数值计算基础习题集

《数值计算基础》习题集

第1章 引论

1、已知，求近似值的有效数字位数、绝对误差限和相对误差限。

2、下列各数均为四舍五入得到，指出它们各具有几位有效数字及绝对误差限和相对误差限：

(1) 6000 (2)7000.00 (3)2.0002

3、将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。

(1) 2.1514 (2) －392.85 (3) 0.003922

4、已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：

(1) 13267 (2) 0.296

5、已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。

(1) 0.3941 (2)293.481 (3) 0.00381

6、已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。

(1) 1.8921 (2) 22.351 (3) 48361 注：相对误差与有效数字的关系请使用以下定理

定理：设x 是准确值，x*是近似值)(10....0*21Z k x x x x k

n ∈⨯±=，其中n x x x ,...,,21都是0~9十个数字之一，且01

≠x 。

（1）若x*有n 位有效数字，则其相对误差限为

11

1021

+-⨯n x 。 （2）若x*的相对误差限为

1110)

1(21+-⨯+n x ，则x*有n 位有效数字。

参考答案

1、有效数字位数4位，，

2、（1）4位，， （2）6位，， （3）5位，，

3、（1）2.15，， （2）-393，， （3）0.00392，，

4、（1） （2）

5、（1）2位 （2）3位 （3）2位

6、（1）3位 （2）1位 （3）2位

第2章 解线性方程组的直接法

1、用高斯顺序消元法解线性方程组

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡141421123412321x x x 2、用高斯列主元消去法解线性方程组

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11124112345111321x x x 3、用Doolittle 三角分解法求解方程组

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5481332222224321x x x

4、求矩阵的Crout 三角分解

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1332222224

5、求矩阵的Cholesky 三角分解

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--22484548416

参考答案 1、 2、 3、

4、

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1112121

1

9221241332222224

5、⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--33221433221422484548416

第3章 插值法与最小二乘法

1、已知有y=f(x)

分别使用待定系数法、Lagrange 插值法、Newton 插值法求其插值多项式，并给出余项。 2、已知函数2

1

1y

=

的一组数据：

求分段线性插值函数，并计算

()1.5f 的近似值。

3、已知插值基函数n k x l k ,,1,0),( =，证明 ：当n m <时，m n

k m

k k

x x x l

=∑=0

)(

4、由下表求插值多项式，并给出余项。

5、已知数据表：

求其一次拟合多项式。

6、求下列矛盾方程组的最小二乘解。

⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+=+2724

2

12121x x x x x x

参考答案 1、插值多项式：

22372)(x x x P -+=

余项：)2)(1(6

)

()()(2--⋅'''=

-x x x f x P x f ξ 2、()[][]

10.5 0,10.80.3 1,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=

4、插值多项式：2

251310)(x x x H +-=

余项：)2()1(!

3)

()()(2)3(2--=

-x x f x H x f ξ 5、x x g 1.38.0)(1+= 6、 7231=

x 7

112=x 第4章 数值积分与微分

1、给出数值积分公式：

)3

1()()(h Bf h Af dx x f h

h

+-≈⎰

-

确定A 、B 使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为多少？ 2、试确定求积公式

)(

)(d )(3

1+3

1-

≈⎰

1

1

-f f x x f 的代数精度。

3、证明Newton-Cotes 系数满足

10

)(=∑=n

i n i

C

4、分别用梯形公式、Simpson 公式、n=4时复合梯形公式计算 1

011I dx x =+⎰

5、使用龙贝格算法计算

⎰

1

2

4

+x x

x d ，计算到1S 6、已知有y=f(x)的函数表如下

利用数值微分三点公式计算)1(f '的近似值。 参考答案 1、h B h A 2

3

,21==

，代数精度：2次 2、代数精度：3次 3、提示：令f(x)=1 4、0.75,25/36,0.697 5、

311=T ，30112=

T ，45

17

1=S