电磁场与电磁波试题及答案

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。

2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t

ρ∂∂∇⨯=+

∇⨯=-∇⋅=∇⋅=∂∂，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。

1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。

2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ⨯=、2s n H J ⨯=、20n B =)

1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规与洛仑兹规的意义。

2. 答矢量位,0B A A =∇⨯∇⋅=；动态矢量位A E t ϕ∂=-∇-

∂或A

E t

ϕ∂+

=-∇∂。库仑规与洛仑兹规的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规用在静态场，洛仑兹规用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2.

s

A ds φ=

⋅⎰⎰ 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的

通量，即通量由S 面向外扩散，说明S 面有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面汇集，说明S 面有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面无源。

1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。

2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x

y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ⎛⎫∂∂∂∇⋅=++⋅++ ⎪∂∂∂⎝⎭

3x y z

x y z

∂∂∂=

++=∂∂∂ 若在球坐标系里计算，则 23

2211()()()3r r r r r r r r r

∂∂∇⋅=

==∂∂由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。

1. 在直角坐标系证明0A ∇⋅∇⨯=

2.

()[()()()]()()()0y x x x z z x

y z x y z y y x x z z A

A A A A A A e e e e e e x y z y z z x x y A A A A

A A x y z y z x z x y ∇⋅∇⨯∂∂∂∂∂∂∂∂∂

=++⋅-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 1. 简述亥姆霍兹定理并举例说明。

2. 亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。 例静电场

s

D ds q

⋅=∑⎰⎰ 0D ρ∇⋅=

有源

0l

E dl

⋅=⎰ 0E ∇⋅= 无旋

1. 已知 R r r '=-，证明R

R R R e R

'

'∇=-∇==。

2. 证明

x y z x y z

R R R x x y y z z R e e e e e e x y z R R R

'''

∂∂∂---∇=++=++∂∂∂ R '∇= …… R =-∇

1. 试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式 ，恒定电流的呢？

2. 一般电流/0,/J dS dq dt J t ρ⋅=-∇⋅=-∂∂⎰

； 恒定电流0,0J dS J ⋅=∇⋅=⎰

1. 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动？在非匀强电场中呢？

2. 电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个 力矩作用，发生转动，还要受力的作用，使 电偶极子中心 发生平动，移向电场强的方向。 1. 试写出静电场基本方程的积分与微分形式 。 2. 答静电场基本方程的 积分形式

1

s

E ds q ε⋅=∑⎰⎰ ，0

l

E dl

⋅=⎰

微分形式 ,0D E ρ∇⋅=

∇⨯=

1. 试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。

2. 静电场基本方程微分形式,0D E ρ∇⋅=

∇⨯= ，说明激发静电场的源是空间电荷的分布（或是激

发静电场的源是是电荷的分布）。 1. 试说明导体处于静电平衡时特性。 2. 答导体处于静电平衡时特性有 ①导体 0E

=；

②导体是等位体（导体表面是等位面）；

③导体无电荷，电荷分布在导体的表面(孤立导体，曲率)； ④导体表面附近电场强度垂直于表面，且 0/E

n σε=。

1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。

2. 答在界面上D 的法向量连续

12n n D D =或（1212n D n D ⋅=⋅）

；E 的切向分量连续12t t E E =或（1112n E n E ⨯=⨯）

1. 试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。

2. 在界面上D 的法向量

2n D σ=或（12n D σ⋅=）

；E 的切向分量20t E =或（120n E ⨯=） 1. 试写出电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件。 2. 答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为12φφ=，12

1

2

n n

φφεε∂∂=∂∂ 1. 试推导静电场的泊松方程。 2. 解由 D ρ

∇⋅=

，其中 ,D E E εφ

==-∇

，

D E ε∴∇⋅=∇⋅ ε为常数

2

ρ

φε

∴∇=-

泊松方程

1. 简述唯一性定理，并说明其物理意义

2. 对于某一空间区域V ，边界面为s ，φ满足

，

给定

（对导体给定q ）

则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜像法、分离变量法……），还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。