基于MATLAB的函数误差分布模拟与计算_陈光

基于MATLAB的函数误差分布模拟与计算

陈 光 任志良 孙海柱

(海军工程大学兵器工程系,武汉430033)

摘 要 函数误差是间接测量误差的一种,本文介绍了一种用于求解函数误差分布的计算机随机模拟法。结合具体算例编制了M AT LA B仿真程序,仿真结果表明该方法准确、可行,对复杂测量模型的误差分析尤为有效。

关键词 函数误差;间接测量;标准差;随机模拟法;M AT LA B

0 引言

在测量活动中,有时因被测量对象的特点或为了追求更好的测量效果,而采用间接测量。间接测量误差通常由直接测量与被测量之间的函数关系来计算,因此又称为函数误差。研究函数误差的分布问题,传统的做法为:根据概率论的知识,设间接测量x1,x2, ,x n的分布密度函数为p i(x),i=1,2, ,n。则函数y=f(x1,x2, ,x n)的概率分布函数为:

F(y)=P(f(x1,x2, ,x n) y)

= f(x1,x2, ,x n) y p(x1,x2, ,x n)

d x1d x2 d x n(1) p(x1,x2, ,x n)为x1,x2, ,x n的联合概率分布密度函数。通过解析法由式(1)即可求得函数y的概率分布密度函数p(y)=F (y)。这种方法在间接测量很多的情况下,求解是十分困难的,且精度也比较差。

为解决上述问题,本文介绍一种计算机随机模拟法,这种方法使用简单、计算精度高,不仅可以模拟出函数误差的分布,还可计算标准差等数字特征。

1 计算机随机模拟法

计算机模拟是指用计算机及其软件模拟某个实际系统的部分特征或状态。对测量误差问题,模拟的对象为测量系统,所关心的问题是测量诸因素的变化对测量值的影响。计算机模拟测量系统的原理框图如图1

所示。用随机模拟法求解函数随机误差

图1 计算机模拟测量系统原理图

分布的一般步骤如下:

输入各间接测量x1,x2, ,x n及其算术平均值 x1, x2, , x n和标准偏差 1, 2, , n。

产生所需误差分布如正态分布或均匀分布等的大样本伪随机数,并绘制描述各输入直接量误差分布的统计直方图。

按函数测量模型计算间接量y,并绘制该函数误差分布的统计直方图。

统计并输出该间接量的最佳估计值 y,标准差s与 s y及误差分布区间半宽度 。

2 算例

用两块标称长度为50mm的标准块规校准某块规,输出两者的长度差如下:

y=f(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=x1+x2-x1 (x4x5+x3x6)(2)

式中,x1为被校验的块规在20 时的校准长度50.000623mm,服从正态分布, x1=25nm;

x2为两标准块规在20 时的长度差215nm,服从正态分布, x2=9.7nm;

x3为标准块规的热膨胀系数11.5 10-6 -1,

误差与数据处理 54

服从均匀分布, x3=1.2 10-6 -1;

x4为试验温度偏离标准温度-0 1 ,服从反正弦分布, x4=0.41 ;

x5为两块规的热膨胀系数差0,服从均匀分布, x5=0.58 10-6 -1;

x6为两块规间温度差0,服从均匀分布, x6= 0.029 。

已知各个直接测量之间不相关。采用随机模拟法求解上述校准的误差分布及标准差的MAT LAB 程序清单如下:

a=rand(1,100000); %产生10万个(0,1)区间均匀分布的随机数

b=randn(1,100000); %产生10万个服从N (0,1)的随机数

u1=50.00062;s1=2.5e-005; %间接测量x1的均值,方差

x1=u1+s1*b; %产生与x1同分布的模拟随机数

u2=2.15e-004;s2=9.7e-006; %间接测量x2的均值,方差

x2=u2+s2*b; %产生与x2同分布的模拟随机数

x3=9.42e-006+4.16e-006*a; %产生与x3同分布的模拟随机数

u4=-0.1;s4=0.41; %间接测量x4的均值,方差

xita=-pi+2*pi*a;

x4=u4+s4*20.5*sin(xita)

; %产生与x4同分布的模拟随机数

x5=-0.97e-006+1.94e-006*a; %产生与x5同分布的模拟随机数

x6=-0.0502+0.1004*a; %产生与x6同分布的模拟随机数

y=x1+x2-x1.*(x4.*x5+x3.*x6); %由间接量计算函数值

%各间接测得量的误差分布图

subplot(231)hist(x1,100)subplot(232)hist(x2,100) subplot(233)hist(x3,100)subplot(234)hist(x4,100) subplot(235)hist(x5,100)subplot(236)hist(x6,100) figure

hist(y,100) %函数误差分布图

p=mean(y)%求函数误差均值

s=std(y)%求函数误差标准值

上述程序为M ATLAB脚本程序,直接运行,得结果如图2和图3所示。

由图3,可直观地得到函数误差分布的密度函数,仿真程序求得函数误差均值p=50.000824mm,标准差s=3.29 10-5mm=32.9nm。若间接测量x i 彼此之间不相关,则函数随机误差的标准差表示为

:图2 模拟随机数的误差分布图

误差与数据处理

55

图3 随机模拟法的输出函数误差分布图

y= f x

12

2x1+ f x

2

2

2x2+ + f x

n

2

2x n

(3)

其中, x i表示第i个输入量x i的标准差。按式(3)计算算例中y的标准差为:

2y=(25nm)2+(9 7nm)2+(50nm)2(-0 1)2

(0 58 10-6)2+(50nm)2(11 5 10-6)2

(0 029)2=1002nm2则标准差 y=32nm。可见,由随机模拟法求得到的标准差s与理论计算值 y相差甚微,说明随机模拟法的计算精度是相当高的。

3 结论

采用计算机数值仿真的方法对函数误差分布及标准差进行模拟计算,只要通过数学建模,选择合适的算法和编程,即可由计算机输出的统计直方图直观地求得该函数的误差分布,计算出函数的标准差等信息。与定量解析公式的方法相比,该方法不局限于显函数的数学模型,也不受方差传播非线性严重的限制,是一种解决复杂测量模型误差分析的有效的途径。

参考文献

[1]费业泰.误差理论与数据处理[M].北京:机械工业出版社,1995

[2]沙定国,刘志敏.测量不确定度的表示方法[M].北京:中国科学

技术出版社,1994

[3]田社平.论间接测量的数据处理[J].计量技术,2003(9):50-52

[4]田社平.基于M ATLAB的间接测量数据处理[J].中国测试技

术,2004(2):5-7

二等活塞压力计检定精密压力表测量结果的

不确定度评定

唐新民

(柳州机车车辆厂计量室,广西柳州545007)

摘 要 本文分析了用二等活塞压力计检定精密压力表测量结果不确定度的来源,并对各项测量不确定度进行了评定,最后给出了10M Pa点测量结果的扩展不确定度。

关键词 二等活塞压力计;精密压力表;测量不确定度

1 测量

1)测量依据:JJG 1999 弹簧管式精密压力表及真空表 检定规程;JJG59 1990 二、三等标准活塞式压力计 检定规程。

2)环境条件:温度20 5 。

3)测量标准:二等活塞压力计,测量范围:(0~ 60)M Pa,允许误差: 5 10-4读数值。

4)被测对象:0 4级,测量范围(0~10)M Pa精密压力表。

5)测量方法:依据检定规程对精密压力表的检定是应用直接比较法,由二等活塞压力计产生的压力与精密压力表指针所指示的压力相等来完成。在活塞压力计上加上相应的专用砝码,当砝码作用于活塞有效面积所产生的标准压力与造压器发生的压力相平衡时,被检精密压力表指示值与标准器产生的标准压力值之差值即为精密压力表的示值误差。

误差与数据处理 56