二年级(上)奥数知识讲座：第九讲 考虑所有可能情况(二)

第九讲考虑所有可能情况（二）

例1象右边竖式那样十位数字和个位数字顺序相颠倒的一对二位数相加之和是99，问这样的两位数共有多少对？

解：不难看出，这样的两位数共有4对，它们是：（18，81），（27，72），（36，63），（45，54）.

例2一些十位数字和个位数字相同的二位数可以由十位数字和个位数字不同的两个二位数相加得到，如12+21=33（人们通常把12和21这样的两个数叫做一对倒序数）.问在100之内有多少对这样的倒序数？

解：十位数字和个位数字相同的二位数有：11、22、33、44、55、66、77、88、99九个.其中11和22都不能由一对倒序数相加得到.其他各数的倒序数是：

33：12和21……………………………… 1对

44：13和31……………………………… 1对

55：14和41、23和32………………… 2对

66：15和51、24和42…………………… 2对

77：16和61、25和52、34和43………… 3对

88：17和71、26和62、35和53……………3对

99∶18和81、27和72、36和63、45和54…4对

总数=1+1+2+2+3+3+4=16对.

例3规定：相同的字母代表同一个数字，不同的字母代表不同的数字.请问，符合下面的算式的数字共有多少组？

解：分两步做.第一，先找出被乘数的个位数字A和乘数A相乘时，积的个位数是A的所有可能情况：

第二，从中选出能满足题目要求的数：积的十位数字和被乘数的十位数字B相同.经试验可知：

可得两组数字作为答案：

第一组A=5，B=2，C=1；

第二组A=5，B=7，C=3；

再看0×0，1×1，显然不符合题目要求，而6×6经试验也不符合题目要求.

所以最后的答案就是2组.

例4把整数10分拆成三个不同的自然数之和共有多少种不同的分拆分式？

例5将1、2、3、4、5填入下图11－1的五个空格中，使横行和竖行的三个数之和相等.问共有多少种不同的填法？

解：3 填在中间格中，和=9，见图11－2.

1 填在中间格中，和=8，见图11－3.

5填在中间格中，和=10，见图11－4.经试验，

2和4不能填在中间格中，所以共有三种不同的填法.

习题十一

1.想一想，下面算式中的△和□中，各有多少对不同的填法？

2.见下式，满足下式的两个二位数，共有多少对？

3.见图11—5，将1、2、3、4、5、6六个数填在下图中的黑点处，使每条线的三个数之和相等，共有多少种不同的填法？

4.把整数20分拆成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式？

5.把整数19分拆成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式？

6.十位数字大于个位数字的二位数共有多少个？

7.两个整数之积是144，差为10，求这两个数.

8.三个不完全相同的自然数的乘积是24.问由这样的三个数所组成的数组有多少个？

9.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑顺序，那么和为10的三元自然数组有多少个[注意：“不考虑顺序”的意思是指如（1，1，8）与（1，8，1）是相同的三元自然数组]？

习题十一解答

1.解：①共有9对，它们是：

△1，2，3，4，5，6，7，8，9

□9，8，7，6，5，4，3，2，1

②共有7对，它们是：

△3，4，5，6，7，8，9

9，8，7，6，5，4，3

2.解：共有4对.

3.解：见图11－6，经试验，共有4种不同的填法，它们是：

4.解：4种，它们是：

20=9+8+320=9+7+420=9+6+520=8+7+5.

5.解：5种，它们是：

19=9+8+2

19=9+7+3

19=9+6+4

19=8+7+4

19=8+6+5.

6.解：把每一个十位数字大于个位数字的二位数都写出来：

10

20，21

30，31，32

40，41，42，43

50，51，52，53，54

60，61，62，63，64，65

70，71，72，73，74，75，76

80，81，82，83，84，85，86，87

90，91，92，93，94，95，96，97，98

总数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）.

7.解：把两个数相乘积为144的所有情况列举出来为：

其中相差为10的两个数是18和8.

8.解：把不完全相同的三个自然数相乘得24的情况全列举出来：1×1×24=24 1×4×6=24

1×2×12=24 2×2×6=24

1×3×8=24 2×3×4=24

所以，若不计数组中数字的顺序，所有乘积为24的三个数所组成的数组有：

（1，1，24）；（1，2，12）；（1，3，8）；

（1，4，6）；（2，2，6）；（2，3，4）.共6组.

9.解：将10分拆成三个不完全相同的自然数之和：

10=1+1+8 10=2+2+6

10=1+2+7 10=2+3+5

10=1+3+6 10=2+4+4

10=1+4+5 10=3+3+4

所以和为10的三元自然数组共有8个：

（1，1，8）；（1，2，7）；（1，3，6）；

（1，4，5）；（2，2，6）；（2，3，5）；

（2，4，4）；（3，3，4）.