亚式期权论文：亚式期权概念及定价简析
亚式期权定价模型的仿真与优化
亚式期权定价模型的仿真与优化亚式期权定价模型的仿真与优化亚式期权是衍生类金融工具中的一种，其定价模型的研究对理论和实践具有重要意义。
本文旨在通过仿真和优化的方法，探讨亚式期权的定价模型，以深入理解其特性和影响因素。
首先，我们来介绍什么是亚式期权。
亚式期权是一种特殊的期权形式，其行权价与一定期间的市场平均价格相关。
与欧式期权和美式期权相比，亚式期权更加复杂，因为亚式期权的行权价受到一段时间内价格波动的影响，这为其定价带来了挑战。
在亚式期权的定价模型中，最为常用的是Black-Scholes模型和Binomial模型。
Black-Scholes模型是基于假设市场服从几何布朗运动的模型，通过随机漫步的方法计算期权的理论价格。
Binomial模型则是基于二叉树模型，通过分期计算和反向归纳计算得出期权的理论价值。
为了进一步探讨亚式期权的定价和影响因素，我们利用蒙特卡洛方法进行模拟实验。
蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样和模拟来解决数学问题的方法。
我们可以通过生成大量的随机数，并使用这些随机数来模拟市场价格的变动，从而得出亚式期权的理论价格。
在仿真实验中，我们需要确定一些参数，如股票价格、期权到期时间、无风险利率、价格波动率等。
通过调整这些参数，我们可以观察到不同条件对亚式期权价格的影响。
例如，当股票价格上涨、期权到期时间延长、无风险利率升高、价格波动率增加时，亚式期权的价格是否会增加或减少。
通过仿真实验，我们可以观察到亚式期权的价格与各个参数之间的关系，并进行优化。
优化方法可以帮助我们找到最优的参数组合，使亚式期权的定价更加准确。
例如，我们可以使用遗传算法等优化方法，通过迭代计算，找到最优的股票价格、期权到期时间、无风险利率和价格波动率，从而得出最准确的亚式期权价格。
当然，在实际应用中，还需要考虑到一些其他因素，如交易成本、流动性、做市商报价等。
这些因素都会对亚式期权的价格产生影响，因此，在仿真过程中，我们还需要将这些因素考虑进去，以得出更合理的亚式期权价格。
Heston模型下离散几何平均亚式期权定价
Heston模型下离散几何平均亚式期权定价陈有杰【期刊名称】《《河池学院学报》》【年(卷),期】2019(039)005【总页数】6页(P67-72)【关键词】Heston模型; 亚式期权; Fourier反变换; 几何平均【作者】陈有杰【作者单位】广西师范大学数学与统计学院广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O211.90 引言期权是风险管理的核心工具，如何给期权定价，自然是一个非常重要的问题。
1973年Black与Scholes在股票价格服从几何布朗运动，利率和股票波动率均为常数的假设下，给出了欧式标准期权定价模型，即著名的Black-Scholes公式[1](记为B-S模型)。
后来人们发现从期权市场数据计算出的波动率表现出波动的聚集性和微笑现象，这表明B-S模型计算的期权价格与实际市场表现存在一定偏差。
为了解决这些偏差，许多学者对B-S模型进行了改进，如Merton[2]和Kou[3]等学者在标的资产的动态模型中引入跳跃风险，建立的跳扩散模型(Jump-Diffusion，简记JD模型)，并给出了类似B-S 模型的期权定价公式；另外，Heston[4]、 Hull和 White[5]以及Stein 和Stein[6]等学者设定资产的波动率是随机变化的，以资产波动率的随机变化过程来刻画波动的聚集性和微笑现象，建立了随机波动率模型(Stochastic Volatility，简记SV模型)。
随后，Chen和Scott[7]、Bates[8]、邓国和和杨向群[9]等学者发现把跳跃因素和波动率随机化结合起来能更好地刻画金融市场波动的聚集性和微笑现象。
亚式期权(Asian options)是一种路径依赖型期权(Path-dependent options)，它的最终收益依赖于期权有效期标的资产价格的平均值，该平均值可以是资产价的几何平均和算术平均，记为标的资产价格从0时刻到T时刻的平均值，则算术平均(JT)离散情形连续情形，几何平均(JT)亚式期权可以根据到期日的收益分成两类[10]37-39，218-288：固定执行价格亚式期权：C(S,T)=(JT-K)+或(K-JT)+，浮动执行价格亚式期权：C(S,T)=(ST-JT)+或(JT-ST)+.由于亚式期权的价格比标准化的欧式期权的价格便宜，所以在金融市场上，它倍受投资者的青睐。
亚式期权——精选推荐
亚式期权亚式期权考虑的是过去时间标的资产价格的平均值，这个时间段可以是从开始时间到期权到期的全部时段，也可以是其中的某个时间段。
平均值⽤⼀个时间 0到某时间点 T关于标的资产价格的积分除以时间长度来表⽰。
积分也可以根据黎曼积分的形式来近似，即有限和的形式。
亚式期权⽣成的⼀个重要原因是为了防⽌某个时段的标的资产的价格⼤幅变动，尤其是⼈为操控产⽣的⼤幅变动影响期权的价值。
⽬前尚不存在亚式期权具体定价的表达式，因此这⼀章讨论推出其满⾜的偏微分⽅程的两种⽅法。
第⼀个在例⼦ 6.6.1中给出。
另⼀个是蒙特卡洛模拟。
7.5.1 固定执⾏价格的亚式看涨期权同样⽤⼏何布朗运动所满⾜的偏微分⽅程的形式来模拟标的资产价格的⾛势。
可以写出在时间 T期权的回报 V(T)。
接着把t时刻期权的折现价值写成条件期望的形式。
接下来讲利⽤增加状态的维度的⽅法得到期权定价表达式。
亚式期权的 V(T)和路径不是独⽴的。
标的资产价格不是马可夫链，但由标的资产价格关于路径的积分 Y(T)与价格 S(T) 组成的⼆维随机过程是马科夫过程，可以由此给期权定价。
定理 7.5.1给出了亚式期权价值所满⾜的偏微分⽅程以及边界条件。
⽅法是⾸先关于 v(t, S(t), Y(t))的折现价格求导，然后令dt的系数为零。
使⽤ x和 y替换 S和Y，得到等式 7.4.8。
之后书中解释了边界条件。
注意到 S(t)恒正。
如果标的资产价格在某时刻为零，那么根据 dS的表达式，S在之后的时间都为零，因此 Y也是保持常数。
在到期时间 T，期权价格可以简单写出。
与 S为零的情况不同，如果Y在某时刻的值为零，不能说明Y的值恒为零，因此 v(t, x, 0)的值不那么容易确定。
7.5.3的⽬的在于通过降维⽅法得到⼀个偏微分⽅程，其解通过简单变换可以得到亚式期权的定价V(t)。
注意到这⾥的V是期权价格，仅和时间相关，不同于上⼀节中的v定价函数（pricing function）。
一类分期付款亚式期权定价
一类分期付款亚式期权定价【摘要】分期付款嵌入到亚式期权构造出分期付款亚式期权，针对固定执行价格的连续几何平均欧式看涨情形，利用kim积分分解定理得到价格函数和最佳停止边界满足的方程，然后利用梯形积分法获得它们的递归式，并利用最小二乘原理求解最佳停止边界，以此获的看涨期权价格的数值算法.最后分析了分期付款率对期权价格、最佳停止边界及套期保值策略的影响.【关键词】期付款；亚式期权；套期保值策略一、引言及介绍亚式期权是一种强路径依赖型期权，它的收益依赖于标的资产在整个期权有效期内标的资产所经历的价格平均值（算术平均和几何平均），可有效的减少到期日价格操纵的影响.它应用十分广泛，特别在石油市场和债券市场非常流行.假设是期权的路径变量，表示初始时刻到时刻t的平均值，那么：，（1）相应的亚式期权可分为算术平均亚式期权和几何平均亚式期权，在到期日t的收益为：（3）分期付款（installment paying）是一种广泛应用于金融实际的支付形式，如住房按揭贷款、人寿保险、教育基金保险、重大工程项目、养老金计划、医疗保健等都是分期付款，也可以投资.分期付款为投资者提供了方便灵活的投资策略，降低了投资者的投资风险.将分期付款引入到金融衍生工具中，构造出分期付款期权，可以为投资者提供灵活的进入与退出机制，让期权持有人有足够的时间来评估标的资产的真实价值和未来走势，为投资决策提供有利的依据.而对于卖方来说，当标的资产的价值下降时，也可以避免损失太大.karsenty 和sikorav[1]是最早介绍该期权的学者.对其定价的研究是最近几年的工作，davis[2] 等人在经典black-scholes模型下分析了离散型分期付款期权，同时给出连续分期付款期权价值函数：（4）在标的股票满足经典black-scholes 模型下，本文考虑连续分期付款支付方式嵌入到亚式期权的定价问题.设是它在时刻的价格，对应用公式可得到分期付款亚式期权满足的非齐次偏微分方程：其中q为分期付款率，为红利率.二、固定执行价格分期付款连续几何平均欧式亚式期权定价现考虑到期日为t的固定执行价格分期付款连续几何平均欧式亚式看涨期权，它在t时刻的价格为。
基于分数布朗运动的亚式期权定价
文化视野基于分数布朗运动的亚式期权定价潘 娣 安徽三联学院基础部摘要：给出了分数布朗运动下的几何平均亚式期权定价的数学模型，通过热传导方程得到了亚式期权价值的解析表达式。
利用数值算例讨论了：赫斯特指数、无风险利率及敲定价格对期权价值的影响.关键词：亚式期权；分数布朗运动；数值算例中图分类号：F830 9；O211 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)010-0405-02引言期权是指以确定的价格在确定的时间购买或出售确定数量的其标的资产的权利。
在期权合约中，确定的价格为敲定价格，确定日期为到期日。
而看涨期权指在一定的时间以确定的价格购买某项资产的权利，看跌期权则表示卖出该资产的权利。
1973年，Black, Scholes[1]和Merton[2]推导出了古典的Black-Scholes模型，他们设金融衍生产品价值V(S t,t)满足如下的方程这里S t表示股票在t时刻的价格，σ为波动率，r为市场中的无风险利率。
在模型求解中，结合了终值条件V(S T,T)=max(S T-K,0)，其中D为执行价格，T为到期日，那么得到欧式看涨期权价值的解析表达式[1](1.2)其中N(x)为累积标准正态分布函数。
Fama[3]在1965年指出,资产价格具有长期依赖性,由于分数布朗运动是连续的高斯过程，有长期依赖性，所以它能够更精确的描述出金融资产的变化。
Rogers[4]发现分数布朗运动路径积分理论下的市场存在着套利机会。
2003年，Hu和Oksendal[5]推导出了分数Girsanov公式(情形)和分数公式，并验证了此积分对应的市场没有套利机会。
亚式期权是一张期权合约，它在到期日的收益依赖于整个期权有效期内的资产价格的平均值，这种路径依赖型期权不仅减少了价格变动所带来的影响，也可以准确的反映股票价格变化的趋势，根据计算亚式期权价格方法的不同，可以分为算术平均亚式期权和几何平均亚式期权，根据到期日收益的不同，可以分为固定敲定价格和浮动敲定价格两类。
亚式期权的一种定价方法
Ｋｅ ｗｏ ｄｓ ｎ ｒ ｌｄ ｓ ｒｂ ｔｏ Ａｓａ ｐ ｉ ｎ ｇ ｏ ｔ ｖ ｒ ｇ ｙ ｒ ｏ ｍａ ｉｔ ｉ ｕ ｉｎ ｉｎ ｏ ｔ ｅ ｍｅ ｉ ａ ｅ ａ ｅ ｏ ｃ
１ 引 言
亚 式期 权 是一 强路 径 有关 期权 ， 它在期 权 到期 日的收 益依 赖 于整 个 有效 期 内原 生资 产 所
Ｊ０
ｅ ｛ ｉｔｔ（）｛－￣ｔ）ｐＴ ｝ ｘ 一Ｉ（ｄＪ ）ｘｆｔ （ｅ－ｏ｝ ｐ ｆ）｝Ｔ ＩｐＴｄＴｘｆ） ・ ｌ ｅ ｏ ｝ ＜｛ Ｋ ｛ （Ｊ ） ０ ｒ
假 设 风险 中性市 场 中有 资产 ， 一种是 无 风险 资产债 券在 时刻 ｔ 格为 Ｐ（）并满 足 价 ￡
ＤｄＰ（ ）＝ Ｐ （） （） ｔ ｔ ｔ ｒ ｔｄ （． ） ２ １
ｒ
ｅｐ一Ｊｆｔ ｔ （ ） ｘ ｛ Ｉ （ｄ｝ ｘ｛ ｌ （ ｄ｝ Ｔ ＞ｅｐ一 ｔ ｔ ） Ｊ ｌ ｒ ） Ｋ一（ ｐ一 Ｉ （ｄ｝（ ） ｅ ｛ ｔ ｔ Ｔ ｘ ｌ ｆ） Ｊ
０ Ｊ ０ Ｊ０
＜ ｅ ｐ 一 ｌ （） ｔＫ） ｘ ｛ ｆｄ ） ｒ 其 中 ｒｆ （）为银行 债 券 的无 风 险利率 ， 据定 义可 以得 到亚式 看涨期 权 当前价 格 Ｃ（ 丁） 根 Ｋ， 和 看跌 期权 的 当前价格 Ｐ（ 丁）的定 义式 ， Ｋ，
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第 ２ 第 ３期 ７卷 ２０ ０ ７年 ９月
数 学 理 论 与 应 用 ＭＡＴＨＥ ＭＡＴＩＡＬＴＨＥ Ｙ Ｃ ＯＲ ＡＮＤ ＡＰ ＬＣＡ ０ＮＳ Ｐ Ｉ Ｔ１
Ｖｏ ． ． Ｉ２７Ｎｏ ３
Ｓ ２ ０ ｅ ０ ７
亚 式 期权 的一种 定 价 方 法
Vasicek利率模型下几何亚式期权的定价
+
Tu
σ2 ( s) d B 2 ( s) d u)
tt
=
∫ ∫ T
T
C2 ( t , T , rt , S t) + f ( s , T) d B 1 ( s) + g ( s , T) d B 2 ( s)
t
t
∫ ∫ 其中 , C2 ( t , T , rt , S t)
=
TT
tln
S ( t)
Pricing Asian Option Under Vasicek Interest Rate
YA O L uo gen , W A N G Xiong , YA N G Xiang qun
(College Of Mat hematics & Computer Science , Hunan Normal University ,Changsha 410081 China)
a2 + b2 + 2ρab
.
详细证明参见[ 1 ]
定理 1 (t 时刻的平均价格型亚式期权的定价公式)
在模型 (1) , (2) 式下 ,股票上的到期时刻为 T ,敲定价格为 K 的几何平均亚式看涨期权在 Π t ,0 ≤
t ≤ T 的价格 C ( t , T , rt , S t) 为 :
∫ C ( t , T , rt , S t)
∫ ∫ S ( u)
e = S t
, u (
t
r(
x)
-
1σ2 22
(
x)
)
d
x
+
uσ
t2
(
x)
dB2
(
x)
∫ ∫∫ ∫ ln S ( u)
蒙特卡罗,基于Java程序的亚式期权定价。
亚式算术平均期权蒙特卡罗定价数值分析摘要：由于亚式算术平均期权的收益依赖于其存续期间离散的标的资产价格，尤其是当涉及到同一时点与若干个变量有关时，传统的数值二项树和有限差分方法难以应付维数灾难，再加上目前亚式算术平均期权没有精确的解析式。
本文正是基于此两点考虑，尝试引入蒙特卡罗方法进行了亚式算术平均期权的定价，基于Java语言进行了具体实现，其中利用中心极限定理生成模拟样本随机数，利用对偶技术提高计算精度。
并且在文末讨论了多维变量中的亚式算术平均期权的随机数生成方法，为下一步研究的复杂的多维亚式期权定价模型提供了一个参考铺垫。
关键词：亚式算术平均蒙特卡罗模拟随机数Java程序语言对偶变量技术一、亚式期权简介自上世纪70年代，Fisher Black，Myron Scholes和Robert Merton在期权定价领域取得重大突破后，金融工程领域得到了极大的促进和发展，涌现出了大量由标准期权变化、组合、派生而出的金融衍生品种，即奇异期权，亚式期权是奇异期权中强路径依赖期权的一种典型的代表。
亚式期权的收益同标的资产在期权有效期内至少某一段时间内的平均价格有关。
1、亚式期权种类亚式期权可分为平均价格期权和平均执行价格期。
前者可用来避免在一段时间内因频繁交易资产而发生的价格波动风险；后者可以保证在一段时间内频繁卖出标的资产的平均价格不会低于最终价格，也可以保证一段时间频繁买人标的资产的平均价格不会高于最终价格。
其收益结构如下表：，，其中Save 、X、ST分别是标的资产某一特定区间内的平均值、执行价、到期价格2、对平均价格的探讨对于亚式期权价格平均时，有算术平均和几何平均两种计量方式，相应的计量方法如下：S ave=（算术平均），S ave=（几何平均）。
在亚式期权中只有几何平均期权能得到精确的解析解。
几何平均期权的解析价格公式之所以存在是因为布莱克-舒尔斯模型假设标的资产价格服从对数正态分布，而一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。
金融衍生产品中美式与亚式期权定价的数值方法研究
金融衍生产品中美式与亚式期权定价的数值方法研究一、概述金融衍生产品是现代金融市场的重要组成部分，其定价问题一直是金融数学、金融工程领域的研究热点。
美式期权与亚式期权作为两种常见的金融衍生产品，其定价问题具有广泛的应用背景和重要的理论价值。
美式期权赋予持有人在期权有效期内任何时间执行合约的权利，而亚式期权则以其有效期内某一特定方式确定的平均价格为基础进行定价。
这两种期权因其独特的性质和复杂的定价机制，在金融市场中占据重要地位。
随着计算机技术的飞速发展和数值方法的不断完善，越来越多的学者开始关注并使用数值方法来研究美式与亚式期权的定价问题。
数值方法不仅可以处理复杂的金融模型，还可以提高定价的准确性和效率。
对美式与亚式期权定价的数值方法进行研究，不仅有助于推动金融衍生产品定价理论的发展，还能为金融机构提供有效的风险管理工具和投资决策支持。
本文旨在探讨美式与亚式期权定价的数值方法，并对比分析各种方法的优缺点。
我们将对美式与亚式期权的基本概念、性质及定价原理进行简要介绍。
我们将重点介绍几种常用的数值方法，包括有限差分法、蒙特卡洛模拟法、二叉树法等，并详细阐述这些方法在美式与亚式期权定价中的应用。
我们将通过实际案例或仿真实验来验证这些数值方法的有效性和实用性，并给出相应的结论和建议。
通过对美式与亚式期权定价的数值方法研究，我们期望能够为金融机构提供更准确、高效的定价工具，同时也为金融衍生产品定价理论的发展做出贡献。
1. 金融衍生产品概述金融衍生产品，作为现代金融市场的重要组成部分，其出现与发展极大地丰富了投资与风险管理的工具。
它们是基于传统金融工具如股票、债券、货币、利率等派生出来的金融产品，其价值依赖于这些基础资产的价格变动。
衍生产品主要包括远期、期货、期权和互换等四大类，它们具有杠杆效应、高风险性、灵活性等特点，能满足投资者不同的风险偏好和收益需求。
期权作为一种特殊的衍生产品，在金融市场中具有广泛的应用。
亚式期权的定价
引 言
亚 式 期 权 又 称 为 平 均 价 格 期 权 ，是 在 总 结 真 实 期 权 ， 虚 拟 期 权 和 优 先 期 权 等 期 权 实 施 的 经 验 教 训 基 础 上 推 出 的 新 型 期 权 ． 标 准 期 权 的 区别 在 于 ： 到 期 日确 定 期 权 收 益 时 ． 与 在 用 期 权 合 同 期 内某 段 时 间标 的 资 产 价 格 的 平 均 值 来 代 替 到
期 权
２０ １ ） １０ ４
期 日的标 的资 产 的价 格 ， 段 时 间称 为 平 均 期 ． 对 价 格 进 行 这 在 平 均 时采 用 算 术 平 均 或 几 何 平 均 ．本 文 考 虑 几 何 平 均 亚 式 期 权 的 定 价 问 题 ， 主 要 采 用 Ｅ ｇｗ ｒ 展 开 式 近 似 对 数 收 益 分 ｄｅ ｏｔ ｈ 布 ， 而 可 得 到 几 何 平 均 亚 式 期 权 价 格 的解 析 近 似式 ． 多 作 从 很 者 都 使 用 过 不 同 的统 计 序 列 展 开 式 进 行 欧 式 期 权 定 价 （ 像
管 其 用 途 ， 使 得 资 金 使 用 的效 率 无 法 得 到 保 障 。 此 外 ， 府 这 政 财 政 拨 款 往 往是 “ 对 一 ” ， 一 的 资金 出去 之 后 无法 循 环 使 用 。
（ ） 多数 企 业 缺 乏 可担 保 的 固 定 资 产 ， 以 获 得 银 行 二 大 难
三、 文化 创 意 企 业 融 资现 状及 存 在 问题 目前 ． 国文 化 创 意 企业 融 资 面 临 以下 主要 问题 。 我 （ ） 府 资 助 数 量 少 、 布散 ， 一 政 分 尚难 解 决 企 业 的根 本 问 题 。 府 每 年 都 拿 出 专项 资金 扶 持 文 化创 意 产业 ， 主要 采 用 政 但 补贴 、 金等形式对企业进行支持 ， 基 而这 些 方 式 也 存 在 一 定 的 缺 陷 。 府 发 放 补 贴 的数 额 有 限 ， 资金 发 放 后 政 府也 无 法 监 政 且
亚式期权定价研究
亚式期权定价研究亚式期权是一种衍生金融工具，其在金融市场中扮演着重要的角色。
与欧式期权相比，亚式期权更加灵活，其到期时的支付金额不仅取决于到期时的标的资产价格，还取决于期间内标的资产的平均价格或其他指标的表现。
因此，亚式期权对于投资者来说具有较高的风险管理和收益潜力。
在亚式期权定价研究中，主要涉及两个方面的问题：一是如何选择合适的定价模型，二是如何计算定价模型中的参数值。
首先，选择合适的定价模型是亚式期权定价研究中的关键问题之一。
常见的亚式期权定价模型包括几何布朗运动模型、随机波动率模型和跳跃扩散模型等。
每种模型都有其优势和局限性，投资者需要根据自身需求和市场情况选择适合的模型。
例如，几何布朗运动模型适用于股票等标的资产价格变动平稳的情况，而随机波动率模型则适用于标的资产波动率存在明显变化的情况。
其次，计算定价模型中的参数值是亚式期权定价研究中的另一个重要问题。
通常，通过历史数据或期权市场中的交易数据来估计模型中的参数。
例如，在几何布朗运动模型中，可以使用历史数据来估计标的资产的平均收益率和波动率。
然而，由于亚式期权的特殊性，传统的参数估计方法可能存在一定的偏差。
因此，研究者们提出了一些改进的参数估计方法，如基于最小二乘法的估计方法和基于蒙特卡洛模拟的估计方法等。
亚式期权定价研究的目的是为了帮助投资者更好地理解和使用亚式期权，从而提高投资决策的准确性和效果。
通过选择合适的定价模型和准确估计模型参数，投资者可以更好地预测亚式期权的价格和收益。
同时，亚式期权定价研究也为金融市场的稳定运行提供了理论支持，为金融机构和监管机构提供了参考依据。
总之，亚式期权定价研究是一个复杂而重要的领域。
通过选择合适的定价模型和准确估计模型参数，投资者可以更好地理解和使用亚式期权，提高投资决策的准确性和效果。
同时，亚式期权定价研究也为金融市场的稳定运行提供了理论支持，为金融机构和监管机构提供了参考依据。
欧式期权、美式期权、亚式期权
欧式期权、美式期权、亚式期权欧式期权:即是指买入期权的一方必须在期权到期日当天才能行使的期权。
如果一项买权合约的期限是6个月，那么这份买权合约的购买者只有在6个月末才能执行这份期权。
欧式期权的最终收益是由执行价格和到期日那天基础资产的市场价格的差价来决定的。
在亚洲区的金融市场，规定行使期权的时间是期权到期日的北京时间下午14?00。
过了这一时间，再有价值的期权都会自动失效作废。
举例:该客户预期欧元/美元会在两周内从1.1500水平逐步上升到1.1700水平。
于是他同样买入一个面值10万欧元、时间两周，行使价在1.1500水平的欧式期权，期权费只是0.65%(即付费650欧元)。
但该欧式期权必须等到到期日当天的北京时间下午14?00才能行使。
不能像美式期权那样随意执行。
假设该期权到期同样以1.1700执行，客户即可获利1252.50美元(2000-650×1.1500=1252.50)。
美式期权:指可以在成交后有效期内任何一天被执行的期权。
也就是指期权持有者可以在期权到期日以前的任何一个工作日纽约时间上午9时30分以前，选择执行或不执行期权合约。
美式期权的最终收益是由执行价格和到期日之前的任何一天的基础自产的市场价格之差来决定的。
举例:今天上午欧元/美元即期汇价为1.1500，一客户预期欧元的汇价晚上或明天可能升上1.1600或更高水平。
于是他便向银行买入一个面值为10万欧元，时间为两周，行使价在1.1500的欧元看涨、美元看跌的美式期权，设费率为2.5%(即买期权要付出2500欧元费用)。
翌日，欧元/美元的汇价上升了，且超越1.1500，达1.1700水平。
那么，该客户可以要求马上执行期权(1.1700-1.1500=200)获利200点，即2000美元。
但减去买入期权时支付的费用后，客户仍亏损875美元(2000-2500×1.1500=-875美元)。
可见，美式期权虽然较为灵活和方便，但期权费的支出是十分昂贵的。
函数幂型几何平均亚式期权定价研究
1
定理： 在模型（1）下，连续时间的函数幂型几何平均亚式看涨期权在 t 时刻的价值为：
C ( S t , t ) exp{ r ( s )ds}( I 1 I 2 )
0
T
其中：
I1 exp{A(S0 , T )
的定价公式显式解，在本文的定理中，当 r (t ) r ， (t ) ，且 r ， 均为常数时，即 可得到文献 [ 4] 的结论，在本文的推论中，令 1 ，即可得到文献 [1] 的结论。
参考文献： 【1】 章 珂 ， 周 文 彪 ， 沈 荣 芳 . 几 何 平 均 亚 式 期 权 的 定 价 方 法 [J]. 同 济 大 学 学 报,2001,29(8):924-927. 【2】 陈万义.幂型支付的欧式期权定价公式[J].数学的实践与认识,2005,6,52-55 【3】 王亚军 , 张艳 , 范胜尹 . 幂型亚式期权的定价问题 [J]. 徐州建筑职业技术学院学 报,2006,6(2):39-41. 【4】 罗庆红，杨向群.几何亚式期权的定价研究[J].湖南文理学院学报,2007,19(1):5-8. 【5】 Ameur H B , Breton M, Karoui L , Ecuyer P L. A dynamic programming approach for pricing options embedded in bonds[J].Journal of Economic Dynamics&Control,2007,31:2212-2233.
The study on function power asian geometric average options SUN Jiang-jie
基于不确定指数O-U过程带有浮动利率模型的亚式期权定价
基于不确定指数O-U过程带有浮动利率模型的亚式期权定价基于不确定指数O-U过程带有浮动利率模型的亚式期权定价摘要：作为衍生品市场的重要组成部分，亚式期权具有很高的市场需求和广泛的应用。
由于亚式期权的特殊性质，其定价模型的准确性和稳定性对市场参与者具有重要的意义。
本文以不确定指数O-U过程和浮动利率模型为基础，通过建立亚式期权定价模型，研究了亚式期权的定价问题。
一、引言亚式期权是一种特殊类型的期权，其支付基于一段时间内标的资产价格的平均值，而不是期权到期时的价格。
亚式期权具有多样化的形式，如固定亚式期权、浮动亚式期权等，广泛应用于金融市场，如股票期权、商品期权等等。
二、不确定指数O-U过程不确定指数O-U过程是一种常用的金融市场模型，其基本形式为随机微分方程：dX(t) = a(μ - X(t))dt + σdW(t)其中，X(t)表示标的资产价格的演化过程，a表示漂移率，μ表示长期均值，σ表示波动率，W(t)表示布朗运动。
该过程通过随机微分方程描述了标的资产价格的随机演化。
三、浮动利率模型浮动利率模型是一种特殊的利率模型，其利率是根据市场条件和借款人信用状况等动态调整的。
在浮动利率模型中，利率的变化是由利率调整函数来描述的，一般形式为：R(t) = R0 + f(t)其中，R(t)表示随时间变化的利率，R0表示初始利率，f(t)表示利率调整函数。
利率调整函数根据市场的供求关系、金融政策等因素来决定利率的调整幅度和方向。
四、亚式期权定价模型本文基于不确定指数O-U过程和浮动利率模型，建立了亚式期权的定价模型。
该模型的基本思想是通过随机微分方程描述标的资产价格和利率的随机演化，进而推导出亚式期权的定价公式。
在模型中，标的资产价格的演化过程符合不确定指数O-U过程，利率的变化根据浮动利率模型来描述。
通过求解随机微分方程，可以得到标的资产价格的概率分布函数和亚式期权的价值函数。
五、实证分析通过实证分析，本文选取了典型的亚式期权产品，应用所建立的定价模型进行了定价实验。
几何型亚式期权的定价研究
代 人 方 程 ｆ．） 到 具 有 固 定 敲 定 价 格 的 几 何 型 亚 式 看 涨 期 权 的 １ 得 ５ 定 解 问题 ：
￡ ， ） ，ｆ：Ｖ＝ｖｓ，， （ 厶ｔ ）
（２ ２） ．
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亚式 期 权 定 价 理 论
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ｑ为 红 利率 ，为 期 望 回报 率 ， 口为波 动 率 ， ， 为期 权 有 限期 。 『３ ｏ３ 亚式 期 权 的价 格 要 依 赖 于 一 个 路 径 变 量 ，它 属 于 路 径 依 赖 期 权 ， Ｂ ｓ 型可 利 用 Ｉ 定 理 与 无套 利 原 理 推 导 出 一 个 包 含 路 径 因 子 在 ＿ 模 ｔ ６ 的 强路 径 依 赖 期 权 的 统 一 Ｂ Ｓ定价 模 型 —
２１ 利 率 的 情 况 ．常
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随着 金 融 市 场 需 求 复 杂 程 度 的 提 高 ， 了满 足 客 户 的 特 殊 需 求 和 为 自身 业 务 发展 的需 要 ， 多 金 融 机 构 设 计 了大 量 由标 准 期 权 衍 生 的 通 许 常 在场 外 市场 交 易 的 新 型 期 权 。 式 期 权 正 是 其 中最 为 活跃 的 的代 表 亚 性 产 品 ．也 是 强 路 径 依 赖 型 期 权 的 典 型 代 表 。 由 于 在 标 准 的 Ｂａｋ ｌ — ｃ Ｓ ｈｌｓ 型 中 假 设 无 风 险利 率 ｒ 常 数 固 定 不 变 ， 而 在 现 实 市 场 中 ｃｏ 模 ｅ 是 然 它 们却 受 多种 因素 的 影 响 ．所 以 考虑 ｒ 期 权 有 效 期 内 是 时 间 ｔ 函 在 的 数 的 情 形 ． 用 强 路 径 依 赖 期 权 的统 一 Ｂ Ｓ模 型 ， 别 得 到在 常 利 率 利 — 分 和 时 变 利 率 下 的 固定 敲 定 价 格 和 浮 动 敲 定 价 格 的 几 何 型 亚 式 期 权 定 价公式。
几何平均亚式期权定价模型及其VaR计算
几何平均亚式期权定价模型及其VaR计算胡攀【摘要】针对现实世界中存在的模糊性,在标的股票价格服从几何Liu过程的模型假设下,给出了几何平均亚式看涨、看跌期权的定价模型及其VaR计算公式.数值计算的结果表明,随机条件下的期权价值与VaR值完全被低估.【期刊名称】《西华师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(036)004【总页数】6页(P345-349,354)【关键词】几何Liu过程;模糊环境;定价模型;VaR计算【作者】胡攀【作者单位】四川文理学院数学与财经学院,四川达州635000【正文语种】中文【中图分类】F830.9在现实世界中存在着大量的随机性和模糊性等不确定性.随机性是一种客观的不确定性,随机变量的分布函数可以通过统计方法很容易得到.然而,模糊性是一种主观的不确定性,刻画模糊性的隶属函数由有经验的专家给出.为了处理模糊过程,1965年Zadeh用隶属函数引入模糊集合的概念[1].Liu在2002年定义了可信性测度与模糊事件的自对偶性,由此建立起可信性理论,使之成为研究模糊理论的一个数学分支[2];为了描述动态模糊,2008年Liu在模糊环境下提出了与布朗运动相对应的Liu 过程的概念,同时建立了Liu股票价格模型[3];2008年Qin与Li在上述模型基础之上建立了欧式期权定价公式[4]; 2009年Qin与Gao又提出了分数Liu过程[5].基于上述理论,2010年谭英双借助Liu过程,Liu公式等不确定性理论建立的模糊欧式看涨期权推导出模糊环境下的净现值流公式[6];2013年胡华给出了标的股票服从几何分数Liu过程的幂期权定价模型[7];同年林亮、吴帅给出了模糊过程下不同死力假设的增额寿险精算模型[8].亚式期权作为一种强路径依赖性期权,可分为算术平均和几何平均两种.随机条件下亚式期权的定价模型是在理想化的市场假设条件下得到的结果,其完全忽略了像战争、恐怖袭击、公司破产等模糊因素对金融市场的影响,因而期权价值被低估.随机条件下几何平均亚式期权的定价问题参见文献[9-12].由于现实的金融市场中存在大量的模糊性,因而考虑模糊环境下几何平均亚式期权的定价问题似乎更符合市场的实际情况.现有的研究成果中,对于亚式期权VaR的讨论,都是在随机条件下进行的,存在风险价值被低估的可能.而对于模糊条件下期权的VaR研究,迄今为止还是空白.因此,本文在金融市场受模糊性因素影响的基础上,在标的股票价格服从几何Liu过程的模型假设下,首先利用可信性理论给出几何平均亚式看涨、看跌期权的定价公式及其证明过程;其次利用定价公式给出几何平均亚式看涨、看跌期权的VaR计算方法;最后通过数值计算比较随机和模糊条件下几何平均亚式看涨、看跌期权的价值和VaR值.期望能为期权投资者或金融炒家提供一种更加符合实际市场的投资决策或规避风险的工具.1.1 可信性理论定义1[3] Liu过程Ct的正态隶属函数为∞.特别,当e=0,σ=1时称Ct为标准Liu过程.定义2[13] 假设Ct是一个标准Liu过程,则称模糊过程Csds为Liu过程的积分.引理1[13] 对任意t>0,It的正态隶属函数为.引理2[14] (可信性反演定理) 假设ξ是隶属函数为μ的模糊变量,对于任意实数集合B,ξ的可信性测度(x)).定义3[15] 假设ξ是一个模糊变量,则ξ的期望值为≥{ξ≤r}dr.1.2 Liu股价模型假设模糊金融市场中仅存在两种证券:一种为债券, t时刻的价格记为Bt;另一种为股票,t时刻的价格记为Xt.文献[2]给出了股票价格服从几何Liu过程的一般模型其中r表示无风险利率,e为股票的漂移项,σ为股票的扩散项,Ct为标准Liu过程.1.3 VaR的定义及计算方法1996年, J.P.Morgan[16]在随机条件下提出了度量金融衍生工具或投资组合市场风险的VaR方法, 自此VaR便成为金融市场上管理和控制风险的重要工具.定义4[16] VaR是指在给定置信水平和一定持有期内某一金融衍生工具或投资组合所面临的最大可能损失.其含义是风险价值.考虑投资组合Π,假设θ0表示该组合的初始价值,R表示持有期内组合的收益率,则其期末价值θ=θ0(1+R);记投资组合的最低收益率为R*,则其最低价值θ*=θ0(1+R*)；模糊环境下与给定置信水平α对应的最低收益率可表示为:Cr{R<R*}=1-α记μR和σR分别表示R的期望回报和波动率.依定义4,模糊环境中投资组合的相对VaR为:VaRrel=ECr(θ)-θ*=θ0(μR-R*)绝对VaR为:VaRabs=θ0-θ*=-θ0R*其中ECr表示依赖于可信性测度Cr的数学期望.亚式期权作为强路劲依赖型期权,分为看涨和看跌两种.看涨(看跌)期权赋予期权持有者在到期时间按既定价格购买(销售)一定量的股票的权利而不是义务.执行价格为K,到期时间为T的几何平均亚式看涨期权在t=0时刻的价值为lnXtdt)-K)+;看跌期权的价值为lnXtdt))+.定理1 记C=C(X0,K,e,σ,r),P=P(X0,K,e,σ,r),则Liu股价模型下, 执行价格为K,到期时间为T的几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻t=0的价值为证明：以几何平均亚式看涨期权定价模型的推导为例, 几何平均亚式看跌期权的定价模型可以类似证明.依据模糊变量的期望值定义,有C(X0,K,e,σ,r)将(5)式变形后代入上式并化简得:原式当x≥0时,由可信性反演定理可知结合引理.于是当x<0时,.于是综合(12)、(13)两式有将(14)式代入(11)式可得(9)式成立.定理2 记C(X0,K,e,σ,r)=C,P(X0,K,e,σ,r)=P由定理1给出,则①Liu股价模型下,几何平均亚式看涨期权的相对风险为:,绝对风险为:.②Liu股价模型下,几何平均亚式看跌期权的相对风险为:,绝对风险为:.其中由(16)式给出,-1,μC、μP分别为看涨、看跌期权的期望回报率.证明: ①几何平均亚式看涨期权在[0,T]时间段内的收益率为当≤K时,R≡-1，所以当时,.依据VaR的定义,模糊环境下与给定置信水平α对应的最低收益率为从中可解得.于是根据期权的相对风险与绝对风险的定义即可得结论.②几何平均亚式看跌期权的绝对风险价值与相对风险价值可类似证明,这里从略. 下面通过数值计算比较模糊条件下和随机条件下几何平均亚式期权的价值与VaRrel值,计算结果见表1、表2.随机条件下几何平均亚式看涨、看跌期权的解析定价公式采用2001年章珂、周文彪、沈荣芳给出的定价模型[17].随机条件下几何平均亚式期权的VaRrel计算公式采用2009年董洪坤[18]的结果.分别记随机条件下几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻的价值为C(t,Bt)和P(t,Bt);模糊条件下几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻的价值记为C(t,Ct)和P(t,Ct).模型中各参数取值如下:X0=K=100,T=1,μc=μp=e=0.0325,σ=0.2,r=0.0225.表1 的计算结果显示,模糊环境下几何平均亚式看涨、看跌期权的价值均高于随机条件下的对应价值.原因在于随机条件下的几何平均亚式期权定价完全忽略了像战争、恐怖袭击、公司破产等突发因素对金融市场的影响,从而导致价值被低估.模糊因素的忽略将导致短期内期权市场出现套利机会,这使得大量的期权投资者或金融炒家涌向期权市场,从而抬高期权价格,直到套利机会消失.以看涨期权为例,如果模糊条件下的期权价值9.5561被定价为随机条件下的5.3319,这时期权价值存在4.2242的套利机会,于是期权投资者或金融炒家将涌向市场直到4.2242的套利机会消失为止.表2给出了几何平均亚式期权在不同置信水平下的VaRrel值.数据显示几何平均亚式期权的VaRrel均是置信水平α的减函数;其次由于受模糊因素的影响,相同置信水平下几何平均亚式看涨、看跌期权的VaRrel值高于随机条件下的对应值;再次在模糊金融市场中仍然是高风险对应高回报.以5%的置信水平为例,模糊条件下看涨期权的VaRrel值为30.7575,而随机条件下的VaRrel值只有16.0365.若忽略模糊因素的影响,则期权的风险值被低估14.721,低估率高达47.86%.这对于期权投资者来讲是非常危险的,因为其获得的收益与承担的风险完全不匹配.【相关文献】[1] ZADEH L A.Fuzzy Sets [J].Information and Control, 1965(8):338-353.[2] LIU B D.Foundation of Uncertainty Theory [M].Beijing: Tsinghua University, 2006:81-96.[3] LIU B D.Fuzzy process, Hybrid Process and Uncertain Process [J].Journal of Uncertain Systems, 2008, 2(1): 3-16.[4] QIN Z F, LI X.Option Pricing Formula for Fuzzy Financial Market [J].Journal of Uncertain Systems, 2008, 2(1):17-21.[5] QIN Z F, GAO X.Fractional Liu Process with Application to Finance [J].Mathematical and Computer Modeling, 2009, 50(9/10):1538-1543.[6] 谭英双.基于模糊不确定环境的高新技术项目价值评估模型[J].系统工程理论与实践，2010,30(6):1021-1026.[7] 胡华.标的股票服从几何分数Liu过程的幂期权定价模型[J].河南师范大学学报(自然科学版),2013,41(2):1-5.[8] 林亮,吴帅.模糊过程下不同死力假设的增额寿险精算模型[J].桂林理工大学学报,2013,33(1):160-163.[9] 郑小迎,陈金贤.关于亚式期权及其定价模型研究[J].系统工程,2000,18(2):335-379.[10] 赵建忠.亚式期权定价的模拟方法研究[J].上海金融学院学报,2006(5):58-61.[11] 薛红.分数跳-扩散过程下亚式期权定价模型[J].工程数学学报,2010,27(6):1009-1015.[12] 胡攀.有交易费的分数型几何平均亚式期权的定价公式[J].绵阳师范学院学报,2013,32(11):21-26.[13] QIN Z F, LI X.Fuzzy Calculus for Finance [M].Beijing: Tsinghai University, 2008:1-54.[14] LIU B D.Uncertainty Theory [M].Berlin: Springer-Verlag, 2007:48.[15] LIU B D, LIU Y K.Expected Value of Fuzzy Variable and Fuzzy Expected Value Models[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2002, 10(4): 445-450.[16] MORGAN J P.Measuring the risk in Value at risk [J].Financial Analysis Journal, 1996, Nov./Dec.47-55.[17] 章珂,周文彪,沈荣芳.几何平均亚式期权的定价方法[J].同济大学学报(自然科学版),2001,29(8):924-927.[18] 董洪坤.几类奇异期权的VaR度量[D].长沙:湖南大学硕士学位论文,2009:22-28.。
市场流动性影响下的亚式期权近似定价
第３８卷第１期２０２４年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３８N o ．１J a n ．２０２４收稿日期:２０２３Ｇ０７Ｇ２１作者简介:曹圣云(２００１Ｇ),女,河南辉县人,在读硕士,研究方向为金融数学．E Ｇm a i l :１６９０６５２５２９＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２４)０１Ｇ０００１Ｇ０８市场流动性影响下的亚式期权近似定价曹圣云,李㊀鹏(华北水利水电大学数学与统计学院,河南郑州４５００４６)摘要:将具有固定执行价格的亚式期权转换为欧式期权,从近似解的角度考虑算数平均和几何平均的亚式期权在流动性影响下的定价问题．引入贴现因子对流动性进行建模,利用傅里叶变换推导出流动性影响下的亚式期权无穷级数形式的近似定价公式,最后通过数值实验验证了近似公式解的高效性㊁准确性等性质．关键词:亚式期权;流动性风险;贴现因子;傅里叶变换;特征函数中图分类号:O ２９;F ２２４．９㊀㊀㊀文献标志码:AA p p r o x i m a t eP r i c i n g o fA s i a nO p t i o n sw i t h M a r k e tL i q u i d i t y Ri s k C A OS h e n g Ｇy u n ,L IP e n g(C o l l e ge o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o fW a t e rR e s o u r c e s a n dE l e c t r i cP o w e r ,Z h e n gz h o u４５００４６,C h i n a )A b s t r a c t :T h i s p a p e rc o n v e r t sA s i a no p t i o n sw i t hf i x e ds t r i k e p r i c e s i n t oE u r o p e a no pt i o n s ,a n d c o n s i d e r s t h e p r i c i n gp r o b l e mo f a r i t h m e t i c a v e r a g e a n d g e o m e t r i c a v e r a g eA s i a no pt i o n s u n d e r t h e i n f l u e n c eo f l i q u i d i t y f r o mt h e p e r s p e c t i v eo f a p pr o x i m a t es o l u t i o n s ．T h ed i s c o u n t f a c t o r i s i n t r o d u c e d t om o d e l t h e l i q u i d i t y ,a n d t h eF o u r i e r t r a n s f o r mi s u s e d t o d e r i v e t h e a pＧp r o x i m a t e p r i c i n g f o r m u l ao f t h e i n f i n i t e s e r i e s f o r m o fA s i a no pt i o n su n d e r t h e i n f l u e n c eo f l i q u i d i t y ．F i n a l l y ,t h e e f f i c i e n c y a n d a c c u r a c y o f t h e a p p r o x i m a t e f o r m u l a s o l u t i o n a r e v e r i f i e d b y n u m e r i c a l e x pe r i m e n t s ．K e y wo r d s :A s i a no p t i o n ;l i q u i d i t y r i s k ;d i s c o u n tf a c t o r ;F o u r i e rt r a n s f o r m ;c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n0㊀引言市场流动性对期权定价的影响与金融学领域中的很多问题关系密切．亚式期权作为金融衍生品中的一种,具有广泛的应用价值,因此研究流动性影响下的亚式期权定价问题至关重要．多项研究表明市场流动性对标的资产收益产生显著影响[１Ｇ２],许多学者深入研究流动性下的定价问题,发现流动性贴现因子可以有效地捕捉流动性不足对衍生品价格的影响[３Ｇ６]．大量研究通过不同的方法解决亚式期权的定价问题．对于算数平均亚式期权定价,由于目前尚未找到算数平均资产价格的精确概率分布,许多学者对其进行了近似定价[７Ｇ１０];对于可以确定概率分布的几何平均亚式期权,研究者给出了其确定的定价公式[９,１１]．然而,目前没有流动性条件下的亚式期权定价的相关研究．鉴于此,本文借鉴P A S R I C H A P 等[４]研究市场流动性影响下欧式期权封闭式定价公式的思路,构建出一种基于流动性调整的亚式期权的近似定价模型,准确高效地估计出具有固定执行价格的亚式期权的价格．实验结果表明,本文使用的方法在稳健性和高效性方面表现出显著的优势,这将有助于期权交易中的投资者㊁交易员和决策者更快速地估计亚式期权的价格．本文主要是将亚式期权的近似定价模型推广到流动性市场下的定价研究中,并针对具有固定执行价格的亚式期权,推导出流动性影响下的封闭式近似定价公式．1㊀模型框架本文在有限时间范围T ＞０和过滤概率空间Ω,F ,Q ,F t ɪ[０,T ]()下对经济中存在的不确定性进行建模,Q 为风险中性测度．假设标的资产由于市场供需不平衡而导致流动性不足,现考虑将流动性风险通过流动性贴现因子γt 纳入标的资产价格的动态变化过程中[３]．假设某标的资产的供给是固定的且等于S －,该标的资产的需求函数为D S t ,γt ,I t ()＝g I vtγt S t æèçöø÷,其中:S t 是标的资产价格;γt 表示贴现因子;I t 是信息过程;g 是一个平滑的严格递增的函数;v 是一个大于０的常数．在市场清算条件下,标的资产的市场清算价格S 应满足:g I vt γt S t æèçöø÷＝S －．使用g 的可逆性[３],得到标的资产的市场清算价格S 为S ＝１γt Ivt g －１(S －)æèçöø÷．显然,γ＝１表示没有市场流动性不足的贴现情况,此时S 的动态退化为B ＧS 模型,即S B S t＝I v tg －１(S －),这里S B St表示B ＧS 模型下的标的资产价格,满足如下随机过程:d S B StS B S t＝μd t ＋σd W St ,(１)其中W St 表示风险中性测度Q 下的维纳过程．因此,受市场流动性影响的标的资产价格可以表示为S t ＝１γtS B St ．(２)亚式期权在期权到期日的收益依赖于在整个期权有效期内标的资产的价格平均值．这里的平均值有两种类型:算数平均和几何平均．在连续情形下,资产价格的算术平均值为A T ＝１TʏT ０S tdt ,(３)几何平均值为G T ＝e １T ʏT０ln (S t )d t ,(４)其中,S t ＝S ０ e ζ,ζ~N r －１２σ２æèçöø÷t ,σ２t éëêêùûúú．由于难以确定资产价格算术平均值的概率分布,考虑用对数正态分布作为资产价格的近似概率分布,来获得此类期权的近似价格[１２]．假设S －t是A t 的近似,若S －t B S为B ＧS 模型下完全流动的算术平均资产近似价格,S －tB S 满足随机微分方程d S －tB SS－t B S＝μ－A dt ＋σ－A d W St ．(５)利用随机变量S －T 和A T 的一阶矩和二阶矩分别相等,可得参数μ－A 和σ－A 为μ－A ＝１T ln e r T－１r T æèçöø÷,(６)σ－２A ＝１T l n ２r ２(r ＋σ２)(e r T －１)２e (２r ＋σ２)T －１２r ＋σ２－e r T －１r æèçöø÷{}．(７)则受市场流动性影响的算数平均亚式期权的近似价格S －t 可以表示为S －t ＝１γtS －tB S ．(８)几何平均的资产价格服从对数正态分布．洪义成等[１１]指出,离散条件下,几何平均的亚式期权满足以G ０＝S ０e x p μ－G －r －１２σ－２G æèçöø÷éëêêùûúúT {}为初值的随机微分方程d G B St G B S t＝r d t ＋σ－G d W St ,(９)其中:μ－G ＝n ＋１２n r －１２σ２æèçöø÷,(１０)σ－２G ＝(２n ＋１)(n ＋１)σ２６n ２,(１１)n 为离散条件下分成若干区间的个数．则受市场流动性影响的几何平均亚式期权的近似价格G t 可以表示为G t ＝１γtG B St ．(１２)流动性贴现因子γt 可以捕捉市场流动性对资产价格的影响,满足随机微分方程d γt γt＝－βL t ＋１２β２L ２t æèçöø÷d t －βL t d W γt ,(１３)２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷其中:L t 表示市场流动性水平;β为资产价格对市场流动性水平L t 的敏感性程度．进一步假设市场流动性水平L t 遵循均值回归随机过程d L t ＝αθ－L t ()d t ＋ξd W Lt ,(１４)其中:α为市场流动性的均值回归速度;θ为市场流动性的均衡水平;ξ为市场流动性的波动率;WLt为风险中性测度Q 下的一个维纳过程．通过式(５)㊁(８)㊁(１３)与(１４)可以得到受市场流动性影响的算术平均资产价格的随机过程为S －t＝１γtS －tB S＝eβʏt ０L s d s ＋βʏt ０L s dW γs S －tB S ＝S ０e βʏt ０L s d s ＋βʏt ０L s dW γs ＋(μ－A －１２σ－２A )t ＋σ－A W S t ．(１５)通过式(９)㊁(１２)㊁(１３)与(１４)可以得到受市场流动性影响的几何平均资产价格的随机过程为G t ＝１γtG B St ＝eβʏt０L s d s ＋βʏt０L s dW γs G B St＝G ０e βʏt ０L s d s ＋βʏt ０L s dW γs ＋(r －１２σ－２G )t ＋σ－G W S t ．(１６)另外,流动性贴现因子与特定标的资产相关联,需要进一步加强这二者之间的相关性;由于整个市场的流动性风险是衡量市场总流动性的指标,市场流动性因子可以视为资产特定流动性的整体,因此市场流动性的过程与标的资产的价格过程密切相关,这两者之间的相关性也需进一步加强;然而在式(１３)中,流动性贴现因子γt 与市场流动性水平L t 之间的依赖关系已得到体现,因此无需增强相应的两个维纳过程之间的相关性．为了使模型更贴近金融现实,故假设三个维纳过程的相关结构为d W γtd W S t＝ρ１d t ,d W L t d W S t ＝ρ２d t ,d W γt d W L t ＝０．(１７)2㊀封闭式定价公式如果不考虑期权是看涨期权还是看跌期权,具有固定执行价格的亚式期权可以分为两类:具有固定执行价格的算数平均亚式期权和具有固定执行价格的几何平均亚式期权．本文用C A 和C G分别表示上述两种亚式看涨期权的价格,并在本节给出在市场不是完全流动的情况下,两种亚式期权价格的近似解析公式．2.1㊀算数平均亚式期权在风险中性鞅测度Q 下,到期日为T ,执行价为K ,具有固定执行价格的算数平均亚式看涨期权的价格可以表示为C A ＝E e－r T A T －K ()＋()ʈE e－r T S －T －K ()＋()＝e －r T E {{S ０e x p [βʏT０L sd s ＋βʏT０L sd W γs＋μ－A －１２σ－２A æèçöø÷T ＋σ－AW S T]－K }＋}．(１８)令g (t )＝L ０e －αt ＋e－αt ʏt ０αθe αsd s ,且Y t ＝ʏt ０e －α(t －s )d W L s ,根据随机微分方程(１４)得L t ＝g (t )＋ξe －αt ʏt０e αs d W Ls,(１９)ʏt ０L sd s ＝ʏt ０g (s )d s ＋ξʏt０ʏs０e －α(t －u )d W Lud s ＝ʏt０g (s )d s ＋ξʏt０Y sd s ,(２０)ʏt０L sd W γs＝ʏt０g (s )d W γs＋ξʏt ０ʏs０e －α(s －u )d W Lu d W γs＝ʏt０g (s )d W γs＋ξʏt０Y sd W γs．(２１)因此C A ʈe －r T E S ０e x p(H A (T )＋M A (T ))－K []＋{}＝e －r T S ０e x p(H A (T )) E (e x p(M A (T ))－K ~A )＋(),(２２)其中H A (T )＝βʏT ０g (s )d s ＋(μ－A －１２σ－２A )T ,M A(T )＝βξʏT０Y td t ＋βʏT０g (s )d W γs＋βξʏT０Y sd W γs＋σ－AW S T,K ~A ＝KS ０e x p(－H A (T ))．然而M A (T )中涉及多个随机积分,直接求解比较复杂,故从M A (T )整体的特征函数着手,对特征函数进行傅里叶逆变换求解期权价格．用f A (m )表示M A (T )的概率密度函数,可得C A ʈe －r T S ０e x p (H A (T ))P A ,１－K ~A P A ,２(),(２３)其中３第１期曹圣云等:市场流动性影响下的亚式期权近似定价P A ,１＝ʏ＋¥l n (K ~A )e mf A (m )d m ,P A ,２＝ʏ＋¥l n (K ~A )f A (m )d m ．若要进一步写出P A ,１和P A ,２,则需先写出P A ,２的傅里叶形式,进而通过测度变换得到P A ,１．定义ΦA (η,T )为M A (T )的特征函数,则ΦA (η,T )＝ʏ＋¥－¥e i ηm f A (m )d m ．对ΦA (η,T )进行傅里叶逆变换可得f A (m )＝１２πʏ＋¥－¥e －i ηm ΦA (η,T )d η,则P A ,２＝ʏ＋¥l n (K ~A )f A (m )d m ＝ʏ＋¥l n (K ~A )１２πʏ＋¥－¥e －i ηm ΦA (η,T )d ηæèçöø÷d m ＝１２πʏ＋¥－¥ΦA (η,T )ʏ＋¥l n (K ~A)e －i ηm d m ()d η＝１２＋１πʏ＋¥０R e e －i ηl n (K ~A )ΦA (η,T )i ηæèçöø÷d η．(２４)根据测度变换,有P A ,１＝ΦA (－i ,T ){１２＋１πʏ＋¥０R e (e －i ηl n (K ~A )ΦA (η－i ,T )i ηΦA (－i ,T ))d η}．(２５)其中:i 为虚数单位．显然,要得到期权价格的闭式近似定价公式,需要求出特征函数ΦA (η,T )．2.2㊀几何平均亚式期权在风险中性鞅测度Q 下,到期日为T ,执行价为K ,具有固定执行价格的几何平均亚式看涨期权的价格可以表示为C G ＝E e－r T G T －K ()＋()＝e －r T E {{G ０e x p [βʏT ０L s d s ＋βʏT０L s d W γs＋r －１２σ－２G æèçöø÷T ＋σ－G W ST ]－K }＋}．(２６)令n ң＋¥,可得μ－G 和σ－G的近似为μ－Gʈ１２r －１２σ２æèçöø÷,σ－G ʈ１３σ．(２７)上式即可用于本文所研究的连续情形．根据式(１９)㊁(２０)与(２１),有C G ＝e －r T E G ０e x p(H G (T )＋M G (T ))－K []＋{}＝e －r T G ０e x p (H G (T ))E (e x p(M G (T ))－K ~G )＋[]．(２８)其中H G (T )＝βʏT ０g (s )d s ＋r －１２σ－２G æèçöø÷T ,M G(T )＝βξʏT０Y td t ＋βʏT０g (s )d W γs＋βξʏT０Y sd W γs＋σ－GW S T,K ~G ＝KG ０e x p(－H G (T ))．考虑M G (T )的特征函数ΦG (η,T ),用f G (m )表示M G (T )的概率密度函数,可得C G ＝e －r T G ０e x p (H G (T ))P G ,１－K ~G P G ,２(),(２９)其中:P G ,１＝ʏ＋¥l n (K ~G )e mf G (m )d m ,P G ,２＝ʏ＋¥l n (K ~G )f G (m )d m ．P G ,１和P G ,２可以进一步写为P G ,１＝ΦG (－i ,T ){１２＋１πʏ＋¥０R e e －i ηl n (K ~G )ΦG (η－i ,T )i ηΦG (－i ,T )æèçöø÷d η},(３０)P G ,２＝１２＋１πʏ＋¥０R e e －i ηl n (K ~G )ΦG (η,T )i ηæèçöø÷d η．(３１)此时,需要求出特征函数ΦG (η,T )．2.3㊀求解特征函数本文所研究的亚式期权近似定价公式与P a s r i c h aP 等[４]研究的欧式期权在市场流动性影响下的闭式定价公式的思路几乎一致,且推导过程中涉及到的M A (T )和M G (T )与文献[４]中的M (T )具有相似的结构．根据文献[４]中定理３．１可得,M A (T )和M G (T )的特征函数解析形式分别为E ei ηM A (T )()＝e A １(T )ᵑ¥n ＝１１－２E n (T )()－１２e F ２n ,A (T)２１－２E n (T)(),(３２)E ei ηM G (T )()＝eA ２(T )ᵑ¥n ＝１１－２E n (T )()－１２eF ２n ,G (T )２１－２E n(T )(),(３３)其中:４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷A １(T )＝－η２１－ρ２２()σ－A ２T ２－η２β２２ʏT ０g ２(t )d t －η２σ－A ρ１βʏT ０g (t )d t ,A ２(T )＝－η２１－ρ２２()σ－G２T２－η２β２２ʏT ０g ２(t )d t －η２σ－G ρ１βʏT ０g (t )d t ,E n (T )＝c ２λn ,c ２＝－β２ξ２η２２,c ５＝－η２β２ξ,F n ,A (T )＝λn c ３,A e n (T )＋h n ,A (T )(),F n ,G (T )＝λn c ３,G e n (T )＋h n ,G (T )(),c ３,A ＝i ησ－A ρ２,c ４,A ＝i ηβξ－η２σ－A ρ１βξ＋i ησ－A ρ２α,c ３,G ＝i ησ－G ρ２,c ４,G ＝i ηβξ－η２σ－G ρ１βξ＋i ησ－G ρ２α,并且ωn ()n ȡ１是方程αs i n ωn T ()＋ωn c o s ωn T ()＝０的严格正解,有λn ＝１α２＋ω２n,e n (t )＝s i n ωn t ()/T ２－s i n２T ωn ()４ωnæèçöø÷,h n ,A (T )＝c ４,A ＋θc ５()ʏT ０e n(t )d t ＋c ５L ０－θ()λn ωn []/T ２－s i n２T ωn ()４ωnæèçöø÷,h n ,G (T )＝c ４,G ＋θc ５()ʏT ０e n (t )d t ＋c ５L ０－θ()λn ωn []/T ２－s i n２T ωn ()４ωnæèçöø÷．需要指出,这里得到的特征函数是无穷级数的形式,在数值模拟过程中需要对n 进行截断．2.4㊀定价公式综合上述推导过程,可以得到具有固定执行价格的亚式看涨期权有以下定价公式:C １ʈe －r T B ０e x p(H (T ))P １－K ~P ２(),(３４)其中,对于算术平均亚式期权和几何平均亚式期权,分别有B ０＝S ０,H (T )＝H A (T ),K ~＝K ~A ,P １＝P A ,１,P ２＝P A ,２．B ０＝G ０,H (T )＝H G (T ),K ~＝K ~G ,P １＝P G ,１,P ２＝P G ,２．3㊀数值实验与讨论数值实验的结果展示了亚式期权近似定价公式的收敛速度,并通过比较近似公式解的价格和蒙特卡洛模拟得到的价格,验证了近似公式解的稳健性与高效性．所选择的参数值如下:市场流动性水平的均值回复速度α＝０．３,长期均值θ＝０ ２,波动率ξ＝０．９,控制标的资产对市场流动性的敏感性系数β＝０．５,期权的无风险利率r ＝０ ０１,相关系数ρ１＝０．２５,ρ２＝０．３５,初始值L ０＝０．３,γ０＝１．所得到的特征函数是无穷级数的形式,需要进行截断．以算术平均亚式期权为例,固定K ＝１１０,近似公式解的收敛速度如图１所示．在n 和n ＋１处截断无穷级数得到的期权价格,其绝对差值如图１(a )所示．可以明显地观察到,期权价格的绝对差值随着n 值的增加急剧减小到０,这表明近似公式解快速收敛．此外,在初始价格S ０＝１００的情形下,使用n ＝７０与n ＝７１计算的期权价格一致,如图１(b )所示．因此,将截断n ＝７０得到的价格作为近似公式解的收敛期权的价格．接下来考虑对定价公式中涉及的中间项P A ,１和P A ,２,P G ,１和P G ,２进行截断．以算数平均亚式期权的P A ,１和P A ,２为例,P G ,１和P G ,２的截断与此一致．在初始价格S ０＝１００㊁执行价格K ＝１１０情形下,用M １和M ２分别表示P A ,１和P A ,２中无穷积分的截断项数,通过M a t l a b 模拟,相应的期权价格如表１所列．不难发现,当M １和M ２分别大于３０时,得到的期权价格都相等．本文保守选择对P A ,１和P A ,２截断４０项,即M １＝４０和M ２＝４０,这样得到的期权价格具有较高的准确性和效率．为确保推导过程中没有代数错误,并验证亚式期权近似公式解的有效性,现将两种亚式期权的近似公式解价格和蒙特卡洛价格做出比较,如图２所示．由于蒙特卡洛方法需要进行大量的模拟路径以保证高精度的结果,本文对于每个期权值,均采用５０００００条路径的平均值作为蒙特卡洛的价格[４]．可以清楚地观察到,所有类型的期权,包括实值期权㊁虚值期权和平值期权,其近似公式解的价格均逐点地接近相应的蒙特卡洛价格．进一步比较算术平均亚式期权的两种方法所需的计算时间,发现计算图２(a )中的１１个期权价格,近似公式解法仅需３．１７秒,而蒙特卡洛法要３４６．８９秒．因此,近似公式解法可靠性很强,并且５第１期曹圣云等:市场流动性影响下的亚式期权近似定价与传统的蒙特卡洛法相比,近似公式解法在效率上表现出明显的优势．(a)截断n与n＋１项期权价格绝对差值㊀(b)截断７０与７１项的期权价格图１㊀特征函数的截断表１㊀P A,１和P A,２的截断项数对价格的影响M１\M２１０２０３０４０５０６０７０１０２８．７６８２９．２９６２９．３０９２９．３０９２９．３０９２９．３０９２９．３０９２０２８．３９７２８．９２５２８．９３８２８．９３８２８．９３８２８．９３８２８．９３８３０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４４０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４５０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４６０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４７０２８．３８３２８．９１１２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４２８．９２４㊀㊀为了证明两种方法的结果高度一致,进一步分析其各自得到的数据,结果如表２－表５所列．对于固定的初始价格S０＝１００,不同执行价格K 得到的两种期权价格如表２和表４所列．在给出的所有执行价格K下,两种方法的绝对误差都小于０．０１,相对误差低于０．０２％．而对于固定的执行价格K＝１１０,不同初始价格S０得到的期权价格如表３和表５所列．尽管当S０的值与K的值差距较大时,对应的相对误差也较大,但两种方法呈现出来的绝对误差仍然小于０．０１,相对误差控制在０．０５％以内．这进一步证实了亚式期权近似公式解的可行性．(a)算术平均亚式期权 固定S０＝１００㊀(b)算数平均亚式期权 固定K＝１１０６㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷(c)几何平均亚式期权 固定S０＝１００㊀(d)几何平均亚式期权 固定K＝１１０图２㊀近似公式解价格与蒙特卡洛价格对比表２㊀算数平均亚式期权C A 固定S０＝１００K近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０４１．４２４１３４１．４１８８５０．００５２８０．０１３％９２３９．９４１５４３９．９３８６８０．００２８７０．００７％９４３８．５０８６２３８．５０７９５０．０００６７０．００２％９６３７．１２７０４３７．１２８２２－０．００１１８０．００３％９８３５．７９７９８３５．８００６５－０．００２６７０．００７％１００３４．５２２０３３４．５２５４３－０．００３４００．０１０％１０２３３．２９９２３３３．３０３１８－０．００３９５０．０１２％１０４３２．１２９１３３２．１３２９７－０．００３８４０．０１２％１０６３１．０１０８１３１．０１４６３－０．００３８３０．０１２％１０８２９．９４２９４２９．９４６５５－０．００３６００．０１２％１１０２８．９２３９４２８．９２６９３－０．００３０００．０１０％表３㊀算数平均亚式期权C A 固定K＝１１０S０近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０２１．２７８４６２１．２７３７００．００４７６０．０２２％９２２２．６９１９８２２．６８９０１０．００２９７０．０１３％９４２４．１６３１９２４．１６２０１０．００１１７０．００５％９６２５．６９２３２２５．６９２９０－０．０００５８０．００２％９８２７．２７９３５２７．２８１４２－０．００２０７０．００８％１００２８．９２３９４２８．９２６９３－０．００３０００．０１０％１０２３０．６２５４１３０．６２９１３－０．００３７２０．０１２％１０４３２．３８２７３３２．３８６６６－０．００３９３０．０１２％１０６３４．１９４５２３４．１９８６２－０．００４１００．０１２％１０８３６．０５９０３３６．０６３２７－０．００４２３０．０１２％１１０３７．９７４２３３７．９７７９７－０．００３７５０．０１０％㊀㊀最后分析相关系数对期权价格的影响．以算数平均亚式期权为例,给出５组实例,分别为:ρ１＝０,ρ２＝０;ρ１＝－０．５,ρ２＝－０．５;ρ１＝－０．５,ρ２表４㊀几何平均亚式期权C G 固定S０＝１００K近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０４１．３３００６４１．３２１８６０．００８２１０．０２０％９２３９．８４９２５３９．８４３４４０．００５８１０．０１５％９４３８．４１８２０３８．４１４５４０．００３６６０．０１０％９６３７．０３８６１３７．０３６７２０．００１９００．００５％９８３５．７１１６２３５．７１１１１０．０００５１０．００１％１００３４．４３７８０３４．４３７８８－０．００００８０．０００％１０２３３．２１７１８３３．２１７６５－０．０００４７０．００１％１０４３２．０４９２８３２．０４９４７－０．０００１９０．００１％１０６３０．９３３１６３０．９３３２０－０．００００４０．０００％１０８２９．８６７４８２９．８６７０８０．０００４１０．００１％１１０２８．８５０６３２８．８４９４３０．００１２１０．００４％表５㊀几何平均亚式期权C G 固定K＝１１０S０近似公式解价格蒙特卡洛价格差值相对误差９０２１．２２３３３２１．２１３８００．００９５３０．０４５％９２２２．６３３４０２２．６２５７３０．００７６６０．０３４％９４２４．１０１０５２４．０９５２８０．００５７７０．０２４％９６２５．６２６５４２５．６２２６４０．００３８９０．０１５％９８２７．２０９８４２７．２０７５８０．００２２６０．００８％１００２８．８５０６３２８．８４９４３０．００１２１０．００４％１０２３０．５４８２６３０．５４７９１０．０００３５０．００１％１０４３２．３０１７１３２．３０１７３－０．００００２０．０００％１０６３４．１０９６１３４．１０９８７－０．０００２６０．００１％１０８３５．９７０２４３５．９７０７４－０．０００５００．００１％１１０３７．８８１５８３７．８８１６７－０．００００９０．０００％＝０．５;ρ１＝０．５,ρ２＝－０．５;ρ１＝０．５,ρ２＝０．５,其对价格的影响如图３所示．与预期结果相同,近似公式解得到的价格随着相关系数ρ１和ρ２的增加７第１期曹圣云等:市场流动性影响下的亚式期权近似定价而增加．这主要归因于两方面的原因:一方面,当ρ１变大时,标的资产价格增加会促使贴现因子γt 降低,从而导致更高的看涨期权价格;另一方面,较大的ρ２在标的资产价格增加时会产生更低的市场流动性,进而增加看涨期权的价格．因此,本文采用的相关性结构更贴近金融市场．图３㊀相关系数对价格的影响4㊀结语本文研究了标的资产流动性不足时的亚式期权的定价问题．从近似解角度出发,将亚式期权的定价近似转换为欧式期权的定价,将具有均值回归模型的市场流动性因子纳入贴现因子满足的动态随机过程,通过求解整个复杂随机过程的特征函数,得到了亚式期权无穷级数形式的闭式近似定价公式．通过数值实验验证了近似公式的收敛速度和精度,保证了近似公式解的实际有效性．参考文献:[１]MA D A N D B ,C H E R N Y A．I l l i qu i d M a r k e t sa sa C o u n t e r p a r t y:A nI n t r o d u c t i o nt oC o n i cF i n a n c e [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a lo fT h e o r e t i c a l a n d A p p l i e dF i Ｇn a n c e ,２０１０,１３(８):１１４９Ｇ１１７７．[２]A L B R E C H E R H ,G U I L L A UM E F ,S C HO U T E N SW．I m p l i e d l i q u i d i t y :M o d e l s e n s i t i v i t y[J ]．J o u r n a l o f E m pi r i c a l F i n a n c e ,２０１３,２３:４８Ｇ６７．[３]B R U N E T T IC ,C A L D A R E R A A．A s s e tP r i c e sa n dA s s e tC o r r e l a t i o n s i nI l l i qu i d M a r k e t s [J ]．S S R N E Ｇl e c t r o n i c J o u r n a l ,２００４,１Ｇ２４．[４]P A S R I C HAP ,Z HUSP ,H EXJ ．Ac l o s e d Ｇf o r m p r i Ｇc i n g f o r m 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亚式期权论文：亚式期权概念及定价简析摘要：给出了亚式期权的基本概念并讨论了亚式期权的几种定价方法的优劣。
关键词：亚式期权；monte carlo；模拟；简析
一、引言
比标准欧式期权或美式期权和看跌期权盈亏状态更复杂的衍生证券有时称为新型期权。
大多数新型期权在场外交易，它们是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品。
本文的第一个目的，就是介绍新型期权的一种—亚式期权，这类期权在场外市场广受欢迎，但此类期权较难定价，本文的第二个目的，给出常见的亚式期权的定价方法并作一定的比较。
二、基本概念
亚式期权是市场上常用金融工具, 其到期收益函数与一特定时段内标的资产的某种形式的平均息息相关,即依赖于标的资产价格的某种平均值。
可以是一段时间内的连续平均值,也可以是若干个时间点的离散平均值;可以是算术平均,也可以是几何平均. 每一个确定的平均类型都对应着两种亚式期权的形式,即平均资产价格与平均敲定价格,它们都具有欧式期权风格. 不同的是前者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代资产本身的价格;而后者的
收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代合约的敲定价格.
与普通的期权类似,每种亚式期权都具有看涨和看跌两种交易情形。
以连续情形的标的资产价格平均值为例,用a 表示算术平均值, g表示几何平均值, s t表示时刻t的资产价格,服从几何布朗运动，则
对于算术平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max ( a - k ,0) ,开始时刻的期权价格为
对于几何平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max( g - k ,0) ,开始时刻的期权价格为
亚式期权的优点是可以缓解市场的投机行为，且相对于普通期权，价格较便宜，常利用其对冲指定时期的风险。
但亚式期权的定价仍是个公开问题。
假定标的资产价格s服从对数正态分布,一系列对数正态分布变量的几何平均仍服从对数正态分布,而相应算术平均没有可以解析处理的特性,故算术平均亚式期权比几何平均亚式期权的定价要困难得多。
对几何平均亚式期权,我们已得到它的定价的解析解,但算术平均亚式期权很难存在这种解析解。
三、亚式期权定价分析
（一）连续型亚式期权的定价
kemna &vorst (1990)通过改变波动率和敲定价格提出
了一个几何平均期权的定价解析公式。
几何平均期权可以用一个明确的解析式来计算,因为如果价格服从对数正态分布,那么价格的几何平均值也服从对数正态分布。
则几何平均亚式买入和卖出期权的价值就可以得出。
turnbull & wakeman (1991) 提出了一种近似计算方法,尽管亚式期权的分布是未知的,但我们可以精确的计算算术平均的概率分布的头两项，然后再假定算术平均的分布是具有相同头两项的对数正态分布。
将亚式期权转化为普通期权求解其定价公式。
zhang(2001)：给出了具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的半显示解,并得到了较好的数值结果,但此方法没
有充分利用解在部分区域中有解表达式的特征。
（二）离散型亚式期权定价分析
hull & white (1993) 在二叉树的模型上增加一个结点,然后运用线性内插法来计算每个结点的近似平均值,最后通过后向折现计算出期权价格。
但是,这种方法不能保证收敛性。
ju（2002）：用泰勒展示的平均特征函数获得近似定价，但定价方法过于复杂且不在black-scholes假设条件下。
（三）monte carlo模拟方法
当衍生证券没有精确的解析公式时，可用数值计算方
法。
常用的数值计算方法可分为三个:monte carlo 模拟，树图方法和有限差分方法。
当衍生证券的持有者在到期前可作出提前执行的决策时，可用后两种方法来计算该衍生证券的价格。
而monte carlo模拟由于具有比较灵活且易于实现、估计误差及收敛速度与解决问题的维数独立等两个明显优势,能够较好地解决基于多标的变量的高维衍生证券的定价问题。
monte carlo模拟方法在亚式期权定价中应用的基本思想是:假设标的资产的价格的分布函数已知,将期权的有效
期分成若干个小的时间段,从样本中随机抽样来模拟每个时刻股票价格,得到股票价格的一个可能路径,进而可求得期
权在到期日的价值。
这一结果可看成是到期日期权的价值一个随机样本。
不同的路径得到不同的样本,最后对所有的样本求算术平均,就可得到到期日期权的价值,再根据无套利
原理,将该值折现到当前时刻,即可得期权当前的价格。
亚式期权是与路径相关的，monte carlo模拟方法无疑是其定价公式推导的极好应用。
当然，monte carlo模拟方法也有其不足的地方，要想误差小，就要进行多次精确的计算导致效率低下。
近几年人们在原有的monte carlo模拟方法的基础上不断改进，提高效率。
四、总结
前人的工作中已经总结出了许多亚式期权的定价公式，这对我们进一步研究亚式期权起着积极的作用。
但由于其特点，各种定价公式始终存在着不足的地方，要求我们不断完善。
参考文献：
[1]叶中行,林建忠.数理金融[m].北京:科学出版
社,2000.
[2]约翰·赫尔.期权、期货和其他衍生产品[m].华夏出版社,1999.
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