高等数学习题详解-第6章-定积分

习题6-11． 利用定积分的几何意义求定积分：(1)12xdx ⎰； (2)220aa x dx -⎰(0)a >．解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 102xdx ⎰表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以121xdx =⎰．(2) 根据定积分的几何意义知,220aa x dx -⎰表示由曲线22,0,y a x x x a =-==及x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以222014a a x dx a -=⎰π.2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小：(1)12x dx ⎰与13x dx ⎰； (2)1xe dx ⎰与1(1)x dx +⎰．解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230x dx x dx >⎰⎰．(2) 令()1,()1x xf x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,从而()(0)0f x f ≥=,说明1xe x ≥+，所以110(1)x e dx x dx >+⎰⎰.3． 估计下列各积分值的范围：(1)421(1)x dx +⎰； (2) 33arctan xdx ⎰；(3)2ax ae dx --⎰（0a >)； (4)22xxe dx -⎰．解 (1) 在区间[]1,4上，函数2()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰,即 4216(1)51x dx ≤+≤⎰．(2) 令()arctan f x x x =,则2()arctan 1xf x x x '=++,当[3]3x ∈时,()0f x '>,从而()f x 在[3]3上是增函数,从而f (x )在3]3上的最大值(3)3πM f ==,最小值(363πm f ==所以 3323arctan 3)9363333xdx =≤≤=⎰ππππ即2arctan 93x xdx ≤≤ππ．(3) 令2()x f x e -=,则2()2x f x xe -'=-,令()0f x '=得驻点0x =，又(0)1f =，2()()a f a f a e -=-=,a >0时, 21a e -<,故()f x 在[],a a -上的最大值1M =，最小值2e a m -=,所以2222aa x aa dx a ---≤≤⎰e e .(4) 令2()x xf x e-=,则2()(21)x x f x x e -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2f e f e -==,从而()f x 在[]0,2上的最大值2M e =,最小值14m e -=,所以 212242xxee dx e --≤≤⎰．习题6-21． 求下列导数：(1)0d dx ⎰; (2) 5ln 2x t d t e dt dx-⎰； (3) cos 20cos()x d t dt dx π⎰; (4) sin x d t dt dx tπ⎰ (0x >)． 解 (1)d dx =⎰. (2) 55ln 2x t xd te dt x e dx--=⎰. (3) cos 2220cos()cos(cos )(cos )sin cos(cos )x d t dt x x x x dxπππ'=⋅=-⎰. (4) sin sin sin x x d t d t x dt dt dx t dx t xππ=-=-⎰⎰. 2． 求下列极限：(1) 02arctan limxx tdt x →⎰； (2)()22220e lime x t xx t dt t dt→⎰⎰．解 (1) ()022000021arctan arctan arctan 11(1)limlim lim lim 222x xx x x x tdt tdt x x x x x →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰．(2) ()()22222222222000020000220022lim lim lim lim xxx x t t t x tx x x x x x x t x t e dt e dt e dt e dt xe xe te dtte dt →→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰e []2222202000222lim lim lim 2122x t x x x x x x x e dt e x e xe x xe →→→'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰． 3． 求由方程e cos 0yxt dt tdt +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数．解 方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-， 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=， 即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-． 4． 计算下列定积分：(1)1⎰； (2)221d x x x --⎰；(3) 设,0,2()sin ,2x x f x x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤;⎪⎩ ，求0()f x dx π⎰(4)⎰．解 (1)4321121433x ==⎰.(2)21222221101()()()dx x x dx x x dx x x dx x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰ 012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(3) ()22220022()sin 1cos 82xf x dx xdx xdx x ππππππππ=+=+=+-⎰⎰⎰(4)32322(2)(2)x dx x dx x dx =-=-+-⎰⎰⎰⎰232202115(2)(2)222x x x x =-+-=．5．设函数()f x 在区间[],a b 上连续,在(),a b 内可导,()0f x '≤,1()()xaF x f t dt x a =-⎰；证明：在(),a b 内有()0F x '≤． 证明 22111()()()()()()()()xx aa F x f t dt f x x a f x f t dt x a x a x a ⎡⎤'=-+=--⎢⎥⎣⎦---⎰⎰[][][]21()()()(),(,,)()x a f x x a f a x a b x a ξξ=---∈∈- (),((,)(,))x f x a b x aξηηξ-'=∈∈-． 由已知条件可知结论成立．习题 6-31． 计算下列积分：(1) 3sin()x dx πππ+3⎰； (2) 32(115)dxx 1-+⎰；(3)1-⎰； (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰；(5)22cos udu ππ6⎰；(6)2e 1⎰(7)1(8)；(9)ln3ln 2e e x x dx --⎰； (10) 3222dxx x +-⎰． 解 (1)333sin()sin()()[cos()]x dx x d x x ππππππππππ+=++=-+3333⎰⎰42coscos 033ππ=-+=. (2) 123322211(511)151(511)(115)5(511)10512dx d x x x x 11---+==-=+++⎰⎰. (3)1111(54)14x --=--==⎰⎰.(4)233422011sin cos cos cos cos 44d d πππϕϕϕϕϕϕ=-==-⎰⎰.(5) 222221cos 211cos cos 2(2)224u udu du du ud u ππππππππ6666+==+⎰⎰⎰⎰2611sin 226264u πππππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭(6)222111)e e ===⎰⎰. (7) 令tan x t =，则2sec dx tdt =，当1x =时，4t π=；当x =3t π=；于是332144cos 1sin sin t dt t tππππ==-=⎰． (8)令x t =,则dx tdt =,当0x =时，0t =；当x =,2t π=；于是2222012cos (1cos 2)(sin 2)22tdt t dt t t ππππ==+==+⎰⎰．(9) 令xe t =，则1ln ,d x t x dt t==，当ln 2x =时，2t =;；当ln3x =时,3t =；于是3ln3332ln 22221113111(ln ln )12222111x x dx dt t dt e e t t t t --⎛⎫====- ⎪---++⎝⎭⎰⎰⎰． (10)333222211111()ln 231232dx x dx x x x x x -=-=+--++⎰⎰1211(ln ln )ln 2ln 53543=-=- 2． 计算下列定积分： (1)1e x x dx -⎰； (2)e1ln x xdx ⎰；(3)41dx ⎰； (4) 324sin xdx xππ⎰； (5) 220e cos xxdx π⎰； (6) 221log x xdx ⎰；(7)π2(sin )x x dx ⎰； (8) e1sin(ln )x dx ⎰．解 (1)1111000x x x xxe dx xde xe e dx ----=-=-+⎰⎰⎰1110121x e ee e e e----=--=--+=-． (2)2222211111111111ln ln ln (1)222244ee e ee x xdx xdx x x xdx e x e ==-=-=+⎰⎰⎰．(3) 444111112ln 28ln 2dx x dx x ==-=-⎰⎰⎰ 8ln 24=-．(4) 333324444cot cot cot sin x dx xd x x x xdx x ππππππππ=-=-+⎰⎰⎰34π131ln ln sin 492249xπππ⎛=-+=+- ⎝⎭．(5)22222222cos sin sin 2sin x x xx e xdx e d x e xe xdx ππππ==-⎰⎰⎰22222202cos 2cos 4cos x xx e e d x e e xe xdx πππππ=+=+-⎰⎰220e 24cos x e xdx ππ=--⎰于是221cos (2)5xe xdx e ππ=-⎰． (6) ()2222222111122221111log ln ln 2ln 22ln 211ln 2ln 22x xdx xdx x x xdx x x x ==-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 133(4ln 2)22ln 224ln 2=-=-． (7) 223200001111(sin )(1cos 2)(sin2)2232x x dx x x dx x x d x ππππ=-=-⎰⎰⎰33200011(sin 22sin2)cos26464x x x xdx xd x πππππ=--=-⎰⎰ 3001(cos 2cos2)64x x xdx πππ=--⎰ 3301sin 264864x πππππ=-+=-． (8)111sin(ln )sin(ln )cos(ln )eeex dx x x x dx =-⎰⎰11sin1cos(ln )sin(ln )eee x x x dx =--⎰1sin1cos11sin(ln )ee e x dx =-+-⎰所以11sin(ln )(sin1cos11)2ex dx e e =-+⎰． 3． 利用被积函数的奇偶性计算下列积分：(1)11ln(x dx -+⎰ ； （2）1212sin 1xdx x -++⎰(3)222(x dx -⎰; (4)4224cos d θθππ-⎰．解 (1)ln(1x +是奇函数，11ln(0x dx -∴+=⎰．(2)2sin 1xx +是奇函数，121sin 01x dx x-∴=+⎰， 因此 111221112sin 22arctan 11x dx dx x x x π---+===++⎰⎰．(3)2222222((42416x dx dx dx ---=+==⎰⎰⎰．(4) ()244222022201cos 24cos 8cos 82212cos 2cos231384222d d d d θθθθθθθθθππππππ-π+⎛⎫== ⎪⎝⎭=++=⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰．4． 证明下列等式： (1) 证明：11(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰⎰；(2) 证明：1122111xx dx dx x x =++⎰⎰ (0x >)； (3) 设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上的周期为T 的连续函数，则对任意(,)a ∈-∞+∞，有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．证 (1)令1x t -=，则dx dt =-，当0x =时，1t =；当1x =时，0t =；于是1111(1)(1)()(1)(1)m nm nnmn m x x dx t t dt t t dt x x dx -=--=-=-⎰⎰⎰⎰，即11(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰⎰．(2) 令1x t =则21dx dt t-=， 于是11111112222211211111111111t xx t t dx dt t dt dx x tt x t t⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰d ，即 1122111xx dx dx x x =++⎰⎰． (3) 因为()()()a TT a Taaf x dx f x dx f x dx ++=+⎰⎰⎰，而()()()a Taaaf x dx x t T f t T dt f t dt +=++=⎰⎰⎰令()()()aT Taf x dx f x dx f x dx ==-⎰⎰⎰故()()a TT af x dx f x dx +=⎰⎰．4． 若()f t 是连续函数且为奇函数，证明0()xf t dt ⎰是偶函数；若()f t 是连续函数且为偶函数，证明()xf t dt ⎰是奇函数．证 令0()()xF x f t dt =⎰．若()f t 为奇函数，则()()f t f t -=-，令t u =-，可得()()()()()xx xF x f t dt f u du f u du F x --==--==⎰⎰⎰,所以0()()xF x f t dt =⎰是偶函数．若()f t 为偶函数，则()()f t f t -=，令t u =-，可得()()()()()xx xF x f t dt f u du f u du F x --==--=-=-⎰⎰⎰,所以0()()xF x f t dt =⎰是奇函数．5． 利用分部积分公式证明：()()()()d xxuf u x u du f x x du -=⎰⎰⎰．证 令0()()uF u f x dx =⎰则()()F u f u '=,则(())()()()xu x xxf x dx du F u du uF u uF u du '==-⎰⎰⎰⎰()()()()xxxxF x uf u du x f x dx uf u du =-=-⎰⎰⎰ 0()()()()xx x xx f u du uf u du xf u du uf u du =-=-⎰⎰⎰⎰()()xx u f u du =-⎰．习题6-41． 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =-； (2) xy e =与0x =及y e =； (3) 24y x =-与0y =； (4) 2y x =与y x =及2y x =；(5) 1y x =与y x =及2x =； (6) 2y x =与2y x =-；(7) ,x xy e y e -==与1x =；(8) sin (0)2y x x π=≤≤与0,1x y ==． 解 (1)两曲线的交点为(1,1),(1,1)-，取x 为积分变量，[]1,1x ∈-，面积元素22(2)dA x x dx =--，于是所求的面积为112311182(1)2()33A x dx x x --=-=-=⎰．(2) 曲线x y e =与y e =的交点坐标(1,)e ， xy e =与0x =的交点为(0,1)，取y 为积分变量，[]1,y e ∈，面积元素ln dA ydy =；于是所求面积为111ln (ln )1eeeA ydy ydy y y y ===-=⎰⎰．(3)曲线24y x =-与0y =的交点为(2,0),(2,0)-，取x 为积分变量，[]2,2x ∈-，面积元素2(4)dA x dx =-，于是所求的面积为222322132(4)(4)33A x dx x x --=-=-=⎰．(4) 曲线2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1)；2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4)； 它们所围图形面积为：121222011(2)(2)(2)A x x dx x x dx xdx x x dx =-+-=+-⎰⎰⎰⎰223121117()236x x x =+-=．(5) 曲线1y x =与y x =的交点为(1,1)，1y x =与2x =的交点为1(2,)2；取x 积分变量，[]1,2x ∈，面积元素1()dA x dx x=-，于是所求的面积为22211113()(ln )ln 222A x dx x x x =-=-=-⎰．(6) 曲线2y x =与2y x =-的交点为()()114,2-，和，取y 作积分变量，[]1,2y ∈-，面积元素2(2)dA y y dy =+-，于是所求的面积为2222311117(2)(2)232A y y dy y y y --=+-=+-=⎰．(7) 曲线x y e =与xy e-=的交点(0,1)，取x 作积分变量,[]0,1x ∈，面积元素()x x dA e e dx -=-，于是所求图形的面积为10)()2x x x x A e e dx e e e e--=-=+=+-⎰101(． (8)取x 作积分变量，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，面积元素(1sin )dA x dx =-，于是所求的面积为2200(1sin )(cos )12A x dx x x πππ=-=+=-⎰．2． 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：(1) 1,4,0y x x y ====，绕x 轴；(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴； (4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．解 (1)取x 作积分变量，[]1,4x ∈，体积元素2dV dx xdx ππ==，于是所求旋转体的体积为442111522V xdx x πππ===⎰． (2)绕x 轴旋转时，取x 作积分变量，[]0,2x ∈，体积元素32()x dV x dx π=，于是2267012877x V x dx x πππ===⎰； 同理可求平面图形绕y 旋转所成的旋转体的体积858223003642(4)55y V dy y y πππ⎡⎤=-=-=⎣⎦⎰．(3)曲线2y x =与2x y =的交点为(0,0),(1,1)，取y 作积分变量[]0,1y ∈，体积元素222()dV y dy π⎡⎤=-⎣⎦，于是所求的旋转体的体积为1142500113()()2510V y y dx y y πππ=-=-=⎰． (4) 取y 作积分变量[]1,1y ∈-，体积元素22(5(520dV dy π⎡⎤=-=⎣⎦，于是所求的旋转体的体积为1212020102V πππ-==⋅=⎰．3．设某企业边际成本是产量Q （单位）的函数0.2()2QC Q e '=（万元／单位），其固定成本为090C =（万元），求总成本函数． 解 总成本函数为0.200()()290Q QQ C Q C Q dQ C e dQ '=+=+⎰⎰0.20.2010901080QQ Q e e =+=+．4．设某产品的边际收益是产量Q （单位）的函数()152R Q Q '=-（元／单位），试求总收益函数与需求函数． 解 总收益函数为20()(152)15QR Q Q dQ Q Q =-=-⎰需求函数为()15R Q P Q Q==-． 5．已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数()25,0f t t t =+≥，问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解 设产品总产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量552510()(25)(5)50Q f t dt t dt t t ==+=+=⎰⎰．第二个5月的总产量为10102102555()(25)(5)100Q f t dt t dt t t ==+=+=⎰⎰．6．某厂生产某产品Q (百台)的总成本()C Q (万元)的变化率为()2C Q '=(设固定成本为零)，总收益()R Q (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数()72R Q Q '=-．问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又多生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=,2.5Q =(百台)时,总利润最大，此时的总成本和总收益分别为2.52.52.50()225C C Q dQ dQ Q'====⎰⎰2.52.52.520()(72)(7)11.25R R Q dQ Q dQ Q Q '==-=-=⎰⎰总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).即当产量为2.5(百台)时,总利润最大，最大利润是6.25万元．(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本3300()26C C Q dQ dQ '===⎰⎰，总收入3323000()(72)(7)12R R Q dQ Q dQ Q Q '==-=-=⎰⎰， 总利润为1266L R C =-=-=(万元)．减少了6.2560.25-=万元．即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元．习题 6-51． 判断下列反常积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)41dxx +∞⎰； (2)1+∞⎰； (3) 0xe dx +∞-⎰(a ＞0); (4)sin xdx +∞⎰;(5)1-⎰； (6)222dxx x +∞-∞++⎰；(7)21⎰； (8)10ln x xdx ⎰；(9)e1⎰； (10)23(1)dxx -⎰．解 (1)14311133dx x x +∞+∞=-=⎰．此反常积分收敛．(2)1+∞==+∞⎰．此反常积分发散． (3) 101x xe dx e +∞--+∞=-=⎰．此反常积分收敛．(4) 0sin cos lim cos 1x xdx x x +∞+∞→+∞=-=-+⎰不存在，此反常积分发散．(5)111arcsin x π--==⎰．此反常积分收敛．(6)22(1)arctan(1)22(1)1dxd x x x x x π+∞+∞+∞-∞-∞-∞+==+=++++⎰⎰．此反常积分收敛．(7)23222110012lim lim (1)3x εεεε+++→→+⎡==-+⎢⎣⎰⎰320222lim 22333εε+→⎛==-- ⎝．此反常积分收敛． (8)11122221000111111ln limln lim ln lim ln 222424x xdx xdx x x xdx εεεεεεεεε→→→⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰， 所以11220001111ln lim ln lim(ln )4244x xdx x xdx εεεεεε++→→==--=-⎰⎰．此反常积分收敛．(9)111πarcsin(ln )2eeex ===⎰⎰．此反常积分收敛． (10)21233301(1)(1)(1)dx dx dx x x x =+---⎰⎰⎰，因为反常积分1132001(1)(1)dx x x ==∞--⎰发散，所以反常积分230(1)dxx -⎰发散． 2． 当k 为何值时，反常积分+2(ln )kdxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 解 当1k =时，++222ln ln(ln )ln ln dxd x x x x x∞∞+∞===+∞⎰⎰,发散.当1k ≠时,1++122211(ln )(1)(ln 2)(ln )ln (ln )11kk kk k dx x k x d x x x kk -∞∞--+∞⎧>⎪-===⎨-⎪+∞<⎩⎰⎰所以，当1k >时，此广义积分收敛；当1k ≤时，此广义积分发散． 3． 利用递推公式计算反常积分+0e n x n I x dx ∞-=⎰．解 ++110n x n xn x n n I x de x e n x e dx nI ∞∞----+∞-=-=-+=⎰⎰,因为 +101x x xI xde xe e ∞---+∞+∞=-=--=⎰,所以 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-=.复习题6（A ）1、 求下列积分：（1）121tan sin 1xdx x -+⎰； （2）⎰； （3）2x⎰； （4）ln 0⎰；（5）21220(1)x dx x +⎰； （6）1⎰；（7）120xx e dx -⎰； (8)21(ln )ex dx ⎰；(9) 401cos 2xdx xπ+⎰； (10) 20cos x e xdx π-⎰；(11) 20sin 1cos x xdx x π++⎰； (12) 40ln(1tan )x dx π+⎰． 解 (1) 因为被积函数2tan sin 1x x +是奇函数,所以121tan 0sin 1xdx x -=+⎰．(2)=⎰⎰，令1sin x t -=，则cos dx tdt =；当0x =时，2t π=-；当1x =时，0t =；所以22221cos 2sin 2cos 2244t t t tdt dt ππππ---+⎡⎤===+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰． (3) 令2sin x t =，则2cos dx tdt =，当0x =时，0t =；当2x =时，2t π=；所以222222204sin 4cos 4sin 22(1cos 4)xt tdt tdt t dt πππ=⋅==-⎰⎰⎰⎰2012(sin 4)4t t ππ=-=． (4)t =，则221tdx dt t =+，当0x =时，0t =；当ln 2x =时，1t =；所以2ln 11200022(arctan )2(1)14t dt t t t π==-=-+⎰⎰． (5) 令tan x t =，则2sec dx tdt =，当0x =时，0t =；当1x =时，4t π=；所以22412442240000tan 1cos 2sin 21sec ()(1)sec 22484x t t t t dx tdt dt x t ππππ-===-=-+⎰⎰⎰．(6) 令sec x t =，则sec tan dx t tdt =，当1x =时，0t =；当2x =时，3t π=；所以23330100tan sec tan tan (tan )sec 3t t tdt tdt t t t ππππ===-=⎰⎰⎰．(7)111112221022x x x x x x e dx x de x e xe dx e xde ------=-=-+=--⎰⎰⎰⎰1111110223225x x x e xe e dx e e e ------=--+=--=-⎰．(8)22111111(ln )ln 2ln 2ln 22ee e e e x dx x x x x dx e x x dx e x=-⋅=-+=-⎰⎰⎰．(9) 44440000tan tan tan 1cos 2xdx xd x x x xdx x ππππ==-+⎰⎰⎰ 401ln cos ln 2442x πππ=+=-． (10)22220cos cos cos sin xxxx e xdx xdee x e xdx ππππ----=-=--⎰⎰⎰2220001sin 1sin cos xxx xdee x e xdx πππ---=+=+-⎰⎰221cos x ee xdx ππ--=+-⎰，所以 2201cos (1)2xe xdx e ππ--=+⎰．(11)22222000002sin sin cos tan 1cos 1cos 21cos 2cos2x x x x x d x dx dx dx xd x x x x πππππ+=+=-+++⎰⎰⎰⎰⎰2220002200tan tan ln(1cos )222ln cos ln(1cos )22x x x dx x x x ππππππ=--+=--+⎰20ln 22ln cos222x πππ=++=． (12) 4444000cos sin ln(1tan )ln ln(cos sin )ln cos cos x x x dx dx x x dx xdx xππππ++==+-⎰⎰⎰⎰令4x u π-=，可得0440041ln(cos sin )ln cos()(ln 2ln cos )42x x dx x dx u du ππππ⎤+=-=-+⎥⎦⎰⎰⎰40ln 2ln cos 8xdx ππ=+⎰所以40ln 2ln(1tan )8x dx ππ+=⎰．2、设()f x 在[],a b 上连续，且()1baf x dx =⎰，求()b af a b x dx +-⎰．解 令a b x t +-=，则dx dt =-，当x a =时，t b =；当x b =时，t a =；所以()()()1bababaf a b x dx f t dt f t dt +-=-==⎰⎰⎰．3、设()f x 为连续函数，试证明：()()(())xx tf t x t dt f u du dt -=⎰⎰⎰．证 用分部积分法，(())()(())xxt tx tf u du dt t f u du td f u du =-⎰⎰⎰⎰⎰()()()()xx x xx f u du tf t dt xf t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰⎰()()xf t x t dx =-⎰．4、设()u ϕ为连续函数，试证明：220()2()aa ax dx x dx ϕϕ-=⎰⎰．证2220()()()aaaax dx x dx x dx ϕϕϕ--=+⎰⎰⎰，令x t =-，则0022220()(())()()a aaax dx t dt t dt x dx ϕϕϕϕ-=--==⎰⎰⎰⎰所以022220()()()2()aa aaax dx x dx x dx x dx ϕϕϕϕ--=+=⎰⎰⎰⎰．5、计算下列反常积分：（1）2048dxx x +∞++⎰； （2）21arctan x dx x+∞⎰； （3）1⎰； （4）1e ⎰解 (1)222000(2)12arctan 48(2)2228dx d x x x x x π+∞+∞+∞++===++++⎰⎰． (2)221111arctan 1arctan 1arctan (1)x x dx xd dx x x x x x +∞+∞+∞+∞=-=-++⎰⎰⎰ 22111lnln 242142xx ππ+∞=+=++.(3)11100022dx π⎡===⎣⎰⎰．(4)112ee ===⎰⎰． 6、求抛物线22y px =及其在点(,)2pp 处的法线所围成的平面图形的面积． 解 抛物线22y px =在点(,)2p p 处的法线方程为32x y p +=，两曲线的交点为9(,3),(,)22pp p p -；取y 作积分变量3p y p -≤≤，所求的平面图形面积为 2232333131116()()222263pp p pA p y y dy py y y p p p --=--=--=⎰． 7、求由曲线32y x =与直线4,x x =轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．解 曲线32y x =与直线4x =的交点为(4,8)，取y 作积分变量，08y ≤≤，体积元素223244()(16)dy y dy y dy ππ⎡⎤=-=-⎣⎦于是，所求的旋转体的体积为884373003512(16)(16)77V y dy y y πππ=-=-=⎰．8、设某产品的边际成本为()2C Q Q '=-（万元/台），其中Q 代表产量，固定成本022C ==（万元），边际收益()204R Q Q '=-（万元/台）．试求： (1) 总成本函数和总收益函数； (2) 获得最大利润时的产量；(3) 从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化． 解 (1)总成本函数2001()(2)2222QC Q Q dQ C Q Q =-+=-+⎰，总收益函数20()(204)202QR Q Q dQ Q Q =-=-⎰．(2)利润函数23()()()18222L Q R Q C Q Q Q =-=--，令()0L Q '=,得6Q =(台)，而(6)30L ''=-<，所以当产量6Q =(台)时，利润最大．(3)(10)(6)83224L L -=-=-，所以从最大利润时的产量又生产了4台，总利润减少了24（万元）．(B) 1、填空题：(1)202cos x d x t dt dx=⎰ . (2) 设()f x 连续，220()()x F x xf t dt =⎰，则()F x '= .(3) 2sin()x d x t dt dx -=⎰ .(4) 设()f x 连续，则220()xd tf x t dt dx -=⎰ . (5) 设20cos ()1sin xt f x dt t=+⎰,则220()1()f x dx f x π'=+⎰ . (6) 设()f x 连续，且1()2()f x x f x dx =+⎰，,则()f x = .(7) 设()f x 连续，且()1cos xtf x t dt x -=-⎰,则20()f x dx π=⎰ .(8)2ln e dxx x +∞=⎰ .解 (1) 2220002224cos (cos )cos (cos )2x x x d d x t dt x t dt t dt x x x dx dx==+-⋅⎰⎰⎰2224cos 2cos xt dt x x =-⎰.(2) 2222200()(())()()2x x d F x x f t dt f t dt x f x x dx '==+⋅⋅⎰⎰22220()2()x f t dt x f x =+⎰.(3) 令x t u -=,则02220sin()sin ()sin xxxx t dt u du u du -=-=⎰⎰⎰所以22200sin()sin sin x x d d x t dt u du x dx dx-==⎰⎰. (4)令22x t u -= 则222222001()()()2x x tf x t dt f x t d x t -=---⎰⎰220011()()22x x f u du f u du =-=⎰⎰．所以2222001()()()2x x d d tf x t dt f u du xf x dx dx-=⋅=⎰⎰． (5)22200()arctan ()arctan ()arctan (0)1()2f x dx f x f f f x πππ'==-+⎰， 而02222000cos cos (0)0,()arctan(sin )1sin 21sin 4t t f dt f dt t t t ππππ=====++⎰⎰，所以220()arctan 1()4f x dx f x ππ'=+⎰(6) 等式1()2()f x x f x dx =+⎰两边在区间[]0,1积分得111100001()2()2()2f x dx xdx f x dx f x dx =+=+⎰⎰⎰⎰101()2f x dx =-⎰， 所以 ()1f x x =-．(7)令x t u -=，则du dt =-，于是00()()()xxtf x t dt x u f u du -=-⎰⎰原等式化为 0()()1cos xxx f u du uf u du x -=-⎰⎰两边对x 求导()sin xf u du x =⎰在上式中，令2x π=，得()1xf x dx =⎰．(8)22ln 11ln ln ln ee edx d x x x x x +∞+∞+∞==-=⎰⎰ 2、计算下列积分：(1) 120ln(1)(2)x dx x +-⎰； (2) 3142(1)x x dx -⎰；(3) 31(2)f x dx -⎰，其中21()x x f x e -⎧+=⎨⎩ 00x x ≤>；(4) 0()f x dx π⎰，其中0sin ()x t f x dt tπ=-⎰． 解 (1) 111120000ln(1)1ln(1)ln(1)(2)22(1)(2)x x dxdx x d x x x x x ++=+=----+-⎰⎰⎰ 1100111111ln 2()ln 2ln ln 2312323x dx x x x +=--=-=+--⎰. (2) 令2sin x t =，则331144242222200001111cos 2(1)(1)cos ()2222t x x dx x dx tdt dt ππ+-=-==⎰⎰⎰⎰220011cos 41313(12cos 2)(sin 2sin 4)8282832t t dt t t t πππ+=++=++=⎰． (3) 令2x t -=，则dx dt =，当1x =时，1t =-；当3x =时，1t =；于是3101111(2)()()()f x dx f t dt f x dx f x dx ---==+⎰⎰⎰⎰12171(1)3x x dx e dx e--=++=-⎰⎰. (4) 由题设有sin ()xf x xπ'=-，用分部积分法得 00000sin sin ()()()t x f x dx xf x xf x dx dt x dx t xππππππππ'=-=---⎰⎰⎰⎰ 000sin sin sin ()x x xdx x dx x dx x x xππππππππ=-=----⎰⎰⎰sin 2xdx π==⎰．3、设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，求10()f x dx ⎰． 解 等式两边在区间[]0,1上积分得11113200001()()1f x dx dx f x dx x dx x =+⋅+⎰⎰⎰⎰11100011arctan ()()444x f x dx f x dx π=+=+⎰⎰解得1()3f x dx π=⎰．4、求函数2()(1)x t f x t e dt -=-⎰的极值．解 令222()(1)22(1)(1)0x x f x x e x x x x e --'=-⋅=--+=，得函数()f x 的驻点：1,0,1-；当1x <-时，()0f x '>；当10x -<<时，()0f x '<； 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；所以函数()f x 在0x =处取得极小值(0)0f =，在1x =±处取得极大值：101(1)(1)t f t e dt e-±=-=⎰．5、设21sin ()x tf x dt t=⎰，求10()xf x dx ⎰．解 用分部积分法得221211122220011001sin 1sin 1sin ()2222x x t t x xf x dx dt dx x dt x xdx t t x ⎡⎤⎡⎤==-⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰112220011cos11sin cos 222x dx x -=-==⎰．6、求曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积． 解 抛物线(1)(2)y x x =--的顶点坐标为31(,)24-，左、右半支方程分别为：11()(32x y =和21()(32x y =；取y 作积分变量，104y -≤≤；体积元素为2221(())(())3dV x y x y dy π⎡⎤=-=⎣⎦，因此所求的旋转体的体积为0302114433(14)(14)422V y y πππ--==+=+=⎰⎰．７、设2()()()xax x t f t dt Φ=-⎰，证明：()2()()xax x t f t dt 'Φ=-⎰．证 2222()(2)()()2()()xxx xaaaax x xt t f t dt xf t dt x tf t dt t f t dt Φ=-+=-+⎰⎰⎰⎰，所以()22()()2()()xxx aaax xf t dt x tf t dt t f t dt ''Φ=-+⎰⎰⎰222()()2()2()()xxa ax f t dt x f x tf t dt x xf x x f x =+--⋅+⎰⎰2()2()2()()xx xaaaxf t dt tf t dt x t f t dt =-=-⎰⎰⎰．8、设连续函数()f x 满足(2)2()f x f x =，证明：2110()7()xf x dx xf x dx =⎰⎰． 证 202110()()()xf x dx xf x dx xf x dx =+⎰⎰⎰， 令2x t =，则21110000()2(2)(2)42()8()xf x dx tf t d t t f t dt xf x dx ==⋅=⎰⎰⎰⎰， 所以 202110()()()xf x dx xf x dx xf x dx =+⎰⎰⎰ 111000()8()7()xf x dx xf x dx xf x dx =-+=⎰⎰⎰．。