漫谈数学基本思想史宁中
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实数 ≡ 有理数 + 无理数
如何计算： √2·√3 =√2·3 ？用小数验证？ √-2·√-3 = √(-2)·(-3)？
如何理解：连续 ≡ 实数与数轴一一对应？
1872年，康托基本序列：满足柯西准则的有理数列。 \解决实数的运算\
假定有理数列 an → √a, bn → √b 。 根据极限的性质有
︱x - x0︱﹤ δ 时︱f(x) → f(x0)︱﹤ ε 则称 f(x) 在 x0 处连续。 两种收敛等价？实数可以连续不断地趋近某一个数？
清晰定义实数 → 清晰定义无理数 → 重新定义有理数
有理数分数形式 → 小数形式：有限 + 无限循环(极限) 无理数：无限不循环小数 \如何判断(百,千)\
集合公理化系统： 九个公理：ZF系统(策Baidu Nhomakorabea罗1908年\ 弗兰克尔《集合论基础》) 定义：用符号表达的集合、空集、关系、运算； # 选择公理(几乎所有数学分支的基本定理)。
→ 实现了数学的符号化、形式化、公理化。
形式化与直观的矛盾 \数学是创造\
\直观认为\ 集合测度至少要满足下面四个条件：令Ω是由实数 集合构成的类，m是类中的集合测度，那么
条件2：单调性。区间长度显然满足。 条件3：可列可加性。
令 A = {an；n=1,2,……} 则 m(A) = m(a1∪a2∪ ……)
= ∑m(an) = 0。
条件4：存在不可测的反例 \！？\
令A=[0,1]，对A中的实数a和b，如果a-b为有理数，则称这两 个数具有“亲近”关系，记为a～b。 对于a∈A，用E(a) 表示A中所有与a具有“亲近”关系的数的集 合，称之为亲近集合。显然：
1 零测度。空集的测度为零，即m(O)=0。 2 单调性。对于Ω中的两个集合A和B，如果B⊆A，那么
m(B)≦m(A)。 3 可列可加性。对于Ω中的两个集合A和B，如果A∩B=O，那么
m(A∪B)=m(A)+m(B)，对可数个不交集合成立。 4 平移不变性。对于给定的实数c，令B(c,A)表示集合A对于c的平
an2 → a, bn2 → b，an2·bn2 → a·b 则有理数列{an2·bn2 } ≡ {(an·bn)2 }确定实数a·b 所以有理数列{an·bn}确定实数 √a·b，即
√a·√b = √a·b
1872年，戴德金分割。\解决实数的连续性\ 算术公理化系统： 九个公理(皮亚诺，1889年)，定义了自然数和加法。 证明 4≠3。第7公理：a=b，则a+1=b+1； 第8公理：a+1≠1。
抽象了的东西是存在的：抽象的存在。
数量的第二步抽象 变量、极限运算 \如何理解如何解释\
导数：牛顿(1676\1666)提出，最初的解释是利用无穷小。 问题：什么样的函数可导？
→ 明确函数定义 + 明确极限定义 → 符号表达 1755年，欧拉的变量说，初中。\抽象不够\ 问题
f1(x) = shi2x + cos2x 和 f2(x) = 1 表达是一个函数，还是两个函数？ 1851年，黎曼的对应说，高中。\新概念和物理背景\ 函数 → 对应 → 集合 集合：所要研究对象的全体？ \罗素悖论\
漫谈数学的基本思想
史宁中
东北师范大学，长春，130024
一、数学思想与数学文化 文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。 数学文化是数学的形态表现：形式、历史、思想。 思想是本质的，无思想则无文化。
《数学课标》：双基→四基、两能→四能 基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题
抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。 得到：研究问题的对象概念和对象之间的关系概念；
运算方法和运算之间的运算法则。 亚里士多德：
数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中 那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的 量的定义，不是作为存在而是作为关系。
引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。
令区间 [-1,1]中有理数排列：c1, c2,……,cn, ……。 令 Cn≡B(cn,C) 表示集合C对于cn的平移。令：
极限运算 1821年，从柯西开始了现代数学的特征：符号化、形式化、公理化。
可以理解：当 n → ∞ 时1/n → 0； 很难理解：当 n → ∞ 时 x → 0 。
函数连续，当 x → x0 时 f(x) → f(x0) ？ 1. 任何数列 xn → x0 ，都有f(xn) → f(x0)。 2. 任意ε﹥0，存在δ ﹥0，当
移变换，则这两个集合的测度相等，即 B≡B(c,A)={b=c+a;a∈A} → m(B)=m(A)。
\直观认为\ 用区间长度来定义集合测度是自然的，即定义： m((a,b]) = b-a。
如果不满足，原因不在定义而在标准。检验四个条件。
条件1：零测度。 因为单点集 (a,a]是一个空集，则 m((a,a])=0。
数量的第一步抽象 数量 → 数。 2匹马、2头牛 → 2。 数量的本质多与少 → 数的本质大与小 → 刻画大小的序关系 → 自然数、加法 有理数 ≡ 分数：部分与整体；线段长度之比 加法 → 四则运算 自然数 → 整数、有理数、实数 如何定义实数？运算？连续性？
抽象是如何存在的：唯实论(柏拉图)，数学是发现； 唯名论(亚里士多德)，数学是发明。
大学的数学教学也要关注培养学生的 思维方法：创新的根本。 思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。
数学思想方法是什么？通常认为的数学思想方法： 等量替换、数形结合、分类、递归、转换； 配方法、换元法、加强不等式。
二、数学的基本思想 数学产生与发展所依赖的思想； 学习数学以后具有的思维能力。
抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强。 推理：促进数学内部的发展；推理能力强。 模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强。
• 如果a～b，则E(a) = E(b)，即元素之间具有“亲近”关系，则对 应的亲近集合相等；
• 如果a～b不成立，则E(a)∩E(b) = O，即元素之间不具有“亲近” 关系，则对应的亲近集合的交为空集。
根据选择公理， 在每个亲近集合中选出一个元素组成一个新的集合，用C表示。 则集合E(a)∩C中只能含有一个元素。
如何计算： √2·√3 =√2·3 ？用小数验证？ √-2·√-3 = √(-2)·(-3)？
如何理解：连续 ≡ 实数与数轴一一对应？
1872年，康托基本序列：满足柯西准则的有理数列。 \解决实数的运算\
假定有理数列 an → √a, bn → √b 。 根据极限的性质有
︱x - x0︱﹤ δ 时︱f(x) → f(x0)︱﹤ ε 则称 f(x) 在 x0 处连续。 两种收敛等价？实数可以连续不断地趋近某一个数？
清晰定义实数 → 清晰定义无理数 → 重新定义有理数
有理数分数形式 → 小数形式：有限 + 无限循环(极限) 无理数：无限不循环小数 \如何判断(百,千)\
集合公理化系统： 九个公理：ZF系统(策Baidu Nhomakorabea罗1908年\ 弗兰克尔《集合论基础》) 定义：用符号表达的集合、空集、关系、运算； # 选择公理(几乎所有数学分支的基本定理)。
→ 实现了数学的符号化、形式化、公理化。
形式化与直观的矛盾 \数学是创造\
\直观认为\ 集合测度至少要满足下面四个条件：令Ω是由实数 集合构成的类，m是类中的集合测度，那么
条件2：单调性。区间长度显然满足。 条件3：可列可加性。
令 A = {an；n=1,2,……} 则 m(A) = m(a1∪a2∪ ……)
= ∑m(an) = 0。
条件4：存在不可测的反例 \！？\
令A=[0,1]，对A中的实数a和b，如果a-b为有理数，则称这两 个数具有“亲近”关系，记为a～b。 对于a∈A，用E(a) 表示A中所有与a具有“亲近”关系的数的集 合，称之为亲近集合。显然：
1 零测度。空集的测度为零，即m(O)=0。 2 单调性。对于Ω中的两个集合A和B，如果B⊆A，那么
m(B)≦m(A)。 3 可列可加性。对于Ω中的两个集合A和B，如果A∩B=O，那么
m(A∪B)=m(A)+m(B)，对可数个不交集合成立。 4 平移不变性。对于给定的实数c，令B(c,A)表示集合A对于c的平
an2 → a, bn2 → b，an2·bn2 → a·b 则有理数列{an2·bn2 } ≡ {(an·bn)2 }确定实数a·b 所以有理数列{an·bn}确定实数 √a·b，即
√a·√b = √a·b
1872年，戴德金分割。\解决实数的连续性\ 算术公理化系统： 九个公理(皮亚诺，1889年)，定义了自然数和加法。 证明 4≠3。第7公理：a=b，则a+1=b+1； 第8公理：a+1≠1。
抽象了的东西是存在的：抽象的存在。
数量的第二步抽象 变量、极限运算 \如何理解如何解释\
导数：牛顿(1676\1666)提出，最初的解释是利用无穷小。 问题：什么样的函数可导？
→ 明确函数定义 + 明确极限定义 → 符号表达 1755年，欧拉的变量说，初中。\抽象不够\ 问题
f1(x) = shi2x + cos2x 和 f2(x) = 1 表达是一个函数，还是两个函数？ 1851年，黎曼的对应说，高中。\新概念和物理背景\ 函数 → 对应 → 集合 集合：所要研究对象的全体？ \罗素悖论\
漫谈数学的基本思想
史宁中
东北师范大学，长春，130024
一、数学思想与数学文化 文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。 数学文化是数学的形态表现：形式、历史、思想。 思想是本质的，无思想则无文化。
《数学课标》：双基→四基、两能→四能 基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题
抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。 得到：研究问题的对象概念和对象之间的关系概念；
运算方法和运算之间的运算法则。 亚里士多德：
数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中 那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的 量的定义，不是作为存在而是作为关系。
引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。
令区间 [-1,1]中有理数排列：c1, c2,……,cn, ……。 令 Cn≡B(cn,C) 表示集合C对于cn的平移。令：
极限运算 1821年，从柯西开始了现代数学的特征：符号化、形式化、公理化。
可以理解：当 n → ∞ 时1/n → 0； 很难理解：当 n → ∞ 时 x → 0 。
函数连续，当 x → x0 时 f(x) → f(x0) ？ 1. 任何数列 xn → x0 ，都有f(xn) → f(x0)。 2. 任意ε﹥0，存在δ ﹥0，当
移变换，则这两个集合的测度相等，即 B≡B(c,A)={b=c+a;a∈A} → m(B)=m(A)。
\直观认为\ 用区间长度来定义集合测度是自然的，即定义： m((a,b]) = b-a。
如果不满足，原因不在定义而在标准。检验四个条件。
条件1：零测度。 因为单点集 (a,a]是一个空集，则 m((a,a])=0。
数量的第一步抽象 数量 → 数。 2匹马、2头牛 → 2。 数量的本质多与少 → 数的本质大与小 → 刻画大小的序关系 → 自然数、加法 有理数 ≡ 分数：部分与整体；线段长度之比 加法 → 四则运算 自然数 → 整数、有理数、实数 如何定义实数？运算？连续性？
抽象是如何存在的：唯实论(柏拉图)，数学是发现； 唯名论(亚里士多德)，数学是发明。
大学的数学教学也要关注培养学生的 思维方法：创新的根本。 思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。
数学思想方法是什么？通常认为的数学思想方法： 等量替换、数形结合、分类、递归、转换； 配方法、换元法、加强不等式。
二、数学的基本思想 数学产生与发展所依赖的思想； 学习数学以后具有的思维能力。
抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强。 推理：促进数学内部的发展；推理能力强。 模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强。
• 如果a～b，则E(a) = E(b)，即元素之间具有“亲近”关系，则对 应的亲近集合相等；
• 如果a～b不成立，则E(a)∩E(b) = O，即元素之间不具有“亲近” 关系，则对应的亲近集合的交为空集。
根据选择公理， 在每个亲近集合中选出一个元素组成一个新的集合，用C表示。 则集合E(a)∩C中只能含有一个元素。