人教版数学九上《正多边形和圆》教学设计

24.3 正多边形和圆

麻城集美学校曹绪鹍

教学目标

知识与技能：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．

过程与方法：通过对正多边形的学习，掌握正多边形半径、中心角、边心距的计算方法. 情感态度与价值观：通过应用正多边形和圆的有关知识画正多边形，培养学生的审美情趣，激发学生的学习热情.

教学重点：正多边形和圆内接正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系．

教学难点：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．

教学时数：四课时

教学过程

第一课时

一、课前预习：学生预习教材P104——106.

二、复习引入

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称

吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：

1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，

其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

三、探索新知

如果我们以正多边形的对应顶点的交点作为圆心，过点到

顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的

各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、

CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、

•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就

可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

∵AB=BC=CD=DE=EF

∴AB=BC=CD=DE=EF

又∴∠A=1

2

BCF=

1

2

（BC+CD+DE+EF）=2BC

∠B=1

2

CDA=

1

2

（CD+DE+EF+FA）=2CD

∴∠A=∠B

同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆． 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边

形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

四、知识应用

例 有一个亭子,它的地基半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).

解: 如图由于ABCDEF 是正六边形,所以它的中心角等

于

606

360=， ，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.

因此,亭子地基的周长l =4×6=24(m). 在Rt △OPC 中,OC =4, PC =

22

4

2==BC

利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的面积

补充例题：

例1．已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，•求正六边形的周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作OM ⊥AB 垂于M ，在Rt △AOM•中便可求得AM ，又应用垂径定理可求

得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成

的．

解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它

的中心角等于

3606

︒

=60°，•△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12

a 利用勾股定理，可得边心距 OM=2

2

1

()2

a a -=

12

3a

F

D E C

B

A O M E F C D . 中心角 半径R

边心距r

A B O A B C

D E

F

R

P r 22

422 3.r =-=211242341.6(m ).22S lr ==⨯⨯≈

∴所求正六边形的面积=6×

12×AB ×OM=6×1

2×a ×32a=

32

3a 2

第二课时

一、探究新知

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。

怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O 的半径为2cm ，求作圆的内接正三角形.

现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形． 例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm 的正五边形．

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB=3605

︒

=72°， 如图，∠AOC=30°，OA=

1

2

AB ÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm ）

画法（1）以O 为圆心，OA=2.55cm 为半径画圆；

（2）在⊙O 上顺次截取边长为3cm 的AB 、BC 、CD 、DE 、EA ． （3）分别连结AB 、BC 、CD 、DE 、EA ．

则正五边形ABCDE 就是所要画的正五边形，如图所示． 二、巩固练习

教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习． 三、应用拓展

例3．在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC 的边AB 上的高h ． （2）设DN=x ，且

h DN NF

h AB

-=，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这

棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°． ②用量角器或30°角的三角板

度量，使∠BAO=∠CAO=30°． 120 ° A

O

C B