初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲
(孟老师归纳)
一：比例的性质及平行线分线段成比例定理
（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比
3 2.
合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0
则…………a c e m b d f n a b m n k ++++++++===
4、黄金分割：
把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB
n
m
b a =
和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2
15-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线
段成比例.
如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到
= . = ，= ，
语言描述如下：
= ， = ， = .
（4）上述结论也适合下列情况的图形：
图（2） 图（3） 图（4） 图（5）
2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得
的对应线段成比例.
l 3l 2l 1A B C D E E D
C B A
D E
B C A l 1l 2l 3A B C D E
A 型
X 型
由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
如上图：若 = . = ，=
，则AD ∥BE ∥CF
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.
4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三．
角形的三边．．．．．与原三角形三边．．．．．．
对应成比例. 二：相似三角形：
（一）：定义：
1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

用符号
“∽”表示，
2：相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

（二）：.相似三角形的判定定理：
1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，
所截成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：
∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型 斜三角形 直角三角
形全等三角形的
判定SAS SSS
AAS
（ASA）
HL
相似三角形
的判定两边对
应成比
例且夹
角相等
三边对
应成比
例
两角对
应相等
一条直角
边与斜边
对应成比
例
2：两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);
用数学语言表述如下：
∵∠A＝∠D，∠B＝∠E∴△ABD∽△DEF
3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
用数学语言表述如下：
∵AB
DE ＝
AC
DF
∴△ABD∽△DEF
4：三边对应成比例的两个三角形相似;
用数学语言表述如下：
∵AB
DE ＝
AC
DF
＝BC
EF
∴△ABD∽△DEF
5：直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.
用数学语言表述如下：
∵∠C＝∠F ＝90°AB
DE ＝
AC
DF
∴△ABD∽△DEF
6：直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直
角三角形相似
（即：射影定理）.
2、相似三角形的基本图形
Ⅰ.平行线型：即A 型和X 型。

Ⅰ.相交线型
下图1：若△ABC ∽△DCB, 则2AB ＝AD.AC (此类型比例式最常用)
（
三）:
相似三角形的性质
1: 相似三角形的对应角相等，对应边成比例
2: 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等
于相似比
3: 相似三角形周长的比等于相似比
4: 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比
（或相似系数）
（2）相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
C
E D
B A
C A
D B. C B
D E
A
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比
④相似多边形面积的比等于相似比的平方
四、位似图形
1：定义1：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。

定义2：由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。

利
用位似变换可以把一个图形放大或缩小
2。