一元函数的导数公式和微分

一、一元函数微分学

一元函数微分学由导数和微分组成。导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。 二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C

(2) 1)(-='μμμx x

(3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='

(8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(='

(10) (e )e x x '=

(11) a x x a ln 1)(log =

'

(12) x x 1

)(ln =

'，

(13) 2

11)(arcsin x x -=

'

(14) 2

11)(arccos x x --

='

(15)

2

1(arctan )1x x '=+

(16)

2

1(arccot )1x x '=-

+

三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)(

（2） u C Cu '=')(（C 是常数）

（3）

v u v u uv '+'=')(

（4）

2v v u v u v u '-'=

'

⎪⎭⎫ ⎝⎛

四、反函数求导法则

若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =

在对应区间x I 内也可导，且

)(1

)(y x f ϕ'=

'

或

dy

dx

dx dy 1=

五、复合函数求导法则 设)(u f y =

，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数

)]([x f y ϕ=的导数为

dy dy du dx du dx =

或()()y f u x ϕ'''=

六、高阶导数的莱布尼兹公式

七、隐函数的导数

一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程

()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.

对数求导法

根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，

22234241433339t

t t t t e d dt e e e dx dt dx e dt

--⎛⎫=-⋅=-== ⎪-⎝⎭

2

2223t d y d dy d e dx dx dx dx ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此称为对数求导法.幂指函数的一般形式为()0v y u u =>，其中

,u v 是x 的函数.

八、由参数方程所确定的函数的导数

一般地，如果参数方程

()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩

，（t 为参数） 确定y 与x 之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.

如果函数()t x ϕ=，()t y ψ=都可导，且()0≠'t ϕ，又()t x ϕ=具有单调连续的反函数()x t 1-=ϕ，则由参数方程所确定的函数可以看成()t y ψ=与()x t 1-=ϕ复合而成的函数()[]x y 1-=ϕψ，根据复合函数与反函数的求导法则，有

()()

t t dt

dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，

即

()()

t t dx dy ϕψ''= ， 也可写成 dt

dx

dt

dy dx dy

=.

求方程32t

t

x e

y e

-⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数的二阶导数22d y

dx

.

解 ()

()

t

t t t t e e

e e e dx dy 2323232-=-=''

=--，

注意二阶导的求法。 九、微分 1、定义 设函数)(x f y =

在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在此区间

内，如果函数的增量

)()(00x f x x f y -∆+=∆

可表示为

)(x o x A y ∆+∆=∆

其中A 是不依赖x ∆的常数，那么称函数)(x f y =在点0x 点可微的，

而x A ∆叫做函数)(x f y =

在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作

dy ，即

x A dy ∆= dx x f dy )('=

2、可微与可导关系

对一元函数而言，函数的可微性与可导性是等价的 结论

)(x f y =在点0x 处可微⇔)(x f y =在点0x 处可导，且A x f =')(0，由此x x f dy ∆'=

)(0。

主部的定义

)(x o dy y ∆+=∆