第三节随机事件简单概率的计算及应用
2014中考复习备战策略_数学PPT第35讲_随机事件与简单概率的计算
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
2 D. 3
解析：同时闭合开关 K1，K2，K3 中的两个，共有 3 种等可能的结果：闭合 K1 与 K2，闭合 K1 与 K3，闭 合 K2 与 K3，其中能使两盏灯泡同时发光的结果是闭 1 合 K1 与 K3，所以两盏灯泡同时发光的概率为 ，故选 3 B.
4．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所 示的靶子，点 E，F 分别是矩形 ABCD 的两边 AD，BC 上的点，且 EF∥ AB，点 M，N 是 EF 上任意两点，则 投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是( C )
矩形
ABCD， P(飞镖落
5．一只盒子中有红球 m 个，白球 8 个，黑球 n 个，三种球除颜色外都相同，从中任取一个球，如果 取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么 m 与 n 的关系是 m＋n＝8.
8 解析： ∵ P(取得白球 )＝ ， P(取得红球或 m＋ n＋ 8 m＋ n 黑球 )＝ ，又 ∵取得白球的概率与不是白球 (即 m＋ n＋ 8 m＋ n 8 取得红球或黑球 )的概率相同，∴ ＝ ， m＋ n＋ 8 m＋ n＋ 8 得 m＋ n＝ 8.
考点一 判断事件的类型 例 1 (2013· 衡阳 )“ a 是实数， |a|≥ 0”这一事件是 ( ) A．必然事件 C．不可能事件 B ．不确定事件 D．随机事件
【点拨】当 a 是正数时， |a|＞ 0；当 a 是负数时， |a|＞ 0；当 a＝ 0 时， |a|＝ 0；所以 “a 是实数， |a|≥ 0” 这一事件是必然事件．故选 A. 【答案】 A 方法总结 某些事件发生的可能性也许很小， 但并不意味着一 定不发生，这样的事件依然是随机事件 .
解析：从长为 10 cm，7 cm，5 cm，3 cm 的四条线 段中任选三条，共有(10,7,5)，(10,7,3)，(7,5,3)，(10,5,3) 四种等可能的结果，能构成三角形的有(10,7,5)，(7,5,3) 2 1 两种，所以所求概率为 ＝ .故选 C. 4 2
高中数学 第3章 概率 3.1 随机事件及其概率教案 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学教案
第3章概率本章概述一、课标要求本章通过对随机现象的研究，学习认识客观世界的方法.多年来，学生学习数学，主要研究确定的现象，对于不确定现象的规律知之甚少.通过本章的学习，使学生进一步了解不仅确定性现象有规律，可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定现象也有规律可循，同样也能用数学方法去研究.使学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、用随机观念去观察、分析、研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学态度.1.在具体情境中了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别.2.通过实例，理解古典概型概率的计算公式，会用列举法计算随机事件所包含的基本事件数以及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法〔包括计算机产生随机数来模拟〕根据概率，初步体会几何概型的意义.4.通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式.5.通过阅读相关材料，了解人类认识随机现象的过程.6.使学生能初步利用概率知识对实际问题进行分析，并进行理性思考，学会对纷繁复杂的事物进行探索，养成透过事物表面现象把握事物本质所在的思维方法，培养学生理性思维能力与辩证思维能力、创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力，以及表达、交流的能力，增强学生的辩证唯物主义世界观，进一步树立科学的人生观、价值观.7.注重表达数学的文化价值与美学价值，增强学生的审美观，丰富学生的文化底蕴，提高学生的人文素质.二、本章编写意图与教学建议人们在认识自然的过程中，对自然现象进行大量的观察，通过观察得到大量的数据，再对得到的数据进行分析，找出其内在的规律.人们发现，有些现象并不像万有引力定律那样可以得到完全确定的规律.现实世界中发生的事件大多是随机事件，人们通过对随机事件的大量重复试验的结果进行理性的探讨，发现了随机事件也不是毫无规律可循.研究这些规律，最终导致了概率的诞生.学生在初中已经接触了概率的初步知识，本章那么是在此基础上开始系统地学习概率知识.本章又是高中阶段第一次学习这一内容，在后续的学习中还将继续学习概率的其他内容，因此，在高中阶段概率的学习中，起到了承前启后的作用，由于与概率计算密切相关的内容还没有学习，因此，在涉及有关计算的问题时采用枚举法，而在用枚举法时一定要做到既不重复也不遗漏，应该按照一定的顺序来计算有关数据，也可以用表格或树形图来进行有关数据的计算.本章包括了随机事件的概率、古典概型、几何概型以及互斥事件有一个发生的概率等内容.概率的核心问题是要让学生了解随机现象及概率的意义，为了让学生能更深入地理解，可以列举日常生活中的实例，由此正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，从而加深对概率的理解；古典概型从随机事件发生频率的稳定性导入，通过对频率稳定性研究得出随机事件的发生与否有一定的规律可循，从而得出概率的统计定义.在教学中让学生通过实例理解古典概型的特征是试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，使学生学会把一些实际问题转化为古典概型；从古典概型到几何概型，是从有限到无限的延伸，在几何概型的教学中抓住较强直观性的特点.在教学中有意识地适当地运用现代信息技术辅助教学.在教学中要能做到：(1)注意概念的区别与联系，类似的概念不能够混淆，例如概率与频率，互斥事件与对立事件；(2)在运用公式时注意是否符合公式运用的前提条件；(3)注意顺向思维与逆向思维的合理运用，遵循“正难那么反〞的原那么；(4)注意学习前辈的学习和研究的思维方法，能通过对大量事件的观察抽象出事件的本质.在本章的教学中应注重培养学生学习的信心，提高学生学习数学的兴趣，使学生形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；培养学生的数学思维能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，形成批判性的思维习惯，发展数学应用意识和创新意识；通过本章的学习，让学生感受数学与现实世界的重要联系，逐步形成辩证的思维品质；养成准确，清晰，有条理地表述问题以及解决问题的过程的习惯，提高数学表达和交流的能力；进一步拓展学生的视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值.三、教学内容及课时安排建议3.1 随机事件及其概率整体设计教材分析本节课是概率这一章的第一节课，所以有必要在上新课之前向学生简要地介绍概率论的发展、概率趣话以及概率的应用，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.随机事件及其概率为一课时.本节课主要学习随机现象、必然事件、不可能事件、随机事件的概念.通过抛掷硬币试验，探究随机事件的概率，揭示概率的本质，引出随机事件概率的求法，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.通过实例说明一个随机事件的发生是存在着统计规律性的，一个随机事件发生的频率总是在某个常数附近摆.我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率.它从数量上反映了这个事件发生的可能性的大小.它是0～1之间的一个数.将这个事件记为A，用P(A)表示事件A发生的概率.对于任意一个随机事件A，P(A)必须满足如下基本要求：0≤P(A)≤1.怎样确定一个事件发生的概率呢？可以从实际问题出发，创设问题情境.具体设计如下：首先利用多媒体展示奥地利遗传学家孟德尔〔G.Mendel，1822～1884〕用豌豆进行杂交试验的结果表格，通过商讨分析得到孟德尔是用某种性状发生的频率来估计生物遗传的基本规律的.然后依次展示抛掷硬币的模拟试验结果、π的前n位小数中数字6出现的频率、鞋厂某种成品鞋质量检验结果，通过商讨分析分别得出：掷硬币的模拟试验结果中，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动；π的前n位小数中数字6出现的频率中数字6在π的各位小数数字中出现的频率值接近于常数0.1，并在其附近摆动；鞋厂某种成品鞋质量检验结果中，当抽取的样品数很多时，优等品的频率接近于常数0.95，并在其附近摆动.三维目标1.通过具体的例子了解随机现象，了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.采用实验探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学.使学生了解一个随机事件的发生既有随机性，又在大量重复试验中存在着一种客观规律性——频率的稳定性，以引出随机事件概率的意义和计算方法.2.理解随机事件在大量重复试验的情况下，它的发生呈现的规律性.3.掌握概率的统计定义及概率的性质.引导学生对身边的事件加以注意、分析，发挥学生的主体作用，设计好探究性试验.指导学生做简单易行的试验，让学生无意识地发现随机事件的某一结果发生的规律性，理论联系实际，激发学生的学习积极性.4.通过概率论的介绍，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.发动学生动手试验，体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识.重点难点教学重点:1.随机现象的定义，必然事件、不可能事件、随机事件的定义.2.概率的统计定义，概率的基本性质.教学难点:随机事件的定义，随机事件发生存在的统计规律性.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一：〔情境导入〕在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战〞搞得盟军焦头烂额.为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性.一定数量的船〔为100艘〕编队规模越小，编次就越多〔为每次20艘，就要有5个编次〕，编次越多，与敌人相遇的概率就越大.美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应.设计思路二：〔问题导入〕观察以下现象，各有什么特点？(1)在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾；(2)抛一石块，下落；(3)同性电荷互相吸引；〔4〕实心铁块丢入水中，铁块上浮；〔5〕射击一次，中靶；〔6〕掷一枚硬币，反面向上.解答：〔1〕、〔2〕两种现象必然发生，〔3〕、〔4〕两种现象不可能发生，〔5〕、〔6〕两种现象可能发生，也可能不发生.推进新课新知探究由上述事例可知现实生活中有很多现象，这些现象在一定条件下，可能发生也可能不发生.在一定条件下事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验，试验的每一种可能的结果，都是一个事件.在上述现象中，我们如果把〔1〕、(2)的条件实现一次，那么〔1〕、(2)的现象一定会出现“沸腾〞与“下落〞，“沸腾〞与“下落〞都是一个事件.对于在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件(certain event)；我们如果把(3)、〔4〕的条件各实现一次，那么“吸引〞与“上浮〞也都是一个事件，但这两个事件都是不可能发生的.在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件(impossible event)；当(5)、(6)的条件各实现一次，那么“中靶〞与“反面向上〞也都是一个事件，这两个事件，可能发生，也可能不发生.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件(random event).必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的是随机现象.我们一般用大写的英文字母表示随机事件，例如随机事件A、随机事件B等，另外我们常常将随机事件简称为事件.由于随机事件具有不确定性，因而从表面上看，似乎偶然性在起着支配作用，没有什么必然性.但是，人们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性，然而在大量重复试验中，它却呈现出一种完全确定的规律性.历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表：从表中我们可以看到，当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它左右摆动.对于给定的随机事件A，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率mn 总在某个常数附近摆动并趋于稳定，因此，可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件A的概率〔probability〕，记作P(A).必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.因此0≤P(A)≤1 .对于概率的统计定义，教师应说明以下几点：〔1〕求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；〔2〕只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；〔3〕概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；〔4〕概率反映了随机事件发生的可能性的大小.应用示例思路1例1 给出以下事件：①某人练习打靶，一枪命中十环；②手机没电，接听；③抛一枚硬币，结果正面向上；④冰棒在烈日下融化；⑤一粒植物种子，播种后发芽；⑥向上抛一只不锈钢杯子，结果杯口向上.其中随机事件的个数是〔〕A.3B.4解析：判断事件是否是随机事件，可以依据随机事件的概念判断，也就是该事件在一定条件下，是否可能发生也可能不发生，如果可能发生也可能不发生，那么该事件为随机事件.由随机事件的概念可知：①③⑤⑥是随机事件.答案：B点评：判断某一事件是否是随机事件依据随机事件的概念，同样判断某一事件是否是必然事件或是不可能事件也是依据相应的概念，因此，此题中的②是不可能事件，④是必然事件.例2 指出以下事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？〔1〕假设a、b、c 都是实数，那么a(bc)=(ab)c ；〔2〕没有空气，动物也能生存下去；〔3〕在标准大气压下，水在温度90°时沸腾；〔4〕直线y=k(x+1)过定点(－1,0)；〔5〕某一天内某人接听20次；〔6〕一个袋内装有形状、大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球.分析：根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义来判断.解：由必然事件的定义可知〔1〕、〔4〕是必然事件；由随机事件的定义知〔5〕、〔6〕是随机事件；由不可能事件的定义可知(2〕、〔3〕是不可能事件.点评：要判断一个事件是必然事件、随机事件还是不可能事件，应紧紧抓住这些事件的定义，从定义出发来作出判断.例3 任取一个由50名同学组成的班级〔称为一个标准班〕，至少有两位同学的生日在同一天〔记为事件T〕的概率是0.97，据此，我们知道( )A.取定一个标准班，事件T发生的可能性为97%B.取定一个标准班，事件T发生的概率大约是97%C.任意取定10 000个标准班，其中必有9 700个班有事件T发生D.随着抽取的班级数n的不断增大，事件T发生的频率逐渐接近0.97，并在它附近摆动解析：根据随机事件的概率的定义必须进行大量试验，才能得出某一随机事件的概率，因此，此题应从定义出发来研究.对于取定的一个标准班来说，T要么发生要么不发生，所以A，B都不对；对任意取定的10 000个标准班，也可能出现极端情况，如T都不发生，因此C也不对；据概率的统计定义知，选项D正确.答案：D点评：利用概率的统计定义计算随机事件的概率，需要大量重复的试验.对某一个随机事件来说，在一次试验中不一定发生，但在大量重复试验下它的发生又呈现一定的规律.通过对概率的定义的感悟，感受数学学科的实验性，体会偶然与必然的辩证统一.例4 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：〔1〕计算表中优等品的各个频率；〔2〕该厂生产的电视机优等品的概率是多少？分析：利用概率的定义来求解此题.解：〔1〕各次优等品的频率为 0.8， 0.92， 0.96， 0.95， 0.956， 0.954；〔2〕优等品的概率是0.95.点评：通过此题进一步理解概率的定义，领悟概率其实是某一随机事件发生的可能性的大小.例5 历史上曾有人做过抛掷硬币的大量随机试验，结果如下：〔1〕计算表中正面向上的频率；(2)试估计事件“正面向上〞的概率.分析：先运用频率计算的方法计算频率，再运用概率的定义确定事件“正面向上〞的概率.解：(1)表中频率自上而下依次为：0.518 1，0.506 9，0.501 6，0.500 5，0.499 6；〔2〕由(1)的结果发现：当抛掷的次数很多时，“正面向上〞的频率接近于常数0.5，在它附近摆动，所以抛掷一枚硬币，正面向上的概率约为0.5.点评：通过计算随机事件发生的频率来估计随机事件的概率是求随机事件概率常用的方法.思路2例1 指出以下事件中哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.〔1〕我国东南沿海某地明年将受到3次热带风暴的侵袭；〔2〕假设a为实数，那么|a|≥0；〔3〕某人开车经过10个交叉路口都遇到绿灯；〔4〕一个正六面体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，将该正六面体连续抛掷两次，向上的一面数字之和大于12.分析：要判断某一事件是必然事件、随机事件还是不可能事件，可以依据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义来判断.解：由必然事件、随机事件和不可能事件的定义可知：〔2〕是必然事件；〔1〕、〔3〕是随机事件；〔4〕是不可能事件.点评：对于某一事件是必然事件、随机事件还是不可能事件的判断依据是定义，其关键是看事件本身是如何发生的.例2 在一只口袋中装有形状与大小都相同的2只白球和3只黑球，从中任意取出3只球，试编拟一些事件，使它们分别为随机事件、必然事件和不可能事件.分析：要编拟一些事件，使其为随机事件、必然事件和不可能事件，就是在一定条件下，所编拟的事件必定发生那么为必然事件，必定不发生那么为不可能事件，可能发生也可能不发生那么为随机事件.解：事件A ：任意取出3只球，恰有1只球是白球，那么事件A 是随机事件；事件B ：任意取出3只球，至少有1只球是黑球，那么事件B 是必然事件；事件C ：任意取出3只球，都是白球，那么事件C 是不可能事件.点评：此题在编拟随机事件、必然事件和不可能事件时，是开放性问题，因此根据相应的概念来编拟，答案不唯一.除了上述解答外，还可以是其他答案，例如：事件A ：任意取出3只球，至少有1只球是白球，那么事件A 是随机事件；事件B ：任意取出3只球，至多有2只球是白球，那么事件B 是必然事件；事件C ：任意取出3只球，没有一只黑球，那么事件C 是不可能事件.例3 用一台自动机床加工一批零件，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：从这100个螺母中，任意抽取一个，求事件A 〔6.92<d≤6.94〕，事件B 〔6.90<d≤6.96〕，事件C 〔d>6.96〕，事件D 〔d≤6.89〕的频率并求这几个事件发生的概率约为多少？分析：分别求出事件A 〔6.92<d≤6.94〕，事件B 〔6.90<d≤6.96〕，事件C 〔d>6.96〕，事件D 〔d≤6.89〕的频率，再根据这几个事件的频率得出概率.解：事件A 的频率为17+10026=0.43，概率约为0.43； 事件B 的频率为10081526171710+++++=0.93，概率约为0.93； 事件C 的频率为10022+=0.04，概率约为0.04；事件D 的频率为1001=0.01，概率约为0.01. 点评：根据概率的统计定义求随机事件的概率的常用方法是先求随机事件发生的频率，再由频率得出随机事件发生的概率.例4 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：〔1〕填写表中击中靶心的频率；〔2〕这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？分析：击中靶心的频率=击中靶心的次数÷射击的次数，再根据概率的统计定义可知：击中靶心的概率应为频率在某一常数P 的左右摆动，那么常数P 即为该事件的概率.解：〔1〕表中击中靶心的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89；〔2〕因频率在常数0.89的左右摆动，所以射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89. 点评：在运用概率的统计定义求某一事件的概率时，应该先求频率，再根据频率来求该事件的概率.知能训练一、课本随机现象练习.解答:2.(1)随机事件；(2)不可能事件；(3)必然事件；(4)不可能事件；(5)随机事件；(6)随机事件.3.必然事件：③；不可能事件：⑤；随机事件：①②④.4.必然事件：太阳每天都从东方升起；不可能事件：电灯在断电时发亮；随机事件：同时抛两枚硬币，正面都向上.二、课本随机事件的概率练习.解答：1.不对.2.不同意，随机事件的发生概率与该事件以前是否发生无关，故下次发生的概率仍为21. 3.不一定，第10个人治愈的概率仍为10%.点评：通过练习，进一步加深必然事件、不可能事件、随机事件以及概率的概念的理解. 课堂小结本节课主要研究了以下内容：1.随机事件、必然事件、不可能事件的概念.2.随机事件A 的概率：一般地，如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将事件A 发生的频率n m 作为事件A 发生的概率的近似值，即P(A)≈nm .3.由于随机事件A 在各次试验中可能发生，也可能不发生，所以它在n 次试验中发生的次数〔称为频数〕m 可能等于0〔n 次试验中A 一次也不发生〕，可能等于1〔n 次试验中A 只发生一次〕，……也可能等于n 〔n 次试验中A 每次都发生〕.我们说，事件A 在n 次试验中发生的频数m 是一个随机变量，它可能取得0、1、2、…、n 这n+1个数中的任一个值.于是，随机事件A 的频率nm 也是一个随机变量，它可能取得的值介于0与1之间，即0≤P 〔A 〕≤1.特别，必然事件的概率为1，即P(Ω)=1，不可能事件的概率为0，即P()=0.这里说明随机事件的频率究竟取得什么值具有随机性.然而，经验说明，当试验重复多次时随机事件的频率又具有稳定性.4.说明：①求一个事件概率的基本方法是做大量的重复试验；②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A 的概率；③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；④概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小；⑤必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，因此0≤P〔A 〕≤1.作业课本习题3.1 1、2.设计感想本节课是概率这一章的第一节课，所以有必要在上新课之前向学生简要地介绍概率的发展、概率趣话以及概率的应用，以激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.随机事件及其概率分为两部分，第一部分主要学习随机现象、必然事件、不可能事件、随机事件的概念.通过抛掷硬币试验，探究随机事件的概率，揭示概率的本质，引出随机事件概率的求法，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.第二部分是随机事件的概率.怎样确定一个事件发生的概率呢？设计时，从实际问题出发，创设问题情境.除了已有设计之外还可以有如下设计：首先利用多媒体展示奥地利遗传学家孟德尔〔G.Mendel ，1822～1884〕用豌豆进行杂交试验的结果表格，通过商讨分析得到孟德尔是用某种性状发生的频率来估计生物遗传的基本规律的.然后依次展示抛掷硬币的模拟试验结果、π的前n 位小数中数字6出现的频率、鞋厂某种成品鞋质量检验结果，通过商讨分析分别得出：掷硬币的模拟试验结果中，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动；π的前n 位小数中数字6出现的频率中数字6在π的各位小数数字中出现的频率值接近于常数0.1，并在其附近摆动；鞋厂某种成品鞋质量检验结果中，当抽取的样品数很多时，优等品的频率接近于常数0.95，并在其附近摆动.最终得出概率的统计定义.习题详解1.〔1〕随机事件 〔2〕不可能事件 〔3〕随机事件 〔4〕必然事件 〔5〕不可能事件〔6〕必然事件 〔7〕随机事件 〔8〕随机事件2.D.3.(1)〔2〕概率约为0.81.4.。
随机事件的概率
古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用. 箱中摸球 分球入箱
随机取数 是常见的几种模型 .
分组分配
三、概率的几何定义
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法. 请看演示 几何概率
n n
第1次选取
第2次选取
B
第3次选取 C 例如：n=4,
D B D B
k =3
A
C D
C
B
P 4 3 2 24
3 4
C
D
……
P4 4 3 2 1 24
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1k n)的不同排列总数为：
n n n n回地摸取3张
这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理 1. 加法原理
设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm …； 第m种方式有nm种方法, 种方法 . 无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,
一、概率的统计定义
1、频率
若设n A是n次试验中事件 A发生的次数， nA 则比值 称为事件A发生的频率，记为 n n A f n ( A)，即 f ( A)
n
n
nA称为事件A发生的频率。
频率具有下列性质： 性质1
性质2 性质3
0 f n ( A) 1
f n ( ) 1
若事件A与事件B互斥，即AB ，则 f n ( A B ) f n ( A) f n ( B )
简单随机事件的概率
简单随机事件的概率简单随机事件的概率复习⽬标：1、让学⽣回顾相关知识点，加深记忆。
2、让学⽣熟练掌握画表与列树状图。
3、让学⽣综合运⽤知识解决相关问题。
⼀、要点梳理1、在⼀定条件下⼀定会发⽣的事件叫做必然事件。
在⼀定条件下⼀定不会发⽣的事件叫做不可能事件。
在⼀定条件下可能发⽣，也可能不发⽣的事件叫做不确定事件或随机事件。
2、我们把事件发⽣的可能性的⼤⼩称为事件发⽣的概率，⼀般⽤P 表⽰。
事件A 发⽣的概率记为P （A ）。
简单事件的概率可以通过统计事件发⽣的所有不同结果来计算，常⽤的⽅法有：枚举法、列表法、画树状图。
3、事件A 发⽣的概率：4、必然事件发⽣的概率为1 不可能事件发⽣的概率为0随机事件发⽣的概率介于0到1之间⼆、例题⼀、选择题1．下列说法中，正确的是(A ) A ．不可能事件发⽣的概率为0B ．随机事件发⽣的概率为12C ．概率很⼩的事件不可能发⽣D ．投掷⼀枚质地均匀的硬币100次，正⾯朝上的次数⼀定为50次2．⼀个不透明的袋中装有2个黄球，3个红球和5个⽩球，它们除颜⾊外都相同．从袋中任意摸出⼀个球，是⽩球的概率是(A )A.12B.13C.310D.15 【解析】 P (摸到⽩球)＝52＋3＋5＝12.3．事件A ：打开电视，它正在播⼴告；事件B ：抛掷⼀枚均匀的骰⼦，朝上的点数⼩于7；事件C ：在标准⼤⽓压下，温度低于0 ℃时冰融化.3个事件的概率分别记为P (A )，P (B )，P (C )，则P (A )，P (B )，P (C )的⼤⼩关系正确的是(B )A. P (C )B. P (C )C. P (C )D. P (A )4．有⼀个三位数8□2，□中的数字由⼩欣投掷的骰⼦决定，例如，投出点数为1，则8□2就为812.⼩欣打算投掷⼀枚骰⼦，骰⼦上标有1～6的点数，若骰⼦上的每个点数出现的机会相等，则三位数8□2是3的倍数的概率是(B )A.12C.16D.310【解析】投掷⼀枚骰⼦，共有6种等可能的结果，当点数为2或5时，三位数8□2是3的倍数，故三位数8□2是3的倍数的概率为26＝13.5．⼀个盒⼦中装有除颜⾊外其他均相同的2个红球和3个⽩球，现从中任取2个球，则取到的是⼀个红球、⼀个⽩球的概率为(C )A.25B.23C.35D.310 【解析】画树状图如解图．(第5题解)共有20种等可能的结果，取到的是⼀个红球、⼀个⽩球的有12种情况，∴取到的是⼀个红球、⼀个⽩球的概率为1220＝35.6．义乌国际⼩商品博览会某志愿⼩组有五名翻译，其中⼀名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有⼀名两种语⾔都会翻译．若从中随机挑选两名组成⼀组，则该组能够翻译上述两种语⾔的概率是(B )A.35B.710C.310D.1625【解析】将⼀名只会翻译阿拉伯语的⽤A 表⽰，三名只会翻译英语的都⽤B 表⽰，⼀名两种语⾔都会翻译的⽤C 表⽰，画树状图如解图．(第6题解)共有20种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语⾔的有14种，∴该组能够翻译上述两种语⾔的概率P ＝1420＝710.7．让图中两个转盘分别⾃由转动⼀次，当转盘停⽌转动时，两个指针分别落在某两个数所表⽰的区域(当落在边界上时，重新转动转盘，直⾄不与边界重合)，则这两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于(C )(第7题)A. 316B. 38D. 1316 【解析】列表如下：所有等可能的结果有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数的结果有10种，∴P ＝1016＝58.(第8题)8．⼩江玩投掷飞镖的游戏，他设计了⼀个如图所⽰的靶⼦，E ，F 分别是矩形ABCD 两边AD ，BC 上的点，EF ∥AB ，M，N 是EF 上任意两点，则投掷⼀次，飞镖落在阴影部分的概率是(C )A.13B.23C.12D.34【解析】∵四边形ABFE 内阴影部分⾯积＝12×四边形ABFE 的⾯积，四边形DCFE 内阴影部分⾯积＝12×四边形DCFE 的⾯积，∴阴影部分的⾯积＝12×矩形ABCD 的⾯积，∴飞镖落在阴影部分的概率是12.9．定义⼀种“⼗位上的数字⽐个位、百位上的数字都要⼩”的三位数叫做“V 数”，如947就是⼀个“V 数”．若⼀个三位数⼗位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V 数”的概率是(C )A.14B.310C.12D.34 【解析】画树状图如解图．(第9题解)共有12种等可能的结果，其中是“V 数”的有423，523，324，524，325，425，共6种，∴从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V 数”的概率P ＝612＝12.⼆、填空题10．如图，有五张背⾯完全相同的纸质卡⽚，其正⾯分别标有数：6，7，11，－2，5.将它们背⾯朝上洗匀后，从中随机抽取⼀张卡⽚，则其正⾯的数⽐3⼩的概率是__35(第10题)【解析】根据题意可知，共有5张卡⽚，⽐3⼩的数有3个，故抽到正⾯的数⽐3⼩的概率为35.11．如图，随机闭合开关S 1，S 2，S 3，S 4，S 5中的三个，能够使灯泡L 1，L 2同时发光的概率是__15__．(第11题)【解析】∵随机闭合开关S 1，S 2，S 3，S 4，S 5中的三个，共有10种等可能的结果，能够使灯泡L 1，L 2同时发光的有2种可能(S 1，S 2，S 4或S 1，S 2，S 5)，∴P (使灯泡L 1，L 2同时发光)＝210＝15.(第12题)12．如图，⼀只蚂蚁从点A 出发到点D ，E ，F 处寻觅⾷物．假定蚂蚁在每个岔路⼝都可能随机选择⼀条向左下或右下的路径(⽐如A 岔路⼝可以向左下到达点B 处，也可以向右下到达点C 处，其中A ，B ，C 都是岔路⼝)，那么蚂蚁从点A 出发到达点E 处的概率是__12__．【解析】画树状图如解图．(第12题解)共有4种等可能的结果，蚂蚁从点A 出发到达点E 处有2种情况，∴蚂蚁从点A 出发到达点E 处的概率是24＝12.13．甲、⼄⼆⼈玩猜数字游戏，先由甲⼼中任想⼀个数字，记为a ，再由⼄猜甲刚才所想的数字，把⼄所猜的数字记为b ，且a ，b 分别取数字0，1，2，3，4，5.若a ，b 满⾜|a－b |≤1，则称甲、⼄⼆⼈“⼼有灵犀”．再任意找两个⼈玩这个游戏，得出他们“⼼有灵犀”的概率为__49__．【解析】 (a ，b )共有36种等可能的结果，⽽满⾜|a －b |≤1的有(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，共16种，∴P (“⼼有灵犀”)＝1636＝49.14．甲、⼄、丙三位同学打乒乓球，想通过“⼿⼼⼿背”游戏来决定其中哪两个⼈先打，规则如下：三个⼈同时各⽤⼀只⼿随机出⽰⼿⼼或⼿背，若只有两个⼈⼿势相同(都是⼿⼼或都是⼿背)，则这两⼈先打；若三⼈⼿势相同，则重新决定．那么通过⼀次“⼿⼼⼿背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是__12__．【解析】分别⽤A ，B 表⽰⼿⼼，⼿背，画树状图如解图．(第14题解)共有8种等可能的结果，通过⼀次“⼿⼼⼿背”游戏能决定甲打乒乓球的有4种，∴通过⼀次“⼿⼼⼿背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是48＝12.15．如图，桌⾯上放置了红、黄、蓝三个不同颜⾊的杯⼦，杯⼝朝上．我们做蒙眼睛翻杯⼦(杯⼝朝上的翻为杯⼝朝下，杯⼝朝下的翻为杯⼝朝上)的游戏．(第15题)(1)随机翻⼀个杯⼦，则翻到黄⾊杯⼦的概率为__13__．(2)随机翻⼀个杯⼦，接着从这三个杯⼦中再随机翻⼀个，此时恰好有⼀个杯⼝朝上的概率为__23__．【解析】 (1)从红、黄、蓝三个杯⼦中随机翻⼀个，翻到黄⾊杯⼦的概率为13.(2)将杯⼝朝上⽤“上”表⽰，杯⼝朝下⽤“下”表⽰，画树状图如解图．(第15题解)共有9种等可能的结果，其中恰好有⼀个杯⼝朝上的有6种，∴P(恰好有⼀个杯⼝朝上)＝69＝23.三、解答题16．在⼀个不透明的⼝袋⾥有标号为1，2，3，4，5的五个⼩球，除数字不同外，⼩球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸⼀个球．(1)有下列说法：①摸⼀次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同；②有放回的连续摸10次，则⼀定摸出2号球两次；③有放回的连续摸4次，则摸出四个球标号数字之和可能是20.其中正确的说法是①③(填序号)．(2)若从袋中不放回地摸两次，求两球标号数字是⼀奇⼀偶的概率．【解析】(1)①1号与5号球摸出概率相同，正确；②不⼀定摸出2号球，错误；③若4次均摸到5号球，则5＋5＋5＋5＝20，正确．故①③正确．所有等可能的结果有20种，其中数字是⼀奇⼀偶的有12种，则P(⼀奇⼀偶)＝1220＝35.(第17题)17．某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物⼩票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下：①如图是⼀个材质均匀可⾃由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样；②参与⼀次抽奖活动的顾客可进⾏两次“有效随机转动”(当转动转盘，转盘停⽌后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为⼀次“有效随机转动”)；③假设顾客转动转盘，转盘停⽌后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为⼀次“有效随机转动”；④当顾客完成⼀次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序⽆关)，便可获得相应奖品⼀瓶；不相同时，不能获得任何奖品．根据以上规则，回答下列问题：(1)求⼀次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率．(2)有⼀名顾客凭本超市的购物⼩票，参与了⼀次抽奖活动，请你⽤列表或树状图的⽅法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得⼀瓶可乐的概率．【解析】 (1)∵转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样，∴⼀次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为15.(2)画树状图如解图．(第17题解)共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得⼀瓶可乐的有2种情况，∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得⼀瓶可乐的概率为225.18．在复习《反⽐例函数》⼀章时，同桌的⼩明和⼩芳有⼀个问题观点不⼀致．⼩明认为：如果两次分别从1～6六个整数中任取⼀个数，第⼀个数作为点P (m ，n )的横坐标，第⼆个数作为点P (m ，n )的纵坐标，那么点P (m ，n )在反⽐例函数y ＝12x的图象上的概率⼀定⼤于在反⽐例函数y ＝6x的图象上的概率，⽽⼩芳却认为两者的概率相同．你赞成谁的观点？(1)试⽤列表或画树状图的⽅法列举出所有点P (m ，n )的情形．(2)分别求出点P (m ，n )在两个反⽐例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确．【解析】 (1)考虑到出现的结果数⽬较多，可选⽤列表法列举出所有可能的情况．列表如下：(2)由表格可知，点P (m ，n )共有36种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同．∵点(3，4)，(4，3)，(2，6)，(6，2)在反⽐例函数y ＝12x的图象上；点 (2，3)，(3，2)，(1，6)，(6，1)在反⽐例函数y ＝6x的图象上，∴点P (m ，n )在反⽐例函数y ＝12x 和y ＝6x 的图象上的概率相同，都是436＝19.∴⼩芳的观点正确．。
第三节 随机事件的概率
第三节 随机事件的概率考试要求1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．[知识排查·微点淘金]知识点1 随机事件的频率与概率(1)频数与频率：在相同的条件S 下进行n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比值f n (A )＝n An 为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，则把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．[微提醒],频数是一个整数，其取值范围为0≤n A ≤n ，n A ∈N ，因此随机事件A 发生的频率f n (A )＝n An的可能取值介于0与1之间，即0≤f n (A )≤1.知识点2 事件的关系与运算定义符号表示包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系 一般地，若A ⊆B 且B ⊆A ，则称事件A 与事件B 相等 A ＝B 并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) A ∪B (或A ＋B ) 交事件(或积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称该事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) A ∩B 或AB 互斥事件 若A ∩B 为不可能事件，那么称事件A 与事件B 互斥 A ∩B ＝∅ 对立事件若A ∩B 为不可能事件，而A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝Ω(Ω为全集)(1)互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A 发生且事件B 不发生；②事件A 不发生且事件B 发生；③事件A 与事件B 都不发生.(2)“事件A 与事件B 是对立事件”是“其概率满足P (A )＋P (B )＝1”的充分不必要条件，这里一定有事件A 或事件B 中的一个发生，且不会同时发生.知识点3 互斥事件的概率和对立事件的 概率(1)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (2)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )．[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．(×) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．(×)2．(链接教材必修3 P 121T 4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶解析：选D “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．3．(链接教材必修3 P 121例题)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到黑桃的概率是14，取到梅花的概率是14，则取到红色牌的概率是( )A ．18B ．14C ．12D ．34解析：选C 由对立事件的概率公式得P ＝1－⎝⎛⎭⎫14＋14＝12.4．(链接教材必修3 P 123A 组T 3)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10 环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为 ；中10环的概率约为 ．答案：910 155．(混淆频率与概率)给出下列三个命题，其中正确的命题有 个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．答案：0一、基础探究点——随机事件的关系(题组练透)1．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A ，则A 的对立事件是( )A ．至多有一件次品B ．两件全是正品C ．两件全是次品D ．至多有一件正品解析：选B 从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A ，则A 的对立事件是两件全是正品．2．一袋中装有5个大小和形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为310，则概率是710的事件是( )A ．恰有一个红球B ．两个小球都是白球C ．至多有一个红球D ．至少有一个红球解析：选C 因为710＝1－310，所以概率是710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．3．设条件甲：事件A 与事件B 是对立事件，结论乙：概率满足P (A )＋P (B )＝1，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件．再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.投掷一枚硬币3次，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不一定是对立事件．如事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．判断互斥、对立事件的两种方法定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集.[典例剖析][例1] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数605030302010(1)记A )的估计值；(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.30，故P (B )的估计值为0.30. (3)由所给数据得：保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a ·0.30＋a ·0.25＋1.25a ·0.15＋1.5a ·0.15＋1.75a ·0.10＋2a ·0.05＝1.1925a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a . [拓展变式]1．[变结论]若本例的条件不变，试求“一续保人本年度的保费不低于基本保费”的概率的估计值．解：设事件“一续保人本年度的保费不低于基本保费”为E ，事件E 对应于出险次数大于或等于1，由本例知出险次数小于1的频率为0.30，故一年内出险次数大于或等于1的频率为1－0.30＝0.70，故P (E )的估计值为0.70.2．[变结论]若本例的条件不变，记F 为事件：“一续保人本年度的保费等于基本保费”．求P (F )的估计值．解：“一续保人本年度的保费等于基本保费”的事件F 发生当且仅当一年内出险次数等于1，其频率为0.25，故P (F )的估计值为0.25.1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．[学会用活]1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为( )A ．49B ．0.5C ．0.51D ．0.49解析：选C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为51100＝0.51.三、综合探究点——互斥、对立事件的概率(多向思维)[典例剖析]思维点1 互斥、对立事件概率的计算[例2] 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解：解法一：(利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412＝13，P (A 3)＝212＝16，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋13＝34.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋13＋16＝1112. 解法二：(利用对立事件求概率)(1)由解法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝1－P (A 3∪A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－16－112＝34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4，所以P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.思维点2 互斥、对立事件与统计的综合[例3] 如图所示，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如表所示：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人．所以用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择L 2的频率0.10.40.40.1(3)A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)得P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (A 1)＞P (A 2)，所以甲应选择L 1；P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P (B 2)＞P (B 1)， 所以乙应选择L 2.1．求解此类题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．解决与统计知识交汇考查随机事件的概率计算问题时，先读懂图表，提取有关信息，用统计知识求频数，频率，再求概率．[学会用活]2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E ＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.限时规范训练基础夯实练1．某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，则下列说法正确的是()A．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈B．2位病人中一定有1位能治愈C．每位病人治愈的可能性是50%D．所有病人中一定有一半的人能治愈解析：选C某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，对于A，如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人治愈的概率为50%，故A错误；对于B,2位病人中每个人治愈的可能性都是50%，或两人都能治愈，或有1位能治愈，或都不能治愈，故B 错误；对于C ，每位病人治愈的可能性是50%，故C 正确；对于D ，所有病人中每个人治愈的可能性都是50%，但所有病人中不一定有一半的人能治愈，故D 错误．故选C ．2．从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n 个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是25，则取得白球的概率等于( )A ．15B ．25C ．35D ．45解析：选C ∵取得红球与取得白球为对立事件，∴取得白球的概率为P ＝1－25＝35.3．(2021·烟台一中月考)在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A ．0.20B ．0.60C ．0.80D ．0.12解析：选C “能乘上所需要的车”记为事件A ，则3路或6路车有一辆路过即事件发生．故P (A )＝0.20＋0.60＝0.80.4．设A 与B 是互斥事件，A ，B 的对立事件分别记为A ，B ，则下列说法正确的是( ) A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 互斥 C ．P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )D ．P (A ＋B )＝1解析：选C 根据互斥事件的定义可知，A 与B ，A 与B 都有可能同时发生，所以A 与B 互斥，A 与B 互斥是不正确的；P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )正确；A 与B 既不一定互斥，也不一定对立，所以P (A ＋B )＝1是不正确的．5．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45解析：选D 设[25,30)上的频率为x ，由所有矩形面积之和为1，即x ＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.6．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数234542的频率为 ．解析：数据落在区间[10,40)的频率为2＋3＋420＝920＝0.45.答案：0.457．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9600×1825＝6912(人)．答案：69128．一只袋子中装有大小相同的7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为 ；至少取得一个红球的概率为 ．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.答案：815 14159．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买三种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从题中统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了两种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买三种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(3)与(1)同理可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．综合提升练10．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x 为这种商品每天的销售量，y 为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )A ．19B ．110C ．15D ．18解析：选B 日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a ，b ，c ，日销售量为21个的2天记为A ，B ，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P ＝110，故选B ．11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.12．某城市2020年的空气质量状况如表所示： 污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率p1101613730215130时，空气质量为轻微污染，则该城市2020年空气质量达到良或优的概率为 ．解析：由题意可知2020年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：3513．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是 ，他属于不超过2个小组的概率是 ．解析：“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.答案：35 131514．(2021·沈阳调研)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.＝0.025.故所求概率为502000(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－372＝0.814.2000(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．创新应用练15．(2021·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2018年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9] 发放金额50100150200(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x 0.3≤x<0.50.5≤x<0.60.6≤x<0.80.8≤x≤0.9y 50100150200频率0.40.30.280.02 这11000×(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.。
随机事件的概率
0 P A 1．
例题讲解
例2、某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为 乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽 样检测，检查结果如表所示：
3.1.1 随机事件的概率
知识引入
概率论的生日：1654年7月29日 这一天，法国一位贵族、职业赌徒梅累（De Mere） 向法国数学家、物理学家帕斯卡（Pascal）提出了一个 十分有趣的“分赌注”问题． 问题是这样的，一次梅累和赌友掷硬币，各押赌注32 个金币．双方约定先胜三局者为胜, 取得全部64个金币. 赌博进行了一段时间，梅累已经赢了两局，赌友已经赢了 一局．这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾， 赌博只好中断了．请问：两个人应该怎样分这64个金币才 算合理呢?
象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数
足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率.
跟踪练习
某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表:
投篮次数 进球次数
8
6
10 8 0.80
15
20 17
30
25
40
32
50 39
12 0.80
进球频率 0.75
0.85 0.83 0.80 0.78
思考1：那么如何才能获得随机事件发生的概率呢？
试验
第一步: 每人各取一枚同样的硬币，做10次掷硬币试验，
记录正面向上的次数和比例,填入下表中:
姓名 试验次数 正面朝上的次数 正面朝上的比例
第3课时 简单随机事件的概率及应用
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3 解：(1)100× ＝30，∴红球有 30 个． 10 (2)设白球有 x 个，则黄球有 (2x－ 5)个， 根据题意得 x＋2x－ 5＝100－30， 25 解得 x＝ 25.∴摸出一个球是白球的概率 P＝ ＝ 100 1 . 4
1．画树状 (形)图是列举随机事件的所有可能结果 的重要方法， 通过树状(形)图， 把所有可能的结果一一 列出，有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现 重复和遗漏，既形象直观又条理分明． 2． 列表法也是列举随机事件的所有可能结果的一 个重要的方法，列表法是画“树状 (形 )图”的必要补 充．
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解析：设只会翻译阿拉伯语的为 A，只会翻译英 语的为 B1， B2， B3，两种语言都会翻译的为 C，则随 机挑选两名组成一组的所有可能为(AB1， AB2， AB3， AC， B1B2， B2B3， B1C， B2C， B3C)，共 10 种．满足 条件的组合有 (AB1，AB2，AB3，AC，B1C，B2C，B3C)， 共 7 种，故选 B. 答案：B
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5 解： (1)摸出一个球是黄球的概率 P＝ ＝ 5＋13＋ 22 1 . 8 5＋x 1 (2)设取出 x 个黑球，由题意，得 ≥ ， 40 3 25 解得 x≥ .∴ x 的最小正整数解是 x＝9. 3 答：至少取出了 9 个黑球．
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浙江三年中考
包头市2015中考复习第8章 第3节 简单随机事件的概率
第3节 简单随机事件的概率随机事件1．随机事件(不确定事件)：可能发生，也可能不发生的事件．2．事件⎩⎪⎨⎪⎧确定事件⎩⎪⎨⎪⎧ 事件 事件 事件概率的意义及简单概率的计算1．概率：在随机现象中，一个事件发生的________大小叫做这个事件的概率．2．在一次试验中，共有n 种等可能结果，事件A 包含其中m 种等可能结果，则事件A 发生的概率为P(A)＝__________.当事件A 为必然事件时，P(A)＝________；当事件A 为不可能事件时，P(A)＝________.3．一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 叫做事件A 的________，记作P(A)＝________.确定事件与随机事件【例1】(2014·梅州)下列事件中是必然事件的是( C ) A ．明天太阳从西边升起B ．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C ．实心铁球投入水中会沉入水底D ．抛出一枚硬币，落地后正面朝上准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．简单事件的概率及应用【例2】(1)(2014·永州)如图，有五张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别标有数：6，7，11，－2， 5.将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数比3小的概率是__35__．6711 －25(2)一个袋中有8个红球和16个白球，它们除颜色外都相同． ①求从袋中摸出一个球是红球的概率；②现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率是58，问取走了多少个白球？(要求通过列式或列方程解答)解：(2)①P (红球)＝824＝13 ②设取走x 个白球，由题意有8＋x 16＋8＝58，解得x ＝7，即取走了7个白球概率的意义―→列式或列方程求解．利用频率估计概率【例3】儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏规则是：在一个装有8个红球和若干白球(每个球除颜色外，其他都相同)的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个玩具．已知参加这种游戏的儿童有4000人，公园游戏场发放玩具800个．(1)求参加此次活动得到玩具的频率； (2)请你估计袋中白球的数量接近多少？解：(1)参加此项游戏得到玩具的频率为8004000＝15(2)设袋中共有m 个球，则摸到红球的概率P (红球)＝8m ，∴8m ＝15，解得m ＝40，∴白球接近40－8＝32(个)大量重复试验―→事件发生的频率稳定值―→概率―→求解． 真题热身1．(2014·仙桃)下列事件中属于不可能事件的是( D ) A ．某投篮高手投篮一次就进球B ．打开电视机，正在播放世界杯足球比赛C ．掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6D ．在一个标准大气压下，90 ℃的水会沸腾 2．(2013·宜昌)2012～2013 NBA 整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是( A )A ．科比罚球投篮2次，一定全部命中B ．科比罚球投篮2次，不一定全部命中C ．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大D ．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小3．(2014·北京)如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是( D )A.16B.14C.13D.124．(2014·宜宾)一个袋子中装有6个黑球和3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是( B )A.19B.13C.12D.235．(2013·铁岭)在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( D )A ．16个B ．15个C ．13个D ．12个6．(2014·长沙)100件外观相同的产品中有5件不合格，从中任意抽出1件进行检测，则抽到不合格产品的概率为__120__．第3节 简单随机事件的概率基础过关一、精心选一选1．(2014·梅州)下列事件中是必然事件的是( C ) A ．明天太阳从西边升起B ．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C ．实心铁球投入水中会沉入水底D ．抛出一枚硬币，落地后正面朝上 2．(2013·扬州)下列说法正确的是( D )A ．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨B ．“抛一枚硬币正面朝上的概率为12”表示每抛2次就有一次正面朝上C ．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖D ．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在16附近3．(2014·益阳)小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是( C )A .120B .15C .14D .134．(2014·东营)小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等)，则飞镖落在阴影区域的概率是( C )A .12B .13C .14D .165．(2013·青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有( A )A ．45个B ．48个C ．50个D ．55个 二、细心填一填6．(2014·孝感)下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100 ℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是__①③__．(填序号)7．(2014·武汉)如图，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，则指针指向红色的概率为__37__．8．(2014·福州)若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是__15__．9．(2014·襄阳)从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是__12__．10．(2013·大连)某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为__0.9__．(精确到0.1)11．(2013·岳阳)如图所示的3×3方格形地面上，阴影部分是草地，其余部分是空地，一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为__13__．三、用心做一做12．投掷一枚普通的正方体骰子24次． (1)你认为下列四种说法哪种是正确的？ ①出现1点的概率等于出现3点的概率； ②投掷24次，2点一定会出现4次；③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果出现4点的可能性就会加大； ④连续投掷6次，出现的点数之和不可能等于37. (2)求出现5点的概率； (3)出现6点大约有多少次？ 解：(1)①④ (2)16 (3)4次13．(2014·温州)一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球．(1)从袋中摸出一个球是黄球的概率；(2)现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是13，求从袋中取出黑球的个数．解：(1)14(2)设从袋中取出x 个黑球，依题意得8－x 20－x ＝13，解得x ＝214．(2014·杭州)一个布袋中装有只有颜色不同的a(a ＞12)个球，分别是2个白球，4个黑球，6个红球和b 个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球、黑球、红球的概率绘制成统计图(未绘制完整)．请补全该统计图并求出ba的值．解：球总数4÷0.2＝20(个)，则2＋4＋6＋b ＝20，解得b ＝8，摸出白球的概率为2÷20＝0.1，摸出红球的概率为6÷20＝0.3，b a ＝820＝25＝0.4；补图略15．(2013·厦门)有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1～12这12个整数(每个面只有一个整数且互不相同)．投掷这个正12面体一次，记事件A 为“向上一面的数字是2或3的整数倍”，记事件B 为“向上一面的数字是3的整数倍”，请你判断等式P(A)＝12＋P(B)是否成立，并说明理由．解：不成立，理由：∵投掷这个正12面体一次，记事件A 为“向上一面的数字是2或3的整数倍”，∴符合要求的数有2，3，4，6，8，9，10，12，一共有8个，则P(A)＝23.∵事件B 为“向上一面的数字是3的整数倍”，∴符合要求的数有3，6，9，12，一共有4个，则P(B)＝13.∵12＋13＝56≠23，∴P(A)≠12＋P(B)16．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．活动结果：摸球试验活动一共做了50次，统计结果如下表：推测计算：由上述的摸球试验可推算：(1)盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？ (2)盒中有红球多少个？解：(1)红球占40%，黄球占60% (2)设总球数为x 个，由题意得8x ＝450，解得x ＝100，100×40%＝40，即盒中红球有40个挑战技能17．(2013·福州)袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是( D )A ．3个B ．不足3个C ．4个D ．5个或5个以上18．(2014·潍坊)如图是某市7月1日至10日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该市，并连续停留3天．则此人在该市停留期间有且仅有1天空气质量优良的概率是( C )A .13B .25C .12D .3419．某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：(1)求“紫气东来”奖券出现的频率；(2)请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？并说明理由．解：(1)50010000＝120或5%(2)平均每张奖券获得购物券金额为100×50010000＋50×100010000＋20×200010000＋0×650010000＝14(元)，∵14＞10，∴选择抽奖更合算20．(2013·杭州)某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号(从1号到50号)的卡片(除序号不同外其他均相同)打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片．(1)在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10(为了不重复计数，20只计一次)，求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；(2)若规定：取到的卡片上序号是k(k是满足1≤k≤50的整数)，则序号是k的倍数或能整除k(不重复计数)的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；(3)请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．解：(1)750(2)不公平，∵无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，而很明显抽到其他序号学生概率不为100%，∴不公平(3)先抽出一张，记下数字，然后放回，若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取．不断重复，直至抽满10个不同的数字为止，这样每个数字每次被抽到的概率都是150，故符合要求。
第九章 第三节 随机事件的概率
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1．辨析两组概念 (1)频率与概率． ①频率是一个变量，随着试验次数的改变而改变； ②概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关； ③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)互斥事件与对立事件． ①两个事件是互斥事件，它们未必是对立事件； ②两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件．
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布列
第三节 随机事件的概率
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[基础梳理] 1．事件的相关概念
(1)必然事件：在一定条件下，_一__定__发生的事件； (2)不可能事件：在一定条件下，一___定__不__发生的事件；
(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
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考点一 随机事件的关系 ◄考基础——练透 [例1] (1)(2019·孝感模拟)把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个 人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A．对立事件 B．互斥但不对立事件 C．不可能事件 D．以上都不对
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首页 上页 下页 末)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次 试验中事件A出现的_次__数__n_A_为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝_nn_A_为 事件A出现的频率． (2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作_P_(_A_)_，称为事件A的概率．
11.2随机事件概率的计算
同理可得
P( A B) P( AB) P(B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
例2 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
解: 设A={掷出点数之和不小于10}
应用定义
B={第一颗掷出6点}
解:
解：设 Ai ={第 i 次取到的是次品},i =1, 2, 3.
则所求概率为：
P( A1A2A3 ) P( A1) P( A2 | A1
P( A1A2A3) 0. 002 .
)P(
A3
|
A1 A2
)
P( A1)
5 100
,
P(
A2 |
A1 )
4 99
,
P(
A3
|
A1 A 2
)
95 98
,
引例 三个罐子分别编号为 1, 2, 31，号装有 2 红 1 黑球 ,
称贝努里试验或贝努里概型
用X表示n 重贝努里试验中事件A（成功）出现 的次数，则
P ( X k ) Cnk pk (1 p)nk k 0,1, , n
称r.v.X服从参数为n和p的二项分布，记作 X~B(n,p)
例2 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2 个次品的概率.
由乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)，可知当事件 A、
B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约. 一、两事件独立的定义
遵义专版2018年中考数学总复习第一篇教材知识梳理篇第8章统计与概率第3节随机事件简单概率的计算及应
第三节随机事件、简单概率的计算及应用,遵义五年中考命题规律)年份题号题型考查点分值总分2017 21 解答题概率的计算及应用10 102016 23 解答题概率的计算及应用10 102015 22 解答题概率的计算及应用10 102014 22 解答题概率的计算及应用10 10选择题，解答题概率的计算，概率的计算及应用2013 6，23 3，10 13 纵观遵义近五年中考，每年都会在第21或22或23以解答题的形式考查命题规律此考点，10～13分，命中基础题，难度不大，考查角度在变化，呈现出明显的命题规律．预计2018年遵义中考仍然会以同样方式命解答题，10分左右，复习的过程中一定要把各种题型训练到位，力争在此版块不失分.,遵义五年中考真题及模拟)概率的计算1．(2013遵义中考)如图，在4×4正方形网格中，任取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是(A)1 1 1 1A. B. C. D.6 4 3 122．(2016遵义六中一模)从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点(a，b)在12函数y＝图象上的概率是(D)x1 1 1 1A. B. C. D.2 3 4 63．(2017遵义中考)学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛(1)小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是________；(2)小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率．1解：(1) ；4(2)画树状图如下：由树状图可知，一共有16种等可能结果，其中恰好取到两个白粽子有4种结果，4 1∴小明恰好取到两个白粽子的概率为＝.16 44．(2016遵义中考)如图，3×3的方格分为上中下三层，第一层有一枚灰色方块甲，可在方格A，B，C中移动，第二层有两枚固定不动的灰色方块，第三层有一枚灰色方块乙，可在方格D，E，F中移动．甲、乙移入方格后，四枚灰色方块构成各种拼图．(1)若乙固定在E处，移动甲后灰色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是________；(2)若甲、乙均可在本层移动．①用树状图或列表法求出灰色方块所构拼图是轴对称图形的概率；②灰色方块所构拼图是中心对称图形的概率是________．2解：(1) ；3(2)①画树状图：1所构拼图是轴对称图形的概率是；32②95．(2015遵义中考)有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3 cm、7 cm、9 cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2 cm、4 cm、6 cm、8 cm；盒子外有一张写着5 cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．(1)请用画树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；(2)求这三条线段能组成直角三角形的概率．解：(1)列表得：甲3 7 9乙2 (2，3，5) (2，7，5) (2，9，5)4 (4，3，5) (4，7，5) (4，9，5)6 (6，3，5) (6，7，5) (6，9，5)8 (8，3，5) (8，7，5) (8，9，5)根据两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只有(4，3，5)，(4，7，5)，(6，3，5)，(6，7，5)，(6，9，5)，(8，7，5)，(8，9，5)这7种符合题决意，7P(三角形)＝；12(2)∵这三条线段能组成直角三角形的只有：3 cm，4 cm，5 cm，1 ∴这三条线段能组成直角三角形的概率为.126．(2014遵义中考)小明、小军两同学做游戏，规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔(不放回)，若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜．(1)请用画树状图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果；(2)请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平；若不公平，你认为对谁有利．解：(1)列表如下：红1 红2 红3 黑1 黑2 红1 红1，红2 红1，红3 红1，黑1 红1，黑2红2 红2，红1 红2，红3 红2，黑1 红2，黑2红3 红3，红1 红3，红2 红3，黑1 红3，黑2黑1 黑1，红1 黑1，红2 黑1，红3 黑1，黑2黑2 黑2，红1 黑2，红2 黑2，红3 黑2，黑18(2)由(1)知，共20种等可能的情况，其中颜色相同的有8种，则小明获胜的概率为202＝，52 3小军获胜的概率为1－＝.5 52 3∵＜，∴游戏规则不公平，对小军有利.5 57．(2013遵义中考)一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外其余都相同)，其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率1为.2(1)求口袋中黄球的个数；(2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回)，再随机摸出一个小球，请用“画树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；(3)现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分(每次摸后放回)，乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球，第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次．求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．解：(1)设口袋中黄球的个数为x个，2 1根据题意，得＝，解得x＝1，2＋1＋x 2经检验，x＝1是原分式方程的解，∴口袋中黄球的个数为1个；(2)画树状图为：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，2 1∴两次摸出都是红球的概率为＝；12 6(3)∵摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球，第二次又随机摸到一个蓝球，∴乙同学已经得了7分，∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10 分的有三种情况，且共有4种等可能的结果，3 ∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为.4 8．(2016遵义中考模拟)如图，4张背面完全相同的纸牌(用①，②，③，④表示)，在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张．(1)用画树状图(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果；( 2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四边形ABCD是平行四边形的概率．解：(1)画树状图得：则共有12种等可能的结果；(2)∵能判断四边形ABCD是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③共8种情况，8 2∴能判断四边形ABCD是平行四边形的概率为：＝.12 3,中考考点清单)事件的分类1.事件类型,概念,概率确定事件,必然事件：必然会发生的事件,__1__不可能事件：不可能发生的事件,__0__随机事件,可能发生也可能不发生的事件,0～1之间概率及计算2．定义：用一个数刻画随机事件A发生的可能性大小，这个数叫做事件A的概率．3．计算方法(1)试验法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，m事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝；n(2)列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法列出所有可能的结果，再根据公式计算；(3)画树状图：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图表示出所有可能的结果，再根据公式计算．【方法点拨】m1．数字类求概率的问题，可以用概率公式求解，即P(A)＝，其中n为所有事件发生的n总次数，m为事件A发生的总次数；2．摸球类概率的求法是用枚举法．枚举所有可能出现的结果时，要做到不重不漏，在计算概率时，关键是确定所有可能的结果数和可能出现的结果数，再用某个事件的可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；3．几何图形中阴影部分的事件的概率求法是求出阴影部分面积占总面积的几分之几，那么其概率就是几分之几；4．在重复试验计算概率的题中，第一次取出后放回，然后第二次再取出计算概率，做这类考题时要注意两次取得的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况；5．与代数、几何知识相结合的概率题其本质还是求概率，只不过是需要应用代数和几何的方法确定某些限制条件的事件数．一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形，再求出满足所涉及知识的情形，进一步求概率．频率与概率之间的关系4．频率：做n次重复实验，如果事件A发生了m次，那么数m叫做事件A发生的频m数，比值叫做事件A发生的频率．n5．用频率估计概率：事件A的频率稳定到它的概率，或者说概率是频率的稳定值．在实际中，我们常用比较稳定时的频率估计事件的概率，而实验次数越多，得到概率较精确的估计值的可能性越大．,中考重难点突破)事件的判断【例1】(2017遵义六中一模)下列说法正确的是()A．哥哥的身高比弟弟高是必然事件B．今年中秋节有雨是不确定事件C．随机掷一枚均匀的硬币两次，都是正面朝上是不可能事件1D．“彩票中奖的概率为”表示买5张彩票肯定会中奖5【解析】选项正误逐项分析Aד哥哥的身高比弟弟高”可能发生，也可能不发生，故它是随机事件B√“今年中秋节有雨”可能发生，也可能不发生，故它是随机事件(不确定事件)续表选项正误逐项分析Cד随机掷一枚均匀的硬币两次，都是正面朝上”可能发生，也可能不发生，故它是随机事件D×1“彩票中奖的概率为”只能说明中奖可能性的大小，并不能确定一5定能中奖【答案】B1．(遵义二中二模)一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是(B) A．摸出的4个球中至少有一个是白球B．摸出的4个球中至少有一个是黑球C．摸出的4个球中至少有两个是黑球D．摸出的4个球中至少有两个是白球概率的计算【例2】(2017泉州升学一模)有两个不透明的袋子中分别装有3个大小、形状完全一样的小球，第一个袋子中的三个小球上分别标有数字－3，－2，－1，第二个袋子上的三个小球上分别标有数字1，－1，－2，从两个袋子中各摸出一个小球，第一个袋子中摸出的小球记为m，第二个袋子中摸出的小球记为n，若m，n分别是点A的横、纵坐标．(1)用列表法或树状图法表示所有可能的点A的坐标；(2)求点A(m，n)在抛物线y＝x2＋3x上的概率．【解析】(1)利用树状图可展示所有9种等可能的结果数；(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点(－2，－2)，(－1，－2)在抛物线y＝x2＋3x上，然后利用概率公式求解．【答案】解：(1)画树状图为：共有9种等可能的结果数，它们为(－3，1)，(－3，－1)，(－3，－2)，(－2，1)，(－2，－1)，(－2，－2)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，－2)；(2)点(－2，－2)，(－1，－2)在抛物线y＝x2＋3x上，所以点A(m，n)在抛物线y＝x22＋3x上的概率为.92．(2017武威中考模拟)甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．(1)求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；(2)从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？并说明理由．解：(1)∵三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，1 ∴从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为；3(2)这个游戏不公平．画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，5 4∴P(甲胜)＝，P(乙胜)＝.9 9∴P(甲胜)≠P(乙胜)，∴这个游戏不公平．统计与概率结合【例3】(2017泉州中考模拟)某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查(每位同学只选最关注的一个)，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)这次调查的学生共有多少名？(2)请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应扇形的圆心角的度数；(3)如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据(2)中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率．(将“互助、平等、感恩、和谐、进取”依次记为A，B，C，D，E)【解析】(1)根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；(2)求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图；(3)求出“进取”占的圆心角度数即可．【答案】解：(1)56÷20%＝280(名)．∴这次调查的学生共有280名；(2)280×15%＝42(名)；补充条形统计图如图，280－42－56－28－70＝84(名)，补充条形统计图如图，84÷280＝30%，360°×30%＝108°.∴“进取”所对应的圆心角是108°；(3)由(2)中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”，画树状图为：共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主1题的概率是.103．(2017酒泉一模)今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A，B，C，D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．评估成绩n(分) 评定等级频数90≤n≤100 A 280≤n＜90 B70≤n＜80 C 15n＜70 D 6根据以上信息解答下列问题：(1)求m的值；(2)在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；(结果用度、分、秒表示)(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A 等级的概率．解：(1)∵C等级频数为15，占60%，∴m＝15÷60%＝25；(2)∵B等级频数为：25－2－15－6＝2，∴B等级所在扇形的圆心角的大小为：2×360°＝28.8°＝28°48′；25(3)评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，10 5∴其中至少有一家是A等级的概率为：＝.12 64．(2017重庆中考)重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图①和如图②两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．(1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是______°，并补全条形统计图；(2)经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．解：(1)126；补全条形统计图如图所示；(2)假设4篇荣获特等奖的作文分别为A，B，C，D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．画树状图如下：共有12种可能的结果，七年级特等奖作文被选登在校刊上的结果有6种，6 1∴P(七年级特等奖作文被选登在校刊上)＝＝.12 2教后反思：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________11。
随机事件的概率 - 简单 - 讲义
随机事件的概率知识讲解一、随机现象1.必然现象：在一定条件下必然发生某种结果的现象叫做必然现象；2.随机现象：在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象叫做随机现象；3.试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验；把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．二、事件与基本事件空间1.事件：1）不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 2）必然事件：在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；3）随机事件：在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．注：通常用大写英文字母A B C L ，，，来表示随机事件，简称为事件． 2.基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件；它包含所有可能发生的基本结果．3.基本事件空间：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．三、频率与概率1.频率：在相同的条件下重复n 次试验，观察，某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例m n为事件A 出现的频率． 2.概率的统计定义：一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．1）从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤．2）当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =．3.频率与概率的区别：1）频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．2）当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．四、概率的加法公式1.互斥事件与事件的并：互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．事件的并：由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =U ．2.互斥事件的概率加法公式（1）若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+U（2）若事件12n A A A L ，，，两两互斥，1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++U UL U L ．事件“12n A A A U UL U ”发生是指事件12n A A A L ，，，中至少有一个发生 3.对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ．有()1()P A P A =-五、互斥事件概率的求法1.直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件，应用概率加法公式计算；2.间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式()1()P A P A =-，即应用补集思想（正难则反），特别是“至多”、“至少”型的题目．典型例题一．选择题（共5小题）1．（2018•秦州区校级一模）有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分，若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为，那么这4位同学得分之和为0的概率为（）A．B． C． D．【解答】解：每人的得分情况有甲对，甲错，乙对，乙错4种可能，∴基本事件总数n=44=256种，若他们得分之和为0，则分为4类：①4人全选甲类题目且两对对错，有=6种可能，（即四个元素3，3，﹣3，﹣3的所有排列个数），②4人全选乙类题目且两对两错，有=6种可能，③4人中1人选甲类对或错，同时另3人选乙类全对或全错，有=8种可能，④4人中2人选甲类一对一错，同时另起炉灶人选乙类一错一对，共有种可能，∴这4位同学得分之和为0的概率p==．故选：A．2．（2018•新乡一模）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m=a+b，则（）A．事件“m=2”的概率为B．事件“m＞11”的概率为C．事件“m=2”与“m≠3”互为对立事件D．事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件【解答】解：连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m=a+b，则事件“m=2”的概率为，故A错误；事件“m＞11”的概率为，故B错误；事件“m=2”与“m≠2”互为对立事件，故C错误；a=b时，m为偶数，故事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件，故D正确；故选：D．3．（2018•广元模拟）在区间[﹣1，1]上任选两个数x和y，则x2+y2≥1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，在区间[﹣1，1]上任选两个数x和y，则，平面区域是边长为2的正方形，x2+y2≥1的平面区间是圆外侧且正方形内侧的阴影部分，∴由几何概型概率计算公式得：x2+y2≥1的概率为：p===1﹣．故选：A．4．（2018•乐山三模）已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=，则P（X＞2）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量X～N（0，σ2），P（|X|＜2）=，∴根据正态分布可知：P（|X|＜2）+2P（X＞2）=1，∴P（X＞2）==．故选：A．5．（2017秋•忻州期末）下列说法中正确的是（）A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件【解答】解：由互斥事件和对立事件的概念知互斥事件是不可能同时发生的事件对立事件是A不发生B就一定发生的事件，故选：D．二．填空题（共5小题）6．（2018•江苏模拟）甲乙两人下棋，若甲获胜的概率为，甲乙下成和棋的概率为．则乙不输棋的概率为．【解答】解：∵甲乙两人下棋，甲获胜的概率为，甲乙下成和棋的概率为．∴乙不输棋的概率p=1﹣=．故答案为：．7．（2017•江苏模拟）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为0.4．【解答】解：∵一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，∴P（目标未受损）=0.4，∴P（目标受损）=1﹣0.4=0.6，目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，它们是对立事件，P（目标受损）=P（目标受损但未完全击毁）+P（目标受损但击毁），即0.6=P（目标受损但未完全击毁）+0.2，∴P（目标受损但未完全击毁）=0.6﹣0.2=0.4．故答案为：0.4．8．（2017•南通一模）口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为0.17．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．9．（2017•红桥区一模）经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是0.74．【解答】解：由表格可得至少有2人排队的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74故答案为：0.7410．（2017春•无锡期末）下列事件中，是随机事件的为②④（填所有正确的序号）①实数a，b都不为0，则a2+b2=0；②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；③汽车排放尾气会污染环境；④明天早晨不会有雾．【解答】解：逐一考查所给的事件：①实数a，b都不为0，则a2+b2=0是不可能事件；②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面是随机事件；③汽车排放尾气会污染环境是必然事件；④明天早晨不会有雾是随机事件．综上可得，随机事件包括：②④．故答案为：②④．三．解答题（共2小题）11．下列随机事件中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？试验的可能结果又哪几种？（1）一天中，从北京站开往合肥站的3列列车，全部正点到达；（2）某人射击两次，一次中靶，一次未中靶．【解答】解：（1）一次试验是指从北京站开往合肥站的一列列车，它有3次试验，试验的可能结果有两种：正点到达和不正点到达．（2）一次试验是指某人射击一次，它有2次试验，试验的可能结果有两种：中靶和未中靶．12．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．（1）一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为：（2）一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ．【解答】解：（1）一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X的可能取值为0，1，2，素材来源于网络，林老师编辑整理X=0表示取到3个黑球；X=1表示取到2个黑球1个白球；X=2表示取到1个黑球2个白球．（2）∵一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ，∴ξ的可能取值为3，4，5，ξ=3表示取到的三个球编号分别为1，2，3；ξ=4表示取到4号球，且在编号为1，2，3的三个球中取到2个；ξ=5表示取到5号球，且编号为1，2，3，4的四个球中取到2个．素材来源于网络，林老师编辑整理。
随机事件的概率计算
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公式形式：P(A)=∑(P(B)×P(A∣B))，其 中B是互斥子事件
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应用场景：适用于多个因素影响一个事件 发生的情况，通过综合考虑各个因素的贡 献程度来计算事件发生的概率
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示例：掷骰子时，出现偶数点的概率为 3/6，可以分解为1/6的概率出现2点、 1/6的概率出现4点、1/6的概率出现6点， 三者之和为3/6。
(B)。
应用：在概率论 中，独立事件的 概率加法法则常 用于计算多个独 立事件同时发生
的概率。
条件：独立事件 A和B必须满足 条件，即在事件 A发生与否与事 件B发生与否之 间没有相互影响。
举例：掷一次骰 子出现1点和掷 一次骰子出现2 点是两个独立事 件，它们同时发
生的概率是 1/6*1/6=1/36。
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概率具有可加性
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概率具有可结合性
Part Two
随机事件的分类
必然事件
定义：在一定条件下一定会发生的事件 举例：太阳从东方升起 概率：1 特点：不受其他事件影响，一定会发生
随机事件
定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。 分类：按照发生的可能性，随机事件可以分为必然事件和不可能事件。 必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，如掷一枚骰子，出现偶数点。 不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，如掷一枚骰子，出现7点。
THANKS
汇报人：XX
斯公式
Part One
概率的基本概念
概率的定义
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。 概率取值范围在0到1之间，包括0和1。 概率越接近0，事件发生的可能性越小；概率越接近1，事件发生的可能性越大。 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
随机事件的概率计算和推理分析
随机事件的概率计算和推理分析随机事件的概率计算和推理分析是概率论中的重要内容，掌握这些知识点对于理解事件的规律和解决实际问题具有重要意义。
一、随机事件的定义和分类：1.随机事件的定义：随机事件是指在相同的条件下，可能发生也可能不发生的事件。
2.随机事件的分类：a.必然事件：指在所有情况下都一定会发生的事件。
b.不可能事件：指在所有情况下都不可能发生的事件。
c.随机事件：指在相同条件下，既有可能发生也有可能不发生的事件。
二、概率的基本性质：1.概率的取值范围：概率值介于0和1之间，包括0和1。
2.概率的加法规则：两个互斥事件的概率相加等于它们的和事件的概率。
3.概率的乘法规则：两个独立事件的概率相乘等于它们的积事件的概率。
三、随机事件的概率计算：1.古典概率的计算：a.有限样本空间：设一个试验有n个可能的结果，记为S={s1,s2, …, sn}，其中每个结果发生的可能性相等，即P(s1) = P(s2) = … =P(sn) = 1/n。
b.无限样本空间：设一个试验有无限多个可能的结果，记为S，如果每个结果发生的可能性相等，即P(s) = 1/|S|。
2.条件概率的计算：a.条件概率的定义：在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。
b.条件概率的计算公式：P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.独立事件的概率计算：a.独立事件的定义：事件A和事件B相互独立，指的是事件A的发生与否不影响事件B的发生概率，反之亦然。
b.独立事件的概率计算公式：P(A∩B) = P(A)P(B)，其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
四、推理分析的方法：1.归纳推理：从特殊到一般的推理过程，通过观察个别现象，总结出一般规律。
2.演绎推理：从一般到特殊的推理过程，根据已知的一般原理，推导出特殊情况的结论。
3.类比推理：通过比较两个相似的情况，推断它们在某个方面也相同。
随机事件的概率及计算
随机事件的概率及计算随机事件的概率及计算随机事件的概率、古典概型、⼏何概型及随机模拟⼆. 课标要求：1、在具体情境中，了解随机事件发⽣的不确定性和频率的稳定性，进⼀步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2、通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3、通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会⽤列举法计算⼀些随机事件所含的基本事件数及事件发⽣的概率。
4、了解随机数的意义，能运⽤模拟⽅法（包括计算器产⽣随机数来进⾏模拟）估计概率，初步体会⼏何概型的意义；5、通过阅读材料，了解⼈类认识随机现象的过程。
三、命题⾛向本讲内容在⾼考中所占⽐重不⼤，纵观近⼏年的⾼考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有⼀定的灵活性、机动性。
纵观近⼏年的⾼考对概率要求降低，⼏何概型是新加内容，考试涉及的可能性较⼤。
预测⾼考：对概率考查的重点以互斥事件、古典概型、⼏何概型的概率事件的计算为主，⽽以实际应⽤题出现的形式多以选择题、填空题为主。
四、教学过程（⼀）基本知识要点回顾1、随机事件的概念在⼀定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在⼀定条件下可能发⽣也可能不发⽣的事件；（2）必然事件：在⼀定条件下必然要发⽣的事件；（3）不可能事件：在⼀定条件下不可能发⽣的事件。
2、随机事件的概率事件A的概率：在⼤量重复进⾏同⼀试验时，事件A发⽣的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3、事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发⽣的两个事件叫做互斥事件；（2）对⽴事件：不能同时发⽣，但必有⼀个发⽣的两个事件叫做互斥事件；4、事件间的运算+）（）=；个，即此试验由所有结果出现的可能性都相等，那么每⼀基本事件的概率都是。
如果某个事件=。
=。
（1）“抛⼀⽯块，下落”.（2）“在标准⼤⽓压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某⼈射击⼀次，中靶”；（4）“如果a＞b，那么a－b＞0”;（5）“掷⼀枚硬币，出现正⾯”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取⼀张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有⽔分，种⼦能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．解：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件。
高考数学一轮复习 第10章 概率 第3节 模拟方法—概率的应用教学案 文(含解析)北师大版-北师大版
第三节 模拟方法—概率的应用[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．模拟方法对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．2．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[常用结论] 几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． ( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． ( ) (3)在一个正方形区域内任取一点的概率为0． ( ) (4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A ．12B ．134B [坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.]3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A B C DA [∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．]4．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率为________．12 [在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设M ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD×h ＝16.又S四边形ABCD＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h ＜12.即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12.]5．如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．0.18 [由题意知，S 阴S 正＝1801 000＝0.18，∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]与长度(角度)有关的几何概型1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为 ( )63C ．23D ．45C [设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.] 2．(2017·某某高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．59[由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.]3．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．34[过点C 作交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠A 内时，AM ＜AC ．又∠A ＝45°，所以∠A ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝34.] [规律方法] 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．与面积有关的几何概型►考法1 与平面图形面积有关的问题【例1】 (2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14 B ．π8C ．12D ．π4B [不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.]►考法2 与线性规划知识交汇命题的问题【例2】 在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A ．14B ．12C ．23D ．34A [依题意作出图像如图，则P (y ≤2x )＝S 阴影S 正方形＝12×12×112＝14.][规律方法] 1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．(1)已知实数m ∈[0,1]，n ∈[0,2]，则关于x 的一元二次方程4x 2＋4mx －n2＋2n ＝0有实数根的概率是( )A ．1－π4B ．π4C ．π－32D ．π2－1(2)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0－2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A ．14 B ．34 C ．13D ．23(1)A (2)B [(1)方程有实数根，即Δ＝16m 2－16(－n 2＋2n )≥0，m 2＋n 2－2n ≥0，m 2＋(n －1)2≥1，画出图形如图所示，长方形面积为2，半圆的面积为π2，故概率为2－π22＝1－π4.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.]与体积有关的几何概型1．已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC＜12V S ABC 的概率是( ) A ．78 B ．34 C ．12D ．14A [当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.]2．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F AMCD 内的概率为( )A ．34B ．23 C ．13D ．12D [由题图可知V F AMCD ＝13×S四边形AMCD×DF ＝14a 3，V ADF BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F AMCD内的概率为14a 312a 3＝12.][规律方法] 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.1．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34B [如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.]2．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A ．710B ．58C ．38D ．310B [如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.]3．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m nC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.]六概率与统计中的高考热点问题[命题解读] 1. 统计与概率是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载体，注重考查学生的数学建模及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心. 统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，统计与概率内容相互渗透，背景新颖．统计与统计案例以统计图表或文字叙述的实际问题为载体，通过对相关数据的分析、抽象概括，作出估计、判断. 常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力与运算能力及应用意识．【例1】已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人．(1)求n的值；(2)规定60分以下为不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助独立性检验分析能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“本次测试的及格情况与性别有关”？附：P(χ2≥x0)0.100.050.0100.005 x0 2.706 3.841 6.6357.879χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.[解](1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧10×0.035＋0.025＋c ＋2b ＋a ＝1，2b ＝a ＋c ，解得b ＝0.01.因为成绩在[90,100]内的有6人， 所以n ＝60.01×10＝60.(2)由于2b ＝a ＋c ，而b ＝0.01，可得a ＋c ＝0.02，则不及格的人数为0.02×10×60＝12，及格的人数为60－12＝48，设及格的人中，女生有x 人，则男生有x －4人，于是x ＋x －4＝48，解得x ＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．于是本次测试的及格情况与性别的2×2列联表如下：及格 不及格 总计 男 22 8 30 女 26 4 30 总计481260所以χ2＝60×22×4－8×26230×30×48×12＝1.667＜2.706，故不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“本次测试的及格情况与性别有关”．[规律方法] 独立性检验的方法 (1)构造2×2列联表； (2)计算χ2；(3)查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．易错提示：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的临界值与求得的χ2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p ，所以其有关联的可能性为1－p .近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：(1)请将如图的列联表补充完整．若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？(2)为了研究患三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量χ2，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．患三高疾病 不患三高疾病总计 男630女 总计36下面的临界值表供参考：P (χ2≥x 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )[解] (1)完善补充列联表如下：患三高疾病不患三高疾病总计 男 24 6 30 女 12 18 30 总计362460在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14，所以女性应该抽取12×14＝3(人)．(2)根据2×2列联表，则 χ2＝60×24×18－6×12230×30×36×24＝10＞7.879.所以可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．常见概率模型的概率概率. 解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或对立事件的概率求解．【例2】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数216362574(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．[解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.[规律方法] 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖，其余结果为不中奖．(1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率．[解] (1)记“中二等奖”为事件A ．从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．记两个小球的编号之和为x ，由题意可知，事件A 包括两个互斥事件：x ＝5，x ＝6. 事件x ＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}，故P (x ＝5)＝210＝15；事件x ＝6的取法有1种，即{2,4}，故P (x ＝6)＝110.所以P (A )＝P (x ＝5)＋P (x ＝6)＝15＋110＝310.(2)记“不中奖”为事件B ，则“中奖”为事件B ，由题意可知，事件B 包括三个互斥事件：中一等奖(x ＝7)，中二等奖(事件A )，中三等奖(x ＝4)．事件x ＝7的取法有1种，即{3,4}，故P (x ＝7)＝110；事件x ＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种，故P (x ＝4)＝210＝15.由(1)可知，P (A )＝310.所以P (B )＝P (x ＝7)＋P (x ＝4)＋P (A )＝110＋15＋310＝35.所以不中奖的概率为P (B )＝1－P (B )＝1－35＝25.统计与概率的综合应用统计和概率知识相结合命题统计概率解答题已经是一个新的命题趋向，概率和统计知识初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，在此基础上掌握好样本数字特征及各类概率的计算．【例3】 (本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m 3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7) 频数13249265日用 水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6)频数151310165(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)[信息提取]看到作频率分布直方图，想到作频率分布直方图的作图规则； 看到求概率，想到利用频率分布直方图求概率的方法； 看到估计节水量，想到求使用节水龙头前后的用水量． [规X 解答] (1)如图所示．4分(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m 3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，6分因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率的估计值为0.48.7分 (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x －1＝150(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x －2＝150(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.11分估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m 3).12分 [易错与防X] 作频率分布直方图时注意纵轴单位是“f iΔx i”，计算平均数时运算要准确，避免“会而不对”的失误．[通性通法] 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)你能否估计哪个班级平均每周上网时间较长？(2)从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a >b 的概率．[解] (1)A 班样本数据的平均值为15(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估计A 班学生每周平均上网时间为17小时；B 班样本数据的平均值为15(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估计B 班学生每周平均上网时间为19小时． 所以B 班学生上网时间较长．(2)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为9,11,14，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为11,12,21.从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同的情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中a >b 的情况有(14,11)，(14,12)，2种，故a >b 的概率P ＝29.[大题增分专训]1．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数 段(分) [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] 总计 频数b 频率 a0.25(1)求表中a ，b 的值及成绩在[90,110)X 围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)X 围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．[解] (1)由茎叶图知成绩在[50,70)X 围内的有2人，在[110,130)X 围内的有3人，∴a ＝0.1，b ＝3.∵成绩在[90,110)X 围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成绩在[90,110)X 围内的样本数为20×0.4＝8. 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P ＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)所有可能的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21个，取出的两个样本中数字之差小于或等于10的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10个，∴P (A )＝1021.2．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x (℃)101113128程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x .)[解] (1)设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种，所以P (A )＝1－410＝35，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率为35. (2)由数据，求得x ＝13×(11＋13＋12)＝12，y ＝13×(25＋30＋26)＝27，∑3i ＝1x i y i ＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑3i ＝1x 2i ＝112＋132＋122＝434，所以b ＝∑3i ＝1x i y i －3x y∑3i ＝1x 2i －3x2＝977－3×12×27434－3×122＝52，a ＝27－52×12＝－3. 所以回归直线方程为y ＝52x －3.(3)当x ＝10时，y ＝22，|22－23|＜2，同理当x ＝8时，y ＝17，|17－16|<2. 所以该研究得到的线性回归方程是可靠的．。
随机事件的概念及其常见概率
随机事件的概念及其常见概率随机事件是指在相同的随机试验中，可以发生也可以不发生的事件。
随机事件的出现是由于试验过程中某些不确定的因素所决定的。
概率是研究随机事件发生规律的一种数学工具。
在概率论中，我们可以通过概率的计算和分析来描述随机事件的可能性和发生规律。
1. 随机事件的概念随机事件是指在一次或多次试验中可能发生的某个结果或一组结果。
每个试验具有明确的标准和确定的结果，但具体的结果却是不确定的。
例如，掷一颗骰子的结果是1、2、3、4、5或6，每个结果都是一种随机事件。
又如，从一副扑克牌中抽取一张牌，每个牌面的出现都是一种随机事件。
2. 随机事件的概率概率是用来度量随机事件发生可能性的数学工具。
概率通常用一个介于0到1之间的实数来表示。
当一个事件必然发生时，其概率为1；当一个事件不可能发生时，其概率为0。
事件发生的可能性越大，其概率就越接近1；事件发生的可能性越小，其概率就越接近0。
对于一个随机事件A，可以用P(A)来表示事件A发生的概率。
概率的计算可以通过以下公式进行：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的样本点数目，N(S)表示全体样本点的数目。
3. 常见概率的计算方法在实际应用中，我们经常需要计算一些常见随机事件的概率。
以下是几种常见的概率计算方法：3.1 事件的等可能性原理当一个试验的样本空间中的样本点具有相同的概率时，每个事件的概率可以通过事件包含的样本点数目与样本空间中的样本点总数之比来计算。
例如，掷一颗普通骰子，事件A为出现偶数点数，事件A的概率可以计算如下：P(A) = N(A) / N(S) = 3 / 6 = 1 / 23.2 事件的排列组合当一个试验的样本空间中的样本点不具有相同的概率时，我们可以利用排列组合的方法来计算事件的概率。
例如，从一副扑克牌中抽取一张红心牌的概率可以计算如下：P(A) = N(A) / N(S) = 26 / 52 = 1 / 23.3 事件的条件概率在一次试验中，如果一个事件A的发生与另一个事件B的发生有关，我们可以定义关于事件B发生的条件下事件A发生的概率为条件概率。
随机事件的概率计算(1)
几何概型计算方法
样本空间
确定所有可能的基本事件 ，构成样本空间，通常是
一个区域或体积。
等可能性
几何概型中，每个基本事 件的发生也是等可能的。
概率计算
事件A发生的概率P(A)等于 事件A包含的度量（如长度 、面积、体积等）与样本 空间的度量之比，即P(A) = m(A)/m(Ω)，其中m(A) 为事件A的度量，m(Ω)为
02
古典概型与几何概型
古典概型计算方法
01
样本空间
02
等可能性
确定所有可能的基本事件，构成样本 空间。
古典概型中，每个基本事件的发生是 等可能的。
03
概率计算
事件A发生的概率P(A)等于事件A包含 的基本事件个数与样本空间的基本事 件个数之比，即P(A) = m/n，其中m 为事件A包含的基本事件个数，n为样 本空间的基本事件个数。
条件概率的性质
条件概率满足概率的所有性质，如非负性、规范性、 可加性等。
事件独立性判断方法
1 2 3
事件独立性定义
如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有 影响，则称事件A与事件B相互独立。
事件独立性判断方法
通过比较P(AB)与P(A)P(B)是否相等来判断事件A 与事件B是否相互独立。如果P(AB) = P(A)P(B) ，则事件A与事件B相互独立。
对立关系
如果两个事件中必有一个发生，且只有一个发生，则称这 两个事件是对立的。
概率定义及性质
概率定义
在相同条件下，随机事件A发生的可能性大小的度量。
概率性质
非负性、规范性、可加性。其中，非负性指任何事件的概率都不能是负数；规 范性指样本空间的概率等于1；可加性指对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A+B)=P(A)+P(B)。
西北工业大学《概率论与数理统计》1-3 随机事件的概率
请同学们思考?
医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重 , 在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人
被这个消息吓得够呛时, 医生继续说“但你是幸运的。 因为你找到了我, 我已经看过九个病人了, 他们都死 于此病.”
医生的说法对吗?
二、概率的统计定义
1.定义1.2 nA 在随机试验中,若事件A出现的频率 随 n 着试验次数n的增加,趋于某一常数p ,0 p 1, 则定义事件A的概率为p ,记作P(A)=p . 2. 性质1.1 (概率统计定义的性质) (1) 对任一事件A ,有 0 P ( A) 1;
在N(n≤N)间房中的每一间中，试求下列各事件
的概率： (1) 某指定n间房中各有一人； (2) 恰有n间房，其中各有一人； (3) 某指定房中恰有m (m ≤n)人.
解 1º 先求样本空间所含的样本点总数.
分析
把n个人随机地分到N个房间中去, 每一 种分法就对应着一个样本点(基本事件)， 由于每个人都可以住进N间房中的任一 间，所以每一个人有N种分法, n个人共
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的
f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅
度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动,
且逐渐稳定于 0.5.
实验者
n
2048 4040 12000 24000
成 f n ( A).
2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则
(1) 0 f n ( A) 1;
(2) f (Ω) 1, f ( ) 0;
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第三节随机事件简单概率的计算及应用,河北8年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2015选择13 概率的计算以掷一枚正方体骰子为背景，求点数的概率2 22014选择11 概率的计算以频率估计概率及折线统计图为背景，判断符合实验的概率3 32013填空17 概率的计算与正方体结合，考查正方体某顶点与桌面接触的概率3 32012选择 6事件可能性的判断以掷一枚硬币为背景，2,河北8年中考真题及模拟)事件的分类(2次)1．(2009河北7题2分)下列事件中，属于不可能事件的是()A．某个数的绝对值小于0B．某个数的相反数等于它本身C．某两个数的和小于0D．某两个负数的积大于02．(2008河北8题2分)同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)．下列事件中是必然事件的是()A．两枚骰子朝上一面的点数和为6B．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2C．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数D．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数概率的计算(6次)3．(2012河北6题2分)掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是()A．每2次必有1次正面向上B．可能有5次正面向上C．必有5次正面向上D．不可能有10次正面向上4．(2015河北13题2分)将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是()A.12B.13C.15D.165．(2013河北17题3分)如图，A 是正方体小木块(质地均匀)的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A 与桌面接触的概率是________．6．(2012河北16题3分)在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为________．,(第6题图)) ,(第7题图))7．(2010河北15题3分)在猜一商品价格的游戏中，参与者事先不知道该商品的价格，主持人要求他从如图所示的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是360元，那么他一次就能猜中的概率是________．8．(2011河北21题8分)如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有－1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停止在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数(若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形)．(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法(或画树状图)求两人“不谋而合”的概率．统计与概率结合(3次)9．(2014河北11题3分)某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是()A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是410．(2009河北21题9分)某商店在四个月的试销期内，只销售A、B两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，只能经销其中的一个品牌，为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图①和图②.(1)第四个月销量占总销量的百分比是________；(2)在图②中补全表示B品牌电视机月销量的折线图；(3)为跟踪调查电视机的使用情况，从该商店第四个月售出的电视机中，随机抽取一台，求抽到B品牌电视机的概率；(4)经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店应经销哪个品牌的电视机．11．(2008河北20题8分)某种子培育基地用A，B，C，D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为95%，根据实验数据绘制了图①和图②两幅尚不完整的统计图．(1)D型号种子的粒数是________；(2)请你将图②的统计图补充完整；(3)通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广；(4)若将所有已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到B型号发芽种子的概率．,中考考点清单)事件的分类概率及计算(高频考点)概率及计算近8年考查8次，为河北中考每年必考的题目，题型以选择、填空题为主，解答题中也有涉及．考查类型有以下3种：1.用频率估计概率；2.单纯概率的计算；3.和统计图表的分析结合考查．1．定义：用一个数刻画随机事件A 发生的可能性大小，这个数叫做事件A 的概率． 2．计算方法(1)试验法：如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为P (A )＝______．(2)列表法：当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法列出所有可能的结果，再根据公式计算．(3)画树状图：当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图表示出所有可能的结果，再根据公式计算．【方法技巧】1.数字类求概率的问题，可以用概率公式求解，即P (A )＝mn ，其中n 为所有事件发生的总次数，m 为事件A 发生的总次数；2．摸球类概率的求法是用枚举法．枚举所有可能出现的结果时，要做到不重不漏，在计算概率时，关键是确定所有可能的结果数和可能出现的结果数，再用某个事件的可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；3．几何图形中阴影部分的事件的概率求法是求出阴影部分面积占总面积的几分之几，那么其概率就是几分之几；4．在重复试验计算概率的题中，第一次取出后放回，然后第二次再取出计算概率，做这类考题时要注意两次取得的结果总数是一致的，如果不放回，那么第二次取出的结果的总数比第一次少一种情况；5．与代数、几何知识相结合的概率题其本质还是求概率，只不过是需要应用代数和几何的方法确定某些限制条件的事件数．一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形，再求出满足所涉及知识的情形，进一步求概率．频率与概率之间的关系3．频率：做n 次重复实验，如果事件A 发生了m 次，那么数m 叫做事件A 发生的频数，比值mn 叫做事件A发生的频率．4．用频率估计概率：事件A 的频率稳定到它的概率，或者说概率是频率的稳定值．在实际中，我们常用比较稳定时的频率估计事件的概率，而实验次数越多，得到概率较精确的估计值的可能性越大．,中考重难点突破)事件的判断【例1】(2015茂名中考)下列说法正确的是( ) A ．哥哥的身高比弟弟高是必然事件 B ．今年中秋节有雨是不确定事件C ．随机掷一枚均匀的硬币两次，都是正面朝上是不可能事件D ．“彩票中奖的概率为15”表示买5张彩票肯定会中奖【解析】1．(2015桂林中考)一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是()A．摸出的4个球中至少有一个是白球B．摸出的4个球中至少有一个是黑球C．摸出的4个球中至少有两个是黑球D．摸出的4个球中至少有两个是白球概率的计算【例2】(2015安徽中考)如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1.(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？(2)小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率．【解析】(1)管中有三根绳子，所以小明从中任取一根，则有3种情况，且三根绳子被抽中的机会均等，根据概率公式即可求解．(2)由题意知，从左边A、B、C三个绳头中随机选2个打一个结，共有3种情况，而右边也有3种情况，通过列表或画树状图法即可表示出所有可能结果及连成一条线的可能性，利用概率公式即可求解．【学生解答】2．(2014聊城中考)如图，有四张卡片(形状、大小和质地都相同)，正面分别写有字母A、B、C、D和一个不同的算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张卡片，这两张卡片上的算式只有一个正确的概率是________．2－3＝1 A2×（－3）＝－6B（－3）2＝6C统计与概率结合【例3】(2014烟台中考)2014年世界杯足球赛6月12日～7月13日在巴西举行，某初中学校为了了解本校2400名学生对本次世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和关注程度，分别绘制了条形统计图(图①)和扇形统计图(图②)．(1)四个年级被调查人数的中位数是多少？(2)如果说初一年级学生的年龄为12岁，初二年级的学生为13岁，初三年级的学生年龄为14岁，初四年级的学生年龄为15岁，那么被抽查学生的平均年龄为多少岁？(3)如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本届世界杯的学生大约有多少名？(4)在这次调查中，初四年级共有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．【解析】(1)根据条形统计图中的数据，找出中位数即可；(2)由每个年级的人数以及年龄求出总岁数，再以平均数概念求解即可；(3)根据扇形统计图找出关注本届世界杯的百分比，乘以2400即可得到结果；(4)根据题意可通过画树状图，找出恰好是甲与乙的情况，即可确定出所求概率．【学生解答】3．(2015广东中考)老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．(1)补全小明同学所画的树状图；(2)求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．,中考备考方略)1．(2015随州中考)下列说法正确的是( ) A ．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件B ．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件C ．了解我国青年人喜欢的电视节目应做全面调查D ．甲、乙两组数据，若s 2甲＞s 2乙，则乙组数据波动大2．(2015襄阳中考)下列说法中正确的是( )A ．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B ．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件C ．“概率为0.0001的事件”是不可能事件D ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次3．(2015廊坊一模)一个不透明的袋子里的两个红球和两个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是( )A.12B.13C.14D.164．(2015上海中考)某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是________．5．(2015苏州中考)如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为________．6．(2015丽水中考)有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是________．7．(2015德州中考)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转．如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是( )A.47B.49C.29D.198．(2015保定二模)一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－2，1，4，随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p ，再随机摸出一个小球，其数字记为q ，则满足关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有实数根的概率是( )A.14B.23C.12D.139．(2015株洲中考)从2，3，4，5中任意选两个数，记作a 和b ，那么点(a ，b )在函数y ＝12x 图像上的概率是( )A.12B.13C.14D.1610．(2015自贡中考)如图，随机闭合开关S 1、S 2、S 3中的两个，则灯泡发光的概率是( ) A.34 B.23 C.13 D.1211．(2015温州中考)一个不透明的袋子中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余都相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是________．12．(2015呼和浩特中考)如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD 内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是________．13．(2016原创预测)现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同．若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是________．14．(2015苏州中考)一个不透明的口袋中装有2个红球(记为红球1、红球2)、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．(1)从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是________；(2)先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法(画树状图或列表)求两次都摸到红球的概率．15．(2015广州中考)4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；(3)在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？16．(2015随州中考)为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族音乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如下图(每人只能选择一个小组)：(1)报名参加课外活动小组的学生共有________人，将条形图补充完整；(2)扇形图中m＝________，n＝________；(3)根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明．。