第五章 混沌控制
混沌控制理论及其应用
混沌控制理论及其应用混沌，似乎成为了当代科学中一种独树一帜的现象。
它不仅仅存在于物理学领域中的某些现象之中，还可以在经济、环境、生物等更广泛的领域中发现。
虽然混沌其自身并不是那么重要，但是人们对混沌控制理论的研究确实为我们日常生活中的各种现象做出了一些很好的解释，同时控制混沌现象，还可以为现代科技应用中的精确控制提供一些思路。
混沌控制理论定义为一种高度复杂的非线性系统类型，并指出控制这种混乱随机现象是一项极具挑战性的任务。
混沌是非晶体态物质的一个经典代表，它呈现出无序的外表和复杂内部结构。
混沌的内部结构不仅取决于起源，还受制于交互作用和外部因素。
从生命的角度来看，混沌构成了多级分层结构，这些结构决定了不同层次下的特性。
科学家们通过运用混沌控制理论，已经发现了多种有意义的应用。
混沌控制理论一般分为两类，分别是量化控制和演化控制。
量化混沌控制要清楚地定义混沌现象，通过使用控制参数来限制该现象的演化，使得它能够能够满足不同的要求。
演化混沌控制往往采用基于混沌现象的动态模拟和演化的机制。
当这种机制满足参数要求时混沌状态得以控制。
在某些应用中，混沌控制理论的应用非常广泛，例如数据加密和位移混沌通讯等领域，混沌系统具有高度随机性，是加密科技的重要发展方向。
另外，混沌控制系统在功率控制系统中也能发挥重要作用，特别是在滑模控制领域中的电气电子技术中更是如此。
在控制系统的设计和分析中，动态性质的分析是至关重要的。
同时，混沌控制系统在机器人技术和微型自主测量系统等方面的应用也非常广泛。
在一些实验中，甚至能够制造出一些非常类似于动物行为的混沌状态。
例如，混沌系统在模拟昆虫堆集时的行为和一些动物的行为非常相似。
这些相似之处表明，混沌控制理论为在复杂系统和生物场合的模拟控制提供了一种可能。
总之，混沌控制理论为我们解释并控制日常生活中的复杂系统、研究生物和环境现象提供了参照。
虽然混沌控制系统与普通控制系统有所不同，但是不管是在学术研究还是在应用控制系统开发中，我们都应该进一步深化研究，以更好地实现系统的控制和优化。
工程学中的混沌理论和应用
工程学中的混沌理论和应用混沌理论是20世纪60年代提出的一种新理论，它可以描述非线性系统中的复杂运动。
它不仅在物理学中有重大的应用，同样也在工程学中有广泛的应用。
混沌的本质是指系统变化的无规律性和不可预测性，很难预测物理系统的行为，由此导致了一些传统的控制方法和设计方法失效，因此混沌理论的研究在一些已知工程问题的解决中是非常重要的。
工程学中的混沌理论有广泛的应用，其中最有代表性的是在控制系统方面的应用。
在某些控制系统中，需要将输入信号转化为某些输出信号，但是这些信号会受到各种各样的干扰，使得系统的性能无法得到有效的保证。
传统的控制方法无法解决因为干扰及其他未知因素而带来的系统不可控制的问题，因此，混沌控制理论应运而生。
混沌控制理论的主要思想是通过调整控制参数或控制信号，使系统处于某种稳态或状态下。
控制的过程通常涉及对系统的输出进行监控，并相应地调节系统的输入信号，以反向反馈和稳定系统状态。
混沌控制理论中，最常用的方法就是基于混沌现象的控制，具体应用方式是基于混沌算法设计开关电源、控制器等，使得系统能够自行调整，达到最佳效果。
混沌控制的应用领域非常广泛，其中最为突出的就是在通信领域中的应用。
混沌可以用于通信数据的加密和解密，同时也可以利用混沌产生的噪声进行通信信号的抗干扰和隐蔽传输，增强通信的保密性和安全性。
此外，在物联网领域中，由于系统复杂度的增加和通信难度的增大，混沌控制的应用得到了广泛的应用和研究。
除了控制领域，在工程学的其他领域中，混沌的应用也具有重要的意义。
例如，在机械工程或建筑工程中，混沌理论可以用于预测和控制结构的震动。
当结构受到外部激励时，混沌控制可以使得结构保持稳定，减少损失和灾难。
同样，在计算机科学领域中，混沌控制可以用于优化算法，改进数据的模拟和处理能力。
总的来说，混沌理论在工程学中的应用依然存在很多挑战和问题，但是已经证明了它具有重要的价值和研究意义。
在未来，随着混沌控制理论的不断完善和技术的提升，工程学中混沌理论的应用空间将变得更加广泛。
基于混沌理论的非线性系统控制
基于混沌理论的非线性系统控制随着科技的不断发展，人类社会进入了信息时代。
各种高科技的应用让我们的生活变得更加便利，但也带来了一系列的问题。
例如，人们对于非线性系统控制的需求不断增强，因为许多系统都具有非线性特性，这使得非线性控制方法成为了未来研究的热点之一。
混沌理论是20世纪80年代发展起来的一种新理论，它研究的主要对象是非线性动态系统。
混沌理论的应用范围非常广泛，其中就包括非线性系统控制。
本文将介绍基于混沌理论的非线性系统控制方案，希望读者可以从中了解更多关于控制理论的知识。
一、混沌理论基础混沌理论定义了一种混沌现象，即一种看似无规律的系统行为，但通过一定方式的观测和分析，人们可以找到这个系统运动的模式和规律。
混沌现象的本质是非线性系统的行为，它与线性系统相比，具有以下特点：1. 灵敏依赖于初始条件：当初始条件稍有变化时，非线性系统的运动轨迹会发生巨大的变化。
2. 非周期性：混沌系统的运动是看似无规律的，即使是在相同条件下，也不会出现相同的运动轨迹。
3. 小变量引起大效应：当系统的外在因素发生微小的变化时，混沌系统的运动轨迹会发生质的变化。
混沌理论说明了非线性系统的行为规律，但也为非线性控制提供了理论基础。
二、基于混沌理论的系统控制方法基于混沌理论，可以设计出一种复杂的非线性控制系统，该系统可以控制复杂的非线性系统，实现高效的控制效果。
其中，最重要的是设计一个有效的控制器，该控制器需要能够将混沌信号转换为规律的控制信号，以实现对系统的控制。
1. 混沌控制器设计混沌控制器是一种基于混沌理论的控制器，其主要任务是将混沌信号转换为规律的控制信号。
混沌控制器的设计过程需要满足以下几个要求：（1）混沌发生器的选取混沌控制器中最关键的是混沌发生器，混沌发生器可以产生具有微观尺度的混沌信号，可以提高控制器的稳定性和精度。
常用的混沌发生器有多项式混沌发生器、逆变混沌发生器、汉密尔顿混沌发生器等。
不同的混沌发生器有着不同的性质，选择合适的混沌发生器是混沌控制器设计的重要步骤。
混沌控制
又因为Q为n×n正交阵，所以 QT Q1
..
QT Q R R1 QT DFQL (8)
1
k l i, j
设
Qklij
cos sin
k l i或k l j k i, l j
sin
k j,l i
设R，令
0
e1
0
r12 e2
其它
r13 L r23 L
r1n r2 n
n
（11）
.
0 0 L 0 n
由（9），（10），（11）有：i sii , i 1, 2,L , n
其中 S QT DFQ ， 此时系统(1)的Lyapunov指数为
i
lim
t
i t
t
（13）
由式（12）可以求出系统的Lyapunov指数。
（12）
5.2 控制和利用混沌的意义
一、利用混沌的意义： 混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性，表现在对 初值的敏感依赖性，或对小扰动的极端敏感性。 • 概念：不稳定周期轨道——若系统严格的处于其上，则它会永
道稳定在无穷多不稳定轨道中预期的一条特定轨道上。 1.表明：仔细选择小扰动可对系统的长时间行为产生大的有益变
化 对混沌系统，可以不用改变系统的整体构形，通过对系统的参 数作小的改变就可以使其稳定化于不同的周期轨道 2.表明：只以很低的能量消耗就能在同一混沌系统的不同周期
轨道之间 实现转换，产生各种各样的稳定化的周期运动。 同时混沌系统的这种敏感性还有利于迅速地引导轨道进入期望地状 态。如：NASA——将ISEE—3I/C太空船在完成主要任务后，用 仅剩地少量肼燃料送到了距太阳8千万英里地地方，首次实现了与 彗星地碰撞。这就是由于天体力学地“三体问题”对扰动敏感性地
动力学系统中的混沌控制与吸引子建模
动力学系统中的混沌控制与吸引子建模混沌现象是非线性动力学系统中的一种特殊现象，具有高度复杂、不可预测的特性。
混沌控制与吸引子建模是研究如何控制并分析混沌现象的方法之一。
本文将对混沌控制与吸引子建模的基本原理和应用进行探讨。
首先，我们需要了解什么是动力学系统。
动力学系统通常用方程组描述，其演化是由系统当前状态以及一些规定的转移函数决定的。
例如，天气系统、电力系统和流体力学系统都可以用动力学系统进行建模。
在一些复杂的动力学系统中，当外界干扰较小或被忽略时，系统的行为可逐渐趋于混沌状态。
混沌的特点包括非周期性、敏感依赖于初始条件和浑沌吸引子等。
混沌现象的出现给系统的控制和预测带来了极大的挑战。
混沌控制是指在混沌动力学系统中通过改变系统的初始条件、参数或添加控制信号等方法，使系统的行为趋于期望的状态或轨道，以达到某种控制目的的过程。
混沌控制基本上包括两种方法：开环控制和闭环控制。
开环控制是指在没有反馈的情况下，通过调整混沌动力学系统的初始条件或参数来控制系统的行为。
开环控制的缺点是对系统的初始条件敏感，较大的扰动可能导致系统无法控制。
因此，对于复杂的混沌系统，通常采用闭环控制。
闭环控制是通过引入反馈控制，将系统的输出与期望的轨道进行比较，并根据差异做出调整。
闭环控制可以有效降低系统对初始条件的敏感性，提高控制性能。
其中，最为常见的控制方法是使用滑模控制、时间延迟控制和自适应控制方法。
滑模控制通过引入滑动面来实现控制，通过改变滑动面的斜率和截距来调整系统状态，从而使系统的输出轨道逼近期望的轨道。
时间延迟控制是利用系统自身的延迟特性来建立控制策略，通过延迟的反馈信号来控制系统的行为。
自适应控制是指通过实时调整控制参数来适应系统的动态变化，以实现对混沌系统的控制。
除了混沌控制，吸引子建模也是一种常用的方法来分析和描述混沌系统。
吸引子是指系统状态的某个稳定集合，系统的轨道在该集合附近 oscillate，并最终趋于该集合。
混沌控制及其应用
参数的模型算出对系统的适当的输出量， 如此
经过反复多次调整参数， 使混沌系统的混沌过
程最终达到所控制的目标。只有当控制目标对
应的参考信号达到时， 控制器才起作用， 从而
实现了真正的混沌控制。
３．５ 混沌中非周期轨道的控制方法
示意图：
３．６ 参数共振微扰法与外部周期微扰法 两种方法的机制是一致的， 参数共振微扰 法以研究杜芬系统为例， 在原杜芬方程中的项 的系数中加入一个弱周期微扰项， 所以受控杜 芬方程为： ｘ－ ｘ＋β［１＋ηｃｏｓΩｔ］ｘ３＝－ δｘ＋γｃｏｓωｔ ３．７ 传输和迁移控制法 该方法先假定目标轨道与给定动力学系 统具有相同的数学方程， 然后将两个方程叠加 起来， 从而研究如何迫使动力学系统的混沌传 输和迁移到目标轨道中去， 实现稳定控制。 ４ 混沌控制的应用 经过几十年的发展， 特别是最近十年来， 混沌控制与混沌同步及其应用的研究得到了蓬 勃发展， 并迅速成为研究领域的重要热点， 为 混沌的应用准备了必要的手段。关于控制和利 用混沌的例子有： 对混沌激光器、混沌二极管 电路实现的混沌控制大大地提高了激光输出功 率， 改善了激光性能， 在未来的“星球大战” 中或空间武器的研制中将会发挥独特的作用； 另外， 混沌控制在光学、等离子体、化学反 应、流体、电子回路、人工神经网络和生物系 统等大量实验和应用中得到验证， 并在众多领 域中有着广阔的应用前景。更深入地， 人的思 维与活动是有控制的混沌活动， 其意义与规律 远没有被人们认识和利用。可以预料， 随着控 制混沌方法的完善和普及， 它的应用领域也在 不断的扩大和深入， 控制和利用混沌的前景是 十分广阔和无美好的。
引言
的各种问题比通常想像的更不同。
控制和利用混沌是当前自然科学基础研
３ 混沌控制的方法
非线性动力系统的两类分岔控制与混沌控制研究
硕士学位论文
摘
要
分岔控制作为非线性科学中的前沿研究课题，极具挑战性。分岔控制的目的 是对给定的非线性动力系统设计一个控制器，用来改变系统的分岔特性，从而去 掉系统中有害的动力学行为，使之产生人们需要的动力学行为。本文在全面分析 和总结非线性动力系统分岔控制研究现状的基础上，基于非线性动力学、非线性 控制理论、分岔理论等非线性科学的现代分析方法，对倍周期分岔、Hopf 分岔等 进行控制，工作具有较大的理论意义和应用价值。研究内容如下： 第一章对非线性控制理论、分岔控制的研究方法、现状和进展进行综述，介 绍本文的研究目的、研究内容和创新点。 第二章介绍动力学研究的一些基本概念，简述发生鞍结分岔、跨临界分岔、 叉形分岔的充分必要条件，以及这三种静态分岔相互转换的条件；介绍分岔控制 器设计及分析的主要方法。 第三章设计了线性和非线性的状态反馈控制器，对 Logistic 模型的倍周期分 岔进行了控制， 得到了系统在控制前和控制后的分岔图 , 通过设计不同的参数控制 器，改变了动力系统的分岔特性。根据实际应用目的，设计了不同的控制器改变 了存在的分岔点的参数值，并且调整了分岔链的形状。通过优化控制器可以使 Logistic 模型的分岔行为满足一定的要求。 第四章设计了状态反馈控制器和 washout filter 控制器对 van der Pol-Duffing 系统的 Hopf 分岔的极限环幅值进行了控制。通过对控制方程的分析，了解了控 制参数和极限环幅值的影响情况，进而提出控制策略，设计了状态反馈控制器对 系统的 Hopf 分岔进行了控制。 第五章设计了线性反馈控制器对 Lorenz 系统的平衡点和周期轨道进行了控 制，首先利用 Routh-Hurwitz 准则对受控系统进行了稳定性分析，严格证明了达 到控制目标反馈系数的选择原则，最后通过数值计算证明了该方法能够有效地控 制混沌系统到稳定的平衡点同时也能使系统控制到 1P 周期轨道，并且得到了控 制到稳定的 1P 周期轨道的控制参数的选取范围。 本文的主要创新点在于将分岔控制理论应用于非线性振动系统的研究，丰富 了非线性控制理论研究的内容，加深了分岔理论研究的深度。具体表现在：对 Logistic 模型的倍周期分岔进行了反馈控制；首次将 washout filter 技术应用于二 维 van der Pol-Duffing 系统的 Hopf 分岔控制；应用线性反馈控制成功实现了对 Lorenz 系统平衡点的混沌控制和 1P 周期轨道控制。 关键词：分岔控制；非线性动力系统；状态反馈控制；多尺度法； Hopf 分岔
基于混沌理论的风力机控制系统设计
基于混沌理论的风力机控制系统设计随着气候变化的加剧，可再生能源越来越受到人们的关注和重视。
作为其中的一种能源，风能具有清洁、环保、可再生等特点，因此受到了广泛的关注和推广。
然而，风力机控制系统的问题一直是研究的难点之一，为了提高风力机的发电效率和控制的稳定性，研究者们一直在不断地进行探索和实验。
基于混沌理论的风力机控制系统设计，是其中的一种研究方法。
本文将从混沌理论的基本概念入手，分析混沌理论在风力机控制系统中的应用，以及存在的问题和未来发展趋势。
一、混沌理论的基本概念混沌理论是一种研究非线性动力学系统的理论，它的核心是混沌现象的研究。
混沌现象指的是某些看似随机的系统行为，实际上具有一定的法则和规律，但是这些法则和规律非常复杂，很难进行准确的预测。
混沌现象的本质是非线性系统中的混沌运动。
非线性系统是指系统的响应与外界输入不成比例，而是具有非线性的关系，因此，非线性系统的运动呈现出复杂多样的状态，难以通过简单的数学模型进行描述和分析。
而混沌运动是指非线性系统的混沌行为，表现出一种看似随机的、无序的状态，但实际上具有一定的法则和规律。
在混沌现象的研究中，混沌运动是核心和关键，其主要表现包括：轨迹紊乱性、分支性、周期倍增等。
这些特征使得混沌现象的研究充满了挑战和机遇。
二、混沌理论在风力机控制系统中的应用风力机控制系统是一个非常复杂的非线性系统，具有不稳定、非线性、强耦合等特点，因此，其控制难度很大。
为了提高风力机的发电效率和系统稳定性，研究者们探索了不同的控制方法，其中，基于混沌理论的控制方法成为研究的热点之一。
混沌控制方法主要包括混沌同步控制、反馈控制和自适应控制等。
其中，混沌同步控制是最为常用的一种方法，其基本思想是通过引入一个混沌信号来实现源系统与目标系统之间的同步。
这种方法可以在一定程度上提高风力机的控制性能，并减小控制误差和系统振动等问题。
除了混沌同步控制外，混沌反馈控制和自适应控制也被广泛地用于风力机控制系统的设计和优化中。
Newton—Leipnik系统混沌控制
混沌控 制方 法可 以分 为反馈 控制 和无 反馈 控制 ［ ． 馈控 制方 法可 以根 据受控 系 统的状 态进 行调 节 ， ５反 ］ 具 有微 扰较 小 的优 点 ， 但需 要 预先 了解 系统 的运 动 状态． 际的非 线性 系统 常常无 法 预先 了解 系统 的动力 实
在 Ｎｅ ｔｎＬ ｉｎｋ系 统 中 ， 口 ０ ４ ｂ ０ １ ５ 时 混 沌 运 动 状 态 ， 取 初 始 条 件 为 （ ｗ ｏ — ｅｐ ｉ 取 一 ． ，一 ．７ 选 ０
．
３ ４９， ０，
第 ３期
李 贤 丽 等 ： ｗ ｏ — ｅ ｎｋ系 统 混 沌 控 制 Ｎｅ ｔｎＩ ｉ ｉ ｐ
其 中 ： ２ ３个平衡 态处 于上 吸引 子 的中心 ， ４ ５个平 衡态处 于 下吸 引子 的 中心 ． 第 、 第 、 根据 线性 稳定性 分 析 ， 对第 １个平 衡态 ， 在平衡 点邻 域将 方程 线性化 ， 到 ３ 特征 值 ： 得 个
ｉ一 ０ １ ５ ０ ２一 一 ０ ４＋ ｉ ． ７ ， ． ， ３一 一 ０ ４一 ｉ ． ．
对 第 ２ ３个平 衡态 ， 到 ３个 特征值 ： 、 得
１一 一 ０． ９ Ａ ７ ９ ８， ｚ一 ０ ０８ ． ７ ４＋ １ ２１ ， ． １ ５ｉ ３— ０ ０８ ． ７ ４— １ ２１ ５ ． １ ．
对 第 ４ ５个平 衡态 ， 到 ３个 特征值 ： 、 得
１一 一 ０． ９ ２— ０ ０８ ７ ９ ５， ． ７ ３＋ ０． ５ ２ｉ ３— ０ ０ ８７ ， ． ８７ ３— ０ ８７ ｉ ． ５ ２．
控制混沌及超混沌
ｕ ｄ ｒｔ ｅ ｇ ａ ｔ Ｎｏ Ｇ ２ ０ ０ ７１ ４ ａ ｈ ｔｏ ａ ｎ ｅ ｇ Ｒｅ ｅ ｒ ｈ Ｐｒ ｅ ｔｏ ｉ ａ ｎ ｅ ｈ ｒ ｎ ． ０ ０ ６ ０ ｎｄ ｔ ｅ Ｎａ ｉ ｎ ｌＰａ ｄ ｎ ｓ ａ ｃ ｏｉｃ ｆＣｈ ｎ
Ｎ Ｏ．９５－Ｙ ｕ一４１． Ｍ ａｎｕｓ ｒｐｔ ｒ ｅ ｖｅ Ａ ｐｒ ３．２００ｌ ｎ ｅｖｉ ｄ ｒｉ ｅｃ ４．２００ｌ ｃ ｉ ｅｃ ｉ ｄ ：ｉ ｒ ｓｅ ｆ ｉｌＤ ｏ
自从 ＯＧＹ［ 混 沌 控 制方 法 提 出 以来 ，混沌 控 制 问题 已成 为 非 线 性 科 学 研 究 的热 点． 围 内外 Ｊ 学 者 相 继提 出 了许 多 不 同类 型 的 混沌 控 制 方 法 Ｉ ｓ， 参 数 微 扰法 、连 续 变 量 反 馈 法 、延 迟 反馈 ｌ Ｊ如 ｌ 法 和 自适 应 控 制 法 等 ， 但 是 大 多 限 于 低 维 （ 有 一 Ｌ ａ ｕ ｏ 仅 个 ｙ ｐ ｎ ｖ指 数 大 于 ０ ）的混 沌 系 统 ， 埘 于
控 制 混 沌 及 超 混 沌
卜 亮 王 绍 青 叶 恒 强 寿
混沌控制及OGY方法
1.3混沌控制混沌控制一般分为：消除，抑制混沌现象的发生。
即就是使系统稳定到期望的平衡点或周期轨道；另一个是使原混沌系统产生新的混沌现象或使原本稳定的系统产生混沌现象，这也就是所谓的“混沌反控制”问题，它的目的是诱导出有用的混沌现象。
因为还没有建立系统的混沌理论，对混沌发生的机制理解的不够全面，混沌反控制问题是一个很有挑战的领域，我们在这里所将的混沌控制仅指对混沌的抑制。
因为混沌所呈现的运动是剧烈震荡的，它的出现常使系统处于不稳定的状态，这在工程中往往是有害的，因而快速地抑制混沌就是我们控制的一个目标。
在混沌吸引子上镶嵌着无数的不稳定周期轨道，而这些周期轨道往往和系统的一些良好的性能相关，这也就成为混沌控制的另一目标。
我们将周期1的轨道成为平衡点，对平衡点的镇定我们可以看做是一般非线性系统的的镇定。
大于周期1的轨道我们常常称为不稳定周期轨道UPOs(Unstable Periodic Orbits)，对于一个混沌系统，如果我们能知道描述系统的动力学方程，其平衡点往往是能被求解出来的，并进行分析的；但是，我们却无法知道它的无稳定周期轨道的动力学特性，将混沌系统控制到自身所包含的一条不稳定周期轨道上，这也就成了混沌控制于其他控制的一个重要区别。
自从OGY法开辟了混沌控制的先河，已经发展了很多方法来进行混沌控制，如偶然正比反馈技术OPF (Occasional Proportional Feedback)[15]，变量反馈控制(Variable Feedback Control)[16-18]，周期脉冲控制法,参数周期扰动法等[19-21]，但这些方法很多都是在一定条件下才有效的。
现在很多学者开始将控制理论中的一些方法应用到对混沌的控制上面取得了非常好的效果，比如PID控制[22-24]，神经网络法[25-28]，模糊控制[29-31]，各种自适应控制[32-40]等，但是由于混沌系统的复杂性，并没有形成一种统一理论，大多数是对某一确定的混沌系统的控制，在这方面还需要大量深入的研究。
混沌稳定性分析及应用研究
混沌稳定性分析及应用研究第一章引言混沌理论作为一种新的动力学理论，在短短的几十年里就得到了广泛的应用，尤其是对于非线性系统的分析和控制方面有着重要的影响。
混沌是指一种复杂的非周期运动模式，它的运动是不可预测的，但时间上有一定的规律性。
混沌的数据具有很高的随机性和复杂性，其具有的分形、自相似、自组织等特征也被广泛研究和应用。
在混沌理论的基础上，混沌稳定性分析也是一个重要的方向。
本文将围绕混沌稳定性分析及应用展开论述。
首先介绍混沌的基本特征和分形等基础理论，随后详细讲解混沌系统的稳定性分析方法，包括李雅普诺夫指数法和分岔分析法，并且结合实例进行说明。
接着将介绍混沌控制方面的最新进展，包括开环控制、闭环控制和混沌同步控制等，最后将探讨混沌稳定性分析在现代科技中的广泛应用。
第二章混沌的基础理论2.1 混沌的定义与基本特征混沌是一个相对于周期运动和随机运动介于两者之间的动力学模式。
具体地，混沌的运动是非周期且具有确定的统计规律性，但是由于其敏感依赖于初始条件的特性，在长时间内其运动是不可预测的。
混沌现象的出现是由于非线性动力学系统的普遍性质，由此产生的混沌现象通常来源于系统参数的变化。
混沌数据具有分形、自相似、自组织等基本特征，同时其系统的规模、拓扑结构、耦合方式等都能影响混沌运动的特性。
在混沌理论的基础上，深入研究系统的拓扑结构和耦合方式等，可以实现对非线性系统的控制和优化等，具有重要的理论和实践意义。
2.2 分形与自相似混沌现象中最显著的特征之一就是其分形特性。
分形是指在不同尺度下具有相似结构的物体形态，例如树枝、云朵等。
分形是一种在几何形态上表现出层次性、自相似性、比例不变性、无限可再性等性质的图形。
混沌系统中的分形性与自相似也具有相似性，其非线性动力学方程正好代表了一种此类分形模型，例如Lorenz模型、Henon映射等。
分形和自相似的出现不仅在于此类系统的特性，更重要的是其应用于许多自然系统中，例如天气系统、经济系统、生态系统等，这些系统的结构和行为与分形有着密切的关系。
混沌系统的控制理论研究
混沌系统的控制理论研究一、引言混沌理论是一种非线性动力学理论，而随着人类社会不断进步，混沌系统也越来越重要，混沌系统的控制理论研究，一直是混沌研究的热点之一。
本文从混沌系统的控制出发，对相关研究进行总结和探讨。
二、混沌系统的基本特点混沌系统是指一类极其复杂而又混乱不堪的系统，而这类系统通常表现出三个基本特点：1. 灵敏依赖于初始条件：混沌系统对系统的微小差异或扰动表现出高度敏感性，十分依赖于系统的初始条件，微小差异可能导致系统演化出完全不同的动力学行为。
2. 等位面密集，分形结构：混沌系统的相空间等位面密布，表现出分形结构，这一特征表明混沌系统不同部分之间的密切联系性。
3. 态的混合：状态的混合指的是当混沌系统的不同初始状态被混合时，这些状态之间的联系变得十分复杂，不同状态之间的区分变得异常困难。
三、混沌系统的控制理论研究1. 混沌控制的研究进展混沌控制的研究是混沌系统研究的一个重要领域，它利用某些控制策略，将混沌系统的行为控制在特定的状态下，以满足特定的要求或实现目标。
曾有研究人员采用时延反馈控制法等控制策略，成功地将一些混沌系统趋向于某些指定的周期状态。
王锡德等人经过研究认为：在受到噪声干扰的情况下，小环路移相法能够影响系统的演化过程，达到对混沌系统的控制。
2. 混沌控制的基本思路（1）稳定周期解法。
在混沌系统的强阻尼条件下，可以通过使系统趋于某一周期状态，从而实现混沌控制。
（2）外加控制法。
通过外部控制场，可以改变系统的演化过程，使得系统必须从混沌状态中解脱出来，并并且控制系统的演化进入稳定状态。
（3）内部控制法。
在混沌系统本身内部，通过各种方式，如反馈、耦合等，可以实现对混沌运动的控制。
3. 混沌控制中存在的问题尽管混沌系统控制方案十分丰富并且已经取得一定的成果，但是混沌控制却存在着一些问题。
（1）方法的粗略性。
大多数混沌控制器都是基于简单的控制方法，其他的混沌控制器，如优化控制方法等，难以在实际中实现。
混沌控制方法综述
李晓颖陈至坤宋雪梅河北理工大学计算机与自动控制学院０６３００９
羹要一’、 本文简要介绍Ｔ混沌及混沌控制的主要任务，
重点阐述混沌控制方法以及混沌控制的广泛
应用，最后提出需要进一步研完 Ｙ法
鬻
Ｃｈａｏｓ甜旧ｔｈｅ ｔａｓｋ ｏｆ ｃｈａｏｓ ｃｏｒｔｔＰｏｌ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃ酣
部稳定流形上， （３）将参数复原，位于局部稳定流
形上的点自动渐近收敛于控制目标， （４）有时由于微调误差或噪声的影
响，需要反复调整参数。 ＯＧＹ控制方法的主要特点：一是混沌
吸引子中嵌入的任意一种周期轨道都可以 被选作控制目标，从而具有广泛的应用价 值，二是控制目标嵌入在当前的混沌运动 中，即它是镇定构成混沌吸引子的不稳定 周期轨道，所需的控制参数的摄动量和控 制能量均较少。三是不需要原系统的数学 模型，可只通过实验数据，即一维时间序 列，利用相空间重构技术构造混沌吸引子， 从而将混沌运动镇定到指定的周期轨道上。 这样为许多实际问题，特别是当非线性动 力系统的数学模型尚不清楚时，提供了一 种有效的控制方法。四是对于实际问题中 存在的小扰动或小噪声的情况下，ＯＧＹ方 法仍然有效。
万方数据
一４ｌ一
基础及前沿研究 中国科技信息２００９年第７期
ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＩ小ＩＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＢＹ ＩＮＦＯＢＭＡＴＩＯＮ Ａｐｒ．２００９
设计一种参数预估器，用最小二乘法来估 算预估器的参数，使得预估器的参数的改 变与系统的混沌过程直接关系。这样，通过 改变预估器的参数来实现回归估算动力学 模型的参数。最后，利用预估参数的模型算 出对系统的适当的输出量。如此经过反复 多次调整参数，使混沌系统的混沌过程最 终达到所控制的目标。只有当控制目标对 应的参考信号达到时，控制器才起作用，从 而实现了真正的混沌控制１２ Ｊ。
第五章流体动力学控制体雷诺输运定理流体力学
❖ 什么是体系? ❖ 在力学和热学中，基本物理定律适用的对象是一
个选定的物质系统,具有以下特征:
➢ 该系统始终由一定量的物质组成； ➢ 系统的边界把自己同周围的外界物质分开； ➢ 系统边界既可以固定不动，也可以运动，而且系统的
形状和系统所占据的空间都可以随时间发生变化； ➢ 可以透过系统边界和外界有功和热量的交换,但绝无质
5.2雷诺输运定理
CVIII
CVI
I
dA1
t
n
II III
u dA3
CVII
u
n
t t
考虑到dA面和vn的方向,并认为流出体系所在空间对应
பைடு நூலகம்
体积的流量为正,则单位时间流出微元面的N值为
(vndA) v dS
S的方向按CV的表面外法线方向计
4.3.3雷诺输运定理
CVIII
CVI
I
dA1
t
n
II III
流体的密度,微体积的质量
A1, t to
dm d
则有ms d s
y
x
5.1.1体系
进一步把式中的参数用流动参数表达也来,则得到关于流 体封闭体系的质量守恒方程. 这种分析方法就称为体系分析法
但是,由于运动中的流体系统将产生由移动、转动和变形 运动等组成的复杂运动，长时间难以追踪得到，甚至在 紊流流动状态由于流体的混沌，严格讲要辨认哪些流体 仍否属于原来的流体系统都成了问题.
这种分析方法就称为 控制体分析法
控制体与体系的区别
名称
定义
边界特性
适用
体系
物质的集 有力、能交换， 拉格朗
合
无质量交换
日法
控制体
混沌系统控制与同步技术研究
混沌系统控制与同步技术研究混沌系统是指某些动力学系统在一定条件下所呈现出的不稳定、高度复杂、且无规律可循的状态。
这种状态在自然界中广泛存在，在机械、化学、物理、生物等各个领域都有着广泛的应用。
但是，由于混沌系统具有高度的复杂性和敏感性，所以深入研究和掌控混沌系统的控制和同步技术对于提高社会发展的科学水平和人类的生产生活水平都有着重要的意义。
混沌系统控制是指通过外部干扰手段对混沌系统的状态进行控制，使其呈现出所需的状态。
混沌系统同步则是指通过耦合机制将多个混沌系统的混沌状态变得相同或相似。
混沌系统的控制和同步技术应用广泛，如在通信系统中让多个混沌发生器产生相同频率的混沌信号，形成保密的加密通讯信道；在力学系统中实现控制，可以用于降防楼房等工程实现振动的干扰控制。
下文将从混沌系统控制和同步技术的研究现状、方法及应用等方面来对这个主题进行探讨。
一.混沌系统控制技术的研究现状混沌系统控制技术的主要研究思路包括传统的线性控制、非线性控制、自适应控制、混杂控制等。
其中，线性控制方法是最早被引入混沌系统中的一种方法，通过反馈作用来调控混沌系统，但是这种方法只能对某些类型的混沌系统产生有效的控制作用。
非线性控制方法是针对混沌动力学方程的非线性特性所提出的一种控制方法，其思路是通过控制系统的结构和参数来实现混沌系统的控制。
非线性控制方法依赖于混沌系统本身的结构和动态特性，能够对很多混沌系统产生有效的控制效果。
自适应控制是一种动态自适应性的控制方法，其思路是通过不断地学习现有控制结果，对控制系统的参数进行调整和改变，以适应外界环境的变化和内部状态的变化。
自适应控制方法被广泛应用于混沌系统中，可以有效地控制复杂的非线性系统。
混杂控制是基于混沌滑模理论的一种控制方法，通过构建混沌观测器和滑模控制器来实现混沌系统的控制。
它采用新的变量反馈方法实现非线性控制和同步，具有优异的性能和精度。
二.混沌系统同步技术的研究现状混沌系统同步技术的研究思路主要包括基于控制的同步方法、基于耦合的同步方法、基于反馈的同步方法、自适应同步方法等。
复杂系统的控制——混沌理论与控制
复杂系统的控制——混沌理论与控制近年来，人类社会经济和科技发展迅速，不断涌现出各种复杂系统，如交通、通讯、金融等都包括在内。
复杂系统的不确定性和复杂性不仅影响了科技进步，也影响了生活和环境。
因此，清晰正确的了解复杂系统的特性和行为将是人们不断进步的关键之一，混沌理论因此应运而生，成为掌握和控制复杂系统的有力工具之一。
一、什么是混沌理论？混沌理论是研究非线性动力学的一种数学工具。
与传统线性动力学相比，线性动力学是接受量和输出量之间的线性关系，而混沌理论则是接受量和输出量之间的非线性关系，因此表现出复杂和难以简化的行为。
二、混沌系统的特点混沌系统有三个重要特点：１.混沌系统是确定系统，其演变过程是从初始状态出发经过一系列可预测的规则而发展演化的。
２.混沌系统敏感依赖于初始条件。
只要微小变化，就可能会导致这个系统激烈的演化、发生不可预测的行为。
３.混沌系统存在简单的发生器：混沌发生器。
它可以利用混沌系统的自发性而生成不可预测的信号。
三、混沌控制混沌控制是对混沌系统行为的控制和预测方法。
其目的是在特定条件下，通过不同的施加控制策略来控制和改变混沌系统的特殊行为。
现在有几种方法被广泛应用于混沌系统的控制：开环和闭环控制、线性和非线性反馈控制等。
其中，非线性反馈控制是混沌控制的一个重要方法。
四、混沌控制实际应用混沌控制已经应用于很多领域，如通信、机械控制等领域。
例如，主要的手机制造商都使用了混沌控制方法来设计手机的天线，以减少电磁干扰和提高通信质量。
在机械控制领域中，混沌理论的应用非常广泛，因为机械振动现象会导致许多问题，如噪声、磨损和结构疲劳。
五、总结总之，复杂系统的研究和控制将是我们未来社会的一个重要议题，而混沌理论为掌握和控制复杂系统提供了一个全新的视角和方法。
研究混沌理论和混沌控制将使我们更好地理解和掌握这些复杂系统的行为，并为我们创造更加安全、高效和环保的新技术。
类Lorenz方程组的混沌控制
摘
要 ： 阐 述 了平 而不 呵压 缩 的 Ｎａｉｒ ｔｋｓ方 程 的 个 五 模 类 Ｌ ｒｎ ｖ — ｏｅ ｅＳ ｏｅｚ系统 的 混 沌控 制 问 题 ， 通 过 分 析其
平 衡 点 的 稳 定 性 ，利 用 线 性 反 馈 的方 法 把 系统 控 制 到不 稳 定 的平 衡 点 ， 同 时用 Ｌ ａ ｕ ｏ 第 二方 法 证 明 ， 最 后 数 ｙｐｎｖ 字仿真证明这种控制方法的有效性 。 关键 词 ： 混沌 控 制 ： 线 性 反 馈 ： Ｌ ａｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ第 二 方 法
第 ３ 第 ４期 ０卷 ２ １ 年 ８月 ００
版 辽 宁工业 大学学报 （ 自然科 学 ）
Ｊｕ ａ ｏ ｉｏ ｉｇ ｉｅｓ ｙ ｆ ｅｈ ｏｏ ｙＮ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ｌ ｆ ａ ｎｎ ｖ ｒｉ ｃ ｎ ｌｇ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｉｏ ） ｎ Ｌ Ｕｎ ｔｏ Ｔ ｅ Ｅ ｉ
（ ． ｃｅ ｃ ｌ ｇ ， ｉ ｏ ｉ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆ ｃ ｎ ｌ ｇ ， ｉ ｚ ｏ ２１ ０１ Ｃｈ ｎ １ Ｓ ｉ ｎ ｅＣｏ ｌ ｅ Ｌ ａ ｎ ｎ ｉ ｅ ｓｔ ｏ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｙ Ｊｎ ｈ ｕ Ｉ ０ ， ｉ ａ ｅ ｙ
２ Ｃｏ ｍｐ ｔ ｒ ｃ ｅ ｃ ｐ ， ｉ ｚ ｏ ｅ ｃ ｅ ｒ ｉ ｉｇ Ｃｏ ｌ ｇ ， ｉ ｚ ｏ ２１ ０ ， ｉ ａ ｕｅ ｉｎ ｅ Ｄｅ ｔ Ｊｎ ｈ ｕＴ ａ ｈ ｒ Ｔ ａｎ ｎ ｌ ｅ Ｊ ｎ ｈ ｕ １ ０ ０ Ｃｈ ｎ ） Ｓ ｅ
本 文研 究 了平 面 上不 可压 缩 的Ｎａ ｉ —ｔｋ ｓ ｖｅ Ｓｏ ｅ方程 的 一 个 五模 类Ｌ ｒｎ 混沌 系 统 。主要 从 三个 方面 进行 ｒ 一 ｏｅ ｚ
阐述 ，即对于相 关 混沌 系统 分析 其平 衡 点 、利 用线 性反 馈 的方法 设计 简 易控制 器 实现控 制 、用 Ｌ ａｕ０ 第 ｙｐｎ ｖ
混沌控制及OGY方法
1.3混沌控制混沌控制一般分为：消除，抑制混沌现象的发生。
即就是使系统稳定到期望的平衡点或周期轨道；另一个是使原混沌系统产生新的混沌现象或使原本稳定的系统产生混沌现象，这也就是所谓的“混沌反控制”问题，它的目的是诱导出有用的混沌现象。
因为还没有建立系统的混沌理论，对混沌发生的机制理解的不够全面，混沌反控制问题是一个很有挑战的领域，我们在这里所将的混沌控制仅指对混沌的抑制。
因为混沌所呈现的运动是剧烈震荡的，它的出现常使系统处于不稳定的状态，这在工程中往往是有害的，因而快速地抑制混沌就是我们控制的一个目标。
在混沌吸引子上镶嵌着无数的不稳定周期轨道，而这些周期轨道往往和系统的一些良好的性能相关，这也就成为混沌控制的另一目标。
我们将周期1的轨道成为平衡点，对平衡点的镇定我们可以看做是一般非线性系统的的镇定。
大于周期1的轨道我们常常称为不稳定周期轨道UPOs(Unstable Periodic Orbits)，对于一个混沌系统，如果我们能知道描述系统的动力学方程，其平衡点往往是能被求解出来的，并进行分析的；但是，我们却无法知道它的无稳定周期轨道的动力学特性，将混沌系统控制到自身所包含的一条不稳定周期轨道上，这也就成了混沌控制于其他控制的一个重要区别。
自从OGY法开辟了混沌控制的先河，已经发展了很多方法来进行混沌控制，如偶然正比反馈技术OPF (Occasional Proportional Feedback)[15]，变量反馈控制(Variable Feedback Control)[16-18]，周期脉冲控制法,参数周期扰动法等[19-21]，但这些方法很多都是在一定条件下才有效的。
现在很多学者开始将控制理论中的一些方法应用到对混沌的控制上面取得了非常好的效果，比如PID控制[22-24]，神经网络法[25-28]，模糊控制[29-31]，各种自适应控制[32-40]等，但是由于混沌系统的复杂性，并没有形成一种统一理论，大多数是对某一确定的混沌系统的控制，在这方面还需要大量深入的研究。
非线性动力系统控制理论研究
非线性动力系统控制理论研究第一章：引言近年来，随着科学技术的进步和社会经济的快速发展，非线性动力系统控制理论逐渐成为人们关注的热点问题。
非线性动力系统广泛存在于自然界和人类活动的各个领域，如电力系统、航空航天、化工、生物医学等，如何有效地控制非线性动力系统的稳定性、精度和性能一直是一个亟待解决的难题。
本文旨在综述非线性动力系统控制理论的研究进展，包括非线性动力系统的基本概念、常见的控制方法、经典的控制案例和未来的发展趋势。
第二章：非线性动力系统基本概念非线性动力系统是指系统的输出和输入之间不是简单线性关系的一类动力学系统。
非线性系统具有复杂性、多变性和不可预测性等特点，如混沌现象、周期运动、非周期运动等。
非线性动力系统的基本概念包括：1. 相空间：相空间描述了系统状态的集合，每一个状态用相空间中的一个点表示。
相空间通常是一个n维的空间，其中n代表系统的变量个数。
2. 相轨：系统状态随着时间变化的轨迹称为相轨，相轨是相空间中的一条曲线，反映了系统状态的演化过程。
3. 相图：相图是系统在相空间中的整体性质的表现。
相图可以通过在相空间中找出相轨之间的关系而建立起来。
相图反映了系统的稳定性和混沌性等特性。
第三章：非线性动力系统的控制方法针对非线性动力系统的调控，目前主要有以下几种方法：1. 反馈控制：利用系统输出信息对控制器进行调节的方法称为反馈控制。
反馈控制可以根据系统输出的偏差信息自适应地调节控制器的参数，从而实现对系统状态的控制。
2. 非线性控制：非线性控制是针对非线性动力系统特点设计的一类控制方法。
它能够考虑系统的非线性性质，利用非线性控制技术从源头上排除非线性因素影响，提高系统的控制性能和稳定性。
3. 模糊控制：模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，它通过不确定性的描述来处理非线性动力系统的复杂性和不确定性。
模糊控制可以有效地应对非线性动力系统中的混沌现象，提高系统的稳定性和鲁棒性。
第四章：经典的非线性动力系统控制案例1. 稳态误差控制：将系统反馈误差作为控制信号进行调节，可有效降低系统稳态误差。
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Challenge: How much time and energy is needed for control?
9
3.5. CONTROLLED SYNCHRONIZATION
3.5.1. Model of coupled pendulums
- f1 , f 2 disturbances;
- k coupling strength (stiffness of the spring). 10
3.5.2 Design of synchronization algorithm
H , , , 1 2 2 1 cos 1 2 2 1 cos k 2
期轨道做有规律的周期运动（控制混沌的目 标）。用小信号来维持此目标态的稳定性。
三、实现方法
如一个可调单参数时间连续D维系统，动力学方程为
dx dt
F
X
,
P ，X 为D维态矢量，P为可调参数。
设系统的信息仅由某个测量过程得到，所以可用系统相空
间D中标量函数z来表示该测量过程。
若在t时刻的状态为 y t D，则测得的时间序列标量函数
为 z t z y t 。
利用时间序列重构技术，采用延迟时间为T，嵌入维为M
的延迟坐标，可重构出M维延迟矢量：
x t z t , z t 1 , , z t M 1T RM
为方便起见，一般选 xt 的一个分量为常数，如
xtn M z tn MT C 为实验截面。
此方法给出了截面上的点列n RM1以及它们之间的映象
的思想是个里程碑 • 1990年同时，L.M.Pecora，T.L.Carroll提出混
沌同步的思想 • 接着W.L.Ditto，R.Roy完成控制混沌的实验
“Control of Complex Systems”
Method of Ott-Grebogi-Yorke (OGY):
The problem is reduced to a standard linear control problem.
1 2 , H H H* , 0 gain, 0 1
11
Total system energy:
H 1,1,2 ,2
1 2
12
21
cos1
1 2
2
2
21
cos 2
k 2
1
2
2
Q
(1 ,2 )
1 2
2
1 2
1
2
2,
{1,1}
QH
(x)
1 2
H ( x)
H*
2 ,
i
lim
t
i t
t
（13）
由式（12）可以求出系统的Lyapunov指数。
（12）
5.2 控制和利用混沌的意义
一、利用混沌的意义： 混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性，表现在对 初值的敏感依赖性，或对小扰动的极端敏感性。 • 概念：不稳定周期轨道——若系统严格的处于其上，则它会永
远的留在这条轨道上，但只要有相对于这条轨道的极小偏差， 则偏差将随时间指数的增长，系统将会很快离开此轨道。 • 特点：对于一个具有无穷多不稳定周期轨道的集合上，这种周 期轨道，由于不稳定性存在，而使其不可能被观察到，观察到 的是一种奇怪的“似乎”随机的跳动，被称为混沌轨道。 以前人们认为：混沌运动既不可预报，又不可控制，故希望避免这 种“有害”现象，所以工程设计是总是要消除系统中任何混沌行为。 二、控制、利用思想的形成、发展 • 1950年 John Von Nenmann：利用混沌敏感性； • 1987年 Hubler 与 Luscher：引入控制混沌的思想
法。The Ott-Grebogi-Yorke (OGY) method
• 同时：T.L.Carroll与L.M.Pecora——混沌自同步方案 Ditto——电路系统混沌现象控制实验 Hunt——控制激光系统混沌实验 Carroll——由混沌同步化进行保密通信的实验
三、混沌系统的优越性和应用前景 OGY法通过对系统参数作小扰动并反馈给系统，实现了把系统的轨
第五章 混沌控制
• 混沌控制是指混沌的控制与诱导。混沌的控制与诱导 是非线性动力系统与非线性控制的新理论与新方法， 是智能控制的重要组成部分。
• 由于非线性动力系统的混沌现象是由某些关键参数的 变化引起的，所以关于控制或诱导混沌的一种十分自 然的想法是直接控制或调整这些参数。
• 包括参数扰动法、纳入轨道（引导轨道）和强迫迁移 （migration），Jackson、工程反馈控制法、混沌同 调、利用混沌。
Z in 表示系统的初始向量，
且
dM dt
DF M
（4），令M=QR
（5） ，其中.Q为n×n正交阵，
R为n×n正定. 上三角阵，将（. 5）代入（4）有Q R Q R DF QR （6）
所以有 QT Q RR1 QTQ R R1 QT DFQRR1 (7)
又因为Q为n×n正交阵，所以 QT Q1
系统 → 系统变为稳定周期轨道 ↑
原驱动力 ＋驱动力的合适项（也可认为是小的扰动）
倒立摆的铅垂平衡（不是混沌系统），就是通过小车等
的适当小移动来保持在本质上是不稳定的铅垂状态。这
是一个控制不稳定不动点的例子。
• 1990年, Ott。Grebogi 和Yorke 开创性工作——基 于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这 一事实，提出一种控制混沌运动的具体办法——OGY
n+1 f n , p 。在此截面上时间连续的周期轨道表现为有限
点集的时间离散轨道，进而研究这些点邻域内离散映象的
动力学行为。
注：与一般嵌入要求不同，再此实现点集嵌入时，嵌入维M 只要与该点坐标维数相同就足够了，所以M=D-1。如 D=3，M=2。 对序列 n 可确定混沌吸引子的许多不稳定周期轨道。接着 是选出合适的不稳定周期轨道，把它稳定化。为简化，设
..
QT Q R R1 QT DFQ (8)
1
k l i, j
设
Qklij
cos sin
k l i或k l j k i, l j
sin
k j,l i
设R，令
0
e1
0
r12 e2
其它
r13 r23
r1n r2 n
（9） (10)
R
0
r( n1) n
0 0
0
en
其中
i
是和系统Lyapunov指数相关的量
.1 r1'2 r1'3
，rij
r1'n
表R阵上的其它量。
所以有 .
0
.
2
r2 ' n
r' ( n 1)
n
（11）
.
0 0
0 n
由（9），（10），（11）有：i sii , i 1, 2, , n
其中 S QT DFQ ， 此时系统(1)的Lyapunov指数为
令是不由n动序1 点列确FF 定pp的 矢pg量，M。g所以n 有FF ppp， 其|p中0 0M是2p×12矩F阵 。p
n1 pn g u eu fu s es fs n pn g eu与es是不稳定与稳定流形方向上的单位矢量，u与s是不动
点处的不稳定与稳定本征值（ u 1 s），g, eu , es , u , s 均可
5.1 混沌动力学系统的特性分析——同时 含有Lyapunov Exponents
一、线性定常连续系统
二、非. 线性连续系统
一中 x Ax x(0, x0 ) x0 Rn ，A为n×n常数矩阵 ，
解为xt xt, x0
或 x0
二中
dz F dt
场。令 Z
lim1ln
t t
z,t (1)
Andrievsky B.R.,Fradkov A.L. Feedback resonance in single and
coupled 1-DOF oscillators // Intern. J of Bifurcation and Chaos, 1999,
N 10, pp.2047-2058.
道稳定在无穷多不稳定轨道中预期的一条特定轨道上。 1.表明：仔细选择小扰动可对系统的长时间行为产生大的有益变
化 对混沌系统，可以不用改变系统的整体构形，通过对系统的参 数作小的改变就可以使其稳定化于不同的周期轨道 2.表明：只以很低的能量消耗就能在同一混沌系统的不同周期
轨道之间 实现转换，产生各种各样的稳定化的周期运动。 同时混沌系统的这种敏感性还有利于迅速地引导轨道进入期望地状 态。如：NASA——将ISEE—3I/C太空船在完成主要任务后，用 仅剩地少量肼燃料送到了距太阳8千万英里地地方，首次实现了与 彗星地碰撞。这就是由于天体力学地“三体问题”对扰动敏感性地
15
1, 1 2 - inphase motion
16
1, 1 2 , system with loss ( 0.1)
17
二、基本原理 现象：何混沌轨道中都内含无穷多个不稳定的周期轨 道（即原有混沌系统的解的轨道—若系统初始处于这 些轨道上，那么系统将永远保持在这些轨道上），这 些轨道稠密地分布到混沌吸引子的各个角落。 事实上，由于轨道不稳定（非稳定轨道），所以其附 近的系统都会远离这些轨道。 控制思想：由于有无穷多不稳定周期轨道稠密地分布 于混沌吸引子闭包上，故有可能通过对系统的参数连 续施加微小扰动，使在无穷条不稳定周期轨道中所期 望的那个不稳定周期轨道稳定化—使系统进入这个周
1 2 , H H H* , 0 gain, 0 1
13
3.5.4 Simulation results