无理数教学设计

引导学生用有理数逐步两边逼近2，并在活动记录表（见附页1）上进行记录．

3．利用“两边夹逼”的方法及科学计算器，确定2小数点后第2、3、4位甚至更多数位的数字．

用计算器直接算得证，

∵

1.5

∴

∴

是

预案

证，

∵

∴

∴

是

学生合作探索估算

数点后第

多数位的数字，

动记录表上．

学生实物投影展示成果

预案：

到：∵

数字是

预案：用计算器继续探究得：∵

1.412

1.413

1.414

1.415

∴

∴

是

学生用计算器

直接算得

教师通过电脑上的计算器得出

1.41421356222

1.99999999951041326884 1.41421356232

1.999999999579325598129

还能继续这样算下去吗？

是可以的，并且它们的平

教师追问为什么是无限的？为什么是不循环的，可不可能

附页1：活动记录表估算2

附页2：阅读材料

毕达哥拉斯学派曾在数学上作出过突出的贡献． 在两千多年前，该学派碰到了一个伤脑筋的问题：如果l 2 = 2，那么l 到底是多少呢？是整数，还是分数呢？显然l 不是整数． 因为 12 = 1，22 = 4，所以l 一定比1 大，比2 小． 按照毕达哥拉斯学派对数的认识，l 就一定是分数了． 可是他们费了九牛二虎之力，也找不到这个分数．作为毕达哥拉斯学派的门徒，希伯斯对此问题很感兴趣，他花费了很大的精力去研究这个问题． 经过深入细致的研究后，他断言，l 既不是整数，也不是分数，而是当时还没有认识的一种新数．希伯斯发现了新的数，推翻了毕达哥拉斯学派关于数只有整数和分数的结论，动摇了毕达哥拉斯学派的基础． 该学派大为恐慌，立下令封锁该“发现”，并扬言，谁敢把这一机密泄露给局外人，就对谁处以极刑． 真理是封锁不住的，尽管毕达哥拉斯学派内部纪

律严明，希伯斯的发现还是被许多人知道了． 学派追查泄密的人，结果发现不是别人，正是希伯斯自己． 这还了得，希伯斯竟敢背叛自己所在的学派，一定

要严惩他． 这样，悲剧就发生了． 这个学派残忍地杀害了希伯斯．

由于2是小数，所以只需确认2不是有限小数也不是无限循环小数，只要说明它不是整数也不是分数．显然2不是整数，则只需要证明2不是分数，我们可以采用反证法．

证明：假设2是有理数，则m

n

=

2（m 、n 为整数）， ∴22

22

＝2即,)()2(m

n m n =

∴2 m 2 = n 2，即2×m ×m =n ×n

∴等式左边为2 m 2是偶数 ∴等式右边n 2也是偶数 ∴n 也是偶数

∴这个式子的右边有偶数个2 因子， ∵当m 为偶数时，m ×m 有偶数个2的因子； 当m 为奇数时，m ×m 没有2的因子 ∴这个式子的左边2×m ×m 有奇数个2 因子，与这个式子的右边有偶

数个2 因子矛盾！

∴假设错误，2不是有理数，即它不是有限小数也不是无限循环小

数．

∴2是无限不循环小数．

2不是有理数，它是一种新的数，真理是不可战胜的． 据柏拉图记载，后来又发现了类似l 2 = 2 的数，这些“怪物”深深地困惑着古希腊的数学家们．