柱 锥 台的体积详解

?
1 (
s?
s' )h s'
? 1 h(s ?
ss ' ? s ' )
3
3
3
x
S?
h
S
x?
S ?h
S ? S?
V ? V大 锥 ? V小 锥
= 1 S ?x ? h?? 1 Sx?
3
3
= 1 Sh ? 1 ?S ? S??x
33
? Q1 3
S???hx??x13h?S???
2
?
?S?S?S?
S
S?h ? S?
锥体(棱锥、圆锥 )的体积：
V锥 体
?
1 Sh 3
V圆锥
?
1 ?r 2h 3
等底同高的锥体的体积
有何关系?
锥体的体积
h'
h
S'
S'
s
s
求棱长为 2a 的正四面体的体积
A
BO ? 2 ?
3?
2a ?
6 a
32
3
B
O
D AO ?
2 a 2 ? ????
6 3
a
?? 2 ??
C
? 2 3a
3
V ? 1?
3、长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥 C-A 1DD1,求棱锥C-A 1DD1的体积与剩余 部分的体积之比.
4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线 长为5,则这个圆锥的体积为_________。
5、正棱台的两个底面面积分别是 121cm 2 和81cm 2的正方形，正棱台的侧棱长 为2cm，这个棱台的体积为________。
S?? 0 V ? 1 (S??
3
S?S ? S)h S?? S V ? 1 Sh
3
S为底面面积， S',S 分别为上、下底
S为底面面积，
h 为锥体高
面面积， h 为台体高
h 为柱体高
练习
1、已知三棱锥S-ABC的底面是直角边 分别为a, b的直角三角形，高为c， 则它的体积为________。
2、已知长方体相邻三个面的面积分别为 2,3,6,则此长方体的对角线和体积分别 为________。
? ? ?
1? 3
Shx??x13h
?S
?
S S
?S?
S?h
? ? ? ?x1?h S ?S ?hSS?? S? 3 S ? S?
棱台(圆台)的体积公式:
V ? 1 (S?? S?S ? S)h 3
其中 S ， S?分别为上、下底面面积， h为圆台
（棱台）的高．
例.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的 侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台 的体积是多少？ (结果中保留π)
S ? ? ? 202 ? 400?
S' ? ? ? 102 ? 100?
h ? 3(20 ? 10) ? 10 3
V台体
? 1? 3
?
10
1 h(S ? 3
3 (400 ?
?
SS' ? S' ) O?
200? ? 100? )
O1
AC1
? 7000 3? (cm3)
3
O
A
已知A、B是三棱柱上底面两边的中点，
A1 ? CC1B
AA11
C1
BB11
A
C
B
3V锥体 ? V柱体
V锥体
?
1 3 V柱体
?
1 3
S ?h
V圆锥
?
1 ?r 2
3
?h
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系． 如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
结论：三棱锥是同底等高的三棱柱的 体积的 1
3
注意： 三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体 的每一个面都可以作为底面，可以用来 求点到面的距离
如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求 这两部分的体积比。
E
B
A V1 V2
C
D
设△ABE的面积为S
V1
?
1 h(S 3
?
? 7 Sh 3
S ?4S ? 4S )
V2
?
4Sh ?
7 3
Sh
?
5 3
Sh
? V1 : V2 ? 7 : 5
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V ? Sh
3 ? 2a 2 ? 2
3 a
? a3
34
3
3
求棱长为 2a 的正四面体的体积 V ? V正 方 ?体4V三 棱 锥 ? a3 ? 4? 1? 1? a ? a? a 32
? a3 3
割补法
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h ，则
V台体=
1 h (s+ 3
ss'+s ')
x
s/
s/
h
s
s
V ? Sh
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：
V ? Sh
（其中S为底面面积，h为柱体的高）
柱体的体积
V柱体 ? S ?h
V圆柱 ? ?r 2 ?h
h
ss
Ss
sS
等底等高的柱体体积相等
VA1 ? ABC ? VC ? A1 AB ? VC ? A1B1B
V ? V ? V C ? A1B1B
A1 ? BB1C
＝3，求点B到面ACD的距离。
等体积法 VB? ACD ? VA? BCD
A 3
?
1? 3
1 2
?
3?
5?Байду номын сангаасB
?
1? 3
1 2
?
3?
4?
3
hB
B
D
4
3
C
一倒放的圆锥形封闭容器，高为2h,装入水， 使水高为圆锥高的二分之一，则倒转容器 后，水的高度是多少？
如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱
AA1＝8.若AA1B1B水平放置时，液面恰好过 AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC 水平放置时，液面的高为________．
柱、锥、台的体积
等面积法： 等底等高的三角形面积相等
h
h
a
a
S?
?
1a?h 2
h
a
思考：如何解决柱体的体积问题？
柱体的体积
长方体的体积
柱体体积
h
a
h
aa
ab
长方体体积：V ? abh
?
? 正方体体积：V ? a3 ? a2 ?a
? 圆柱的体积：V ? ? r 2h
V ? Sh
底 面
高
积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及 圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为
1 的正方形，且 ? ADE、? BCF 均为正三角形，
EF∥AB，EF=2 ，则该多面体的体积为（ A ）
（A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 3
3
3
3
2
G
已知四面体A-BCD中，AB垂直于面BCD，
∠BCD＝∠ACD＝90o，BC＝4，AB＝CD
在△ABC 中，AB=2，AC=1.5 ， ∠BAC=120 0.若将△ABC绕直线AC旋 转一周，求形成的旋转体的体积．
已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为
补形法
一个空间几何体的三视图如图，则该几何 体的体积为 ( )
台体
? x ? s' x? h s
S'
x
? x ? h s' s ? s'
S
h
V台
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1 3
S（ h ?
x) ?
1 3
S 'x
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1 3
Sh
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1 3
Sx ?
1 3
S 'x
? 1 Sh ? 1 ( S ? S ' ) x ? 1 Sh ? 1 ( S ? S ' ) h s '
33
3
3
s ? s'
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1
Sh