离散数学第14章 图的基本概念
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
离散数学课件-14-图的基本概念
第十四章图的基本概念§1 图定义设A,B是两个集合，称{{a,b}|a∈A,b∈}B 为A与B的无序积，记为A&B；{a,b}称为无序对。
后面，把{a,b}记为(a,b)，且允许a=b；对无序对(a,b)，有(a,b)=(b,a)。
定义设G =〈V,E〉是一个序偶，其中(1) V是非空集合(2) E⊆V&V，（E中元素可重复出现）则称G是一个无向图。
此时，称V为G的顶点集，记为V(G)，V中的元素称为G的顶点；称E为G的边集，记为E(G)，E中的元素称为G的无向边。
定义设D=〈V,E〉是一个序偶，其中(1) V是非空集合(2) E⊆V×V（E中元素可重复出现）则称G是有向图。
此时，称V为D的顶点集，记为V(D)，V中的元素称为D的顶点；称E为D的边集，记为E(D)，E中的元素称为D的有向边。
图的图示注①有时G既表示无向图又表示有向图，可统称为图。
②若V(G),E(G)均为有穷集，则称G为有限图。
对有限图G，称|V(G)| 为G的阶数。
③对e∈E(G)，称e出现的次数为e的重数，这些相同的边称为平行边（或重边）。
④当V(G)=∅时，称G为空图，记为∅。
⑤ 当E (G )= ∅时，称G 为零图，n 阶零图记为N n ；特别地，称N 1为平凡图。
⑥ 用u ,v ,v 1,v 2,"表示顶点，用e ,e 1,e 2,"表示边，称这样的图为标定图。
否则，称为非标定图。
⑦ 把无向图G =〈V ,E 〉的每条无向边确定一个方向后得到一个有向图D ，称D 为G 的定向图。
反之，去掉有向图D =〈V ,E 〉的每条有向边的方向后得到一个无向图G ，称G 为D 的基图。
⑧ 设G 是一个图，e ∈E (G )。
若e =(v i ,v j ) 或e =〈v i ,v j 〉，则称v i ,v j 为e 的端点，称v i ，v j 与e 是关联的。
当v i ≠v j 时，称e 与v i 或e 与v j 的关联次数为1；当v i =v j 时，称e 为环，e 与v i 的关联次数为2；对 (), ,l l i l j v V G v v v v ∈≠≠，称e 与v l 的关联次数为0。
《离散数学》图基本概念
17
无向图的相邻矩阵
说明: 在无向图中，环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度
为2的圈. 无向简单图中, 所有圈的长度3 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成 长度为2的圈. 在有向简单图中, 所有圈的长度2.
《离散数学》图基本概念
4
通路与回路(续)
定理
在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从 vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
m m
j1 ij
d(vi )
(i 1,2,..., n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平行边的列相同
《离散数学》图基本概念
16
v1 e1
e2
e3
e4 v2
v3
e5
v4
关联次数为可能取值为0，1，2
1 1 1 0 0
M (G ) 0
1
1
1
0
1 0 0 1 2
0
0
0
0
0
《离散数学》图基本概念
《离散数学》图基本概念
10
几点说明： Kn无点割集（完全图） n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E为边割集，则p(GE)=2 若G连通，V为点割集，则p(GV)2
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《离散数学》图基本概念
11
有向图的连通性
设有向图D=<V,E> u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性 D弱连通(也称连通): 基图为无向连通图 有向边改为无向边后是连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
d(u,v)=d(v,u)（对称性） d(u,v)+d(v,w)d(u,w) （三角不等式)
离散数学第十四章图论基本概念
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
20
几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
25
点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
离散数学中的图论基础知识讲解
离散数学中的图论基础知识讲解图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图中的关系。
图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。
本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及一些常见的图论问题等方面进行讲解。
一、图的基本概念图是由顶点和边组成的一种数学结构。
顶点表示图中的元素，边表示元素之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
1. 无向图：无向图中的边没有方向，表示的是两个顶点之间的无序关系。
如果两个顶点之间存在一条边，那么它们之间是相邻的。
无向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示边的集合。
2. 有向图：有向图中的边有方向，表示的是两个顶点之间的有序关系。
如果从顶点A到顶点B存在一条有向边，那么A指向B。
有向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示有向边的集合。
二、图的表示方法图可以用多种方式进行表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。
1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，那么矩阵的第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于表示稠密图，但对于稀疏图来说，会造成空间浪费。
2. 邻接表：邻接表是一种链表的数据结构，用来表示图中的顶点和边。
每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。
邻接表适用于表示稀疏图，节省了存储空间。
三、图的遍历算法图的遍历是指按照某一规则访问图中的所有顶点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
1. 深度优先搜索：深度优先搜索是一种递归的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后递归地访问与它相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
2. 广度优先搜索：广度优先搜索是一种迭代的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后依次访问与它相邻的所有未访问过的顶点，再依次访问与这些顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
离散数学图论基本概念解释
离散数学图论基本概念解释离散数学是一个研究离散对象及其关系和操作的数学分支，而图论则是离散数学的一个重要分支，用于研究图结构以及图中各种相关问题。
本文将对离散数学图论的基本概念进行解释。
一、图的定义图是指由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图可以用G=(V, E)来表示，其中V表示顶点集合，E表示边的集合。
顶点之间的连接关系用边来表示，边有可能是有向的或无向的。
二、图的分类1. 无向图：图中的边没有方向，表示顶点之间的无序关系。
无向图可以是简单图（没有自环和重复边）或多重图（包含自环和多条重复边）。
2. 有向图：图中的边有方向，表示顶点之间的有序关系。
有向图也可以是简单图或多重图。
3. 加权图：顶点之间的边带有权重，用于表示边的强度或成本。
加权图可以是无向图或有向图。
三、图的常用术语1. 顶点的度：无向图中与某个顶点连接的边的数量称为该顶点的度。
在有向图中，顶点的度分为出度和入度，分别表示从该顶点出发的边的数量和指向该顶点的边的数量。
2. 路径：在图中，路径是指由一系列顶点和它们之间所连接的边组成的序列。
路径的长度是指路径中经过的边的数目。
3. 连通图：如果图中的任意两个顶点都存在一条路径相连，则称该图为连通图。
如果图非连通，则称为非连通图。
4. 完全图：如果一个无向图的任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为完全图。
完全图有边n(n-1)/2条，其中n表示顶点的数量。
四、图的表示方法1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一种以二维矩阵的形式来表示图的方法。
矩阵的行和列分别表示顶点，矩阵中的元素表示相应的边。
如果两个顶点之间存在边，就用1表示；否则，用0表示。
2. 邻接表：邻接表是一种以链表的形式来表示图的方法。
每个顶点都对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
五、图的遍历算法1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，它从一个初始顶点开始，沿着一条路径一直走到底，然后回溯到上一个顶点，再继续沿另一条路径走到底。
离散数学_第14章_图的基本概念
图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)，
△＝4，δ＝1，
v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)， d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3， △+＝4 (在a点达到) δ+＝0(在b点达到) △-＝3(在b点达到) δ-＝1(在a和c点达到)
和为
v
的入度，记做
d
D
(v)
，简记作
d-(v)，称
d+(v)+d-(v)为
v
的度数，
记做 d(v).
图的度数的相关概念
• 在无向图G中，
最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
• 在有向图D中，
最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
二、基本要求 深刻理解图论中的基本概念及其它们之间的相互关系 记住图论中的主要定理并能灵活地应用它们证明相关 定理或命题 熟练掌握图论中所用的证明方法，如直接证明法、归 纳法、反证法、扩大路径法等 应用握手定理及树的性质解无向图、无向树 会求最小生成树、最优树及最佳前缀码 会用临接矩阵求有向图中的通路、回路数
称G为n阶零图，记作Nn，特别地，称N1为平凡图。 • 在图的定义中规定顶点集V为非空集，但在图的运算中可能产
《离散数学》课件第14章图的基本概念
定义14.5（图同构）设两个无向图G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对 于 任 意 的 e=（vi，vj）∈E1 当 且 仅 当 e’=（f(vi)， f(vj)）∈E2，并且e与e’的重数相同，则称G1和G2是 同构的，记作G1≌G2。
若vi=vj，则称ek与vi的关联次 数为2；
若vi不是ek的端点，则称ek与vi 的关联次数为0。
无边关联的顶点称为孤立点 （isolated vertex） 。
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定义(相邻) 设无向图G=<V，E>， 若∃et∈E且et=（vi,vj），则称vi和vj是相邻的 若ek,el∈E且有公共端点，则称ek与el是相邻的。
素称为有向边，简称边。 由定义，有向图的边ek是有序对<vi，vj>，称vi，
vj是ek的端点，其中vi为ek的始点（origin），vj为ek 的终点（terminus）。
当vi=vj时，称ek为环，它是vi到自身的有向边。
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每条边都是无向边的图称为无向图（undirected graph）。
定义(邻接与相邻) 设有向图D=<V，E>， 若∃et∈E且et=<vi,vj>，则称vi邻接到vj，vj邻接 于vi。 若ek,el∈E且ek的终点为el的始点，则称ek与el是相 邻的。
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定义14.4（度） 设G=<V，E>为一无向图，∀v∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度 （degree），记为d(v)。
定理14.2 （有向图握手定理）设D=<V，E>为任 意的有向图，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，则
图论的基本概念及其应用
图论的基本概念及其应用图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和连接节点的边组成，以解决现实生活中的许多问题。
本文将介绍图论的基本概念，并探讨它在不同领域中的应用。
一、图的基本概念1. 节点和边图由节点（顶点）和边组成，节点代表某个实体或概念，边表示节点之间的关系。
节点和边可以有不同的属性，如权重、方向等。
2. 有向图和无向图有向图中，边有固定的方向，表示节点之间的单向关系；无向图中，边没有方向，节点之间的关系是相互的。
3. 连通图和非连通图连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径；非连通图则存在至少一个节点无法到达其它节点。
4. 网络流每条边上有一个容量限制，网络流通过边传输，满足容量限制的条件下尽可能多地进行。
二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径通过图论中的最短路径算法，可以计算出两个节点之间的最短路径。
最短路径在无人驾驶、物流配送等领域中具有重要的应用价值。
2. 最小生成树最小生成树算法用于寻找连接图中所有节点的最小总权重的树形结构。
在通信网络、电力输送等领域中，最小生成树被广泛应用。
3. 网络流问题图论中的网络流算法可以用于解决诸如分配问题、路径规划等优化问题。
例如，在医疗资源调度中，网络流算法可以帮助医院优化资源分配。
三、图论在社交网络分析中的应用1. 社交网络社交网络可以用图模型来表示，节点代表个体，边表示个体之间的联系。
利用图论分析社交网络，可以发现用户群体、影响力传播等信息。
2. 中心性分析中心性分析用于评估节点在网络中的重要性，衡量指标包括度中心性、接近中心性等。
中心节点的识别对于广告投放、信息传播等决策具有指导意义。
3. 社团检测社团检测可以发现社交网络中具有紧密联系的节点群体，进一步分析社交群体的行为模式、用户偏好等。
四、图论在物流优化中的应用1. 供应链管理供应链中的各个环节可以用图模型表示，通过图论算法优化物流路径，提高物流效率。
2. 仓库位置问题通过图论中的最短路径算法和最小生成树算法，可以找到最佳的仓库位置，使物流成本最小化。
(离散数学)图的基本概念
一、基本图类与相关概念（续）
无向图：无向图G是一个二元组<V, E>，其中 (1) V是一个非空集合，称为顶点集V(G)， V中元素称为顶点或结点； (2) E是无序积V&V的多重子集(即集合中的
元素可重复出现)，称为边集E(G)，
E中元素称为无向边，简称边。
2014-5-3 离散数学 5
2014-5-3
离散数学
7
一、基本图类与相关概念（续）
有向图画法：用小圆圈表示V中顶点，若<a, b>E，
则在顶点a与b之间画一条有向边，其箭头从a指向b。
如：D = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }，E = { <v1, v2>,
<v1, v3>, <v2, v2>, <v3, v4>, <v4, v2>, <v4, v2> }
e2 e v4 e e
6
3
v1
2014-5-3
e1
v2
5
e
4
v3
6
离散数学
一、基本图类与相关概念（续）
2、有向图
有向图：有向图D是一个二元组<V, E>，其中 (1) V是一个非空集合，称为顶点集V(D)； (2) E是笛卡尔积V V的多重子集，称为边集 E(D)，E中元素称为有向边，也简称边。
一、基本图类与相关概念（续）
实际上，图是画出来的。画法：用小圆圈表示V中
顶点，若(a, b)E，则在顶点a与b之间连线段。
如：G = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }， E ={ (v1, v2), (v1, v4), (v2, v1), (v2, v3), (v2, v3), (v3, v4) }
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
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推论 任何图(无向图和有向图)都有偶数个奇度顶点. 证 设G=<V,E>为任意图，令 V1={v | vVd(v)为奇数}, V2={v | vVd(v)为偶数} 则V1∪V2=V, V1∩V2=，由握手定理可知
2m d (v ) d (v) d (v)
例如右图
d+(a)=4, d(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d(b)=3, d(b)=3,
+=4, +=0, =3, =1, =5, =3
6/2/2013 9:04 PM Discrete Math. , Chen Chen 11
握手定理
定理11.1设G=<V,E>为任意无向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
无序对: 2个元素构成的集合, 记作(a,b) 无序积: AB={(x,y) | xAyB} 例如 A={a,b,c}, B={1,2} AB=BA={(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)} AA={(a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,c)} BB={(1,1), (1,2), (2,2)} 多重集合: 元素可以重复出现的集合 重复度: 元素在多重集合中出现的次数 例如 S={a,b,b,c,c,c}, a,b,c 的重复度依次为1,2,3
6/2/2013 9:04 PM
Discrete Math. , Chen Chen
2
11.1 图
无向图与有向图 顶点的度数 握手定理 图的同构 简单图 完全图 子图 补图
CHAPTER Fourteen
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Discrete Math. , Chen Chen
3
无序对与多重集合
对有向图有类似定义.
设ek=vi,vj是有向图的一条边, 又称vi是ek的始点, vj是ek的终点, vi邻 接到vj, vj邻接于vi
6/2/2013 9:04 PM Discrete Math. , Chen Chen 7
邻域和关联集
CHAPTER Fourteen
设无向图G, vV(G) v的邻域 N(v)={u|uV(G)(u,v)E(G)uv} v的闭邻域 N (v) = N(v)∪{v}
vV vV1 vV2
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Discrete Math. , Chen Chen
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图的度数列
e1
CHAPTER Fourteen
v1 e3 e2 v2
设无向图G的顶点集V={v1, v2, …, vn} G的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:4,4,2,1,3 设有向图D的顶点集V={v1, v2, …, vn} D的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D的出度列: D的入度列: d+(v1), d(v1), d+(v2), d(v2), …, …, d+(vn) d(vn)
v的闭邻域 N D (v) N D (v) {v}
6/2/2013 9:04 PM Discrete Math. , Chen Chen 8
简单图
CHAPTER Fourteen
定义11.3 在无向图中, 关联同一对顶点的2条或2条以上的边, 称为 平行边, 平行边的条数称为重数. 在有向图中, 具有相同始点和终点的2条或2条以上的边称为有向 平行边, 简称平行边, 平行边的条数称为重数.
Discrete Math. , Chen Chen
17
实例
CHAPTER Fourteen
例 画出3个以1,1,1,2,2,3为度数列的非同构的无向简单图.
6/2/2013 9:04 PM
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实例
例11.3 画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图.
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有向图
例11.1(1) G=<V,E>如图所示, 其中 V={v1, v2, …,v5} E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}. 例11.1(2) D=<V,E>如右下图所示, 其中 V={a, b, c, d} , E={a, a, a, b, a, b, a, d, d, c, c, d, c, b} . 用|V(G)|,|E(G)|分别表示G的顶点数和边数. 有限图: |V(G)|,|E(G)|均为有限数的图. n 阶图: n个顶点的图. 零图: E=的图. 平凡图: 1 阶零图.
悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
G的最大度(G)=max{d(v)| vV}
G的最小度(G)=min{d(v)| vV} 例如 右图 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
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CHAPTER Fourteen
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无向图
定义11.1 无向图G=<V,E>为一个有序的二元组,其中 V称为顶点集, 其元素称为顶点或结点;
CHAPTER Fourteen
E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素称为无向边，简称边. 有时用V(G)和E(G)分别表示V和E. 定义11.2 有向图D=<V,E>, 其中 V称为顶点集, 其元素称为顶点或结点; E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素称为有向边，简称边. 有时用V(D)和E(D)分别表示V和E . 图形表示：用小圆圈（或实心点）表示顶点，用顶点间的连线表 示无向边，用有方向的连线表示有向边。 将图的集合定义转化成图形表示后，常用ek表示无向边(vi,vj)(或 有向边<vi,vj>)，并称顶点或边用字母标定的图为标定图，否则称 为非标定图 .
顶点的度数(续)
定义11.4(2)设D=<V,E>为有向图, vV,
CHAPTER Fourteen
v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和
v的入度d(v): v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
d(v)= d+(v)+ d(v)
D的最大出度+(D), 最小出度+(D) 最大入度(D), 最小入度(D) 最大度(D), 最小度(D)
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实例
CHAPTER Fourteen
例11.2 判断下列各非负整数哪些是可图化的？哪些可简单图 化？ (1)（5,5,4,4,2,1） (2) (5,4,3,2,2) (3) (3,3,3,1) n (4) (d1,d2,…,dn), d1>d2>,…,dn>=1且 di为偶数。 i 1 (5) (4,4,3,3,2,2) 解：除（1）外均可图化，而且只有（5）可简单图化。
d e7 e4 e1
v5
e4
v4
e5 v3
e6
e7
a
左图度数列:5,3,3,3
e2
e6
c
e3
e5
出度列:4,0,2,1
b
入度列:1,3,1,2
对于给定的非负整数列d=(d1,d2,…,dn),若存在以V={v1,v2,…,vn} 为顶点集的n阶无向图G, 使得d(vi)=di, 则称d是可图化的。 特别地，若所得图是简单图，则称d是可简单图化的。
CHAPTER Fourteen
d (v ) 2m.
证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 在计算各顶点度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度. 定理11.2设D=<V,E>为任意有向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
i 1 i
n
d (vi ) 2m, 且 d (vi ) d (vi ) m 。
CHAPTER Fourteen
解 总度数为6, 分配给4个顶点, 最大度为3, 且奇度顶点数为偶 数,有下述3个度数列: (1) 1,1,1,3;(2)1,1,2,2;(3)0,2,2,2.
1,1,1,3
1,1,2,2
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同构
CHAPTER Fourteen
定义11.5 设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(有向图), 若存在双射函数 f: V1V2, 使得对于任意的vi,vjV1, (vi,vj)E1 (<vi,vj>E1) 当且仅当 (f(vi), f(vj))E2 (<f(vi), f(vj)>E2) 并且 (vi,vj) (<vi,vj>) 与 (f(vi),f(vj)) (<f(vi),f(vj)>)的重数相同，则 称G1与G2是同构的，记作G1G2. 图之间的同构关系可看成全体图集合上的二元关系，这个二 元关系具有自反性，对称性和传递性，因而它是等价关系。
在这个等价关系的每个等价类中均取一个非标定图作为一个 代表，凡与它同构的图，在同构的意义下都可以看成一个图。
到目前为止，还没找到判断两个图是否同构的有效的算法。