热统习题解答(全)

第一章 热力学的基本规律

1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。 解： 理想气体的物态方程为RT pV =,由此可算得： P

P V V k T T P P T T V V T V P 1

)(1;1)(1,1)(1=∂∂-==∂∂==∂∂=βα

1.2 证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ，根据下述积分求得： ⎰-=)(ln kdP adT V ，如果P

k T a 1

,1==

，试求物态方程。 证明：

dp p V

dT T V p T dV T P )()(

),(∂∂+∂∂= 两边除以V,得

dp dT dp p V

V dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1

积分后得 ⎰-=)(ln kdP adT V 如果

,1,1p T ==

κα

代入上式，得C P T P

dP T dT V ln ln ln )(

ln +-=-=⎰

所以物态方程为：CT PV =

与1mol 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。

1.3在00C 和1atm 下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185

×10-5K -1，k=7.8×10-7

atm -1

。a 和k 可以近似看作常数。今使铜加热至100

C ，

问（1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加100atm ，铜块的体积改变多少？

解：（a ）由上题dp dT dp p V

V dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1

体积不变，即0=dV

所以dT k

a

dP = 即atm T k a P 62210108.71085.47

5=⨯⨯⨯=∆=∆-- (b)

47512121

1

211007.4100108.7101085.4)()(---⨯=⨯⨯-⨯⨯=---=-=∆p p T T V V V V V κα

可见，体积增加万分之4.07。

1.4 描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是力F,物态方程是 f(F ,L,T)=0。实验通常在1p n 下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为F T L L a )(1∂∂=

，等温氏模量定义为 T L

F

A L Y )(∂∂=， 其中A 是金属丝的截面积。一般来说，α和Y 是T 的函数，对F 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T 1降至T 2时，其力的增加为

21()F YA T T α∆=--

证明：（a ）设(,)F F T L =，则

L T

F F dF dT dL

T L ∂∂⎛⎫⎛⎫

=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）

由于1L F T F T L T L F ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

所以

L T F F F L T L T ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）

将（2）式代入（1）式，并利用线胀系数α和等温氏模量的定义式，得

T F T

F L F AY dF dT dL AYdT dL L T L L α∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪

∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3） （b ）当金属丝两端固定时，dL ＝0，由（3）式得

dF aAYdT =-

当温度由T 1降至T 2时，积分上式得

21()

F YA T T α∆=-- （4）

1.5 一理想弹性物质的物态方程为 20

20()

L L F bT L L =-，其中L 是长

度，L 0是力F 为零时的L 值，它只是温度T 的函数，b 是常数。试证明：

（a ） 等温氏模量为

)

2(22

00L L L L A bT Y +=

A bT Y 30=

.

（b ） 在力为零时， 线膨胀系数

2/1/13033030+--=L L L L T αα 其中

.10dL dL T =α (c) 上述物态方程适用于橡皮带，设，

.105,10114026---⨯=⨯=K m A α试计算当0L L

分别为0.5，1.0，1.5和

1 2

10 33 . 1 , 300 - - . ⨯ = = K N b K T

2.0时的F,Y ,α对0L L

的曲线。

证明：（a ）由弹性物质得物态方程，可得

20

3021T L F bT L L L ⎛⎫∂⎛⎫=+

⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ （1）

将上式代入等温氏模量的定义式

2200

3200221T L L L F L bT L Y bT A L A L L A L L ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）

当F ＝0时，L ＝L 0，由（2）式得

()0312bT bT

Y A A

=

+= （3）

（b ）在F 不变下，将物态方程对T 求导，得

220000020224

00220F F F F

L L L L L L L L L L L L T T T T T L L L L ⎡∂∂⎤∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭

⎢⎥⎣⎦

由上式解出

F L T ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭,可得 2223

000

222300000

23

20

3220

00211111

1

(4)222F F L L L L L L L L L T L L T L L L L L L L L L L T T T L L L L L

L L ααα⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫+----

⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-=- ⎪∂⎛⎫⎝⎭+++ ⎪⎝⎭

其中0

001dL L dT α=

1.6 1mol 理想气体，在27o C 的恒温下体积发生膨胀，其压强由20p n 准静态地降到1p n ，求气体所作的功和所吸收取的热量。