函数奇偶性的知识点及例题解析

函数的奇偶性知识点及例题解析

一、知识要点：

1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：

(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.

3、奇偶函数的图象：

奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

5、判断函数奇偶性的方法：

⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()

1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；

对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()

1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称；

②、比较)(x f -与)(x f 的关系。

③、扣定义，下结论。 ⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。，

⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：

①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；

②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。

③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。

二、典例分析

1、给出函数解析式判断其奇偶性：

分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系.

【例1】 判断下列函数的奇偶性：

(1). 2()21;f x x x =-+ (2) . 223(),0;3x x f x x x x x ++⎧⎫=

∈≥⎨⎬-⎩⎭ 解：()f x 函数的定义域是()-∞+∞，，

∵ 2()21f x x x =-+，∴ 2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，

∴ 2()21f x x x =-+为偶函数。

（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图象如下：

由函数2()21f x x x =-+的图象可知， 2()21f x x x =-+为偶函数。

说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、

填空题可用图象法判断函数的奇偶性。

(2) . 解：由 303

x x +≥-，得x ∈(－∞，－3］∪(3，+∞). ∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.

【例2】 判断下列函数的奇偶性：

(1). 2

4();33

x f x x -=+- (2). 021()1x f x x -=-。 解： (1).由240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩

，解得 2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且 ∴定义域为－2≤x ＜0或0＜x ≤2，则22

44();33x x f x x x

--==+-. ∴22

4()4()();x x f x f x x

----===-. ∴2

4()33

x f x x -=+-为奇函数. 说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。

(2). 由2010x x ≠⎧⎨-≠⎩，解得 01

x x ≠⎧⎨≠±⎩，∴ 函数定义域为{}0,1x R x x ∈≠≠±， 又∵022111()011

x f x x x --===--，∴()0f x -=， ∴()()f x f x -=且()()f x f x -=-，

所以022111()011

x f x x x --===-- 既是奇函数又是偶函数。

【例3】 判断下列函数的奇偶性：

(1). (1),(0)()0,(0)(1),(0)x x x f x x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩

解析 (1) .函数的定义域为R ，

当0x >时，0,()()(1)(1)();x f x x x x x f x -<-=--=--=-

当0x =时，0,()0();x f x f x -=-==-

当0x <时，[]0,()()1()(1)().x f x x x x x f x ->-=---=-+=-

综上可知，对于任意的实数x ，都有()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数。

说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。 2、抽象函数判断其奇偶性：

【例4】 已知函数()(0),f x x R x ∈≠且对任意的非零实数1,2,x x 恒有

1212()()(),f x x f x f x ⋅=+判断函数()(0)f x x R x ∈≠且的奇偶性。

解：函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，

令121x x ==，得(1)0f =，

令121x x ==-，则2(1)(1),(1)0,f f f -=∴-=

取121,x x x =-=，得()(1)(),f x f f x -=-+()(),f x f x ∴-=

故函数()(0)f x x R x ∈≠且为偶函数。

3、函数奇偶性的应用：

(1) . 求字母的值：

【例5】已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c

+=∈+是奇函数，又(1)2f =，(2)3f <，求,,a b c 的值.

解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+，∴0c =。

又(1)2f =得12a b +=，而(2)3f <得4132a b +<，∴4131

a a +<+， 解得12a -<<。又a Z ∈，∴0a =或1a =.

若0a =，则12

b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈b =1∈Z . ∴1,1,0a b

c ===。

说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f (－1)=－f (1)，得c =0。

(2) . 解不等式：

【例6】若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，求f (x

－1)＜0的解集。

分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f (x )的图象，利用

数形结合的方法.

解：画图可知f (x )＜0的解集为 ｛x ｜－1＜x ＜1｝，

∴f (x －1)＜0，即－1＜x-1＜1，