四川大学物理习题册第五章解答2

的场强不能直接由高斯定理求出．
S
r
S面上各点场强与两带电体均有关. A +q
B -q
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
4. 如图，CDEF为一矩形，边长分别为l和2l．在DC延 长线上CA=l处的A点有点电荷+q，在CF的中点B点有点 电荷-q，若使单位正电荷从C点沿CDEF路径运动到F点, 则电场力所作的功等于：
为常数，则场强分布为 Ex=
，Ey=
.
U Ex x 2Ax
Ey
U y
2By
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
三、计算题 1. 如图,带电细线弯成半径为R的半圆形，
电荷线密度为=0sinq，式中0为一常数，q为半径R与
x轴所成的夹角．试求环心O处的电场强度．
由电势的叠加原理有，
o
1
2
3

q
2q 3q
4 0d

4
6q 0 a
3 3q
3 2 0a
3q
Ae

o
Q

E
dl

Qo


3 3Qq
2 0a

Aex
a
a
O
q
a
2q
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
8．空间某一区域的电势分布为=Ax2+By2，其中A、B

1-1q题图
4 0 5l

真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
5．已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到 一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几 点结论，其中哪点是正确的？
(A) 电场强度EM＜EN． (B) 电势M＜N．
(C) 电势能WM＜WN． (D) 电场力的功A＞0．
而停止．
(B)沿逆时针方向旋转至 p 沿径向指向球面，同时沿
电场线方向向着球面移动．
(C) 沿逆时针方向旋转至 p 沿径向指向球面，同时
逆电场线方向远离球面移动．
(D) 沿顺时针方向旋转至 p 沿径向朝
+
外，同时沿电场线方向向着球面移动．
- p
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
3. 如图，A和B为两个均匀带电球体，A带电荷+q，B
(A) q 5 1
4 0l 5 l
(C) q 3 1
4 0l 3
(B)
q 1 5
4 0l 5
(D) q 5 1
4 0l 5
D l
C l -q
B wenku.baidu.com A +q
E lF
A
qCF
CF
C
F


qq
4 0l



q
4 0l
面上均匀带电，电荷面密度为s．试求通过小孔中心O并
与平面垂直的直线上各点的场强和电势．（提示：选O 点的电势为零）．
解: 用割补法，该带电体=无限大平面(+s) +圆屏(-s)
由高斯定理可得，无限大平面场强
s E1 2 0 x 由场强叠加原理可得，圆屏场强
E2

s 2 0
1
x

2 0
ln
r2 l2 l r
q ln r 2 l 2 l
dz
4 0l
r
Er

r

q
l r2 l2

4 0r r 2 l 2 l r 2 l 2
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
一、选择题
√1．有一边长为a的正方形平面，在
其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，
如图所示，则通过该平面的电场强度通量为
q
(A) 3 0
q
(B) 4 0
q
(C) 6 0
q
(D) 3 0
以点电荷为中心构建一立方体，正方形为其一底面。
解: 在细线取一线段元,由点电荷的场强公式有
d
E

dq
4 0R2
er

0
sinq Rdq 4 0R2
cosq i sinq j
y E
dE
0

sinq cosq i sin2 q j dq
4 0R 0
Rdq
R


sinq cosqdq 0, sin2 qdq 2
由高斯定理知，通过立方体6个底面组成的高斯面的电 通量为
a
E d S 6s q 0 a O a/2 q
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
2．在一个带有负电荷的均匀带电球外，放置一电偶极
子，其电矩 的方向如图所示．当电偶极子被释放后，该
电偶极子将
(A) 沿逆时针方向旋转直到电矩 p 沿径向指向球面
Q
dr Q ln a l
a
a 4 0r
4 0 a
r dr
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
9. 如图，电量q均匀分布在沿z轴放置的长为2l的直杆上.
求直杆的中垂面上距离杆中心O为r处的P(x,y,0)点电势，
并用电势梯度法求电场强度E.
解:
P

l
2
0
dz 4 0 (r 2 z2 )1/ 2
r
Cr 4r 2dr
E 4r 2 0 0

E

Cr 2
4 0
er
r>R时:
R
E 4r 2 Cr 4r 2dr
0
0
E

CR 4
40r 2
er
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
r R,
E

Cr 2
4 0
er
r R,
CR4
E 40r 2 er
带电荷-q，作一与A同心的球面S为高斯面．则
(A) 通过S面的电场强度通量为零，S面上各点的场
强为零。
(B) 通过S面的电场强度通量为q/0，S面上场强的
大小为E=q/(40r2)．
(C) 通过S面的电场强度通量为(-q/0)，S面上场强
的大小为E=q/(40r2)．
(D) 通过S面的电场强度通量为q/0，但S面上各点
x2
r02

真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
s E1 2 0
取x轴正方向为正
E2

s 2 0
1
x
x2

r02

x 0,
E

E1

E2

s 2 0

s 2 0
1
x x2
r02


2 0
sx
x2 r02
x 0,
电场线密处,电场强度大.
电场线由高电位指向低电位.
-q
EM EN ,
M N ,
MN 0 M
N
Wp q p A qMN 0 1-2 题图
真空中的静电场（二）
二、填空题
第五章 真空中的静电场
1．如图，一半径为R的带有一缺口的细圆环，缺口长
度为d（d<<R）．环上均匀带正电，总电量为q．则圆
0
2 0
2 0
da
Ex
dEx
dE
cosa

2

s
0
cos2
ada
0 2 0
s0 2 0
dE
Ey
dEy
dE
sin a

2

s
0
sin
2ada
0 4 0
0
E

Ex i

Ey
j


s0 2 0
i
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
8. 如图，半径为R的均匀带电球面，带有电荷Q。沿某一
半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度
为l，细线左端离球心距离为a，设球和线上的电荷分布 不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和 细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）．
解: 由高斯定理可得球面电荷电场
r
4r 2 E
3. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为
r= Cr (r≤R,C为常量）r= 0 (r>R)
试求：(1) 带电球体的总电荷； (2) 球内、外各点的电场
强度； (3) 球内、外各点的电势.
解:
R
R
1）Q rdV r4r2dr 4Cr3dr CR4
0
0
2） r≤R时:
Q
0

E

Q
4 0r 2
dr 细线所受球面电荷的电场力
F
dF

al a
Q dr 4 0r 2

Ql
4 0aa
l
真空中的静电场（二） Q
E 4 0r 2 细线在该电场中的电势能
第五章 真空中的静电场
al
al
W dW dq
3）
p
P
E
dl




r R

r
CR 4
CR 4
40r 2 dr 40r
Cr 2
CR4
4 0
dr
R
4 0r 2
dr
r R
4CR3 Cr 3
12 0
R r
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
6. 如图，一无限大平面中部有一半径为r0的圆孔，设平
q
0
0
dE O
x
3-2 题图
E 0 j 8 0 R
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
2. 如图，一无限长圆柱面，其面电荷密度为s=s0cosa， 式中a为半径R与x轴所夹的角，试求圆柱轴线上一点的
场强．
解: 无限长圆柱面可以分为很多无限长条形面元，由
高斯定理有
2Rh dE s h Rda dE sda s 0 cosada
心O处的场强大小E＝
．场强方向为
．
指向缺口 E 缺环 E 整环 E 缺口 0 E 缺口 E 缺口
E缺口

d 4 0R2

2
q
R

d


d
4 0
R
2

qd
8 2 0R3
R
o
d
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场
7．图示为一边长均为a的等边三角形，其三个顶点分 别放置着电荷为q、2q、3q的三个正点电荷，若将一电 荷为Q的正点电荷从无穷远处移至三角形的中心O处， 则外力需作功A＝__________．
E
E1
E2
sx


s 2 0

s 2 0
1
x
2 0 x2 r02
取O点为电势零点
x
x2
r02

O
0
E dl
P
x 2 0
sx dx s
x2 r02
2 0
r0
x2 r02
真空中的静电场（二）
第五章 真空中的静电场