群的基本概念

重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群：
G3 E A B E E AB AA BB
重排定理
在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一 次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有 任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。
重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群：
X X-1 = X-1 X = E 群元素的数目称为群的阶 h .
从数学的角度看，按一定规则联系起来的任何元素的一个集合， 如果满足上述四个条件，就称为群。群的特征不在于构成群的是何种 元素，而在于它们共同遵守着某种规则，这种规则反映了群元素之间 的内在联系。
例 1-1 实数加法群
全体实数的集合对于数的加法构成群；（1）任意两实数之和仍为实 数，（2）数的加法服从结合律，（3）恒等元为 0，（4）逆元为其 相反值。
例 1-4 全体正整数的集合不能构成整数乘法群。尽管该集合满足封 闭性和结合律，也有恒等元，但除 1 以外，其余元素均无逆元。
例 1-5 全体实数的集合，虽然能构成实数加法群，但不能构成实数 乘法群。因为其中的 0 无逆元。
2.2 群的乘法表
群是按一定规律相互联系着的元素的集合，这个规律就是所谓 的乘法。对一个有 h 个元素的有限群来说，如果知道了所有可能的 乘积（h2 ）是什么，那么群元素之间的关系就一目了然，这个群就 完全且唯一的被定义了。乘法表就是这样一个概念。
1）
四阶循环群
G
(1 4
)
：
G
(1 4
)
E
A
B
C
E EABC
A ABC E
B BCEA
C C EAB
例 2-3 四阶群有两个：
1）
四阶循环群
G
(1 4
)
：
G
(1 4
)
E
A
B
C
E EABC
A ABC E
B BCEA
C C EAB
AA = A2 = B, AB = A3 = C, AC = A4 = E BA = A3 = C, BB = A4 = E, BC = A5 = A CA = A4 = E, CB = A5 = A, CC = A6 = B
(1) 封闭性
A、B 为群 G 中的元素，如果：
AB = C 则 C 也是群 G 中的一个元素。
(2) 结合律 群元素相乘满足乘法结合律，如：
ABC = ( AB )C =A( BC )
(3) 恒等元素 群中有且仅有一个恒等元素 E，且有：
EX = XE = X 其中 X 为群中的任何元素。
(4) 逆元素 群中任一元素 X 都有一个逆元素 X-1 ，且逆元素 X-1 也 是该群中的元素，且有：
G3 E A B E E AB AA BB
G3 E A B E EAB A ABE B BEA
例 2-1 二阶点群
抽象的看，只有一个可能的二阶群，它具有下列乘法表。这个 群用符号 G2 表示。
G2 E A E EA A AE
G 2C 2,C i,C s
例 2-2 三阶点群 G3 也只有一种可能：
G3 E A B E EAB A ABE B BEA
例 2-2 三阶点群 G3 也只有一种可能： G3 E A B E EAB A ABE B BEA
循环群：G = |a1, a2, … an = E|。上述 G3 群是循环群的一个例子。
AA = A2 = B, AB = A3 = E
例 2-3 四阶群有两个：
2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定， 习惯上按照（列）×（行）定义，即在 x 列和 y 行的交叉点上找到 的元素是 xy 的乘积。
1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：
G3 E A B E A B
2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定， 习惯上按照（列）×（行）定义，即在 x 列和 y 行的交叉点上找到 的元素是 xy 的乘积。行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左 乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。
例 2-3 四阶群有两个：
2）
四阶群
G
(2 4
)
：
Leabharlann Baidu
G
(2 4
)
E
A
B
C
E EABC
例 1-2 实数乘法群
除 0 以外的全体实数的集合对数的乘法构成群；（1）任意两实数之 积仍为实数，（2）数的乘法服从结合律，（3）恒等元为 1，（4） 逆元为其倒数。
例 1-3 立正操 四个操练动作：立正，向右转，向左转，向后转的集合构成群，如 果定义两个动作的乘法为进行一个动作之后接着进行另一个动作。
群的基本概念
目录
2 群的基本概念
2.1 群的定义 2.2 群的乘法表 2.3 同构与同态
2.4 群的直积 2.5 群元素的共轭分类 2.6 分子点群的共轭分类
2.1 群的定义
元素 A、B、C、...... 组成集合 G，在集合 G 中定义有称为 乘法 的
某种组合运算，如果 G 对该 乘法 满足以下四个条件，则集合 G 构 成群。
1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：
G3 E A B E A B
G3 E A B E E EA EB A AE A 2 AB B BE BA B 2
2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定， 习惯上按照（列）×（行）定义，即在 x 列和 y 行的交叉点上找到 的元素是 xy 的乘积。行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左 乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。
对于一个有限群 G 和群 G 中任意两个元素的乘积关系以表格的 形式来表示，称为乘法表。利用乘法表可以方便的进行群的运算。
1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：
G3 E A B E A B
1）乘法表由 h 行和 h 列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：
G3 E A B E A B
重排定理
在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一 次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有 任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。
重排定理
在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一 次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有 任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。