离散数学第14章——图论
离散数学_图论123页PPT
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
Hale Waihona Puke 离散数学_图论1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
《离散数学图论》课件
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
离散数学-图论
图论
补图
• 给定一个图G=〈V，E〉，构造另一个图， 它的结点集合与G相同，而边的集合则为 相同完全图中边集合与E的差集，称该图 为原图G相对于完全图的补图，记作~G。
图论
子图
• 设G=〈V，E〉是一个图，如果有另一个 图G‘=〈V’，E‘〉，使得V’是V的子集， E‘是E的子集，则称G‘是G的子图。 • 如果G的子图G‘包含G的所有结点，则称 该子图为G的生成子图。
图论
可达性矩阵
• 设G=〈V，E〉是图，V={v1, v2,…, vn}， 建立n阶方阵P(G)=(aij)，使得 aij =1， 从vi到vj至少存在一条路； aij =0，否则， 则称P(G)为图G的可达性矩阵。 比较：可达性矩阵与邻接矩阵的区别
图论
思考
• 邻接矩阵与可达矩阵之间有什么联系？ • 如何从邻接矩阵计算出可达矩阵？
图论
邻接边
• 关联于同一结点的两条不同的边则称为 邻接边。 • 关联于同一结点的两条相同的边则称为 自回路或环。环既可以是有向的，也可以 是无向的。
图论
有向图的度
• 设〈vi, vj〉是有向图G=〈V，E〉中的任 意一条有向边， vi是该边的起始结点， vj是终止结点。 • 在有向图G=〈V，E〉中，以一结点为起 始结点的边的个数称为该结点的出度； 以一结点为终止结点的边的个数称为该 结点的入度。 • 一结点的出度和入度之和称为该结点的 度数，记作deg(v)。
图论
思考
• 结点的连通性是结点集V上的一个等价关 系！ • 连通性所划分的等价类是什么？
图论
点割集
• 设无向图G〈V，E〉为连通图，若有点 集V1是V的真子集，使得图G在删除了V1 中所有结点后，所得的子图是不连通的， 而在删除了V1的任意真子集后，所得的 子图仍然是连通的，则称V1是G的一个点 割集； • 如点割集中仅有一个结点则称此结点为 割点。
离散数学第十四章图论基本概念
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
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几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
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点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
离散数学——图论
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哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
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❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
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图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
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❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
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练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
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❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
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多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
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离散数学 图论-通路与回路
有向图中的每一条初级通路，也都必定是简单通路。 反之不成立 回路也可分为简单回路和初级回路。
3、通路的表示：
可仅用通路中的边序列表示：e1e2…ek 也可仅用通路中所经过的结点的序列表示：v1v2v3…vk
4、性质： 1）定理 在n阶图D中，若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路，则从vi到vj存在长度 小于或等于(n—1)的通路 若大于n-1，则存在相同节点（有回路），将回路删去可得 2）在n阶图D中，若从顶点vi到vj存在通路，则vi到vj一定存在长度小于或等于 n—1的初级通路(路径) 3）定理 在一个n阶图D中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度 小于或等于n的回路． 4）在一个n阶图D中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于或等 于n的初级回路．
（3）A(D)中所有元素之和为D中长度为1的（边）通路总条数。 主对角线的元素值为图中结点vi长度为1 的环的条数
利用A(D)确定出D中长度为L的通路数和回路数,就需要用到邻接矩阵的幂次运算 （4）A2中的元素值bij是结点vi到vj长度为2 的通路条数：
说明：由矩阵的乘积定义 bij = ∑k aik * akj 由此可推断，A3矩阵中的Cij元素值，表示了从到长度恰为3的通路条数目 （5）定理14．11 设A为有向图D的邻接矩阵，V＝{v1，v2，…，vn} 为D的
注：三种图的关系：强连通图一定是单向连通图，反之不成立
单向连通图一定是弱连通图．反之不成立
6、有关强连通图与单向连通图的判定 （1）定理： 设有向图D＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}．
D是强连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路． (2) 定理 设D是n阶有向图
《离散数学之图论》课件
二分图
二分图是指一个图中的所有顶点可 以被分成两个不相交的集合，即两 个集合内的点之间没有边。
树
树是一种特殊的无向图，他是一个 无环连通图。
图的表示
1
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图的最直观的一种方法，它将图中的每个点与其他点之间的连接 关系用一个矩阵来表示。
2
邻接表
邻接表是图中比较常见的一种数据结构，用于存储有向图或无向图中顶点的邻接 关系。
Kruskal算法是一种贪心算
2 自反闭包
3 反对称闭包
在一个有向图中，如果由顶 点i到顶点j有路径，由顶点j 到顶点k有路径，则从i到k也 有路径。这种情况称为传递 闭包。
在一个有向图中，如果自己 只能到自己，则称之为自反 闭包。
在一个有向图中，如果存在 有向边从i到j，同时存在一 个从j到i的反向边，则称之 为反对称闭包。
3
关联矩阵
关联矩阵是一个图矩阵，它将图中的所有点和边都表示为元素，可以将和特定边 相关的点和总结点联系起来。
图的遍历
1 深度优先遍历
深度优先遍历是从图中的起始点开始，递归地访问所有可达的顶点。它通常用堆栈来实 现。
2 广度优先遍历
广度优先遍历是从图中的起始点开始访问每一层可达的顶点。它通常用队列来实现。
最短路径
Dijkstra算法
Dijkstra算法是一种用来求图中单个源点到其他所有点 的最短路径的平均算法。
Floyd算法
Floyd算法是一种用于发现非负权重图中所有点对之间 的最短路径的算法。
最小生成树
1
Prim算法
Prim算法用于寻找加权无向连通图的最小生
Kruskal算法
2
成树，该树包含了关键点并且保证了所有点 都连通。
离散数学中的图论代表知识点介绍
离散数学中的图论代表知识点介绍离散数学是数学的一个分支，它主要研究离散对象以及其离散性质和离散结构。
图论作为离散数学的重要组成部分，以图为研究对象，研究了图的基本概念、图的表示方法以及图的性质和应用。
本文将介绍离散数学中的图论代表知识点。
1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的离散结构，用V表示顶点集合，E表示边集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边是有方向的，而无向图中的边是无方向的。
图中的顶点可以表示为V={v1, v2, v3, ...}，边可以表示为E={(vi, vj)}。
在图中，两个顶点之间有边相连时，称这两个顶点是相邻的。
2. 图的表示方法图可以用多种方式来表示。
常见的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
邻接表则是通过链表的方式来表示图的结构，每个顶点都对应一个链表，链表中存储着与该顶点相邻的顶点。
3. 图的性质图论研究了图的许多性质和特性。
其中一些重要的性质包括连通性、路径、回路、度数、树和连通分量等。
连通性是指图中任意两个顶点之间是否存在路径。
如果图中任意两个顶点都存在路径相连，则图被称为连通图。
反之，如果存在无法通过路径相连的顶点对，则图为非连通图。
连通图中的任意两个顶点之间至少存在一条路径。
路径是指从一个顶点到另一个顶点的顶点序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径是指两个顶点之间边的数量最少的路径。
回路是指路径起点和终点相同的路径。
如果回路中除起点和终点以外的顶点不重复出现，则称为简单回路。
度数是指图中顶点的边的数量。
对于有向图来说，度数分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边和从该顶点指出的边的数量。
树是一种无回路的连通图，它具有n个顶点和n-1条边。
树是图论中一个重要的概念，它有广泛的应用。
连通分量是指图中的极大连通子图，即在该子图中的任意两个顶点都是连通的，且该子图不能再加入其他顶点使其连通。
离散数学图论基本概念解释
离散数学图论基本概念解释离散数学是一个研究离散对象及其关系和操作的数学分支，而图论则是离散数学的一个重要分支，用于研究图结构以及图中各种相关问题。
本文将对离散数学图论的基本概念进行解释。
一、图的定义图是指由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图可以用G=(V, E)来表示，其中V表示顶点集合，E表示边的集合。
顶点之间的连接关系用边来表示，边有可能是有向的或无向的。
二、图的分类1. 无向图：图中的边没有方向，表示顶点之间的无序关系。
无向图可以是简单图（没有自环和重复边）或多重图（包含自环和多条重复边）。
2. 有向图：图中的边有方向，表示顶点之间的有序关系。
有向图也可以是简单图或多重图。
3. 加权图：顶点之间的边带有权重，用于表示边的强度或成本。
加权图可以是无向图或有向图。
三、图的常用术语1. 顶点的度：无向图中与某个顶点连接的边的数量称为该顶点的度。
在有向图中，顶点的度分为出度和入度，分别表示从该顶点出发的边的数量和指向该顶点的边的数量。
2. 路径：在图中，路径是指由一系列顶点和它们之间所连接的边组成的序列。
路径的长度是指路径中经过的边的数目。
3. 连通图：如果图中的任意两个顶点都存在一条路径相连，则称该图为连通图。
如果图非连通，则称为非连通图。
4. 完全图：如果一个无向图的任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为完全图。
完全图有边n(n-1)/2条，其中n表示顶点的数量。
四、图的表示方法1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一种以二维矩阵的形式来表示图的方法。
矩阵的行和列分别表示顶点，矩阵中的元素表示相应的边。
如果两个顶点之间存在边，就用1表示；否则，用0表示。
2. 邻接表：邻接表是一种以链表的形式来表示图的方法。
每个顶点都对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
五、图的遍历算法1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，它从一个初始顶点开始，沿着一条路径一直走到底，然后回溯到上一个顶点，再继续沿另一条路径走到底。
图论——《离散数学》
图论——《离散数学》图论ghj1222⽬录写在前⾯第⼗五章guguguugugugugu第⼗四章图的基本概念14.1 图(1) ⽆序积：A&B={{a,b}|a∈A∧b∈B} ，把⽆序对 {a,b} 记为 (a,b)(2) ⽆向图：⽆向图是⼀个有序的⼆元组G=⟨V,E⟩，V：⾮空有穷集——顶点集，元素称为顶点/节点；E：V&V的⼀个有穷多重⼦集——边集，元素称为⽆向边（边）。
(3) 有向图：D=⟨V,E⟩，E是V×V的⼀个有穷多重⼦集，E的元素称为有向边。
(4) 图：⽆向图和有向图统称。
(5) 阶：图的顶点数；n阶图。
n阶零图：没有边的图N n；平凡图：1阶零图N1（只有1个点、没有边的图）。
空图：没有点的图，记做∅。
标定图：图中每个顶点/每条边有编号的图；⾮标定图。
有向图的基图：把有向图的有向边改为⽆向边得到的⽆向图。
(6) ⽆向图G=⟨V,E⟩，e k=(v i,v j)∈E，v i,v j为e k的端点，e k与v i关联、e k与v j关联。
e k与v的关联次数为1（如果v=v i≠v j或v=v j≠v i）。
为2（如果v=v i=v j，并且称边e k为环（⾃环））。
为0：v≠v i∧v≠v j。
两点相邻：两点⾄少有⼀条边连接；两边相邻：两条边连接了⾄少同⼀个点。
(7) 有向图D=⟨V,E⟩，e k=⟨v i,v j⟩∈E，v i,v j为e k的端点，e k与v i关联、e k与v j关联，v i为e k的始点、v j为e k的终点；如果v i=v j ，称边e k为环（⾃环）。
两点相邻：两点⾄少有⼀条边连接；两边相邻：⼀条边的终点是另⼀条边的始点。
(8) 孤⽴点：没有边关联的点。
(9) ⽆向图：概念⽆向图G=⟨V,E⟩点v的邻域$N_G(v)={u点v的闭邻域¯N G(v)=N G(v)∪{v} 邻域算上他本⾝点v的关联集I G(v) ，与v关联的边的集合(10) 有向图：概念有向图D=⟨V,E⟩后继元集$\Gamma^+_D(v)={u先驱元集$\Gamma^-_D(v)={u点v的邻域N D(v)=Γ+D(v)∪Γ−D(v)点v的闭邻域¯N D(v)=N G(v)∪{v}(11) 平⾏边、重数（重复次数）；多重图：含平⾏边的图；简单图：不含平⾏边、环（⾃环）的图。
离散数学-图论-平面图
1975年4月1日,他发表 了声称只能用五色完成 的地图.
试试用四色?
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作业
作业
P293: 2，5，6 P296: 2，5 b)，7, 5 a) c)
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内部面.
例:面,边界,度,周线,相邻
边界为何不一定是圈?
因为割边的存在
面的度与边数
定理:平面图中面的度与图的边数m满足 fF(G) d(f ) = 2m
计算面的度时, 割边要算2次.
推论:平面图中奇度面数必为偶数.
欧拉公式
定理(欧拉1852):设G是连通平面图,它的顶点 数n, 边数m, 面数r 之间有 n–m+r=2
等号成立G是极大平面图 推论:简单平面图G中存在度小于6的顶点.
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对偶图
定义:给定图G,如下构造的图G*,称为G的对偶 图(dual graph). 1.G中每个面Ri内放一个G*顶点v*i ; 2.对应面Ri和Rj的公共边e,作一条仅与e相交一 次的边e* (v*i,v*j) E(G*); 3.若割边e在面Ri的边界上,则作v*i上仅与e相交 一次的环e*.
例: K5是不可平面图.
K5是结点数最少的不可平面图.
例: K3,3是不可平面图.
K3,3是n6时边数最少的不可平面图.
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Kuratowski定理
加细:在图的边上任意增加一些度为2的顶点.
原图与加细图称为同胚.
定理(Kuratowski):G是可平面图 G没有同胚 于K5和K3,3的子图.
平面图
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平面图
定义:图G若能画在平面上,使任何两条边在顶 点之外都不相交, 就称G可嵌入平面,或称G是 可平面图.否则称不可平面图.
《离散数学》课件第14章图的基本概念
定义14.5（图同构）设两个无向图G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对 于 任 意 的 e=（vi，vj）∈E1 当 且 仅 当 e’=（f(vi)， f(vj)）∈E2，并且e与e’的重数相同，则称G1和G2是 同构的，记作G1≌G2。
若vi=vj，则称ek与vi的关联次 数为2；
若vi不是ek的端点，则称ek与vi 的关联次数为0。
无边关联的顶点称为孤立点 （isolated vertex） 。
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定义(相邻) 设无向图G=<V，E>， 若∃et∈E且et=（vi,vj），则称vi和vj是相邻的 若ek,el∈E且有公共端点，则称ek与el是相邻的。
素称为有向边，简称边。 由定义，有向图的边ek是有序对<vi，vj>，称vi，
vj是ek的端点，其中vi为ek的始点（origin），vj为ek 的终点（terminus）。
当vi=vj时，称ek为环，它是vi到自身的有向边。
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每条边都是无向边的图称为无向图（undirected graph）。
定义(邻接与相邻) 设有向图D=<V，E>， 若∃et∈E且et=<vi,vj>，则称vi邻接到vj，vj邻接 于vi。 若ek,el∈E且ek的终点为el的始点，则称ek与el是相 邻的。
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定义14.4（度） 设G=<V，E>为一无向图，∀v∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度 （degree），记为d(v)。
定理14.2 （有向图握手定理）设D=<V，E>为任 意的有向图，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，则
离散数学中的图论入门
离散数学中的图论入门图论是离散数学的一个重要分支，研究的对象是图。
图是由一些点和连接这些点的边组成的数学模型，可以用来描述现实世界中的各种关系和问题。
本文将介绍图论的基本概念和常见应用，帮助读者初步了解图论的入门知识。
一、图的定义与基本术语图由顶点集合和边集合组成。
顶点集合是图中的点的集合，用V表示；边集合是图中连接顶点的边的集合，用E表示。
图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边是有方向的，表示从一个顶点指向另一个顶点的关系；无向图中的边是无方向的，表示两个顶点之间的关系。
图还可以分为简单图和多重图。
简单图中不存在重复的边和自环（起点和终点相同的边）；多重图中可以存在重复的边和自环。
图中的边可以带权重，表示顶点之间的距离、代价或其他属性。
带权图可以用来解决最短路径、最小生成树等问题。
图的度是指与顶点相关联的边的数量。
对于无向图，顶点的度等于与之相连的边的数量；对于有向图，顶点的度分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边的数量和从该顶点指出的边的数量。
二、图的表示方法图可以用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于稠密图，但对于稀疏图来说，会浪费较多的存储空间。
邻接表是由若干个链表构成的数组，数组的每个元素对应一个顶点，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
邻接表适用于稀疏图，可以有效地节省存储空间。
三、常见的图论算法与应用1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，通过递归的方式依次访问与当前顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有顶点都被访问过为止。
DFS可以用来解决连通性、可达性等问题。
2. 广度优先搜索（BFS）：BFS也是一种用于遍历图的算法，通过队列的方式按层次遍历图中的顶点。
BFS可以用来求解最短路径、网络分析等问题。
3. 最小生成树（MST）：最小生成树是指在连通图中选择一棵生成树，使得树中所有边的权重之和最小。
离散数学图论
如图G1是非连通图， G2是连通图。
G1
G2
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连通分支：设无向图G=<V, E>，V关于顶点之间的 连通关系 的商集 V/ ={V1,V2,…,Vk}，Vi为等价 类，称导出子图G[Vi] (i=1,2,…,k) 为G的连通分 支, 其个数记作p(G)=k。
如： p(G1)=2， p(G2)=1 G是连通图 p(G)=1 n阶零图的连通分支数最多， p(Nn)=n
有圈的长度2。
• 复杂通路和复杂回路： 中的边重复出现。
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14.3 图的连通性
（23）无向图的连通性 设无向图G=<V, E>，u, vV， u与v连通：u与v之间存在通路. 记作uv. 规定uu。 连通关系： ={<u,v>| u,vV且uv}是等价关系。 连通图：平凡图, 任意两点都连通的图。
注意：图的数学定义与图形表示，在同构的意义 下是一一对应的。
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（5）几个特殊的图
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图, 用ek表示无向边或有向边. V(G), E(G) —表示图G的顶点集, 边集.
|V(G)|, |E(G)| —表示图G的顶点数集（阶）和边数.
n 阶图、有限图、零图、平凡图、空图、基图
（6）顶点和边的关联
关联、关联次数、环、孤立点
（7）相邻
vi
vj
点相邻、边相邻
(vi,vj)
ek el
8
（8）邻接
vi
邻接到、邻接于
（9）邻域和关联集
设无向图G, vV(G)
v的邻域、 v的闭邻域、 v的关联集
设有向图D, vV(D)
v的后继元集
西北工业大学《离散数学》课件-第14章
的逆元
12
实例
集合 运算
Z,Q,R 普通加法+ 普通乘法
单位元
0 1
零元 无 0
Mn(R) P(B)
矩阵加法+ 矩阵乘法
并 交 对称差
n阶全0矩阵 n阶单位矩阵
B
无 n阶全0
矩阵
B 无
逆元
x逆元x x逆元x1 (x1给定集合)
X逆元X X的逆元X1 （X可逆）
的逆元为 B的逆元为B X的逆元为X
交与对称差 对可分配 无
10
特异元素：单位元、零元
定义14.7-9 设◦为S上的二元运算, (1) 如果存在el (或er)S，使得对任意 x∈S 都有
el◦x = x (或 x◦er = x)， 则称el (或er)是S中关于◦运算的左(或右)单位元. 若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上 关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元.
2
14.1 代数系统的基本概念
定义14.1 设S为集合，函数f：SSS 称为S上的二元运算， 简称为二元运算．函数 f:S→S 称为S上的一元运算，简 称一元运算. S 中任何元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S 中任何元素的运算结果都属于 S，即 S 对该运算封闭．
离散数学中的图论与组合数学
离散数学中的图论与组合数学离散数学是数学的一个分支领域，研究离散化的结构和对象，而图论和组合数学则是离散数学中的两个重要分支。
本文将探讨图论和组合数学的基本概念和应用。
一、图论图论是研究图及其性质和应用的数学分支。
图是由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
具体来说，图由顶点的集合和边的集合构成，顶点间的边表示了它们之间的关系。
1.1 图的基本概念在图论中，我们经常会遇到以下几个基本概念：顶点：图中的一个节点或一个元素，用于表示一个实体或一个抽象的对象。
边：连接顶点的线段，表示顶点之间的关系。
路径：由边连续连接的顶点序列。
回路：起点和终点相同的路径。
距离：两个顶点间的路径长度。
连通性：图中任意两个顶点之间存在路径。
1.2 图的应用图论在现实生活和计算机科学中都有广泛的应用，其中一些重要的应用包括：网络分析：图论可用于分析社交网络、互联网和公共交通网络等复杂的网络结构。
电路设计：图论可以帮助设计电路和优化电路的布局。
路线规划：图论可应用于解决最短路径和旅行商问题等。
二、组合数学组合数学是一门研究离散结构的数学分支，主要研究离散对象的计数、排列、组合和选择等问题。
它涉及到排列组合、图论、图表以及递归等数学技术。
2.1 排列与组合排列是从给定对象中选取若干个并按照特定顺序排列的方式，而组合则是从给定对象中选取若干个但不考虑顺序的方式。
排列与组合的计数问题在实际应用中经常出现，比如：从n个数中选取m个不同的数，有多少种选择方式？从n个人中选取m个人组成一个团队，有多少种不同的团队组合方式？2.2 图论与组合数学的联系图论和组合数学有着紧密的联系，它们互相补充和借鉴。
图的着色问题是图论和组合数学中的一个重要问题。
着色问题可以简单地理解为如何用有限数量的颜色为图中的每个顶点染色，使得相邻的顶点颜色不同。
另一个联系是组合数学中的波利亚定理，它可以用于计算图的数量。
波利亚定理告诉我们，一个n个顶点的图中存在多少个不同的子图。
离散数学中的图论与算法
离散数学中的图论与算法离散数学是研究离散对象以及它们之间的关系和性质的数学学科。
其中，图论作为离散数学的重要分支，探究的是图和网络的理论性质和组合结构，而算法则是图论中用于解决问题和优化策略的重要手段。
一、图论基础图是由边和点构成的一种抽象结构。
在图中，点用圆圈表示，边用连接两个点的线表示。
图分为有向图和无向图两类。
有向图中的边跟一个箭头表示方向，无向图中则没有方向。
图的性质包括连通性、路径、环、度数等。
其中，连通性是指图中任意两点存在一条路径相互连通，路径是一条由边相连的点序列，环是有至少一条边和至少一个点与之相邻的路径。
图的度数指的是一个点所连接的边的数目，包括入度和出度。
入度是指指向该点的边的数目，出度是指由该点指向其他点的边的数目。
无向图每个点的度数为连接该点的边的数目。
在图中，存在欧拉回路和欧拉路径，它们分别指遍历图中所有边的路径和遍历所有点和边的路径。
二、图的表示图可以用邻接矩阵、邻接链表或关联矩阵表示。
邻接矩阵用一个二维数组表示，其中行列代表点，值代表边的存在与否。
邻接链表则将每个点的连边保存在链表中，关联矩阵表示的则是点和边的关系，每列代表一个边，每行代表一个点，值代表点和边之间的关系。
三、算法在图论中，不同的算法可以用于不同的问题，包括最小生成树、最短路径、网络流等。
最小生成树是指将一个连通带权图生成一颗生成树的权值和最小。
Prim算法和Kruskal算法是常见的最小生成树算法。
其中，Prim算法是以一个点为起点，每次选取与树中其他点距离最近的点并加入树中，直到生成一颗包括所有点的生成树；而Kruskal算法则是将边按权值从小到大排序，然后每次选取能够连接两个不在同一集合中的最小边。
最短路径算法是指求解两个节点之间最短路径长度的算法，包括Dijkstra算法和Floyd算法。
其中，Dijkstra算法是从起点出发，依次确定到每个节点的最短路径长度，直到到达目标节点；而Floyd算法则是对于所有点对之间的距离进行更新，最终得到任意两点之间的最短路径长度。
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定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
本定理的证明类似于定理14.1
பைடு நூலகம்
推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数. 证 设G=<V,E>为任意图，令
• 注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙） 的意义下是一一对应的
相关概念 1. 图
① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图 2. n 阶零图：一条边也没有的图称为零图 3. 平凡图：1阶零图 4. 空图——：顶点集为空集的图 5. 用 ek 表示无向边或有向边
简单性质：边数
(2) n (n1)阶有向完全图——每对顶点之间均有两条 方向相反的有向边的有向简单图.
关联一对顶点的无向边多于1条，则称这些边为平 行边。 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） (3) 多重图：含平行边的图 (4) 简单图：不含平行边也不含环的图
三、顶点的度数及握手定理 定义14.4
(1) 设G=<V,E>为无向图, vV, 称v 作为边的端点 的次数之和为 v的度数，记作d(v)，简称度
第四部分 图论
本部分主要内容 图的基本概念 欧拉图、哈密顿图 树
第十四章 图的基本概念
• 主要内容 •图 • 通路与回路 • 图的连通性 • 图的矩阵表示 • 图的运算
第一节 图
一、无向图与有向图的定义 定义14.1 无向图G = <V,E>, 其中 (1) V 为顶点集，元素称为顶点 (2) E为VV 的多重集，其元素称为无向边，简称边
6. 顶点与边的关联关系 ① 关联、关联次数 ②环 ③ 孤立点
7. 顶点之间的相邻与邻接关系
8. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图)
② vV(D) (D为有向图)
9. 标定图与非标定图 10. 基图：将有向图的各条有向边改成无向边后 所得到的无向图称为这个有向图的基图
二 多重图与简单图 定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数：在无向图中，如果
实例
设 V = {v1, v2, …,v5}, E = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3),
(v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 则 G = <V,E>为一无向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重 子集，图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和E
• 判断两个图同构是个难题
(1)
(2)
(3)
(4)
图中，(1)与(2)不同构（度数列不同），(3)与(4)也不同构.
(1)
(2)
• 图中(1)与(2)的度数列相同，它们同构吗？为 什么？
五、完全图与竞赛图 定义14.6 (1) n (n1) 阶无向完全图——每个顶点与其余顶点
均相邻的无向简单图，记作 Kn.
(2) 设D=<V,E>为有向图, vV, d+(v)——v的出度：以v为始点的次数之和 d(v)——v的入度：以v为终点的次数之和 d(v)——v的度或度数
(3) (G) ：无向图G的最大度 (G)：无向图G 的最小度
(4) +(D)：有向图D的最大出度 +(D)：有向图D的最小出度 (D)：有向图D的最大入度 (D)：有向图D的最小入度 (D)：有向图D的最大度 (D) ：有向图D的最小度
V1={v | vV d(v)为奇数} V2={v | vV d(v)为偶数} 则V1V2=V, V1V2=，由握手定理可知
由于2m,
均为偶数，所以
为偶数，但因为
V1中顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶 点，其余顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？
(5) 度数为1的顶点称为悬挂顶点，与它关联的边称 为悬挂边
（6）奇顶点度：度为奇数的顶点 偶顶点度：度为偶数的顶点
例 ：求顶点的度，以及图的(G), (G)，+(D), +(D), (D), (D), (D), (D)
2. 图论基本定理 握手定理 定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
并且, (vi,vj)（<vi,vj>）与 (f(vi),f(vj))（<f(vi),f(vj)>）的 重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2.
• 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递 性.能找到多条同构的必要条件，但它们全不是 充分条件：
① 边数相同，顶点数相同; ② 度数列相同; ③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同， 等等 若破坏必要条件，则两图不同构
解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则
d(vi) 2，i =1, 2, …, x， 于是得不等式
32 24+2x 得 x 4, 阶数 n 4+4+3=11.
3. 图的度数列
（1）V={v1, v2, …, vn}为无向图G的顶点集，称d(v1), d(v2), …, d(vn)为G的度数列
为偶数的
• 易知：(2, 4, 6, 8, 10)，(1, 3, 3, 3, 4) 是可图化的， 后者又是可简单图化的，而(2, 2, 3, 4, 5)，(3, 3, 3, 4) 都不是可简单图化的，特别是后者也不是可图 化的
• 定理14.4 设G为任意的n阶无向简单图，则
•
四、图的同构
定义14.5 设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图 (两个有向图)，若存在双射函数f:V1V2, 对于 vi,vjV1, (vi,vj)E1 当且仅当 (f(vi),f(vj))E2 （<vi,vj>E1 当且仅当 <f(vi),f(vj)>E2 )
（2）V={v1, v2, …, vn}为有向图D的顶点集，
D的度数列：d(v1), d(v2), …, d(vn)
D的出度列：d+(v1), d+(v2), …, d+(vn)
D的入度列：d(v1), d(v2), …, d(vn)
（3）非负整数列d=(d1, d2, …, dn)在 情况下可图形化