高等数学习题详解-第6章-定积分

习题6-1

1． 利用定积分的几何意义求定积分：

(1)

1

2xdx ⎰

； (2)

220

a

a x dx -⎰

(0)a >．

解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 10

2xdx ⎰表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角

形的面积,而此三角形面积为1,所以

1

21xdx =⎰．

(2) 根据定积分的几何意义知,

220

a

a x dx -⎰

表示由曲线22,0,y a x x x a =-==及

x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以22201

4

a a x dx a -=⎰π.

2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小：

(1)

1

2

x dx ⎰

与1

3

x dx ⎰； (2)

1

x

e dx ⎰与1

(1)x dx +⎰．

解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,2

3

2

(1)0x x x x -=-≥,即23

x x ≥,

又2

x

3x ,所以1

1

230

x dx x dx >⎰⎰．

(2) 令()1,()1x x

f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,

从而()(0)0f x f ≥=,说明1x

e x ≥+，所以1

1

0(1)x e dx x dx >+⎰

⎰.

3． 估计下列各积分值的范围：

(1)

4

2

1

(1)x dx +⎰

； (2) 33

arctan xdx ⎰

；

(3)

2

a

x a

e dx --⎰

（0a >)； (4)

2

2

x

x

e dx -⎰

．

解 (1) 在区间[]1,4上，函数2

()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4

21

2(41)(1)17(41)d x x -≤

+≤-⎰

,

即 42

1

6(1)51x dx ≤+≤⎰．

(2) 令()arctan f x x x =,则2

()arctan 1x

f x x x '=+

+,当[3]3

x ∈时,()0f x '>,从而()f x 在[3]3上是增函数,从而f (x )在3]3上的最大值(3)3πM f ==,最小值(363

πm f ==所以 33

23arctan 3)9363333xdx =≤≤=⎰ππππ

即

2arctan 93x xdx ≤≤ππ

．

(3) 令2()x f x e -=,则2

()2x f x xe -'=-,令()0f x '=得驻点0x =，又(0)1f =，

2

()()a f a f a e -=-=,a >0时, 2

1a e -<,故()f x 在[],a a -上的最大值1M =，最小值

2

e a m -=,所以

2

2

22a

a x a

a dx a ---≤≤⎰e e .

(4) 令2()x x

f x e

-=,则2

()(21)x x f x x e -'=-,令()0f x '=得驻点1

2

x =

,又(0)1,f = 124

1(),(2)2

f e f e -==,从而()f x 在[]0,2上的最大值2M e =,最小值14m e -=,所以 2

12

24

2x

x

e

e dx e -

-≤≤⎰．

习题6-2

1． 求下列导数：

(1)

0d dx ⎰; (2) 5ln 2x t d t e dt dx

-⎰； (3) cos 2

0cos()x d t dt dx π⎰; (4) sin x d t dt dx t

π⎰ (0x >)． 解 (1)

d dx =⎰. (2) 55ln 2x t x

d t

e dt x e dx

--=⎰. (3) cos 222

0cos()cos(cos )(cos )sin cos(cos )x d t dt x x x x dx

πππ'=⋅=-⎰. (4) sin sin sin x x d t d t x dt dt dx t dx t x

ππ=-=-

⎰⎰. 2． 求下列极限：

(1) 0

2

arctan lim

x

x tdt x →⎰； (2)

()22

2

20

e lim

e x t x

x t dt t dt

→⎰⎰

．

解 (1) ()0

22000021arctan arctan arctan 11(1)lim

lim lim lim 222x x

x x x x tdt tdt x x x x x →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'

⎰⎰．