振动理论基础概论

取重物平衡位置为坐标原点，x轴方向铅直向下，运动微 分方程为:
式中圆频率
在初瞬时t＝0，物块位于未变形的梁上，其坐标
x0＝－δst= － 2mm，初速v0=0，则 振幅 mm
初位相
系统的振动规律
mm
等效弹簧
并联和串联弹簧
★ 并联弹簧
下图表示刚度分别为k1和k2的两个弹簧并联的两种形式，其分 析方法相同。
例16-1 质量m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速滑下，如图所示。 当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并不再分 离。弹簧刚度k=0.8kN/m，倾角β＝300，求系统振动的固 有频率和振幅，并写出物块的运动方程。
解：物块在平衡位置时，弹簧静变形
以此位置为原点O，建立图示 坐标。物块受力如图，其运动 微分方程为
系统动能
以平衡位置为势能零点，系统势能
由
1 2 2 1 J n (k1l 2 k 2 d 2 ) 2 2 2
得固有频率
例16-6 如图所示，质量为m ，半径为r 的圆柱体，在半径为R 的 圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微
小振动的固有频率。
解：取摆角
为广义坐标，设其微振动规律为
第十六章 振动理论基础
§16-1 单自由度系统的自由振动 §16-2 计算系统固有频率的能量法 §16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动 §16-4 单自由度系统的受迫振动 §16-5 隔振的概念
机械系统在其平衡位置附近所作的往复运动称为振动。振
动现象普遍存在于自然界和工程技术中，如地震。本章仅
研究单自由度系统的微振动，讨论振动的基本特征。
解：摆处于平衡位置时，弹簧已压缩 由平衡方程
有
以平衡位置为角坐标原点， 摆绕轴O的转动微分方程 得系统自由振动微分方程 ★可见，只要以平衡位置为坐标原点， 固有频率 系统的运动微分方程具有标准形式。
§16-2 计算系统固有频率的能量法
对于单自由度的保守系统，固有频率可简便地由机械能守
恒定律求出，称为能量法。 设图示系统作简谐振动，则有
圆柱体中心O1的速度
由运动学知，当圆柱体作纯滚动时，
角速度
系统动能
整理后得
系统的势能为重力势能，取圆柱在最低处时的圆心位置C 为 势能零点，则系统势能
圆柱体作微振动
由
3m 1 2 ( R r ) 2 2n mg ( R r ) 2 4 2
得
§16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动
化简后得
系统的固有频率
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点。 则运动的初始条件： 初位移 初速度
得振幅及初位相
mm
物块的运动方程
例16-2 如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为m的物块，其 静挠度（静变形）为2mm。若将物块在梁未变形位置处无 初速释放，求系统的振动规律。
解：此无重弹性梁相当于弹簧，其刚性系数
由于阻力作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后趋于静止。 产生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨
论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称线性阻尼。即
式中负号表明阻力与速度方向相反，阻尼系数c 取决于阻尼 介质的性质和物体的形状。
1、有阻尼自由振动微分方程的标准形式
图（a）为一有阻尼的质量--弹簧系统。取平衡位置为坐标原 点，受力如图（b）。 阻力 微分方程为
由平衡方程得
式中
为并联弹簧的等效弹簧刚度。 n个并联弹簧的等效刚度
★ 串联弹簧 图示为串联弹簧。 静平衡时，变形分别为 和 。
弹簧总伸长
等效弹簧刚度 n个弹簧串联，则有
例16-3 图为一摆振系统。杆重不计，球质量为m ，摆对轴O的转动
惯量为J，弹簧刚度为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求
系统微小振动的运动微分方程及振动频率。
阻尼对振幅的影响 为描述振幅 Ai 的衰减，引入减幅系数η（或称振幅缩减率）。由 图示得
上式表明：衰减振动的振幅 按几何级数递减。阻尼对自
由振动的振幅影响较大。
例如：ζ＝0.05时，Td＝ 1.00125T而经过10个周期后， 振幅只及原振幅的4.3%。
若以平衡位置为势能零点，则 系统势能
系统动能
由机械能守恒，即T+V＝常数，则
系统固有频率 表明；如取平衡位置为势能零点，则可以弹簧在平衡位置的长 度为原长计算弹性势能，而不考虑重力势能。只要写出系统的 动能和以平衡位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率， 而不必列写系统的微分方程。
例16-4 图示为两个相同的塔轮。齿轮半径皆为R，半径为r 的鼓轮上 绕有细绳，轮Ⅰ上连一铅直弹簧，轮Ⅱ上挂一重物。塔轮对 轴的转动惯量皆为J ，弹簧刚度为k ，重物质量为m 。求系统 振动的固有频率。
物块在一般位置的受力如图示，则其
振动微分方程为
令
，代入上式，
得单自由度系统自由振动微分方程 的标准形式
其通解
积分常数A 和θ分别为振幅和初位相。 它们由运动的初始条件决定。
频率
圆频率（或固有圆频率、固有频率） 周期
频率和周期只与系统本身所固有的惯 性和弹性有关，而与运动的初始条件 无关，是描述振动系统基本性质的重 要物理量。
或
化简得 令 代入上式得衰减振动微分方程的标准形式
2、微分方程的解 设 ，代入式中，得特征方程
方程的两个根
通解
有三种可能情形：
★ 小阻尼情形
当 或 时，称为小阻尼。
此时
令
则
得运动方程 如图所示。由于振幅随时间不断衰减，故称为衰减振动。
衰减振动的周期
令
称为阻尼比。
则 周期Td较无阻尼自由振动的周期T 略Βιβλιοθήκη Baidu增加。阻尼对周期的 影响很小，可忽略不计，取Td≈T。
解：以系统平衡时重物的位置为原点，取 x 为广义坐标。 设系统振动的规律为
则 塔轮角速度 系统动能
取平衡位置为势能零点，系统的势能为
由
得系统的固有频率
例16-5 在如图示的振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在
A水平位置处于平衡，求系统微振动的固有频率。
解：取摆角
为广义坐标，设其变化规律为
？
谈谈本专业内有关振动问题！？
§16-1 单自由度系统的自由振动
系统偏离平衡位置后，仅在恢复力作
用下维持的振动称为自由振动。
图示为单自由度系统自由振动的简化 模型，它是从实际振动系统中抽象出 的简图。设弹簧原长为lo ，刚度为k ，
物块质量为m ，静平衡时，弹簧变形
为δst（称静变形），有
以平衡位置为原点，建立图示坐标。