二次函数的值域问题

b x∈(－∞, ]单调递减 2a b x∈[ , ＋∞)单调递增 2a
最小值为
4ac-b2 4a
最大值为
例1.在下列条件下求函数y x 2 2 x 3 的值域 (1) x R (2) x (2, 3] (3) x [0, 3) (4) x ( 1, 0]
从图象上观察得到当x R 时, 值域为（-，4] x (2, 3] 时, 值域为 0, 3 当x [0, 3)时, 值域为(0, 4] 当x ( 1, 0]时, 值域为(0, 3]
五、布置作业：
1.求f(x)=x2-4x+6,x∈[1,5)的值域。 2.已知二次函数f(x)的图象的对称轴为x=x0,它在 ［a,b］上的值域为[f(b),f(a)],则(

)
A. x0 b C.x0∈[a,b]
B. x0 a D.x0[a,b]
3.函数y=x2+2(a-1)x+2的最小值为2,求a的值.
(1).y=x2-2x-3(-5≤x≤0) ;
([-3，32])
(2). f(x)=-x2+4x+5(x∈[1,4]); ([5,9])
2、 函数 y x 2 4 x 2在区间 3,5上的最小值为
-2
3.函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大 值3,最小值2,求m的取值范围. ([1,2])
练习：
已知函数y=x2-2x-3,求x在下列范围内函数的值域. (1)x∈R (2)0<x<3 (3)-2≤x≤0 (4)3<x<4
y
解:配方得: y=(x-1)2-4
(1) ∵x∈R
∴y≥-4 ∴值域为[-4,+∞) (2) ∵0<x<3 ∴值域为[-4,0) (3) ∵-2≤x≤0 ∴值域为[-3,5] (4) ∵3<x<4
二次函数的值域
一、复习旧知：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
定义域
判别式
R a>0
y
o y x
△>0 图 △=0
y o
a<0
x
y o x y o x
x
o
象 △<0
y o
x
对称性 单调性 最值
关于 x=-
b 2a
对称
x∈(－∞, x∈[ b ]单调递增 2a b , ＋∞)单调递减 2a 4ac-b2 4a
-3 -4 -1 O
1
3
x
∴值域为(0,5)
例2.已知函数 y x 2 6 x 9在区间[a , b](a b 3) 上的最大值为9，最小值为பைடு நூலகம்7，求a,b的值．
a 8, b 0
例3.若函数 y 3x 2 2(a 1) x b 在区间 (,1] 上的最小值是f(1),求a的取值范围.
a 2
例4.求y=x2-2x+3在[0,a]上的值域.
解: 配方得:
y=(x-1)2+2
Y
讨论:
(1) 当0<a≤1时
值域为[a2-2a+3,3]
(2) 当1<a<2时
3 2
值域为[2,3]
(3) 当a≥2时
O a 1
X
值域为[2, a2-2a+3]
小结
三、巩固练习: 1.求下列函数值域：