一阶电路分析

电路分析基础
一、换路定理
由于储能不能发生跃变，与能量有关的iL和uC，在电 路发生换路后的一瞬间，其数值必定等于换路前一瞬间 的原有值不变。
换路定理用公式可表示为：
注意：
这是在电容的电流、电 感的电压为有限值条件 下得出的结果
i L (0 ) i L (0 ) u C (0 ) u C (0 )
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7.2 一阶电路的零输入响应
一阶电路----由一阶微分方程描述的电路。通常只含有一个动态元件。 零输入响应----输入为零，仅由初始储能作用而产生的响应。
一阶电路的电路结构
任 意 一 阶 电 路
二端 网络
C
N
二端 网络
R0 + uoc R0 + uoc 返节目录
C
N
L
L
故：只需研究一阶RC和一阶RL电路即可
RC ------时间常数
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齐次方程的解：
uC (t ) Ke st Ke

1 t RC
Ke

tBiblioteka Baidu

初始条件（边界条件）：uC (0) U S 代入上式得: K U S
故：
u C (t ) u C (0)e

t

U Se
t

t RC
uC iC (t ) iR iC (0)e R
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本章要求
一、要求
1、熟悉“换路”这一名词的含义；牢固掌握换路定 律； 。 2、了解“暂态”与“稳态”之间的区别与联系；理 解暂态分析中的“零输入响应”、“零状态响 应”“全响应”及“阶跃响应”等概念；充分理解一 阶电路中暂态过程的规律； 。 3、熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法；了解阶 跃函数及阶跃响应计算。
换路发生在t=0时刻，(0-)为换路前一瞬间，该时刻电 路还未换路；(0+)为换路后一瞬间，此时刻电路已经换 路。
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二、电路初始值的确定
初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+ 时 的大小。
1. 根据换路前一瞬间的等效电路，应用电路
基本定律确定iL(0_）和uC(0_）。 从而由换路定理得 iL(0+）和uC(0+）。
1τ e-1
0.368US
2τ e-2
0.135US
3τ e-3
0.050US
4τ e-4
0.018US
5τ e-5
0.007US
由表可知，经历一个τ的时间，电容电压衰减到初始值 的36.8%；经因两个τ的时间，电容电压衰减到初始值的 13.5%；经历3~5τ时间后，电容电压的数值已经微不足 道，虽然理论上暂态过程时间为无穷，但在工程上一般认 为3~5τ暂态过程基本结束。
_
_
i
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如图电路，换路前已达稳态，t=0时S打开，求 iC(0+) 。
根据换路前电路求uC(0-） 换路前电路稳态，电容等效为开路，如图， 有 i
＋ －
R1 10k 40k R2 S
＋ －
10V
uC
40 uC (0) uR2 (0) 10 8V 10 40
根据换路定理，有
也不为零，这种情况下换路引起的电路响应。
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暂态过程产生的原因
电阻电路
S
＋
I
(t = 0)
R
I
U _ S
0
t
电阻元件是即时耗能元件，其电压、电流在任一瞬 间均遵循欧姆定律的即时对应关系。因此，电阻元 件上不存在暂态过程。
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R-L电路
S
＋
R (t = 0) L
iL iL
2、换路：引起电路工作状态变化的各种因素。如：电
路接通、断开或结构和参数发生变化等。
3、暂态：动态元件L的磁场能量WL=1/2LI2和C 的电场能
量WC=1/2CUC2，在电路发生换路时必定产生 变化，由于这种变化持续的时间非常短暂，通 常称为“暂态”。
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4、稳态：电路发生换路时响应产生变化，这种变化过程
根据换路前电路求iL(0-） R1
＋
R2 4Ω
换路前电路稳定，电感等效为短路
1Ω
US 10 iL (0) 2A R1 R2 1 4
根据换路定理有
10V
－
S
＋ －
iL
uL
iL (0) iL (0) 2A
R1 S
R2 4Ω
＋
根据t=0+等效电路（电感等效为2A电流源）， ＋ 1Ω 如图，有 10V
二、作业
7-5,7-27,7-30,7-32（注：图中漏标控制量u。u为8电阻两 端电压，左正右负）, 7-38,7-42,7-48,7-51,7-54
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7.1 换路定理及初始值计算
基本概念 1、状态变量：代表物体所处状态的可变化量称为状态
变量。如电感元件的iL及电容元件的uC。
＋ －
iC uC
du －S iC C C VAR dt duC RC uC 0 一阶的常系数齐次微分方程 dt 1 s 特征根： 特征方程： RCs 1 0 RC
齐次解： uC (t )
Ke st Ke

1 t RC
Ke

t

s
1 ------固有频率 RC
（暂态过程）结束后电路达到新的稳定状态。----稳态
5、零输入响应：电路发生换路前，动态元件中已储有
原始能量。换路时，外部输入激励为零，仅在 动态元件原始能量作用下引起的电路响应。
6、零状态响应：动态元件的原始储能为零，仅在外部
输入激励的作用下引起的电路响应。
7、全响应：电路中既有外部激励，动态元件的原始储能
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第7章 一阶电路分析
7.1 换路定理及 初始值计算 7.5 阶跃函 数和阶 跃响应 7.4 一阶 电路的 全响应
7.2 一阶 电路的 零输入响 应
7.3 一阶 电路的 零状态响 应
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电路分析基础
【内容提要】
本章重点讨论RC、RL一阶电路在恒定激励 下方程的编写和求解，以及初始值、时间常数、 零输入响应、零状态响应、全响应、暂态响应、 稳态响应等重要概念，要求熟练掌握应用三要 素公式求解恒定激励下一阶电路响应的方法。
U _ S
0
电容元件也是储能元件，其电压、电流在任一瞬间也 遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的电能：
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容 的电路也存在过渡过程。
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1 2 WC uidt CuC 0 2

t
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换路
电路元件参数，结构及连接方式的改变称为换路。
通常通过开关动作（接通或断开）引起电路变化达到换路目的。 若开关动作的瞬间作为时间坐标的参考原点，即t=0点。则把换 路前、后的瞬刻分别用0_和0+表示，即t=0_和t=0+点。 。
二、动态电路的分析方法
时域法：在时间域中分析电路系统。数学工具：微分方程
经典数学分析：响应（微分方程的解）=齐次通解+非齐次特解 电路理论分析（分解法，叠加法）：响应=零输入响应+零状态响应 频域法：在频率域中分析电路系统。数学工具：傅里叶级数和傅里叶变换 复频域法：在复频率域中分析电路系统。数学工具：拉普拉斯变换
2. 根据换路后一瞬间的等效电路，应用电路基
本定律确定其它电量的初始值y(0+)。
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已知 iL(0 ) = 0，uC(0 ) = 0，试求 S 闭合后瞬间，电路中所标示的 各电压、电流的初始值。
S uC iC ＋ u2 _ ＋
1μF
_
根据换路定律可得： iL(0+) = iL(0–) = 0，相当于开路 uC(0+) = uC(0–) = 0，相当于短路 可得t = 0+时等效电路如下
US R
US _
电感元件是储能元件，其电压、电流在任一瞬间 均遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的磁能：
0
t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电感的电路存在过渡过程。
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1 2 WL uidt LiL 0 2

t
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R-C电路
S
＋
R
(t = 0) C
＋
uC iC _ uC US t
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RC零输入过渡过程中的响应规律曲线
u C (t ) u C (0)e
t

U Se

t RC
t
uC iC (t ) iR iC (0)e R
iCuC
US
iC(0+)
uC
RC过渡过程时间常数 的意义： 响应由初始值衰减到 初始值的0.368倍所需 要的时间。
iC
uC (0) uC (0) 8V
画出t=0+等效电路如图（电容等效为 8V电压源
R1
＋ －
ic(0+） 40k R2
＋
10k
10V
8V
－
U S u C (0) 10 8 i C (0 ) 0.2mA R1 10
S
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电路分析基础
如图电路换路前已达稳态，t=0时S闭合，求 uL(0+) 。
t<0
uC U S
iC 0
t=0+ uC (0) U S t>0 t=∞
uC (t ) iC (t )
US iC (0 ) R
uC () 0，iC () 0
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定量分析
列t>0时电路方程，得： KVL uC RiC
1 S ＋ t=0 2 U R C
u L (0) iL (0) R2 2 4 8V
－
－
uL
iL(0+）
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求初始值的一般步骤
1、由换路前电路（稳定状态下，电容等效为开路，电感 等效为短路）求 uC(0-) 和 iL(0-)；
2、由换路定理得 uC(0+) 和 iL(0+)； 3、画出t=0+的等效电路图： iL(0+)=0时相当开路；iL(0+)≠0时相当电流源； uC(0+)=0 时相当短路；uC(0+)≠0时相当电压源；
1 0 故： uc (0 ) uc (0 ) ic ( )d c 0
结论：
当ic(t)为有 限值时，该 项为0
当流过电容的电流ic为有限值时，电容器两端的电压不 能突变。即换路前电容两端的电压跟换路后电容两端的 电压相等。
u c (0 ) u c (0 )
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换路前瞬刻电容电压uc(0_)和电感电流iL(0_)称为电路原始状态。
换路后瞬刻电路的响应y(0+)称为电路 的初始值。初始值即求解响应量所需要 的初始条件。
S
＋
R (t = 0)
如何根据初 始状态来确 定初始值？
U _ S
C
＋
iC
_ uC
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讨论：
电路分析基础
1 0 1 t 由于： uc (t ) ic ( )d ic ( )d c c 0 1 t uc (0 ) ic ( )d c 0
S
iC ＋ u2 1μF 10Ω
(t = 0)
＋ 20V
_
10Ω
20Ω iL ＋ 0.1H ＋ u1 uL
_
_
i
_
其他各量的初始值为：
u L (0) u1 (0) 20V u 2 (0) 0 20 iC (0) i(0) 2A 10
＋
_
20V
20Ω ＋ ＋ 0.1H u1 uL
电压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电 感电流的参考方向应保持相同。 4、由t=0+的等效电路图进而求出其它响应的0+值。
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动态电路的数学分析
一、电路的阶的概念：
动态电路-----微分方程描述 线性时不变动态电路------线性常系数微分方程描述
动态电路的阶=微分方程的阶=电路中相互存在能量交换的动态元件的个数

结论：一阶RC电路的零输入响应总是按指数规律衰减的，其 实质是电容储能释放的过程，故衰减过程是由初始值过渡 到稳态值0。衰减的快慢取决于时间常数τ。
y(t ) y(0)e

t

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电路分析基础
u C (t ) u C (0)e
t

U Se

t RC
式中R用Ω，C用F时，时间常数τ的单位是秒[s]。如果 我们让上式中的时间t 分别取1τ、2τ直至5τ，可得到如 下表所示的电容电压在各个时刻的数值：
0.368US 0.368iC(0+)
0
iC
τ
t
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2. RL电路的零输入响应
图示电路换路前已达稳态。t=0时 开关闭合，暂态过程在R和L构成 的回路中进行。 响应仅由电感储能引起----RL电 路的零输入响应。
t
R IS
电路分析基础
1. RC电路的零输入响应
US 1 S ＋ t=0 2 US
－
R iC C
＋ －
uC
如图所示电路在换路前已达稳 uC US/R 态。t=0时开关由位置 1迅速投向 iC 位置2，讨论t>0后uC (t)和iC(t) 。 t 0
分析：t>0后电路的响应由uC (0+)经R引起-----RC电路的零输入响应。 定性分析：