混沌系统理论介绍共24页
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本⽂将介绍混沌理论的基本概念，相关概念，著名学者，⼀些学习资源推介，供⼤家深⼊学习。
⽬录⼀、什么是混沌理论？⼆、混沌理论的相关概念三、混沌理论的⼏个典型⽰例四、相关资源推荐五、集智百科词条志愿者招募1、什么是混沌理论？“南美洲⼀只蝴蝶扇⼀扇翅膀，就可能会在佛罗⾥达引起⼀场飓风。
”想必⼤家对这样⼀句话都不陌⽣，这⾥描述的就是⼀种典型的混沌现象：蝴蝶效应。
混沌是⼀个由⾮线性效应引起的⼀个相当独特的现象，具有对初值的敏感性、⽆周期性、长期不可预测性以及分形性和普适性等特点。
混沌理论则是研究这⼀类典型现象的理论，是系统从有序突然变为⽆序状态的⼀种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。
2.混沌的重要概念混沌边缘（Edge of chaos）混沌边缘（Edge of chaos）是⼀个⽤来形容由计算机科学家克⾥斯托弗·朗顿发现的现象。
最开始该现象被⽤来描述⼀个变量λ的⼀段取值范围，该变量是作为细胞⾃动机的⼀个参数。
当λ变化，细胞⾃动机的⾏为会产⽣相变。
克⾥斯托弗·朗顿（Christopher Langton)发现λ的某⼀⼩段取值可以使细胞⾃动机具有通⽤计算的能⼒。
根据λ的连续变化能够得到四种细胞⾃动机之间的过渡转化图景即：固定点->周期->复杂->混沌，因此我们说，复杂的结构诞⽣于混沌的边缘。
点击官⽹链接体验不同阈值下的混沌边缘状态吸引⼦（Attractor）吸引⼦（Attractor）是微积分和系统科学论中的⼀个概念。
⼀个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引⼦。
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D log N(r) 或 log(1/ r)
DlimlogN(r) r0 log1(/ r)
一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫 维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此
时的D 值称为该分形的分形维数，简称分维。也有人
把该维数称为分数维。
奇怪吸引子
奇怪吸引子又叫分形吸引子，因为它们都是相空间的分形点集， 不能用传统的规则几何图形表示。一个耗散系统的相空间当时间 趋于无穷大时，如果收缩到一个非整数维的点集，这就是一个奇 怪吸引子。
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蝴蝶效应
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次 演讲中提出：一只南美洲的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，在两 周以后可以引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。 Nhomakorabea伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
xn1axn(1xn)
它经常被用来描述没有世代交叠的昆虫群体的繁殖 演化，称为虫口模型。a为控制参数，虫口数x为状 态变量，xn为第n代虫口数，虫口模型给出第n代虫 口与第n+1代虫口的关系，知道n代虫口就可以按 逻辑斯蒂方程计算第n+1代虫口。
混沌理论详解
混沌理论详解一、什么是混沌理论混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。
混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。
二、混沌理论的发展背景混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。
像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。
科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。
因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。
曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。
如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。
这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。
在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。
人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家HenryPoincare那里得到的启示。
Poincare 提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。
然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。
Poincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。
然而，在20世纪60-70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。
一个名叫StephenSmale的数学家用差分拓扑学发展了一系列的理论模型。
气象学家EdwardLorenz设计了一个简单的方程组用来模拟气候，这个气候对于初始条件当中的变化极其敏感。
(完整版)混沌系统介绍及例子
专业学术讲座报告班级：信计12-2学号：************ 姓名：**二零一五年六月二十二日目录1.混沌系统概念2.典型混沌系统介绍3.混沌金融系统的线性与非线性反馈同步4.混沌研究的发展方向及意义一、混沌系统概念混沌（chaos ）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。
又称浑沌。
英语词Chaos 源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。
作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。
动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。
虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。
运动的可预测性是一个物理概念。
一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。
牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。
20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。
混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。
共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。
混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。
混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。
二、典型混沌系统介绍Lorenz 系统混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。
他提出了著名的Lorenz 方程组：。
这是一个三阶常微分方程组。
它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。
式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。
混沌系统理论
混沌理论的特征
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家--曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自然的分形 几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
康托尔三分集
谢尔宾斯基地毯
分 形 项 链
D即维数
D = logｋ/logλ
λ 其中：
为线度的放大倍数
ｋ为“体积”的放大倍数
由于这样定义的维数D是一个分式所得出的比值，因此人们称之为 分数维。
容量维
柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)曾给分维这样定义：
对于d 维空间中的一个小集合E，我们可以用一些直径r的 d 维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为 N(r) , 则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：
实际上，混沌学研究从另一方面增加了人 们的预见能力。
貌似无序的高级有序性
混沌现象给人们的第一印象往往是混乱 不 堪，毫无规则，但混沌不等于混乱，是一种 貌似无序的复杂有序。 混沌绝不是简单地无序，而是被无序掩盖 着的高级有序，貌似无序的复杂有序，有人 称其为混沌序。
逻辑斯蒂方程的有序性
倒分叉
周期窗口
长期行为的不可预见性
由于其内在非线性机制造成对初值的敏感 依赖性，混沌系统的长期行为是不可预测的。 任何实际系统的初始条件都不可能绝对精确 地确定，误差是不可避免的。
混沌是由确定性系统产生的，它的短期行 为是可以预测的。
只要系统处于混沌区，我们就无法对它的 长期行为作出预测，但是混沌运动并非绝对 不可预测。
lim inf fn(x)fn(y)0
则称 f ( x ) 描述的系统为混沌系统，S 为 f 的混沌集。
混沌理论简介
太阳系运动的稳定性问题
• 1887 年,瑞典国王奥斯卡二世以“太阳系稳定 吗?”为题,发出悬奖； • 数学力学家庞加莱前往应征； • 庞加莱从这种“限制性三体问题”的研究中明白 : 三体中小物体的运动相轨线“复杂得我甚至不想 把它画出来”； • 庞加莱还推测到系统的这种紊乱不规则行为对初 始状态有超常的敏感性和终态的不可预测性； • 庞加莱实际上已经遇上了保守系统的“混 沌”(但当时还未用此术语) .
• 19世纪末庞加莱(H.Poincare)正是在总结整个 世纪这方面进展的基础上，提出不少新的理论 和方法，当前非线性科学中的很多概念和思想， 都本源于庞加莱。 • 非线性科学中，那些可以有定量分析、精确 计算、数学理论或实验研究的部分，一般认为 可以归为以下三种：孤立波(soliton)，混沌 (chaos)，分形(fractal)
混沌的发现
真正有心抓住混沌的第一人是Lorenz. 1963年,气象学 家 Edward Lorentz 于《大气科学杂志》发表了一篇 “ 确定性非周期流（Deterministic non-periodic flow）”的论文．．．
因為小數點後的幾位誤差， 讓原本的風和日麗，霎時變成狂風暴雨 讓原本的風和日麗
分形
分形和不规则形状的几何有关。人们早就熟悉从 规则的实物抽象出诸如圆、直线、平面等几何概 念，曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)则对曲曲弯弯 的海岸线、棉絮团似的云烟找到合适的几何学描 述方法——分形。分形理论出现较晚，它的数学 准备不象孤立波那样充分，目前它的数学理论和 实际应用之间距离还较大，有些数学概念还得从 头重新建立。比如，微积分里导数是和光滑曲线 的斜率相联系的，对于曲曲弯弯海岸线那样的曲 线，导数又怎样定义?如果象微分积分那样的操 作都没有，那就很难做进一步的定量的研究。分 形数学和分形物理如何结合已经有科学家开始研 究。
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非周期定态
在奇怪吸引子上的运动是系统的一种稳 定定态行为。 在奇怪吸引子上的运动具有回归性，但 混沌的回归性是不严格的，是非周期的。 非周期运动也可能是定态行为，非周期 定态未必都是混沌。
｛ ｛ 回归性
严格的周期性 周期性
准周期性
｛混沌式非周期
非周期性
非混沌式非周期
非线性回归 完备分类
对初始条件的敏感依赖性
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。
洛伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
“上帝的指纹”
混沌理论的特征
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家--曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自然的分形 几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
康托尔三分集
谢尔宾斯基地毯
分 形 项 链
在离散系统中，通常取逻辑斯蒂方程为典型系 统。
Logistic Equation：
x n 1 a x n (1 x n ) 或
xn1 1 x 2
虫口模型
逻辑斯蒂方程在生态学中的应用是无世代交叠的 虫口系统，x为状态变量，a或λ为控制变量。方程 给出第n代虫口数与第n+1代虫口数的确定性关系。 0<x<1， 0<a<4
混沌理论1
第一章混沌理论1.1混沌理论简介在科学技术尚不发达的年代里，大自然被当作变幻莫测的创造物，因为人类对所观察和感觉到的许多自然现象不能给出合理的解释，认为冥冥之中存在着某种超自然的力量，无法想象自然界存在什么规律性。
某种与生俱来的冲动，促使人类力图理解自然界中万物运动的规律性，寻找隐藏在宇宙万物相互复杂关系背后的法则，从而对未来进行预测。
几千年来，人们一直致力于用恒古不变的定律精确地确定或预测宇宙中万物乃至每一个粒子的运动，科学和科学家的任务就是发现能够揭示宇宙万物运动规律的定律。
经过人类持续不断的努力，到18世纪，科学在揭示自然界的规律方面成绩斐然。
例如，人类已经拥有精确预测季节变化的历法、预测行星运行规律和日、月食的天文学，等等。
总之，人们认为，只要知道初始状态和规律性，大自然就可以被分析、预测和利用。
于是，次序或规律成为我们头脑中的一个固有概念。
爱因斯坦在给波恩的信中就这样说道，“你相信掷骰子的上帝，我却相信完备的定律和次序。
”18世纪的法国著名数学家拉格朗日（Laplace，1749~1827）以雄辩的口吻说道：假使有一位智者在任一给定的时刻都能洞察所有支配自然界的力和组成自然界的万物的相互位置，假使这位智者的智力足以使他对自然界中的所有数据进行分析，他就能将宇宙中万物—包括最大的天体和最小的原子—的运动统统纳入某个单一的公式之中。
这样一来，对这位智者来说，没有什么是不能确定的，未来和过去样样都历历在目。
这是一个可怕的陈述。
著名的Newton三条定律处处体现了次序与规律的思想，那就是，大自然万物的运动有规律，我们可以发现它们。
Newton把他的定律提炼成数学方程式，用一些量及其变化率来描述万物的运动。
例如，Newton万有引力定律的物理意义是，宇宙中两个物体，例如两个粒子，相互吸引，其吸引力的大小与它们的质量之积成正比，与它们之间的距离成反比，可以用一个简洁的公式精确计算出来。
可以说，时至今日，Newton定律始终以对大自然终极描述的姿态在物理学等领域占据崇高的统治地位。
混沌理论综述很全
第10页，共42页。
混沌的特点
1. 对初值的敏感性
❖ 混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未来的混沌轨 道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千里”。
❖ 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在 《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著名 论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动流体 块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。Lorenz用 数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发现系统初值 的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不同，即解对初 值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
混沌的特点?几种典型的混沌吸引子chens吸引子lorenz吸引子rossler吸引子混沌现象举例?机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的混沌振动?正常的脑电波则近乎随机讯号其脑电图曲线代表的就是典型的混沌现象?单摆是我们熟知的确定性运动的典型但当角度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能够进入混沌状态?湍流三体问题蝴蝶效应昆虫繁衍混沌现象举例蝴蝶效应?1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算探讨准确进行长期天气预报的可能性
❖ 直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛注意， 到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。其后，“混沌学” 得到了迅速发展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌现象研 究的热潮。
第3页，共42页。
三体问题的进展 16世纪以来科学家就在寻找这一问题的简单特解即特
殊情况下的简单稳定运动轨道。
第11页，共42页。
混沌的特点
混沌理论概述
混沌理论概述1混沌理论的发展 (1)2混沌的主要特征 (2)(1)有界性 (2)遍历性 (2)内随机性 (2)分维性 (3)标度性 (3)普适性 (3)统计特征、正Lyapunov指数及连续功率谱等。
(3)3 混沌理论在保密通信中的应用 (3)1混沌理论的发展所谓混沌，粗略的说是一种在确定系统中所表现出来的类似随机而无规则运动的动力学行为。
由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，因此，至今混沌还没有一个统一的定义。
混沌是非线性确定性系统的一种内在的随机现象，对混沌现象的研究有助于人们对客观世界的正确认识和把握。
它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，反映了世界上无序和有序之间、确定性与随机性之间的辩证统一关系。
在混沌动力学的研究中，主要有三个方面的内容，一是研究系统从有序到混沌态的过渡，即探讨系统进入混沌状态的机制与途径;二是研究混沌中的有序行为，即探讨混沌中的普适性和标度不变性;三是研究如何有效地控制混沌或主动地利用混沌。
最先对混沌的研究可以追溯到19世纪，公认为真正发现混沌的第一位学者是法国数学、物理学家H. Poincare，他是在研究太阳系的三体运动时发现混沌的。
20世纪70年代，特别是1975年以后，是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。
在这一时期，混沌学作为一门新兴的学科正式诞生了。
1971年，法国的数学物理学家D. Ruelle和荷兰的F. Takens发表了著名论文《论湍流的本质》，在学术界首次提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点，并为耗散系统引入了“奇怪吸引子”这一概念。
进入20世纪80年代，混沌研究己发展成为一个具有明确研究对象和基本课题、具有独特的概念体系和方法论框架的新学科。
从80年代中后期开始，混沌学更是与其它学科相互渗透、相互促进，无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、电子学、信息科学，还是在天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。
混沌系统
贝塔朗菲定义1：系统是相互联系、相互作用着的诸元素的集，或统一体。
钱学森定义1：什么叫系统，系统就是有许多部分组成的整体，所以系统的概念就是要强调整体，强调整体是由相互关联、相互制约的各个部分所组成的。
定义1强调：（1）元素间的相互联系、相互作用及系统的整体性，系统不是诸部分无组织的拼合物，而是由各部分组织而成的统一的整体。
（2）系统是由元素集和关系集共同决定的，元素间的相互关系与元素本身一样重要，不可忽略。
（3）系统内不存在独立于相互关系的孤立部分（或孤立元）。
根据该定义，确定整体性与组织性（或相关性）是系统最基本的特征，它们是由系统本身的规定性所决定，也是区别于以往科学研究对象的最明显的特征。
整体性是系统最突出、最基本的特征之一。
系统指的是"整体"即"有组织的统一体"，系统之所以为系统就是因为系统是作为一个有机整体而不是各部分的简单相加而存在的，是否具有整体性，即"有组织的统一体"是区分系统与非系统的判据。
系统内部的组织性是系统具有整体性的原因。
系统论中组织性主要指各部分间的相关性，系统论强调组成系统的各部分之间的相互关系和相互作用。
贝塔朗菲定义2：系统是"处于一定的相互关系中并与环境发生关系的各部分组成部分的总体（或集）"。
钱学森定义2：系统是由相互作用和相互依赖的若干组称各部分合成的具有特定功能的有机整体，而且这个系统本身又是它所从属的一个更大系统的组成部分。
定义2强调：（1）系统的功能，即系统与环境的相互联系和作用。
系统不仅具有整体性的"组织"，即整体结构，而且具有整体性的行为和功能。
（2）系统的开放性。
（3）系统的多级层次性。
定义2明确规定了系统与环境不可分割的关系，从而表明了系统科学与经典科学的另一重要差别。
系统科学不再遵循系统的孤立原则，"把现象隔离于狭窄的封闭或孤立状态中，而开始考察它们之间的相互作用并考察越来越大的自然界对象"。
混沌理论详解
混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。
像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
一、什么是混沌理论混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。
混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。
二、混沌理论的发展背景混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。
像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。
科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。
因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。
曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。
如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。
这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。
在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。
人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家HenryPoincare那里得到的启示。
Poincare提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。
然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。
Poincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。
然而，在20世纪60-70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。
混沌理论 综述 很全
混沌现象举例--昆虫繁衍
假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵 后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，若产卵数大于 1，则虫口就会迅速增加，“虫满为患”。但在虫口数目增大的同时 又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接 触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负 增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换 后，在 1976 年生物学家罗伯特 .梅最终得到虫口方程如下： Xn+1=λXn (1—Xn) 式中各量的取值范围为 n：1，2，3，···∞； Xn：[0，1]； λ：[0，4]
n
则称 f 在S上是混沌的。
混沌的概念
Li-Yorke 定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质： 存在所有周期的周期轨道； 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现； 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。
1. 2.
3.
Байду номын сангаас
混沌的特点
3.
长期不可预测性
由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差 异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长 期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长 期演化行为是不可预测的。
混沌的特点
4.
分形性
分形 (Fractal) 这个词是由曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot) 在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
混沌现象举例 -蝴蝶效应 1961 年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述
混沌理论简介
混沌理论简介要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和，可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴。
这是一个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的，水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。
但一个简单而有效的实验证明，这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。
这使我们产生某种数学的“横向思维”，它向我们解释了为什么此种怪事是可能的。
假如你很小心地打开水龙头，等上几秒钟，待流速稳定下来，通常会产生一系列规则的水滴，这些水滴以规则的节律、相同的时间间隔落下。
很难找到比这更可预言的东西了。
但假如你缓缓打开水龙头，使水流量增大，并调节水龙头，使一连串水滴以很不规则的方式滴落，这种滴落方式似乎是随机的。
只要做几次实验就会成功。
实验时均匀地转动水龙头，别把龙头开大到让水成了不间断的水流，你需要的是中速滴流。
如果你调节得合适，就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。
1978年，加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青的研究生组成了一个研究动力学系统的小组。
他们开始考虑水滴系统的时候，就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则。
他们用话筒记录水滴的声音，分析每一滴水与下一滴水之间的间隔序列。
他们所发现的是短期的可预言性。
要是我告诉你3个相继水滴的滴落时刻，你会预言下一滴水何时落下。
例如，假如水滴之间最近3个间隔是0.63秒、1.17秒和0.44秒，则你可以肯定下一滴水将在0.82秒后落下(这些数只是为了便于说明问题)。
事实上，如果你精确地知道头3滴水的滴落时刻，你就可以预言系统的全部未来。
那么，拉普拉斯为什么错了? 问题在于，我们永远不能精确地测量系统的初始状态。
我们在任何物理系统中所作出的最精确的测量，对大约10位或12位小数来说是正确的。
但拉普拉斯的陈述只有在我们使测量达到无限精度(即无限多位小数，当然那是办不到的)时才正确。
在拉普拉斯时代，人们就已知道这一测量误差问题，但一般认为，只要作出初始测量，比如小数点后10位，所有相继的预言也将精确到小数点后10位。
[理学]混沌理论简介
![[理学]混沌理论简介](https://img.taocdn.com/s3/m/88d9778881c758f5f61f676b.png)
若三个天体中，一个天体的质量与另外两个天体相比可以 忽略不计，他对另外两个天体的引力作用可以忽略不计时， 则该天体可称为无限小质量天体，两外两个天体则为有限质 量天体，研究无限小质量天体在两个有限质量天体的引力作 用下的动力学作用问题称为----限制性三体问题。
现代科学意义上的混沌
系统（总体）： 包含我们所要研究的对象的整体叫做系统。 如果要研究水龙头滴下的水滴，水滴就是系统。 如果研究草原上某种昆虫生态，一定范围内的昆虫集体就
是研究的系统。 如果研究 股票行情， 则某种股票就是研究的系统。 如果研究气象，某种范围内的气团就是系统。
线性系统： 研究系统的运动（也就是变化）时，在数学上要给系统的
但是这次修正是重要的，正是在这次修正中，庞加莱改正 了他的一个稳定性定理，最终导致了他对同宿交错网的发现。
有趣的是米塔格莱夫勒原以为他销毁了所有有错误的论文， 然而近百年后在人们在瑞典米塔格莱夫勒数学研究所的旧文件 中还是发现了几本“原版”的庞加莱的论文，他们就象错版邮 票一样成了珍贵文物，也成了数学史研究者和后来的数学家研 究庞加莱的宝贵资料。
但是在用牛顿力学解释三体问题时碰到了困难，三体问 题应该说是从确定性的方程出现混沌的最早的问题。
何为三体问题？
三体乃至N体问题： 概括为一句话:在三维空间中给定N个质点，如果他
们之间只有万有引力作用，那么在给定他们的初始位置 和速度的条件下，他们将会在空间做怎样的运动？
有趣的故事：
庞加莱
1885年，在刚创刊不久的瑞典数学杂志Acta Mathematica的第七卷上出现了一则引人注意的通告：为了庆 祝瑞典和挪威国王奥斯卡二世在1889年的六十岁生日，Acta Mathematica将举办一次数学问题比赛，悬赏2500克郎和一 块金牌。而比赛的题目有四个，其中第一个就是找到N体问题 的所有解。参加比赛的各国数学家必须在1888年的6月1日前 把他们的参赛论文寄给杂志的创办人和主编，著名的瑞典数 学家 米塔格列夫勒。所有论文将被匿名地被一个国际委员会
混沌理论
企业创新过程管理研究
• 创新是行为主体相互作用所带来的突现现象， 只能在企业系统特定创新空间中自发产生，无 法加以计划或规定。企业创新是从旧结构转变 为新结构、从低级有序走向高级有序的混沌发 展过程。 • 企业创新，无论是成员个人还是组织群体，都 要经历混沌过程。
企业创新过程管理研究
• 从系统混沌理论的视角看，企业创新过 程管理的关键是激发创新混沌的产生、 引导创新混沌的发展和促进创新混沌的 结束，进而促使企业系统从低级向高级 有序转化。
混沌理论
定义
• 混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思 考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中 （如：人口移动、化学反应、气象变化、社会 行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整 体、连续的数据关系才能解释及预测之行为。 • “相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想； 量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式 的梦；而混沌则消除了拉普拉斯 关于决定论 式可预测的幻想。” • 蝴蝶效应
3、促进创新混沌的稳定协调
• 混沌是企业系统发展中相对短暂的过程，企业 创新过程管理既要诱发混沌，引导混沌，又要 控制混沌，协调混沌，使企业逐步脱离混沌， 稳定在新的更加有序结构上。 • 要有创新成果的辨识和评价机制 • 要有创新成果的分享机制 • 要有创新混沌的抑制机制
其他应用领域
• 其他领域教育、政府、旅游、企业等
• • • • • • • • • 金融风险管理 企业人力资源管理 高校图书馆危机管理 高校教学管理 政府公共危机管理 地方政府债务风险预警管理 信息资源管理 项目研发管理 交通状态预测
主要参考文献
• 李志刚，张吉军.基于系统混沌理论的企业创新 管理研究[J].2011,2（24）：31-34 • 王宁.基于混沌理论的企业管理研究[D].北京工 业大学，2006 • 罗珉，李映东.混沌理论对管理学发展的启示 [J].财经科学，2004，（6）：20-23 • ......
混沌理论
混沌理论
混沌理论（Chaos theory）是在数学和物理学中，研究非线性系统在一定條件下表現出的混沌現象的理论。
1963年美国气象学家德华·诺顿·劳伦次提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。
混沌理论解释了决
定系统可能产生随机结果。
理论的最大
的贡献是用简单的模型获得明确的非周
期结果。
在气象、航空、及太空等领域
的研究里有重大的作用。
混沌理论认为
在混沌系統中，初始条件十分微小的变
化，经过不断放大，对其未来状态会造
成极其巨大的差別。
我们可以用在西方
世界流传一首民谣对此作形象的说明。
数值r = 28，σ = 10，b = 8/3的劳伦兹引子图形
这首民谣说：丟失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。
马蹄铁上一个钉子是否会消失，本是初始条件的十分微小的变化，但其「长期」效应却是一个帝国存与亡的根本差别。
这就是军事与政治领域中的所谓「蝴蝶效应」。
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8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
混沌系统理论介绍
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点ຫໍສະໝຸດ ：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联