(专题精选)初中数学三角形难题汇编及答案解析

∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵AB= BC，
∴AE=BE= BC，
∴AE=CE，故①正确；
∴∠EAC=∠ACE=30°
∴∠BAC=90°，
∴S△ABC= AB•AC，故②错误；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，O为AC中点，
（专题精选）初中数学三角形难题汇编及答案解析
一、选择题
1．如图，已知 ，若 ， ， ，下列结论：① ；② ；③ ；④ 与 互补；⑤ ，其中正确的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定得出AC∥DE，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．
∴S△ABE=S△ACE=2S△AOE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴EO= EC，
∵EC= AB，
∴OE= BC，故④正确；
故正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．
15．如图，四边形 和 都是正方形，点 在 边上，点 在对角线 上，若 ，则 的面积是()
A．6B．8C．9D．12【答Βιβλιοθήκη 】B【解析】【分析】
根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由四边形EFGH是正方形，推出△AEF与△DFH是等腰直角三角形，于是得到DE＝ EH＝ EF，EF＝ AE，即可得到结论．
【详解】
解：当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去；
当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质,三角形三边关系是解题的关键．
8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
D、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．
9．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）
A．8cmB．10cmC．12cmD．14cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD.得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.
【详解】
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠EBD.
又∵∠A＝∠DEB＝90°，BD是公共边，
∴△ABD≌△EBD(AAS)，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，
∴AO＝ ，
∴AC＝16，BD＝12，
∴菱形面积＝ ＝96，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．
11．等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）
A．25°B．40°C．25°或40°D．50°
3．如图，在矩形 中， 将其折叠使 落在对角线 上，得到折痕 那么 的长度为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由勾股定理求出AC的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x，则CE= ，利用勾股定理，即可求出x的值，得到BE的长度．
【详解】
解：在矩形 中， ，
由勾股定理得：AD1=5．故选B．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（ ）
A．60B．48C．24D．96
【答案】D
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
C．三个边长之比为8：16：17的三角形D．三个角度之比为1：1：2的三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系.
【详解】
A中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形；
4．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为()cm
A．6B．8C． D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.
【详解】
设∠A＝x，
则∠B＝2x，∠C＝3x，
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°，
A．3B． C． D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据勾股定理解 求得 ，再根据平行四边形的性质求得 ，然后根据勾股定理解 、平行四边形的性质即可求得 ．
【详解】
解：∵
∴
∵在 中， ，
∴
∴
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴在 中， ，
∴
∴ ．
故选：C
【点睛】
本题考查了含 角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，
由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，
∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，
∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.
故选：B．
【点睛】
【详解】
∵∠1=∠2，
∴AC∥DE，故①正确；
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，
∴∠A=∠3，故②正确；
∵AC∥DE，AC⊥BC，
∴DE⊥BC，
∴∠DEC=∠CDB=90°，
∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，
（1）有一个角是直角的三角形；
（2）三边长满足勾股定理逆定理.
14．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝ BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝ BC,成立的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4
解得x＝30°，
即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°，
此三角形为直角三角形，
故AB＝2BC＝2×4＝8cm，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.
5．如图， 的对角线 与 相交于点 ， ， ，若 ．则 的长为（）
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．
7．等腰三角形两边长分别是5cm和11cm，则这个三角形的周长为（）
A．16cmB．21cm或27cmC．21cmD．27cm
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．
∴∠3=∠EDB，故③正确，④错误；
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDA=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，
∴∠1=∠B，故⑤正确；
即正确的个数是4个，
故选：C．
【点睛】
此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．
2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）
6．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（ ）
A．33°B．34°C．35°D．36°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．
【详解】
根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．
A、2+2=4＜5，此选项错误；
B、1+ ＜3，此选项错误；
C、3+4＜8，此选项错误；
【答案】C
【解析】
∵等腰三角形有一个是50°
∴有两种可能
①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下：
①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°；
②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选：C
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE= BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
D中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
B中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足： ，是直角三角形；
C中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
故选：C
【点睛】
本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；
① ②
点睛：本题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和为180°.
12．如图，直线 ，点 、 分别在直线 、 上， ，若点C在直线b上， ，且直线a和b的距离为3，则线段 的长度为（ ）
A． B． C．3D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
过C作CD⊥直线a，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．
又∵EH＝EF，
∴DE＝ EF＝ × AE＝ AE，
∴AD＝ED，AB＝BE，
∴△DEC的周长是DE＋EC＋DC
＝AD＋DC＋EC
＝AC＋EC＝AB＋EC
＝BE＋EC＝BC
＝10 cm.
故选B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质.掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
【详解】
过C作CD⊥直线a，∴∠ADC=90°．
∵∠1=45°，∠BAC=105°，∴∠DAC=30°．
∵CD=3，∴AC=2CD=6．
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
13．下列说法不能得到直角三角形的（）
A．三个角度之比为1：2：3的三角形B．三个边长之比为3：4：5的三角形
【详解】
解：∵在正方形ABCD中，∠D＝90°，AD＝CD＝AB，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH＝EF，∠AFE＝∠FEH＝90°，
∴∠AEF＝∠DEH＝45°，
∴AF＝EF，DE＝DH，
∵在Rt△AEF中，AF2＋EF2＝AE2，
∴AF＝EF＝ AE，
同理可得：DH＝DE＝ EH
∴∠B=90°，
∴ ，
由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF，
∴CF=5 3=2，
在Rt△CEF中，设BE=EF=x，则CE= ，
由勾股定理，得： ，
解得： ；
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE的长度．
A． B．5C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC= ．
同理可求得：AO=OC=3．
在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4，