具有浮动执行价格的亚式期权鞅定价
幂型几何亚式期权的微分方程定价法
戈
ｒ
【（ ０ ：ｘ －（ ｈ一１ ＋ “ ） ｋＩ ｅ ），
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由 Ｐｉ ｏ 式 得 ｏｓ ｎ公 ｓ
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４３ ・
陕西理工学院学报 （ 自然科学版 ）
第２ ８卷
代 回变 换 （ ） ４ 中的变 量 厂 Ｓ ｔ得 （ ，）
２１ ０ ２年 ６月
陕西理 工学院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕ ｆ ｈ ａｘ Ｕ ｉ ￣ｔ ｆ ｅｈ ｏ ｇ Ｎ ｔ Ｍ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏｍＭ ｏ ａｎｉ ｎｖ ｉ ｏ ｃｎ ｌ ｙ（ ａ ｒ ｃｅ ｅＥ ｉｏ ） Ｓ ｅ ｙ Ｔ ｏ ｕ ｎ ｉ
Ｊｅ ０ ｕ．１ ｎ２ ２
３ 证券可无限细分而且交易连续 ；） ） ４ 在期权有效期 内， 股票连续支付红利 ， 红利率 ｑ 为常数 ；） ５ 无 风险利 率 ｒ股票 预期 收益 率 和股 票 波动率 均 为 常数 ；） 权 为幂 型 几 何亚 式 期 权 ；） ， ６期 ７ 股票 价 格 遵循 几何 布 朗运动 ｄ Ｓ＝（ —ｑ Ｓ ｔ Ｇ ｄ 其 中 ５为 ｔ ）ｄ ＋ Ｓ Ｗ， 时刻 的股票 价格 ， 为布 朗运 动 。
（） ２
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３ 幂型几何亚式期权 的偏微分 方程求解 法
对 于 幂型期 权 （ 看涨 期 权 ） 在到 期 日的期 权 价值 为 ，
来， 根据不同投机者的不同需求和对风险的偏好程度 ， 在标准期权 的基础上涌现 出了许多新式期
Heston模型下离散几何平均亚式期权定价
Heston模型下离散几何平均亚式期权定价陈有杰【期刊名称】《《河池学院学报》》【年(卷),期】2019(039)005【总页数】6页(P67-72)【关键词】Heston模型; 亚式期权; Fourier反变换; 几何平均【作者】陈有杰【作者单位】广西师范大学数学与统计学院广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O211.90 引言期权是风险管理的核心工具，如何给期权定价，自然是一个非常重要的问题。
1973年Black与Scholes在股票价格服从几何布朗运动，利率和股票波动率均为常数的假设下，给出了欧式标准期权定价模型，即著名的Black-Scholes公式[1](记为B-S模型)。
后来人们发现从期权市场数据计算出的波动率表现出波动的聚集性和微笑现象，这表明B-S模型计算的期权价格与实际市场表现存在一定偏差。
为了解决这些偏差，许多学者对B-S模型进行了改进，如Merton[2]和Kou[3]等学者在标的资产的动态模型中引入跳跃风险，建立的跳扩散模型(Jump-Diffusion，简记JD模型)，并给出了类似B-S 模型的期权定价公式；另外，Heston[4]、 Hull和 White[5]以及Stein 和Stein[6]等学者设定资产的波动率是随机变化的，以资产波动率的随机变化过程来刻画波动的聚集性和微笑现象，建立了随机波动率模型(Stochastic Volatility，简记SV模型)。
随后，Chen和Scott[7]、Bates[8]、邓国和和杨向群[9]等学者发现把跳跃因素和波动率随机化结合起来能更好地刻画金融市场波动的聚集性和微笑现象。
亚式期权(Asian options)是一种路径依赖型期权(Path-dependent options)，它的最终收益依赖于期权有效期标的资产价格的平均值，该平均值可以是资产价的几何平均和算术平均，记为标的资产价格从0时刻到T时刻的平均值，则算术平均(JT)离散情形连续情形，几何平均(JT)亚式期权可以根据到期日的收益分成两类[10]37-39，218-288：固定执行价格亚式期权：C(S,T)=(JT-K)+或(K-JT)+，浮动执行价格亚式期权：C(S,T)=(ST-JT)+或(JT-ST)+.由于亚式期权的价格比标准化的欧式期权的价格便宜，所以在金融市场上，它倍受投资者的青睐。
期权定价方法介绍
期权定价方法介绍期权定价是金融市场中的一个重要问题，它涉及到对未来资产价格的预测和衡量。
在金融市场中，期权是一种金融工具，它赋予持有人在未来某个时间点或在某一特定条件下购买或出售某一资产的权利。
期权定价的目标是确定合理的期权价格，这样既能满足买方和卖方的需求，又能保证市场的合理运行。
期权定价的方法可以分为两大类：基于风险中性定价原理的方法和基于实证观察的方法。
基于风险中性定价原理的方法是最经典也是最常用的期权定价方法。
它的核心思想是在一个假设的风险中性世界中，市场上的期权价格应该与其未来现金流的贴现值相等。
这种方法常用的模型有著名的Black-Scholes模型和Cox-Ross-Rubinstein树模型。
Black-Scholes模型是以Fisher Black、Myron Scholes和Robert C. Merton的名字命名的，它是一个基于几个假设和方程组的数学模型。
该模型假设市场的价格变动服从几何布朗运动，因此可以通过随机过程和微分方程的方法来描述资产价格的变动。
在这个模型中，期权的定价公式由一条偏微分方程给出，其中的关键参数包括标的资产价格、执行价格、剩余存续期时间、无风险利率和波动率等。
Cox-Ross-Rubinstein树模型是一种离散时间的模型，它基于二叉树的概念来建立期权定价模型。
在这个模型中，时间被离散化，并且将每一个时间段内的市场价格划分为上涨和下跌两种情况。
通过这种方式，可以构建一颗二叉树来模拟资产价格的变动。
然后使用回归的方法来计算期权的价格，即由期权到期时不同可能情况下的支付确定期权价格。
除了基于风险中性定价原理的方法之外，还有一些基于实证观察的方法可供选择。
这些方法主要是通过历史数据的分析和统计模型的建立来估计期权价格。
这些方法的优势在于它们不依赖于任何特定的假设，而是直接利用市场数据来计算期权价格。
然而，这些方法往往需要大量的数据和复杂的计算，因此计算量相对较大。
第九章期权定价
有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来
收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产
价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。
时间价值
时间价值
5 4 3 2 1 0 到期日
X
Ｓ
图9.1 看涨期权时间价值与|S-X|的关系
2024/1/30
3,期权价格与内在价值和时间价值间的关系
期权合约的价值是由期权价格决定的， 即由内在价值和时间价值所决定。三者之 间的关系如图9-2所示。
1，如果股票价格大于30美元，该投资者执行看涨 期权。即按照30美元价格购置一份股票，将空头平仓， 那么可获利＝31.02－30＝1.02美元。
2，如果股票价格小于30美元，该投资者的对手执行看跌期权。即 按照30美元价格购置一份股票，将空头平仓，那么可获利＝31.02－30 ＝1.02美元。
2024/1/30
我们只要将上述组合A的现金改为 D Xer(T ，t) 其中D 为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就 可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：
c max(S D Xer(T t) ,0)
（9.5）
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2, 欧式看跌期权价格的下限 〔1〕无收益资产欧式看跌期权价格的下限
价值，即：
c Xer(T t) p S
（9.10）
这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之 间的平价关系〔Parity〕。
如果式〔9.10 〕不成立，那么存在无风险套利 时机。套利活动将最终促使式〔 9.10 〕成立。
2024/1/30
套利时机
市场情况：某投资者刚刚获得如下股票欧式期权的报价， 股票市场价格为31美元，3个月期无风险年利率为10％，看 涨期权和看跌期权的执行价格都是30美元，3个月后到期。 3个月期欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3美元 和2.25美元。
第六章期权定价理论
P
p
(S K时) (S K时)
（其中P为期权的时间价值）
2020/4/16
4
S Xer(T t)
显然，标的资产价格的波动性越高，期权的时间价值越大。 此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响，以无收益看涨
期权为例，当 S Ker(Tt) 时，期权的时间价值最大，当 S Ker(Tt)
查表可知：
N(0.1076) 0.543 因此
N(0.2371) 0.594
N (d1) N (0.1076 ) 0.457 N (d2 ) N (0.2371) 0.406
所以该欧式看涨期权的价格为
c 92 0.457 94.08 0.406 3.848（美元）
（因为
Ker(T t) 95e0.07120.137 94.08（美元））
增长率为无风险利率(不计复利)，即
VT () V0 () (1 r)V0 ()
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25
由此得：
ST cT 0
（3.1)
由于在到期时刻股票价格有两种可能性，所以在组合的价值也有 两种可能性，但由于构造的是无风险组合，那么我们有
STu
cTu
S
d T
cTd
由（3.1）和（3.2），我们知：
其中D是期权有效期内资产收益的现值。
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16
四、期权价格曲线的形状（以无收益资产的情况为例）
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五、欧式看涨、看跌期权的平价公式
定理4 看涨——看跌平价公式（无收益资产）：
c Xe r(T t) S p
定理5 看涨——看跌平价公式（有确定现金收益资产，收益 的现值为D）：
风险的。记这个份额为 ，这就是 —对冲的思想。
股票价格遵循O-U过程的几何型亚式期权定价
股票价格遵循O-U过程的几何型亚式期权定价刘兆鹏;张增林【摘要】讨论了股票价格过程遵循指数O-U(ORNstein-Uhlenback)过程的几何型亚式期权的定价问题,利用鞅方法,给出了具有固定执行价格的几何平均亚式期权的定价公式.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(028)003【总页数】3页(P258-260)【关键词】几何型亚式期权;Ornstein-Uhlenback过程;鞅方法【作者】刘兆鹏;张增林【作者单位】宿州学院,数学与统计学院,安徽,宿州,234000;宿州学院,数学与统计学院,安徽,宿州,234000【正文语种】中文【中图分类】F830.91;O211.6亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的新型期权之一。
它与标准的欧式期权不完全相同，其在期权到期日的收益不仅取决于标的资产到期日的价格，还依赖于在整个期权有效期内原生资产所经历的价格平均值。
一种为算术平均;另一种为几何平均。
亚式期权是一种强路径有关期权，相对于标准欧式期权，亚式期权比较便宜，对某些公司更有吸引力，它在许多金融领域有着广泛的应用，因此其定价也具有重要意义［1－3］。
此处选择能反映股票预期收益率波动变化的指数O－U 过程来刻画股票价格的变化规律，利用等价鞅测度法，给出了具有固定执行价格的几何型亚式期权的精确定价公式。
1 亚式期权定价模型考虑一个连续时间无套利的完备金融市场，假定市场存在两种资产:一种是无风险资产，如债券;另一种是风险资产（或股票）。
给定一个满足通常条件滤子流{Ft}t≥0的完备概率空间（Ω，F，（Ft）t≥0，P）。
股票价格过程S（t）遵循广义O-U过程:其中σ（t）为股票的波动率，μ（t）为股票的期望回报率，μ（t）和σ（t）充分光滑使得方程（1）有严格唯一正解，并且 S ＞0，α 为常数。
{W（t），0≤t≤T}是定义（Ω，F，（Ft）t≥0，P）在上的标准 Brown 运动。
依赖时间参数的几种有固定执行价格的亚式期权定价
依赖时间参数的几种有固定执行价格的亚式期权定价朱利芝;余君武【摘要】In the paper, the time - dependent parameters of the underlying asset, i. e. the riskless interest rate, expected rate of return of the underlying asset,volatility and dividend yield are considered, the use of the Asian option pricing model has been established to discuss Capped calls, Deductible Calls, Asset - or - Nothing and Bi - direction options etc, we obtain the corresponding option pricing analytic formula.%本文在假定标的资产模型依赖时间参数（即无风险利率，标的资产的期望收益率，波动率及红利率），利用已建立的亚式期权定价模型，讨论了上限型期权、抵付型期权、双向型期权等，得到相应的期权定价解析公式．【期刊名称】《数学理论与应用》【年(卷),期】2012(032)002【总页数】6页(P14-19)【关键词】亚式期权;上限型期权;抵付型期权;欧式双向期权【作者】朱利芝;余君武【作者单位】湖南科技大学数学与计算科学学院,湘潭411201;湖南科技大学数学与计算科学学院,湘潭411201【正文语种】中文【中图分类】F830.91亚式期权(Asian options)是几种最常见的新型期权中的一种，由于它首先由日本金融市场创造并使用，故被称为亚式期权，它主要在场外交易，在股票、商品、利率、外汇及能源，尤其是电力工业上有广泛应用.亚式期权是损益基于均值的依赖路径的期权，用该平均值代替常规期权中的敲定价格或到期的资产价格来决定是否执行期权，以及执行期权时的收益大小，是现代金融市场中应用广泛的一种奇异型期权.即期权价格不仅取决于到期日的标的资产价格，而且依赖于标的资产价格的变化路径.它在到期日的收益依赖于期权整个有效期内标的资产的平均价格.文献［1－5］中都对有固定执行价格的亚式期权进行研究，得出了相应的亚式期权定价解析公式，本文在等价鞅测度法下对欧式亚式数据买权，几何平均亚式资产或无偿买权，几何平均亚式抵付型期权，几何平均亚式上限型期权，几何平均亚式双向型期权，局部支付型权证，降低权利金的创新权证等进行研究，给出了在依赖时间参数下相应几何亚式期权定价公式.在连续市场上，设(Ω，Ft，F，P)为概率空间(Ω，F，P)带一σ代数流的概率空间，其中Ft=σ(W1(s)，s≤t)，{W1(t)，0≤t≤T}为布朗运动.假设金融市场上仅有两种资产，一种是无风险资产如债券，其价格过程满足dB(t)=r(t)B(t)dt，B(T)=1，r(t)为无风险利率.一种是风险资产如股票，其价格过程满足方程，dS(t)=S(t)［μ(t)－q(t)］dt+S(t)σ(t)dW1(t)(1)其中μ(t)，q(t)，σ(t)分别为风险资产的期望收益率，红利率，波动率，假定r(t)，μ(t)，q(t)，σ(t)＞0它们均为非随机函数且满足令由Girsanov定理知W(t)是概率测度P的等价概率测度Q下的标准布朗运动，且满足则(1)式变为且有则x的期望，方差为μx，σx2，引理2.1［1］依赖时间参数和连续红利率下有固定执行价格几何平均亚式看涨期权定价公式引理2.2［1］依赖时间参数和连续红利率下几何平均亚式看跌期权定价公式定理3.1 依赖时间参数和连续红利率且履约价为K，到期日为T，几何平均亚式资产或无偿买权在t时刻的期权定价公式为证明几何平均亚式抵付型期权(Deductible Calls)为履约价格定理3.2依赖时间参数和连续红利率且履约价为K，到期日为T，几何平均亚式抵付型期权在t时刻的期权定价公式为其中证明:上限型期权(Capped Calls)定理3.3 依赖时间参数和连续红利率下上限型期权(Capped Calls)几何平均亚式看涨期权定价公式证明:双向型亚式期权定理3.4依赖时间参数和连续红利率下双向型几何平均亚式期权定价公式证明:局部支付型权证或买权在到期时的价值以公式表示如下:此处α代表支付报酬的斜度(α=1，α＜1，α＞1)定理3.5依赖时间参数和连续红利率下局部支付型权证或买权几何平均亚式期权定价公式证明:此种权证可由局部支付型权证内的α加以变化，而拼凑在一起降低权利金的权证创新.定理3.6依赖时间参数和连续红利率下降低权利金的创新权证几何平均亚式期权定价公式【相关文献】［1］詹惠蓉，程乾生.亚式期权在依赖时间的参数下的定价［J］.管理科学学报，2004，7(5):24－36.［2］杜雪樵，沈明轩.依赖时间参数下几何平均亚式期的定价［J］.合肥工业大学学报(自然科学版)，2007，6:206－208.［3］罗庆红，杨向群.几何型亚式期权的定价研究［J］.湖南文理学院学报(自然科学版)，2007.3:5－7.［4］魏正元.欧式加权几何平均亚式期权的定价［J］.重庆工学院学报，2004，1:44－46.［5］陈松男.金融工程学［M］.复旦大学出版社，2002:11.。
标的资产连续红利支付时的亚式期权定价
流． 假定市场只含有两种资产 ， 风险资产债券 和风 险资产股票 ， 无 它们 的价格过程分别如下 ：
ｄ ＝ （ ＝１， ） （） １ ｄ ＝ （ 一ｑ） ｔ ｒ Ｂ ， Ｓ Ｉ ， ｔ Ｓｄ ＋ｏＳｄ
其中 为红利率 ， 为 股票 收益 的波动率 （ ＞０ ，ｌ Ｉ Ｔ ） ｒ为无风险利率 ， 为时间的确定性 函数］ － 积． 都 Ｅｎ ｆ 亚式期权 是根据合 约期 （ Ｔ 内的股票价格 的平均值 的高低 来决定是否执行期权 的合约． Ｏ， ） 这里 我们只讨论连续型即 ＝
２ — ０
上 加 嘉
：
ｓｆ ｈ
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）
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ｅ （ 一 ） 口
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Ｎｏ ． ２ ０ ｖ ，０ ９
标 的资产连续 红利支付 时 的亚式期权定价
章 媛 陈 波２
２ １０ ； ４０ ０ （． １ 安徽师范大学数学与计算机科学学院 ，安徽芜湖
２ 江苏教育学院数学系 ，江苏南京 ．
２０ １ ） １０ ３
摘 要 本文假定金融资产为有连续红利支付的股票 ， 得到了具有 浮动敲定价格 的亚式看涨期权 的定价 公式 ， 同时推
新商品申请-亚式期权
亚式期权模型评价一、亚式期权商品说明亚式期权与一般期权之不同，在于其「平均」之概念。
其方式可分为资产价格平均（Average Rate Options: ARO ）或履约价平均（Average Strike Options: ASO ）两种，以前者较为常见，其到期之报酬是由过去标的资产之平均价格与履约价格之差别而定，而非一般期权由标的资产到期价格与履约价格而定。
由于平均价格之波动性低于标的资产价格，故亚式期权之价格较一般期权为低。
以下列出各种亚式期权之到期报酬支付形式：资产价格平均：看涨：]0,)),0(([K T F AverageMax - 看跌：]0)),,0(([T F Average K Max -履约价平均： 看涨：)0)),,0(([T F Average F Max T-看跌：]0,)),0(([T F T F AverageMax - 其中T F ＝标的资产到期价格K =履约价 T =期权到期日二、亚式期权定价模型与模型测试 （一)亚式期权之定价模型亚式期权之平均方式又可分为「几何平均」与「算数平均」。
假设资产价格呈log-normal 分布时，由于log-normal 分布之几何平均本身亦为log-normal 分布，故几何平均亚式期权可依据Black-Scholes 模型加以更改，得到良好的公式解。
但一般实务上仍以算数平均期权较为常见，由于log-normal 分布之算数平均不为log-normal 分布，算数平均期权之评价较为困难。
因计算过程繁复，算数平均亚式期权难以用数值法评价，也难以找出精确的公式解，一般都以近似之方法求出逼近之公式解，或是使用如Monte Carlo simulation 等模拟法。
考虑标的物动态0),(≥+=T T dW F dt F dF T T T σμ这里μ是一固定数)(T W 是一个标准布朗运动，σ是一个波动度常数 这里 0t 式开始平均标的物的时刻，设定 T t t ≤≤0我们把观察期分成 n t t t ,...,,21。
期权定价期权定价公式
期权定价—期权定价公式什么是期权定价？期权定价是指确定期权在市场上的合理价格的过程。
期权是一种金融工具，它授予买方在未来某一特定时间点购买或出售标的资产的权利，而不是义务。
期权的价格取决于多种因素，包括标的资产价格、行使价格、到期时间、无风险利率和波动率等。
期权定价的目标是确定一个公平的市场价格，使得买卖双方在交易中均获得合理回报。
对于买方来说，期权的价格应该对应于未来可能获得的收益；对于卖方来说，期权的价格应该对应于承担的风险以及可能获得的收益。
期权定价公式的重要性期权定价公式是用于计算期权合理价格的数学模型。
它基于一些假设和前提条件，通过对相关变量进行运算，得出期权的价格。
期权定价公式对于市场参与者来说具有重要意义，它为投资者提供了一个参考，可以帮助他们做出更明智的投资决策。
期权定价公式的提出可以追溯到20世纪70年代初，当时经济学家Fischer Black 和 Myron Scholes 提出了著名的Black-Scholes模型。
该模型基于一些假设，包括期权在到期前不支付股息、标的资产价格在特定时间内的变动是连续且满足几何布朗运动以及市场不存在无风险套利机会等。
Black-Scholes模型是第一个用于计算期权价格的理论模型，它提供了一个简单而有效的方法来评估期权的价格。
在此之后，许多其他的期权定价模型相继被提出，如Binomial模型、Trinomial模型、Monte Carlo模拟和Heston模型等。
这些模型都是基于不同的假设和计算方法，用于满足不同的情景和需求。
期权定价公式的基本要素期权定价公式通常包括以下几个基本要素：1.标的资产价格（S）：标的资产是期权所关联的基础资产，它可以是股票、商品、外汇等。
标的资产价格是期权定价的一个重要变量，它代表了期权的内在价值。
2.行使价格（X）：行使价格是期权合约约定的价格，买方可以在到期时基于该价格购买或者出售标的资产。
行使价格与标的资产价格之间的差异会影响期权的价值。
期权定价公式及其应用
企业风险管理
总结词
企业风险管理是期权定价公式的另一个重要应用领域，帮助企业识别、评估和管 理风险。
详细描述
期权定价公式在识别和管理企业风险方面发挥着重要作用。例如，通过使用期权 定价公式，企业可以评估和管理供应链风险、汇率风险和其他潜在风险。此外， 期权定价公式还可以帮助企业评估和管理投资项目的风险。
在房地产金融领域，二叉树模型被广 泛应用于可赎回房地产投资信托基金 （REITs）的定价。例如，某REIT发 行了一份额额为100万元的优先股， 并授予投资者在三年后以120万元赎 回的权利。投资者可以利用二叉树模 型计算该优先股在赎回日的市场价值 ，从而判断投资该REIT的潜在收益和 风险。
期权定价公式在投资决策中的应用案例
为了计算利率衍生品的价格，需要使用利率模型。常用的利率模型包括Vasicek模型、 Cox-Ingersoll-Ross模型等。这些模型可以模拟即期利率的动态变化，从而为利率衍生品 定价。
06
期权定价公式在实际操作 中的应用案例分析
基于Black-Scholes模型的期权定价案例
总结词
详细描述
应用案例
总结词
详细描述
应用案例
期权定价公式可以用于评估投资项目 的风险和潜在收益，指导投资者做出 更加明智的投资决策。
利用期权定价公式，投资者可以计算 出不同投资项目在不同时间点的预期 收益和风险。例如，对于一个具有重 大战略意义的项目，投资者可以选择 购买或出售相关资产的期权来对冲风 险。此外，投资者还可以利用期权定 价公式评估其他投资项目的潜在收益 和风险，如股票、债券、房地产等。
提高金融市场效率
期权定价公式的应用有助于提高 金融市场的信息传递和流通效率 ，使市场价格更及时、准确地反
人民币外汇美式及亚式期权套期保值应用介绍
人民币外汇美式及亚式期权套期保值应用介绍内容提要目前，期权已成为国内企业使用较多的一种外汇套保工具。
文章基于服务实体经济汇率风险管理的实务经验，简单介绍利用美式期权、亚式期权进行套期保值的特点，分析其适用情景、运用要点。
文章通过具体案例对新工具和传统套保工具做出对比分析。
目前，国内外汇市场已形成涵盖远期、外汇掉期、货币掉期和期权（普通欧式期权及其组合）的衍生品产品体系，为市场主体管理外汇风险提供了重要支持。
其中，期权已成为企业使用较多的一种外汇套保工具。
2021年，企业利用期权产品管理汇率风险的规模约3,446亿美元，同比增长25%,占企业外汇衍生产品交易总量的26%,体现了企业汇率风险中性的经营理念进一步增强，对人民币汇率波动的适应能力有所提升。
在充分调研市场需求的基础上，2022年5月20日，国家外汇管理局发布《关于进一步促进外汇市场服务实体经济有关措施的通知》（汇发（2022）15号），对企业外汇市场新增人民币外汇普通美式期权、亚式期权及其组合产品，进一步丰富市场主体的交易工具，从而更好地服务中小微企业外汇风险管理。
一、美式期权、亚式期权套期保值应用本次新增的人民币外汇普通美式期权、亚式期权是在普通欧式期权的基础上，针对某些要素和条件做了一些变换,从而期权特点、适用情景和运用提示也相应发生了变化，具体如下。
（一）期权特点普通美式期权的和普通欧式期权的唯一差异体现在行权的时段上，即美式期权的买方可以在到期日或到期日之前任何一天或到期日前约定的时段行权，而欧式期权只能在到期日当天行权，故而美式期权的行权时间更灵活。
基于此，若将美式期权的价值看做两部分：欧式期权部分和由于增加提前行权权利而需要支付的权利金，那么如果提前行权不是最优选择的话，买方并不需要为提前行权支付权利金，此时美式期权价格等于欧式期权。
从理论定价的角度看，低利率货币的看涨期权和高利率货币的看跌期权提前行权不如继续持有，因为利差隐含的汇率走势的期望有利于这两种期权的买方。
期权定价理论知识
2023-11-04CATALOGUE目录•期权定价模型概述•经典期权定价模型•期权定价的随机过程基础•期权定价理论的扩展与应用•期权定价的风险与回报分析•期权定价理论的发展趋势与挑战01期权定价模型概述期权定义期权是一种合约，赋予其持有人在一定时期内以指定价格买卖标的资产的权利。
期权特性期权具有非线性收益特性，买方收益曲线为非线性，卖方收益曲线为线性。
期权定义与特性期权所涉及的资产，可以是股票、商品、外汇等。
标的资产期权的到期时间，一般为未来某一具体日期。
到期日期权的行权价格，即买卖标的资产的价格。
行权价期权的行权方式，包括美式和欧式两种。
行权方式期权定价模型的基本概念期权定价模型的种类与分类期权的持有者只能在到期日行权。
欧式期权美式期权看涨期权看跌期权期权的持有者可以在到期日及之前任何时间行权。
赋予持有者在未来某一时期以指定价格购买标的资产的权利。
赋予持有者在未来某一时期以指定价格出售标的资产的权利。
02经典期权定价模型Black-Scholes模型通过构造一个包含股票和债券的组合，推导出欧式期权价格所满足的微分方程。
利用已知的债券价格和股票价格，通过求解微分方程得到期权价格。
假设股票价格服从几何布朗运动，且无风险利率和波动率均为常数。
二叉树模型基于离散时间框架，模拟股票价格的变化过程。
假设股票价格只能向上或向下移动，且移动的幅度和概率均已知。
通过反向推导的方式，计算出期权的预期收益，并利用无风险利率折现得到期权的现值。
期权定价的数值方法有限差分法通过求解偏微分方程的数值近似解，得到期权价格。
网格法通过在期权收益函数中构造网格，计算网格点对应的期权价值，并利用无风险利率折现得到期权的现值。
蒙特卡洛模拟法通过模拟股票价格的随机过程，计算出期权的预期收益，并利用无风险利率折现得到期权的现值。
03期权定价的随机过程基础随机过程一组随机变量，每个变量对应一个时间点。
随机过程的分类根据性质不同，随机过程可分为平稳和非平稳、确定性和随机性等。
亚式期权论文：亚式期权概念及定价简析
亚式期权论文：亚式期权概念及定价简析摘要：给出了亚式期权的基本概念并讨论了亚式期权的几种定价方法的优劣。
关键词：亚式期权；monte carlo；模拟；简析一、引言比标准欧式期权或美式期权和看跌期权盈亏状态更复杂的衍生证券有时称为新型期权。
大多数新型期权在场外交易，它们是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品。
本文的第一个目的，就是介绍新型期权的一种—亚式期权，这类期权在场外市场广受欢迎，但此类期权较难定价，本文的第二个目的，给出常见的亚式期权的定价方法并作一定的比较。
二、基本概念亚式期权是市场上常用金融工具, 其到期收益函数与一特定时段内标的资产的某种形式的平均息息相关,即依赖于标的资产价格的某种平均值。
可以是一段时间内的连续平均值,也可以是若干个时间点的离散平均值;可以是算术平均,也可以是几何平均. 每一个确定的平均类型都对应着两种亚式期权的形式,即平均资产价格与平均敲定价格,它们都具有欧式期权风格. 不同的是前者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代资产本身的价格;而后者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代合约的敲定价格.与普通的期权类似,每种亚式期权都具有看涨和看跌两种交易情形。
以连续情形的标的资产价格平均值为例,用a 表示算术平均值, g表示几何平均值, s t表示时刻t的资产价格,服从几何布朗运动，则对于算术平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max ( a - k ,0) ,开始时刻的期权价格为对于几何平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max( g - k ,0) ,开始时刻的期权价格为亚式期权的优点是可以缓解市场的投机行为，且相对于普通期权，价格较便宜，常利用其对冲指定时期的风险。
但亚式期权的定价仍是个公开问题。
假定标的资产价格s服从对数正态分布,一系列对数正态分布变量的几何平均仍服从对数正态分布,而相应算术平均没有可以解析处理的特性,故算术平均亚式期权比几何平均亚式期权的定价要困难得多。
金融衍生产品中美式与亚式期权定价的数值方法研究
金融衍生产品中美式与亚式期权定价的数值方法研究一、概述金融衍生产品是现代金融市场的重要组成部分，其定价问题一直是金融数学、金融工程领域的研究热点。
美式期权与亚式期权作为两种常见的金融衍生产品，其定价问题具有广泛的应用背景和重要的理论价值。
美式期权赋予持有人在期权有效期内任何时间执行合约的权利，而亚式期权则以其有效期内某一特定方式确定的平均价格为基础进行定价。
这两种期权因其独特的性质和复杂的定价机制，在金融市场中占据重要地位。
随着计算机技术的飞速发展和数值方法的不断完善，越来越多的学者开始关注并使用数值方法来研究美式与亚式期权的定价问题。
数值方法不仅可以处理复杂的金融模型，还可以提高定价的准确性和效率。
对美式与亚式期权定价的数值方法进行研究，不仅有助于推动金融衍生产品定价理论的发展，还能为金融机构提供有效的风险管理工具和投资决策支持。
本文旨在探讨美式与亚式期权定价的数值方法，并对比分析各种方法的优缺点。
我们将对美式与亚式期权的基本概念、性质及定价原理进行简要介绍。
我们将重点介绍几种常用的数值方法，包括有限差分法、蒙特卡洛模拟法、二叉树法等，并详细阐述这些方法在美式与亚式期权定价中的应用。
我们将通过实际案例或仿真实验来验证这些数值方法的有效性和实用性，并给出相应的结论和建议。
通过对美式与亚式期权定价的数值方法研究，我们期望能够为金融机构提供更准确、高效的定价工具，同时也为金融衍生产品定价理论的发展做出贡献。
1. 金融衍生产品概述金融衍生产品，作为现代金融市场的重要组成部分，其出现与发展极大地丰富了投资与风险管理的工具。
它们是基于传统金融工具如股票、债券、货币、利率等派生出来的金融产品，其价值依赖于这些基础资产的价格变动。
衍生产品主要包括远期、期货、期权和互换等四大类，它们具有杠杆效应、高风险性、灵活性等特点，能满足投资者不同的风险偏好和收益需求。
期权作为一种特殊的衍生产品，在金融市场中具有广泛的应用。
基于跳跃-扩散过程的亚式期权定价
跃 的新型 期权 之一 ， 国际贸 易 、 出 口结算 等许 在 进
多金 融领域 有着 极 为 重 要 的应 用 ， 故关 于亚 式 期 权解 的性 质与算 法 的讨论 一直 以来都 是 金融数 学 研究 中的一 个热 点 。首先提 出亚式期 权定 价方 法
设 金 融市 场有 两 种 证 券 ， 种 是 无 风 险 证 券 一
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亚 式期权 是 一 种 路径 依 赖 期 权 ， 即它 在期 权 到期 １ ３的收益 依赖 于期权 有 效期 内原 生资产 所 经
２１ ０ ０年 ２月
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文 章 编 号 ：０ ７—１４ ２ １ ） １ ０ ２ １０ ４ Ｘ（０ ０ ０ — １９—０ ３
文献标志码 ： Ａ
基 于 跳 跃 一扩 散 过 程 的 亚 式 期 权 定 价
陈 超 赵 斐 ，
（ ． 江万里学院 商学院， １浙 浙江 宁波 ３ ５０ ２ 河北工业大学 理学 院， １ １０；． 天津 ３ ０ ０ ） ０ ４ １
亚式 期权是 一 种 路 径 依 赖 期权 ， 在 到期 日 其 时 的 收益取 决 于期 权有 效 期 内标 的资产 所 经历
一种亚式风格可重置执行价格期权设计
一种亚式风格可重置执行价格期权设计陈鹏;李笋【摘要】本文设计了一种亚式风格的可重置执行价格期权；严格证明了可重置执行边界的存在性，以及连续区域与重置区域的单连通性；利用 Hartman-Watson 分布，写出了可重置期权的定价公式，并利用此公式给出了可重置执行边界的一种新的数值算法。
%This paper designed one kind of resettable strike price options with Asian style,and proved strictly the exist-ence of resetting boundary and the simple connectedness of continuation region and resetting region.Making use of Hartman-Watson distribution,the pricing formula of resettable strike price options was written out,and a new numerical algorithm for resetting boundary utilizing this formula was given.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P30-34)【关键词】市场流动性;亚式可重置期权;重置执行边界;重置执行红利;新型递归积分法【作者】陈鹏;李笋【作者单位】湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙 410082;湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙 410082【正文语种】中文【中图分类】F224.71 引言当今世界，金融衍生产品主要以美式产品为主，因为它们比欧式品有更大的交易灵活性，受到越来越多投资者青睐．美式产品很丰富，除了传统的普通美式看涨、看跌期权，人们创造了各种奇异性的美式期权．比如，在金融期权领域有：美式亚式期权［1］、俄罗斯期权［2］、美式巴黎期权［3］、以色列期权［4］、不列颠期权［5］、各种抵押贷款等［6］；在实物期权领域有各种早期执行机会［7］、变更条约条款［8］等．尽管美式品日益成为主流，但部分投资者，仍然会选择欧式品，比如大宗原料、能源进出口条约，因为这里头很大部分购买者是风险对冲者，他们不关心价格的波动，只要能对冲掉风险就好；而另一部分人是纯正的期权投资者，甘愿暴露在价格波动的风险下，但又承担不了美式期权昂贵的价格．以普通欧式看涨为例，若在接近到期日前资产价格S远低于执行价格K，则欧式期权价值几乎为零，因为市场翻转的机会不大．纯正的看涨权购买者陷入流动性风险，因为想卖掉期权也很难．为增加市场流动性，金融工程师们设计了诸如shout floor［9］，reset strike put（call）［10］，multiple reset rights［11］，geometric average trigger reset options［12］、the British put option等等具有内生可抗流动性风险条款的新期权．这些期权中大部分本质上来说是另外一种美式期权，只不过它赌的不完全是资产在未来某一个时刻价格，还有随机化的参数．这样的期权具有更大的奇异性，需要更多的定价技巧．本文设计的新期权属于可变更合约条款类期权，这一类产品设计思想是通过改变原始合约条款中的某些参数值，赋予投资者更多的选择权利．在香港市场上常见的产品有shout floor、reset strike put（call），其中，reset strike put就是在普通看跌期权基础上，让期权购买者在合约期限内有限次改变交割价格的一种新期权，它能让已经进入“死态”的期权“复活”，所以比普通的看跌权更昂贵．重置条款既可以是手动的，也可以是自动的［8，12］，后者本质上还是欧式权，而前者却是美式权．重置条款也可以选择其他参数，比如延长交易时间，这在实物期权领域很常见；利率相关产品也可以考虑更改借贷款利率．［9－11］考虑了将交割价格置换为当前价格的设计，本文设计的新期权在文献［10］基础上扩展，将交割价格置换为过去一段时间的平均值，这样可以减少将来后悔的可能，这正是亚式风格期权设计的思想．新产品能继承文献［10］中产品关于增强市场流动性的功能，同时，因为是亚式设计，故比reset strike call更便宜［3］．这就是本文选题的出发点．本文采用手动停止设计，本质是美式期权．2 模型假设假设市场上存在两种可交易资产，风险资产和无风险资产．无风险资产Bt一般假定就是货币市场账户，它的动力学方程为：其中，r为存款利率，即无风险利率，设为一常数；风险资产St表示股票价格，对应的动力学方程满足：其中，q，σ，分别表示常数红利，波动率和风险中性测度Q下标准布朗运动．以修正后dB＊t ＝dt为计价单位，St的贴现值过程在风险中性测度Q下是一个鞅，对应的风险中性概率空间表示为：＝Ft：t≥｛｝0满足通常条件．设t∈，令，则＝S0．因为任何普通看涨、看跌期权的执行价格往往参考当前股价，所以若设计一份可重置执行价格期权，则其原始执行价格可以认为就是S0．若当前时刻为t，设只有一次重置机会且期权还未被重置，则，亚式风格可重置执行价格看涨期权的原始执行价格可以由≤τ≤T－t置换，其中，停时τ由投资者手动设定，在文献［7］中也出现过自动设定停止条件的设计；若期权已经被重置则可归结为t之前较早时刻未被重置的情况．所以，根据风险中性定价理论，t时刻已知当前股价为S，历史累计股价为I的情况下，根据文献［11］亚式风格可重置执行价格看涨期权的价格因该是令其中，Kt＝因此，令＝expdQ；因为在测度Q下是个鞅，则由贝叶斯法则有所以在式（1）之中，新测度下Kt动力学方程为其中，是新测度下标准布朗运动．故Kt的无穷小生成算子为为体现初值影响，Kt也表示为（t），根据此式，容易验证Kt为下马尔科夫过程．在式（1）中令：因此，可见只需要考虑最优停止问题（3）就可以了．根据标准最优停止理论［2］，有限时间内最优停止问题最优停时总是存在（不排除平凡解存在）．C与D分别表示连续区域与执行区域：现在为了估计可能存在的最优重置边界位置，考察H （t，k）在偏微分算子作用下的符号，为此分别计算三个偏导数：易见：当且仅当＞1．若（t0 ，k0 ）满足此简单不等式，则考虑其一极小领域，由函数连续性，在此领域内，此不等式也成立，故由伊藤公式知道（t0 ，k0 ）一定属于连续区域C．接下来的定理严格证明连续区域C与重置执行区域D都是单连通集，若最优重置边界存在，则是唯一的．文献［13］给出了反例说明当最优停止问题的payoff不是简单分段线性函数时，C与D有可能非单连通，所以下面的定理是很有意义的．类似的问题，严格证明只在文献［6，14］中见到过．3 重要结论3．1 最优重置执行边界存在性与唯一性首先证明唯一性，再说明存在性的条件．定理1 设0≤k2＜k1＜∞，若（t，k2 ）属于连续区域C，则（t，k1）也属于连续区域C；C与D都是单连通区域，所以如果执行边界非平凡（存在）则是唯一的．证明利用（2）式及Kt的马尔科夫性，正部定义由假设属于连续区域C，就有：所以，所以，由此可知，（t， k1 ）也属于连续区域C，C必是单连通的，执行区域D亦同．因此执行边界若存在必唯一．证毕．问题（3）中最优重置执行边界K＊（）t一定存在．为此，只需说明式（3）中的最优停止问题不是平凡解（类似的文献［15，16］得到了平凡解），也就是说最优停时不会取在期末T（因为H（t，k（t））不是上鞅所以很容易排除最优停时取为t的情况）．要说明这一点还是利用伊藤公式：根据文献0，可知当T足够大且τ逼近T时＜1；故上式积分小于零，根据上一节末的说明有成立，这里τ取确定时间．所以，T足够大时候最优停止边界K＊＊（）t一定存在；若T不是够大，则投资者必定会在指标k落在K＊＊（）t之上进行置换，故对应的执行边界K＊（）t会高于K＊＊（）t．综上所述，对任意T，最优重置执行边界K＊（）t总会存在．根据文献［2］，最优重置时刻就是3．2 定价公式类似于文献［5］，V（t，k）必须满足的偏微分方程组为：＊对k＝k＊（t），t∈［0，T］；（瞬时停止）＊对k＝k＊（t），t∈［0，T］；（光滑拟合）式（4）中光滑拟合条件成立证明不同于美式亚式期权［1］：可先证左导数相等；然后，因为H 是光滑的故V也是光滑的，故V右导数也存在且光滑拟合条件成立．这一点也不同于普通美式看跌期权，因为普通看跌美式payoff不是光滑函数，不能保证其价值函数在C∪D内是光滑的．根据伊藤公式及式（4）有：其中，Ms，0≤s≤T－t为测度下鞅．令s＝T－t，两边取期望，就有问题（3）的定价公式：其中，上式中f（u，s，a）与 Hartman－Watson分布有关，表示（S，I）的联合密度函数，详情参考文献［1，17，18］，式（5）最后一项可以理解为重置执行红利．3．3 重置执行边界数值算法美式期权的最优停止边界计算方法有很多种，大致分为两类：数值计算与解析逼近，详情参考文献［19－24］不管哪一种都依赖于相应随机过程转移概率密度函数．考虑到本产品涉及随机过程很难得到解析的简单转移概率密度函数［18］，且为首次提出的新概念，故采用数值计算方法，希望获得稳妥可靠的数值解，以获得业内认可．类似的产品采用递归积分法［1］，注意到式（5）右侧出现三重积分，且f（u，s，a）形式复杂，故不能像普通美式期权直接计算数学期望值，而是通过Kolmogorov向后、向前方程间接算出式（5）中两个期望在节点处的值，然后再用递归积分法从后往前逐一算出最优重置边界在节点处的值．积分方程解的唯一性及数值算法的收敛性有待于进一步严格证明．由式（5）和（4）中光滑拟合条件有下式成立：其中，，根据文献［25］第8章，满足偏微分方程：同理，对于普通美式看跌及美式亚式期权都会有一个类似于式（6）的非线性积分方程存在，但他们都采用了瞬时停止条件，那是因为它们更简单．而本产品payoff的导数比payoff本身更简单，所以采用光滑拟合条件．将［0，T］n等分，步长取h＝T／n，ti＝i＊h，i＝0，…，n；将积分方程式（6）离散化：因为K＊（tn）＝K＊（T）＝T；故依次令i＝n－1，n－2，…，1；利用上式递归算出k＊（t）曲线位置．参考文献［1］G PESKIR ，N UYS．On Asian Options of American type［C］／／Exotic Option Pricing and Advanced Levy Models．Eindhoven：John Wiley，2005：217－235．［2］G PESKIR，A N SHIRYAEV．Optimal stopping and freeboundaryproblems［M］．Lectures in Mathematics ETH Zur－ich：Birkhauser，2006．［3］郭宇权．金融衍生产品数学模型［M］．第2版．北京：世界图书出版公司北京公司，2010：243．［4］Y KIFER．Game options［J］．Finance and Stochastics，2000，4（4）：443－463．［5］G PESKIR，F SAMEE．The british put option 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欧式期权、美式期权、亚式期权
欧式期权、美式期权、亚式期权欧式期权:即是指买入期权的一方必须在期权到期日当天才能行使的期权。
如果一项买权合约的期限是6个月，那么这份买权合约的购买者只有在6个月末才能执行这份期权。
欧式期权的最终收益是由执行价格和到期日那天基础资产的市场价格的差价来决定的。
在亚洲区的金融市场，规定行使期权的时间是期权到期日的北京时间下午14?00。
过了这一时间，再有价值的期权都会自动失效作废。
举例:该客户预期欧元/美元会在两周内从1.1500水平逐步上升到1.1700水平。
于是他同样买入一个面值10万欧元、时间两周，行使价在1.1500水平的欧式期权，期权费只是0.65%(即付费650欧元)。
但该欧式期权必须等到到期日当天的北京时间下午14?00才能行使。
不能像美式期权那样随意执行。
假设该期权到期同样以1.1700执行，客户即可获利1252.50美元(2000-650×1.1500=1252.50)。
美式期权:指可以在成交后有效期内任何一天被执行的期权。
也就是指期权持有者可以在期权到期日以前的任何一个工作日纽约时间上午9时30分以前，选择执行或不执行期权合约。
美式期权的最终收益是由执行价格和到期日之前的任何一天的基础自产的市场价格之差来决定的。
举例:今天上午欧元/美元即期汇价为1.1500，一客户预期欧元的汇价晚上或明天可能升上1.1600或更高水平。
于是他便向银行买入一个面值为10万欧元，时间为两周，行使价在1.1500的欧元看涨、美元看跌的美式期权，设费率为2.5%(即买期权要付出2500欧元费用)。
翌日，欧元/美元的汇价上升了，且超越1.1500，达1.1700水平。
那么，该客户可以要求马上执行期权(1.1700-1.1500=200)获利200点，即2000美元。
但减去买入期权时支付的费用后，客户仍亏损875美元(2000-2500×1.1500=-875美元)。
可见，美式期权虽然较为灵活和方便，但期权费的支出是十分昂贵的。
亚式期权概念及定价简析
亚式期权概念及定价简析摘要：给出了亚式期权的基本概念并讨论了亚式期权的几种定价方法的优劣。
关键词：亚式期权；monte carlo；模拟；简析中图分类号：o21 文献标识码：a 文章编号：1009-0118（2011）-05-0-01一、引言比标准欧式期权或美式期权和看跌期权盈亏状态更复杂的衍生证券有时称为新型期权。
大多数新型期权在场外交易，它们是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品。
本文的第一个目的，就是介绍新型期权的一种—亚式期权，这类期权在场外市场广受欢迎，但此类期权较难定价，本文的第二个目的，给出常见的亚式期权的定价方法并作一定的比较。
二、基本概念亚式期权是市场上常用金融工具, 其到期收益函数与一特定时段内标的资产的某种形式的平均息息相关,即依赖于标的资产价格的某种平均值。
可以是一段时间内的连续平均值,也可以是若干个时间点的离散平均值;可以是算术平均,也可以是几何平均. 每一个确定的平均类型都对应着两种亚式期权的形式,即平均资产价格与平均敲定价格,它们都具有欧式期权风格. 不同的是前者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代资产本身的价格;而后者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代合约的敲定价格.与普通的期权类似,每种亚式期权都具有看涨和看跌两种交易情形。
以连续情形的标的资产价格平均值为例,用a表示算术平均值, g表示几何平均值, s t表示时刻t的资产价格,服从几何布朗运动，则对于算术平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max ( a - k ,0) ,开始时刻的期权价格为对于几何平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max( g - k ,0) ,开始时刻的期权价格为亚式期权的优点是可以缓解市场的投机行为，且相对于普通期权，价格较便宜，常利用其对冲指定时期的风险。
但亚式期权的定价仍是个公开问题。
假定标的资产价格s服从对数正态分布,一系列对数正态分布变量的几何平均仍服从对数正态分布,而相应算术平均没有可以解析处理的特性,故算术平均亚式期权比几何平均亚式期权的定价要困难得多。
市场流动性影响下的亚式期权近似定价
第３８卷第１期２０２４年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３８N o ．１J a n ．２０２４收稿日期:２０２３Ｇ０７Ｇ２１作者简介:曹圣云(２００１Ｇ),女,河南辉县人,在读硕士,研究方向为金融数学．E Ｇm a i l :１６９０６５２５２９＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２４)０１Ｇ０００１Ｇ０８市场流动性影响下的亚式期权近似定价曹圣云,李㊀鹏(华北水利水电大学数学与统计学院,河南郑州４５００４６)摘要:将具有固定执行价格的亚式期权转换为欧式期权,从近似解的角度考虑算数平均和几何平均的亚式期权在流动性影响下的定价问题．引入贴现因子对流动性进行建模,利用傅里叶变换推导出流动性影响下的亚式期权无穷级数形式的近似定价公式,最后通过数值实验验证了近似公式解的高效性㊁准确性等性质．关键词:亚式期权;流动性风险;贴现因子;傅里叶变换;特征函数中图分类号:O ２９;F ２２４．９㊀㊀㊀文献标志码:AA p p r o x i m a t eP r i c i n g o fA s i a nO p t i o n sw i t h M a r k e tL i q u i d i t y Ri s k C A OS h e n g Ｇy u n ,L IP e n g(C o l l e ge o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o fW a t e rR e s o u r c e s a n dE l e c t r i cP o w e r ,Z h e n gz h o u４５００４６,C h i n a )A b s t r a c t :T h i s p a p e rc o n v e r t sA s i a no p t i o n sw i t hf i x e ds t r i k e p r i c e s i n t oE u r o p e a no pt i o n s ,a n d c o n s i d e r s t h e p r i c i n gp r o b l e mo f a r i t h m e t i c a v e r a g e a n d g e o m e t r i c a v e r a g eA s i a no pt i o n s u n d e r t h e i n f l u e n c eo f l i q u i d i t y f r o mt h e p e r s p e c t i v eo f a p pr o x i m a t es o l u t i o n s ．T h ed i s c o u n t f a c t o r i s i n t r o d u c e d t om o d e l t h e l i q u i d i t y ,a n d t h eF o u r i e r t r a n s f o r mi s u s e d t o d e r i v e t h e a pＧp r o x i m a t e p r i c i n g f o r m u l ao f t h e i n f i n i t e s e r i e s f o r m o fA s i a no pt i o n su n d e r t h e i n f l u e n c eo f l i q u i d i t y ．F i n a l l y ,t h e e f f i c i e n c y a n d a c c u r a c y o f t h e a p p r o x i m a t e f o r m u l a s o l u t i o n a r e v e r i f i e d b y n u m e r i c a l e x pe r i m e n t s ．K e y wo r d s :A s i a no p t i o n ;l i q u i d i t y r i s k ;d i s c o u n tf a c t o r ;F o u r i e rt r a n s f o r m ;c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n0㊀引言市场流动性对期权定价的影响与金融学领域中的很多问题关系密切．亚式期权作为金融衍生品中的一种,具有广泛的应用价值,因此研究流动性影响下的亚式期权定价问题至关重要．多项研究表明市场流动性对标的资产收益产生显著影响[１Ｇ２],许多学者深入研究流动性下的定价问题,发现流动性贴现因子可以有效地捕捉流动性不足对衍生品价格的影响[３Ｇ６]．大量研究通过不同的方法解决亚式期权的定价问题．对于算数平均亚式期权定价,由于目前尚未找到算数平均资产价格的精确概率分布,许多学者对其进行了近似定价[７Ｇ１０];对于可以确定概率分布的几何平均亚式期权,研究者给出了其确定的定价公式[９,１１]．然而,目前没有流动性条件下的亚式期权定价的相关研究．鉴于此,本文借鉴P A S R I C H A P 等[４]研究市场流动性影响下欧式期权封闭式定价公式的思路,构建出一种基于流动性调整的亚式期权的近似定价模型,准确高效地估计出具有固定执行价格的亚式期权的价格．实验结果表明,本文使用的方法在稳健性和高效性方面表现出显著的优势,这将有助于期权交易中的投资者㊁交易员和决策者更快速地估计亚式期权的价格．本文主要是将亚式期权的近似定价模型推广到流动性市场下的定价研究中,并针对具有固定执行价格的亚式期权,推导出流动性影响下的封闭式近似定价公式．1㊀模型框架本文在有限时间范围T ＞０和过滤概率空间Ω,F ,Q ,F t ɪ[０,T ]()下对经济中存在的不确定性进行建模,Q 为风险中性测度．假设标的资产由于市场供需不平衡而导致流动性不足,现考虑将流动性风险通过流动性贴现因子γt 纳入标的资产价格的动态变化过程中[３]．假设某标的资产的供给是固定的且等于S －,该标的资产的需求函数为D S t ,γt ,I t ()＝g I vtγt S t æèçöø÷,其中:S t 是标的资产价格;γt 表示贴现因子;I t 是信息过程;g 是一个平滑的严格递增的函数;v 是一个大于０的常数．在市场清算条件下,标的资产的市场清算价格S 应满足:g I vt γt S t æèçöø÷＝S －．使用g 的可逆性[３],得到标的资产的市场清算价格S 为S ＝１γt Ivt g －１(S －)æèçöø÷．显然,γ＝１表示没有市场流动性不足的贴现情况,此时S 的动态退化为B ＧS 模型,即S B S t＝I v tg －１(S －),这里S B St表示B ＧS 模型下的标的资产价格,满足如下随机过程:d S B StS B S t＝μd t ＋σd W St ,(１)其中W St 表示风险中性测度Q 下的维纳过程．因此,受市场流动性影响的标的资产价格可以表示为S t ＝１γtS B St ．(２)亚式期权在期权到期日的收益依赖于在整个期权有效期内标的资产的价格平均值．这里的平均值有两种类型:算数平均和几何平均．在连续情形下,资产价格的算术平均值为A T ＝１TʏT ０S tdt ,(３)几何平均值为G T ＝e １T ʏT０ln (S t )d t ,(４)其中,S t ＝S ０ e ζ,ζ~N r －１２σ２æèçöø÷t ,σ２t éëêêùûúú．由于难以确定资产价格算术平均值的概率分布,考虑用对数正态分布作为资产价格的近似概率分布,来获得此类期权的近似价格[１２]．假设S －t是A t 的近似,若S －t B S为B ＧS 模型下完全流动的算术平均资产近似价格,S －tB S 满足随机微分方程d S －tB SS－t B S＝μ－A dt ＋σ－A d W St ．(５)利用随机变量S －T 和A T 的一阶矩和二阶矩分别相等,可得参数μ－A 和σ－A 为μ－A ＝１T ln e r T－１r T æèçöø÷,(６)σ－２A ＝１T l n ２r ２(r ＋σ２)(e r T －１)２e (２r ＋σ２)T －１２r ＋σ２－e r T －１r æèçöø÷{}．(７)则受市场流动性影响的算数平均亚式期权的近似价格S －t 可以表示为S －t ＝１γtS －tB S ．(８)几何平均的资产价格服从对数正态分布．洪义成等[１１]指出,离散条件下,几何平均的亚式期权满足以G ０＝S ０e x p μ－G －r －１２σ－２G æèçöø÷éëêêùûúúT {}为初值的随机微分方程d G B St G B S t＝r d t ＋σ－G d W St ,(９)其中:μ－G ＝n ＋１２n r －１２σ２æèçöø÷,(１０)σ－２G ＝(２n ＋１)(n ＋１)σ２６n ２,(１１)n 为离散条件下分成若干区间的个数．则受市场流动性影响的几何平均亚式期权的近似价格G t 可以表示为G t ＝１γtG B St ．(１２)流动性贴现因子γt 可以捕捉市场流动性对资产价格的影响,满足随机微分方程d γt γt＝－βL t ＋１２β２L ２t æèçöø÷d t －βL t d W γt ,(１３)２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷其中:L t 表示市场流动性水平;β为资产价格对市场流动性水平L t 的敏感性程度．进一步假设市场流动性水平L t 遵循均值回归随机过程d L t ＝αθ－L t ()d t ＋ξd W Lt ,(１４)其中:α为市场流动性的均值回归速度;θ为市场流动性的均衡水平;ξ为市场流动性的波动率;WLt为风险中性测度Q 下的一个维纳过程．通过式(５)㊁(８)㊁(１３)与(１４)可以得到受市场流动性影响的算术平均资产价格的随机过程为S －t＝１γtS －tB S＝eβʏt ０L s d s ＋βʏt ０L s dW γs S －tB S ＝S ０e βʏt ０L s d s ＋βʏt ０L s dW γs ＋(μ－A －１２σ－２A )t ＋σ－A W S t ．(１５)通过式(９)㊁(１２)㊁(１３)与(１４)可以得到受市场流动性影响的几何平均资产价格的随机过程为G t ＝１γtG B St ＝eβʏt０L s d s ＋βʏt０L s dW γs G B St＝G ０e βʏt ０L s d s ＋βʏt ０L s dW γs ＋(r －１２σ－２G )t ＋σ－G W S t ．(１６)另外,流动性贴现因子与特定标的资产相关联,需要进一步加强这二者之间的相关性;由于整个市场的流动性风险是衡量市场总流动性的指标,市场流动性因子可以视为资产特定流动性的整体,因此市场流动性的过程与标的资产的价格过程密切相关,这两者之间的相关性也需进一步加强;然而在式(１３)中,流动性贴现因子γt 与市场流动性水平L t 之间的依赖关系已得到体现,因此无需增强相应的两个维纳过程之间的相关性．为了使模型更贴近金融现实,故假设三个维纳过程的相关结构为d W γtd W S t＝ρ１d t ,d W L t d W S t ＝ρ２d t ,d W γt d W L t ＝０．(１７)2㊀封闭式定价公式如果不考虑期权是看涨期权还是看跌期权,具有固定执行价格的亚式期权可以分为两类:具有固定执行价格的算数平均亚式期权和具有固定执行价格的几何平均亚式期权．本文用C A 和C G分别表示上述两种亚式看涨期权的价格,并在本节给出在市场不是完全流动的情况下,两种亚式期权价格的近似解析公式．2.1㊀算数平均亚式期权在风险中性鞅测度Q 下,到期日为T ,执行价为K ,具有固定执行价格的算数平均亚式看涨期权的价格可以表示为C A ＝E e－r T A T －K ()＋()ʈE e－r T S －T －K ()＋()＝e －r T E {{S ０e x p [βʏT０L sd s ＋βʏT０L sd W γs＋μ－A －１２σ－２A æèçöø÷T ＋σ－AW S T]－K }＋}．(１８)令g (t )＝L ０e －αt ＋e－αt ʏt ０αθe αsd s ,且Y t ＝ʏt ０e －α(t －s )d W L s ,根据随机微分方程(１４)得L t ＝g (t )＋ξe －αt ʏt０e αs d W Ls,(１９)ʏt ０L sd s ＝ʏt ０g (s )d s ＋ξʏt０ʏs０e －α(t －u )d W Lud s ＝ʏt０g (s )d s ＋ξʏt０Y sd s ,(２０)ʏt０L sd W γs＝ʏt０g (s )d W γs＋ξʏt ０ʏs０e －α(s －u )d W Lu d W γs＝ʏt０g (s )d W γs＋ξʏt０Y sd W γs．(２１)因此C A ʈe －r T E S ０e x p(H A (T )＋M A (T ))－K []＋{}＝e －r T S ０e x p(H A (T )) E (e x p(M A (T ))－K ~A )＋(),(２２)其中H A (T )＝βʏT ０g (s )d s ＋(μ－A －１２σ－２A )T ,M A(T )＝βξʏT０Y td t ＋βʏT０g (s )d W γs＋βξʏT０Y sd W γs＋σ－AW S T,K ~A ＝KS ０e x p(－H A (T ))．然而M A (T )中涉及多个随机积分,直接求解比较复杂,故从M A (T )整体的特征函数着手,对特征函数进行傅里叶逆变换求解期权价格．用f A (m )表示M A (T )的概率密度函数,可得C A ʈe －r T S ０e x p (H A (T ))P A ,１－K ~A P A ,２(),(２３)其中３第１期曹圣云等:市场流动性影响下的亚式期权近似定价P A ,１＝ʏ＋¥l n (K ~A )e mf A (m )d m ,P A ,２＝ʏ＋¥l n (K ~A )f A (m )d m ．若要进一步写出P A ,１和P A ,２,则需先写出P A ,２的傅里叶形式,进而通过测度变换得到P A ,１．定义ΦA (η,T )为M A (T )的特征函数,则ΦA (η,T )＝ʏ＋¥－¥e i ηm f A (m )d m ．对ΦA (η,T )进行傅里叶逆变换可得f A (m )＝１２πʏ＋¥－¥e －i ηm ΦA (η,T )d η,则P A ,２＝ʏ＋¥l n (K ~A )f A (m )d m ＝ʏ＋¥l n (K ~A )１２πʏ＋¥－¥e －i ηm ΦA (η,T )d ηæèçöø÷d m ＝１２πʏ＋¥－¥ΦA (η,T )ʏ＋¥l n (K ~A)e －i ηm d m ()d η＝１２＋１πʏ＋¥０R e e －i ηl n (K ~A )ΦA (η,T )i ηæèçöø÷d η．(２４)根据测度变换,有P A ,１＝ΦA (－i ,T ){１２＋１πʏ＋¥０R e (e －i ηl n (K ~A )ΦA (η－i ,T )i ηΦA (－i ,T ))d η}．(２５)其中:i 为虚数单位．显然,要得到期权价格的闭式近似定价公式,需要求出特征函数ΦA (η,T )．2.2㊀几何平均亚式期权在风险中性鞅测度Q 下,到期日为T ,执行价为K ,具有固定执行价格的几何平均亚式看涨期权的价格可以表示为C G ＝E e－r T G T －K ()＋()＝e －r T E {{G ０e x p [βʏT ０L s d s ＋βʏT０L s d W γs＋r －１２σ－２G æèçöø÷T ＋σ－G W ST ]－K }＋}．(２６)令n ң＋¥,可得μ－G 和σ－G的近似为μ－Gʈ１２r －１２σ２æèçöø÷,σ－G ʈ１３σ．(２７)上式即可用于本文所研究的连续情形．根据式(１９)㊁(２０)与(２１),有C G ＝e －r T E G ０e x p(H G (T )＋M G (T ))－K []＋{}＝e －r T G ０e x p (H G (T ))E (e x p(M G (T ))－K ~G )＋[]．(２８)其中H G (T )＝βʏT ０g (s )d s ＋r －１２σ－２G æèçöø÷T ,M G(T )＝βξʏT０Y td t ＋βʏT０g (s )d W γs＋βξʏT０Y sd W γs＋σ－GW S T,K ~G ＝KG ０e x p(－H G (T ))．考虑M G (T )的特征函数ΦG (η,T ),用f G (m )表示M G (T )的概率密度函数,可得C G ＝e －r T G ０e x p (H G (T ))P G ,１－K ~G P G ,２(),(２９)其中:P G ,１＝ʏ＋¥l n (K ~G )e mf G (m )d m ,P G ,２＝ʏ＋¥l n (K ~G )f G (m )d m ．P G ,１和P G ,２可以进一步写为P G ,１＝ΦG (－i ,T ){１２＋１πʏ＋¥０R e e －i ηl n (K ~G )ΦG (η－i ,T )i ηΦG (－i ,T )æèçöø÷d η},(３０)P G ,２＝１２＋１πʏ＋¥０R e e －i ηl n (K ~G )ΦG (η,T )i ηæèçöø÷d η．(３１)此时,需要求出特征函数ΦG (η,T )．2.3㊀求解特征函数本文所研究的亚式期权近似定价公式与P a s r i c h aP 等[４]研究的欧式期权在市场流动性影响下的闭式定价公式的思路几乎一致,且推导过程中涉及到的M A (T )和M G (T )与文献[４]中的M (T )具有相似的结构．根据文献[４]中定理３．１可得,M A (T )和M G (T )的特征函数解析形式分别为E ei ηM A (T )()＝e A １(T )ᵑ¥n ＝１１－２E n (T )()－１２e F ２n ,A (T)２１－２E n (T)(),(３２)E ei ηM G (T )()＝eA ２(T )ᵑ¥n ＝１１－２E n (T )()－１２eF ２n ,G (T )２１－２E n(T )(),(３３)其中:４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷A １(T )＝－η２１－ρ２２()σ－A ２T ２－η２β２２ʏT ０g ２(t )d t －η２σ－A ρ１βʏT ０g (t )d t ,A ２(T )＝－η２１－ρ２２()σ－G２T２－η２β２２ʏT ０g ２(t )d t －η２σ－G ρ１βʏT ０g (t )d t ,E n (T )＝c ２λn ,c ２＝－β２ξ２η２２,c ５＝－η２β２ξ,F n ,A (T )＝λn c ３,A e n (T )＋h n ,A (T )(),F n ,G (T )＝λn c ３,G e n (T )＋h n ,G (T )(),c ３,A ＝i ησ－A ρ２,c ４,A ＝i ηβξ－η２σ－A ρ１βξ＋i ησ－A ρ２α,c ３,G ＝i ησ－G ρ２,c ４,G ＝i ηβξ－η２σ－G ρ１βξ＋i ησ－G ρ２α,并且ωn ()n ȡ１是方程αs i n ωn T ()＋ωn c o s ωn T ()＝０的严格正解,有λn ＝１α２＋ω２n,e n (t )＝s i n ωn t ()/T ２－s i n２T ωn ()４ωnæèçöø÷,h n ,A (T )＝c ４,A ＋θc ５()ʏT ０e n(t )d t ＋c ５L ０－θ()λn ωn []/T ２－s i n２T ωn ()４ωnæèçöø÷,h n ,G (T )＝c ４,G ＋θc ５()ʏT ０e n (t )d t ＋c ５L ０－θ()λn ωn []/T ２－s i n２T ωn ()４ωnæèçöø÷．需要指出,这里得到的特征函数是无穷级数的形式,在数值模拟过程中需要对n 进行截断．2.4㊀定价公式综合上述推导过程,可以得到具有固定执行价格的亚式看涨期权有以下定价公式:C １ʈe －r T B ０e x p(H (T ))P １－K ~P ２(),(３４)其中,对于算术平均亚式期权和几何平均亚式期权,分别有B ０＝S ０,H (T )＝H A (T ),K ~＝K ~A ,P １＝P A ,１,P ２＝P A ,２．B ０＝G ０,H (T )＝H G (T ),K ~＝K ~G ,P １＝P G ,１,P ２＝P G ,２．3㊀数值实验与讨论数值实验的结果展示了亚式期权近似定价公式的收敛速度,并通过比较近似公式解的价格和蒙特卡洛模拟得到的价格,验证了近似公式解的稳健性与高效性．所选择的参数值如下:市场流动性水平的均值回复速度α＝０．３,长期均值θ＝０ ２,波动率ξ＝０．９,控制标的资产对市场流动性的敏感性系数β＝０．５,期权的无风险利率r ＝０ ０１,相关系数ρ１＝０．２５,ρ２＝０．３５,初始值L ０＝０．３,γ０＝１．所得到的特征函数是无穷级数的形式,需要进行截断．以算术平均亚式期权为例,固定K ＝１１０,近似公式解的收敛速度如图１所示．在n 和n ＋１处截断无穷级数得到的期权价格,其绝对差值如图１(a )所示．可以明显地观察到,期权价格的绝对差值随着n 值的增加急剧减小到０,这表明近似公式解快速收敛．此外,在初始价格S ０＝１００的情形下,使用n ＝７０与n ＝７１计算的期权价格一致,如图１(b )所示．因此,将截断n ＝７０得到的价格作为近似公式解的收敛期权的价格．接下来考虑对定价公式中涉及的中间项P A ,１和P A ,２,P G ,１和P G ,２进行截断．以算数平均亚式期权的P A ,１和P A ,２为例,P G ,１和P G ,２的截断与此一致．在初始价格S ０＝１００㊁执行价格K ＝１１０情形下,用M １和M ２分别表示P A ,１和P A ,２中无穷积分的截断项数,通过M a t l a b 模拟,相应的期权价格如表１所列．不难发现,当M １和M ２分别大于３０时,得到的期权价格都相等．本文保守选择对P A ,１和P A ,２截断４０项,即M １＝４０和M ２＝４０,这样得到的期权价格具有较高的准确性和效率．为确保推导过程中没有代数错误,并验证亚式期权近似公式解的有效性,现将两种亚式期权的近似公式解价格和蒙特卡洛价格做出比较,如图２所示．由于蒙特卡洛方法需要进行大量的模拟路径以保证高精度的结果,本文对于每个期权值,均采用５０００００条路径的平均值作为蒙特卡洛的价格[４]．可以清楚地观察到,所有类型的期权,包括实值期权㊁虚值期权和平值期权,其近似公式解的价格均逐点地接近相应的蒙特卡洛价格．进一步比较算术平均亚式期权的两种方法所需的计算时间,发现计算图２(a )中的１１个期权价格,近似公式解法仅需３．１７秒,而蒙特卡洛法要３４６．８９秒．因此,近似公式解法可靠性很强,并且５第１期曹圣云等:市场流动性影响下的亚式期权近似定价与传统的蒙特卡洛法相比,近似公式解法在效率上表现出明显的优势．(a)截断n与n＋１项期权价格绝对差值㊀(b)截断７０与７１项的期权价格图１㊀特征函数的截断表１㊀P A,１和P A,２的截断项数对价格的影响M１\M２１０２０３０４０５０６０７０１０２８．７６８２９．２９６２９．３０９２９．３０９２９．３０９２９．３０９２９．３０９２０２８．３９７２８．９２５２８．９３８２８．９３８２８．９３８２８．９３８２８．９３８３０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４４０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４５０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４６０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４７０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４㊀㊀为了证明两种方法的结果高度一致,进一步分析其各自得到的数据,结果如表２－表５所列．对于固定的初始价格S０＝１００,不同执行价格K 得到的两种期权价格如表２和表４所列．在给出的所有执行价格K下,两种方法的绝对误差都小于０．０１,相对误差低于０．０２％．而对于固定的执行价格K＝１１０,不同初始价格S０得到的期权价格如表３和表５所列．尽管当S０的值与K的值差距较大时,对应的相对误差也较大,但两种方法呈现出来的绝对误差仍然小于０．０１,相对误差控制在０．０５％以内．这进一步证实了亚式期权近似公式解的可行性．(a)算术平均亚式期权 固定S０＝１００㊀(b)算数平均亚式期权 固定K＝１１０６㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷(c)几何平均亚式期权 固定S０＝１００㊀(d)几何平均亚式期权 固定K＝１１０图２㊀近似公式解价格与蒙特卡洛价格对比表２㊀算数平均亚式期权C A 固定S０＝１００K近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０４１．４２４１３４１．４１８８５０．００５２８０．０１３％９２３９．９４１５４３９．９３８６８０．００２８７０．００７％９４３８．５０８６２３８．５０７９５０．０００６７０．００２％９６３７．１２７０４３７．１２８２２－０．００１１８０．００３％９８３５．７９７９８３５．８００６５－０．００２６７０．００７％１００３４．５２２０３３４．５２５４３－０．００３４００．０１０％１０２３３．２９９２３３３．３０３１８－０．００３９５０．０１２％１０４３２．１２９１３３２．１３２９７－０．００３８４０．０１２％１０６３１．０１０８１３１．０１４６３－０．００３８３０．０１２％１０８２９．９４２９４２９．９４６５５－０．００３６００．０１２％１１０２８．９２３９４２８．９２６９３－０．００３０００．０１０％表３㊀算数平均亚式期权C A 固定K＝１１０S０近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０２１．２７８４６２１．２７３７００．００４７６０．０２２％９２２２．６９１９８２２．６８９０１０．００２９７０．０１３％９４２４．１６３１９２４．１６２０１０．００１１７０．００５％９６２５．６９２３２２５．６９２９０－０．０００５８０．００２％９８２７．２７９３５２７．２８１４２－０．００２０７０．００８％１００２８．９２３９４２８．９２６９３－０．００３０００．０１０％１０２３０．６２５４１３０．６２９１３－０．００３７２０．０１２％１０４３２．３８２７３３２．３８６６６－０．００３９３０．０１２％１０６３４．１９４５２３４．１９８６２－０．００４１００．０１２％１０８３６．０５９０３３６．０６３２７－０．００４２３０．０１２％１１０３７．９７４２３３７．９７７９７－０．００３７５０．０１０％㊀㊀最后分析相关系数对期权价格的影响．以算数平均亚式期权为例,给出５组实例,分别为:ρ１＝０,ρ２＝０;ρ１＝－０．５,ρ２＝－０．５;ρ１＝－０．５,ρ２表４㊀几何平均亚式期权C G 固定S０＝１００K近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０４１．３３００６４１．３２１８６０．００８２１０．０２０％９２３９．８４９２５３９．８４３４４０．００５８１０．０１５％９４３８．４１８２０３８．４１４５４０．００３６６０．０１０％９６３７．０３８６１３７．０３６７２０．００１９００．００５％９８３５．７１１６２３５．７１１１１０．０００５１０．００１％１００３４．４３７８０３４．４３７８８－０．００００８０．０００％１０２３３．２１７１８３３．２１７６５－０．０００４７０．００１％１０４３２．０４９２８３２．０４９４７－０．０００１９０．００１％１０６３０．９３３１６３０．９３３２０－０．００００４０．０００％１０８２９．８６７４８２９．８６７０８０．０００４１０．００１％１１０２８．８５０６３２８．８４９４３０．００１２１０．００４％表５㊀几何平均亚式期权C G 固定K＝１１０S０近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０２１．２２３３３２１．２１３８００．００９５３０．０４５％９２２２．６３３４０２２．６２５７３０．００７６６０．０３４％９４２４．１０１０５２４．０９５２８０．００５７７０．０２４％９６２５．６２６５４２５．６２２６４０．００３８９０．０１５％９８２７．２０９８４２７．２０７５８０．００２２６０．００８％１００２８．８５０６３２８．８４９４３０．００１２１０．００４％１０２３０．５４８２６３０．５４７９１０．０００３５０．００１％１０４３２．３０１７１３２．３０１７３－０．００００２０．０００％１０６３４．１０９６１３４．１０９８７－０．０００２６０．００１％１０８３５．９７０２４３５．９７０７４－０．０００５００．００１％１１０３７．８８１５８３７．８８１６７－０．００００９０．０００％＝０．５;ρ１＝０．５,ρ２＝－０．５;ρ１＝０．５,ρ２＝０．５,其对价格的影响如图３所示．与预期结果相同,近似公式解得到的价格随着相关系数ρ１和ρ２的增加７第１期曹圣云等:市场流动性影响下的亚式期权近似定价而增加．这主要归因于两方面的原因:一方面,当ρ１变大时,标的资产价格增加会促使贴现因子γt 降低,从而导致更高的看涨期权价格;另一方面,较大的ρ２在标的资产价格增加时会产生更低的市场流动性,进而增加看涨期权的价格．因此,本文采用的相关性结构更贴近金融市场．图３㊀相关系数对价格的影响4㊀结语本文研究了标的资产流动性不足时的亚式期权的定价问题．从近似解角度出发,将亚式期权的定价近似转换为欧式期权的定价,将具有均值回归模型的市场流动性因子纳入贴现因子满足的动态随机过程,通过求解整个复杂随机过程的特征函数,得到了亚式期权无穷级数形式的闭式近似定价公式．通过数值实验验证了近似公式的收敛速度和精度,保证了近似公式解的实际有效性．参考文献:[１]MA D A N D B ,C H E R N Y A．I l l i qu i d M a r k e t sa sa C o u n t e r p a r t y:A nI n t r o d u c t i o nt oC o n i cF i n a n c e [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a lo fT h e o r e t i c a l a n d A p p l i e dF i Ｇn a n c e ,２０１０,１３(８):１１４９Ｇ１１７７．[２]A L B R E C H E R H ,G U I L L A UM E F ,S C HO U T E N SW．I m p l i e d l i q u i d i t y :M o d e l s e n s i t i v i t y[J ]．J o u r n a l o f E m pi r i c a l F i n a n c e ,２０１３,２３:４８Ｇ６７．[３]B R U N E T T IC ,C A L D A R E R A A．A s s e tP r i c e sa n dA s s e tC o r r e l a t i o n s i nI l l i qu i d M a r k e t s [J ]．S S R N E Ｇl e c t r o n i c J o u r n a l ,２００４,１Ｇ２４．[４]P A S R I C HAP ,Z HUSP ,H EXJ ．Ac l o s e d Ｇf o r m p r i Ｇc i n g f o r m u l af o r E u r o p e a no p t i o n s w i t h m a r k e tl i Ｇq u id i t y r i s k [J ]．E x pe r tS y s t e m s w i t h A p pl i c a t i o n s ,２０２２,１８９:１Ｇ７．[５]F E N GSP ,HU N G M W ,WA N G Y H．O pt i o n p r i Ｇc i n g w i t hs t o c h a s t i cl i q u i d i t y r i s k :T h e o r y a n de v i Ｇd e n c e [J ]．J o u r n a l o fF i n a n c i a lM a r k e t s ,２０１４,１８(１):７７Ｇ９５．[６]F E N G HU N G M W ,SP ,WA N G Y H．T h e i m po r Ｇt a n c e o f s t o c k l i q u i d i t y o no p t i o n p r i c i n g [J ]．I n t e r n a Ｇt i o n a lR e v i e wo fE c o n o m i c s&f i n a n c e ,２０１６,４３:４５７Ｇ４６７．[７]S T U A R TM ,T U R N B U L LS ,WA K E MA NL ．A q u i c ka l g o r i t h mf o r p r i c i n g E u r o p e a na v e r a g eo pt i o n s [J ]．J o u r n a l o fF i n a n c i a l a n dQ u a n t i t a t i v eA n a l y s i s ,１９９１,２６(３):２５Ｇ４６．[８]L E V YE ．P r i c i n g E u r o p e a na v e r a g e r a t e c u r r e n c y o pＧt i o n s [J ]．J o u r n a lo fI n t e r n a t i o n a l M o n e y a n d F i Ｇn a n c e ,１９９２,１０(５):２６１Ｇ２８７．[９]章珂,周文彪,沈荣芳．几何平均亚式期权的定价方法[J ]．同济大学学报(自然科学版),２００１,２９(８):９２４Ｇ９２７．[１０]孙坚强,李时银．离散算术平均亚式期权近似定价[J ]．厦门大学学报(自然科学版),２００３,４２(４):４３５Ｇ４３８．[１１]洪义成,金元峰,李美善．基于离散几何平均的亚式期权定价研究[J ]．延边大学学报(自然科学版),２０１５,４１(３):１９９Ｇ２０２．[１２]胡日东．关于亚式股票期权及其定价方法的研究[J ]．数量经济技术经济研究,１９９８(２):７２Ｇ７５．[责任编辑:赵慧霞]８㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷。
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Ｖｏ １ ． ２ ７ Ｎｏ ． ３
Ｓ ｅ ｏ ． ２ ０ １ ３
文章编号 ： １ ６ ７ ３—０ ０ ６ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３— ０ ０ ４ ３— ０ ３
具有 浮动 执行价格 的亚 式期权鞅定价
张 敏， 朱 晖
（ 南华大学 数理 学院 ， 湖南 衡 阳 ４ ２ １ ０ ０ １ ）
中 图分类 号 ： Ｆ ８ ３ ０ 文献标 识码 ： Ａ
Ｍａ ｒ ｔ ｉ ｎ ｇ ａ ｌ ｅ Ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ｏ ｆ Ａｓ ｉ ａ ｎ Ｏｐ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｐ ｒ ｉ ｃ ｉ ｎ ｇ ｗｉ ｔ ｈ Ｆ ｌ ｏ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ Ｓ ｔ ｒ ｉ ｋ ｅ ｄ Ｐｒ ｉ ｃ ｅ
＝ ＋ ￡ ） ｄ Ｗｓ （ ） ｓ （ ０ ）＝Ｓ
（ １ ）
在 亚式期 权定 价 理论 中 Ｉ － ３ ］ ， 在 不 同 的条 件 下 已经 有很 多 的定 价 公 式 了 。 ， 但 定 价 的结 果 仍 与 实际 结果有 一定 差 距 ． 亚式 期 权 的浮 动 执 行 价 格 为期权 有 效期 内 资产 某 段 时 间 内的 平 均价 格 ， 因此 平均 执行 价 格 也 是 随 机 波 动 的 ， 本 文 考 虑 亚 式期 权 中股 票价 格服从 布 朗运 动和 浮动 敲定 价 格 服从 Ｉ ｆ ｏ 过 程 的 两 资 产 相 关 模 型 ， 得 出 了 亚 式 期权 等价 鞅测 度下 的定 价公 式．
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： ： Ｏｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｍｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ｆ ｏ ｒ Ａｓ ｉ ａ ｎ Ｏｐ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｐ ｒ ｉ ｃ ｉ ｎ ｇ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ， ｗｅ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ
ＺＨＡＮＧ Ｍｉ ｎ， ＺＨＵ Ｈｕ ｉ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ， Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｏ ｕ ｔ ｈ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ， Ｈ ｅ ｎ ｇ ｙ ａ ｎ ｇ ， Ｈ ｕ ｎ ａ ｎ ４ ２ １ ０ ０ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｏ ｃ ｋ ｐ ｉｃ ｒ ｅ ｆ ｏ ｌ ｌ ｏ ｗｓ Ｂｒ ｏ ｗｎ ｍｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｌ ｆ ｏ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｅ ｘ ｅ ｒ ｃ ｉ ｓ ｅ ｐ ｉ ｒ ｃ ｅ ｆ ｏ ｌ ｌ ｏ ｗｓ Ｉ ｔ ０ ＾ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｄ ｕ ｒ ｉ ｎ ｇ
Ｊ ｆ ： ０ 而 （ ） ｄ （ 一 ￡ ）
０ 引
言
１ 预备知识
考 虑连 续时 间 的金 融 市场 ， 时 间 区间 ［ ０ ， Ｔ ］ ， ０表示 现在 ， 表示 到期 日， 给 定 某 完 备概 率 空 间 （ ｎ， Ｆ， Ｐ） ， 设ｔ 时刻 的无 风 险利 率 为 ｒ （ ） ， ｔ 时刻 的股票 价格 为 Ｓ （ ｔ ） ， 亚式 看 涨 期权 浮 动 敲定 价 格 为Ｓ 。 （ ） 分别 满足 如下 的微 分方 程
２ ０ １ ３年 ９月
Ｐ ） ｄ Ｗｓ （ ｒ ｏ ｓ （ ｔ ） ￣ ／ １一 Ｐ （ ｔ ） ｄ Ｇ （ ｔ ）
。
． ｓ （ ０ ） ＝Ｓ
（ ２ ）
△ ＝ 一 Ｊ ＿ ： （ ） ｄ ＋ （ ｔ ） ｄ ， ５ （ ） ＠ ＝ 一 丢 』 ： ； 。 （ ） ｄ ｔ ＋ Ｊ － （ ｒ ｏ ｓ ￣ （ ） ｄ 。 （ ） ＋
ｍａ ｒ ｔ ｉ ｎ ｇ ａ ｌ ｅ ｍｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ．
ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｆ ｌ ｏ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｅ ｘ ｅ ｃ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｉｃ ｒ ｅ； Ａｓ ｉ ａ ｎ ｏ ｐ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ； ｔ ｗｏ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ａ ｓ ｓ ｅ ｔ ｓ； ｍａ ｒ ｔ ｉ ｎ ｇ ａ ｌ ｅ ｐ ｒ ｉ ｃ ｉ ｎ ｇ
第２ ７卷第 ３期 ２ ０ １ ３年 ９月
南华大学学报 （ 自然科学 版） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｏ ｕ ｔ ｈ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ （ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ）
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３—０ ５— ２ ５
基金项 目： 衡 阳市科技局基金资助项 目（ ２ ０ １ ２ Ｋ Ｊ １ ７ ）
作者简介 ： 张 敏（ １ ９ ７ ７一） ， 女， 辽宁沈 阳人 ， 南华大学数理学院讲师 ， 硕士． 主要研究方 向： 金融数学
南华大学学报（自然科学版 ）
摘
要： 本文在 概 率测度 空间 中， 对 亚 式 期权 定 价 进行 研 究 ， 考 虑 股 票价 格服 从 布 朗
运动 ， 浮 动执行 价格 服从 Ｉ ｔ ５过程 的 两资 产相 关模 型 中， 得 出等 价 鞅 测度 下 亚 式期 权
的定 价公 式．
关键词 ： 浮动执 行 价格 ； 亚式 期权 ； 两资产 相 关 ； 鞅 定价