
R R s log2 M
R 2 log2 M W 1
ASK信号或频带PAM
Rs 1 , B 1
R R s log2 M ,
R 1 log2 M W Fra Baidu bibliotek
PSK、QAM信号
R 1 log2 M W 1
5.2 AWGN条件下的最佳接收及 误码率分析
1)数字调制信号的矢量表示 2) AWGN下的最佳接收(含“统计判决理论”) 3)误码率分析
一、最佳接收机
信号解调器
如果所有信号具有 相同的能量，相关 度量可写成r· m s
k 1
最小欧式距离准则的证明思路 N
rk smk 2 1 , k 1,2,...N prk smk exp N0 N 0 N rk smk 2 1 , m 1,2,..M pr sm exp N 2 k 1 N0 N 0
即选择最大的后验概率，称该准则为 MAP 准则。
结 论
最大后验概率（MAP）准则（最小错误概率准则） ： 选择后验概率集合 Ps m | r m 1,2,, M 中最大值的信号。 等价于“选择 P(sm ) pr | sm 最大值的信号” 。 最大似然（ML）准则：
当先验等概时， 即对所有 M 有 Ps m 1 / M ， 最大后验概率 （MAP） 准则可等价为寻求使 pr | sm 最大的信号。 条件概率 pr | sm 或者它的任意单调函数通常称为似然函数。 选择似然函数集合 pr | sm m 1,2,, M 中最大值的信号。
M M
1 P(sm ) pr | sm dr
m1 Rm
M
可见，为了得到最小的错误概率，对于给定的观察矢量 r，选择“最大 的 P(sm ) pr | sm 所对应的 sm ”作为判决输出，即
ˆ s argsm max P(sm ) pr | sm
“最小的错误概率”准则：选择“最大的 P(sm ) pr | sm 所对应 的 sm ”作为判决输出，即
r r1 , r2 ,rN 对该间隔内的发送信号作出判决，并使正确
判决概率最大。 最大后验概率准则 最大似然准则 最小距离准则
已经解决的问题：
提出问题：
根据观察矢量 r 作出发端发送的是哪个 s m 的估
ˆ ˆ 计， 其判决输出用 s 表示。 若输出判决 s 不等于 s m ，
r t sm t nt
0 t T
根据接收信号 r t 在 0 t T 时间上设计一个接收 机，使得差错率最低。
接收机分为两部分，即信号解调器和检测器。 信号解调器的功能是将接收波形变换成 n 维矢量
r r1r2 rN ，其中Ｎ为发送信号波形的维数。
带限信号和功限信号 带宽和维度
5.1 数字调制原理
基带信号：
带通信号的等效低通表示：
OOK信号的功率谱
结论：带通性数字调制信号的功率谱密度是
将复包络的功率谱从零频搬移到载频上。
推导：
问题： 如果基带信号为升余弦滤波器的冲激响应，则功率谱 密度为多少？频带利用率为多少？
或称为 MPAM频带信号
r 2r s m s m , m 1,2,...M
2 2
D' r, s m 2r s m s m
相关度量： C r, sm 2r s m s m 可见， 距离 Dr, sm
N
2
2
2 r t sm t dt m
T 0
参见<<数字通信>>(第4版)172页
解：
M=4的双正交信号(eg.4PSK) 参见<<数字通信>>(第4版)175页 例 5－1－2 M=4 的双正交信号是由两个正交信号构成的。 该信号用来在 AWGN 信道传输信息。假定噪声均
值为 0，功率谱密度为 N0 / 2 。 求该信号集的基函数，匹配滤波解调器的冲激 响应，当发送信号为 s1 t 时匹配滤波器解调器的 输出 r r1 , r2 。
可以证明：
2 1) 噪声 nk 是均值为 0，方差 n N 0 / 2 的不相关（即相互独立）
的高斯随机变量。 （设信道噪声 nt 的功率谱密度为 N0 / 2 （W/Hz） ） 2) 在发送信号 sm t 的条件下，相关器输出 rk 也是不相关（即相互 独立）的高斯随机变量。


8 points QAM
D is the best

假定先验等概， 则平均发送功率
1 Pav M
Pav ={6A2 6.83A2 6A2 4.73A2 }
A
M m 1 2 mc
2 mc
2 Ams

A2 M
a
M m 1
2 ams

练习
例 题 电话信道可以通过 300 3300 Hz 频带的所有 频率。 设计一个调制解调器， 符号传输速率为 2400 符号/秒，而信息速率为 9600b/s，试选择合适的 QAM 信号、载波频率、滚降因子 。并画出最佳 接收的系统方框图。