勾股定理培优

第19讲 勾股定理

考点·方法·破译

1．会用勾股定理解决简单问题.

2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.

经典·考题·赏析

【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )

A ．13

B ．26

C ．47

D ．94

【解法指导】 观察勾股树，发现正方形A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 四个面积之和，故选C ．

【变式题组】

01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，

则正方形的边长是___________.

02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方

形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______.

03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平

行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是( )

A ．217

B ．25

C ．42

D ．7

【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为

6cm .如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那

么所用细线最短需要_____cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm .

【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的

公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，2

2916n .

l

A 1

D C B 2 第1题图

第2题图

第3题图

A

C

B

l 1

l 2

l

B

A 3cm 1cm

6cm

【变式题组】

01．(恩施)如图，长方体的长为

15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁

如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( )

A ．521

B ．25

C ．1055

D ．35

02．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm )，在上

盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm ，小孔到图中边AB 距离为1cm ，到上盖中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm ，则h 的最小值大

约为_____cm .(精确到个位，参考数据:2＝1．4，3＝1．7:5＝2．2)

03．(荆州)若一边长为40cm 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈

中穿过，则铁圈直径最小值为_____cm .(铁丝粗细忽略不计)

【例3】(荆州)如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为NM ，则线段CN 的长是( )

A ．3cm

B ．4cm

C ．5cm

D ．6cm

【解法指导】对折问题即对称问题，设CN ＝x ，DN ＝NE ＝8－x .在Rt △CEN 中，(8－x )2＝42＋x 2 x ＝5.故选C

【变式题组】

01．在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝13，AD ＝12．求S 四边形ABCD ．

02．如图，△ABC 中，AB ＝13，AD ＝6，AC ＝5 ，D 为BC 边的中点.求S △ABC ．

03．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB ，BC ＝4，CD ＝3

2.求AC ．

B 10 15 A 2C

第1题

第2题图

A

B

吸管

10

6

5

A D

B E C

F M

N

A B

C D

【例4 】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB 是一次函数y ＝－2x 的图象，点A 的坐标为(0，2)，在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 坐标.

【解法指导】求C 点坐标需分类讨论.

(1)若以O 为顶点，OA 为腰，则C 在以O 为圆心，OA 的长为半径的圆与y ＝－2x 的交点处.

(2)若以A 为顶点，AO 为腰，则C 在以A 为圆心， AO 的长为半径的圆与y ＝－2x 的交点处.

(3)若以C 为顶点，则C 在OA 的中垂线与y ＝－2x 的交点处.

【解】⑴若以O 为顶点，OA 为腰，如图设C (t ，－2t )，则在Rt △COD 中，

OC 2＝OD 2＋CD 2 4＝t 2＋(－2t )2 5t 2＝4

t

＝

±

∴C 1

(

-

，），C 2

(

，-

）

⑵若以A 为顶点，AO 为腰，如图，设C (t ，－2t )，在Rt △ACE 中

AC 2＝CE 2＋AE 2 22＝t 2＋(－2t －2)2 t ＝0（舍去），t ＝

8

5-

∴

C 3(

85-

，165) ⑶若C 为顶点，C 在OA 的中垂线上.∴C 4(1

2-

，1)

【变式题组】

01．若A （3，2），B 为x 轴上一点，O 为坐标原点.若△AOB 是等腰三角形.求B 点坐标.

02．如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B 为y ＝2x 上一点，若△AOB 为等腰三角形.求

B 点坐标.

03．如图.在平面直角坐标系中，A (0，4)，B 为y ＝2x 上一点，若△AOB 为直角三角形.求B

点坐标.

y