点三次Hermite插值多项式
1.6 埃尔米特插值
（2）基函数方法
基函数方法：
0 (x0 ) 1, 0 (x1 ) 0 (x0 ) 0 1 (x1 ) 1, 1 (x0 ) 1(x0 ) 0 0 (x0 ) 1, 0 (x0 ) 0 (x1 ) 0
2
0
( x)
1
x x1
x0 x0
2
1 ( x)
2
x x0 x1 x0
0
(
x)
(
x
x0 )(x (x1 x0
)2
x1
)
第三种解法
（3）待定系数法
p2(x) ax2 bx c p2(x) 2ax b
aaxx1022
bx0 bx1
c c
y0 y1
2ax0 b y0
题4
不同插值节点，同一个插值节点上仅有函数值（或 者一阶导数值）
设x0 x2,求作次数 2的多项式p(x)，使满足条件 p(x0 ) y0, p(x1) y1, p(x2 ) y2
由此可导出(29)式
2，数学描述
设在节点 a x0 x1 xn b上，
y j f (x j ) ， mj f (x j ) ( j 0, 1, , n)
要求插值多项式 H (x) 满足条件 H (x j ) y j , H (x j ) m j ( j 0, 1, , n)
Hermite插值问题常用解法
（1）基函数构造法 （2）待定系数法 （3）基于承袭性
根据有函数值的插值节点条件构造插 值多项式（泰勒，拉格朗日，牛顿等）， 再结合其他插值节点的导数条件构造一个 附加项，由待定系数法给出系数，从而得 到所求插值多项式
例：按下表求Hermite插值多项式
解法一：由于插值条件有5
数值分析答案
(0 − 1)(0 − 2)
(1 − 0)(1 − 2)
(2 − 0)(2 − 1)
2．已知函数 y = f (x) 的数据如下表
x0
1
2
3
y1
3
9
27
试作一个三次插值多项式 P3(x),利用 P3(x)计算 3
解：令 xk = k (k = 0，1，2，3)，则根据函数表有 f(xk)= 3k。构造差商表
f
′′( x) |
h 2
h 2
=
h2 8
max |
f ′′( x) |
10．已知二元函数 u(x，y)在四个点 P1(x1，y1)，P2(x2，y1)，P3(x2，y2)，P4(x1，y2)处 的函数值为 u1，u2，u3，u4，试推导双线性插值函数
uh(x，y) = a + b x + c y + d xy
= =
−1 1
解之：a
=1，b
=
0
所以，H3(x) = x3。 4．设被插值函数 f(x)在区间[x0，x1]上具有 2 阶连续导数，求证：两点线性插值函数 L(x)
的误差界满足不等式
| R( x) |≤ max | f ′′( x) | ( x1 − x0 )2
x0 ≤ x≤ x1
8
证：由拉格朗日插值误差定理，得
x
f(x)
0
1
1
3
2
2
9
6
2
3
27
18
6
4/3
根据 Newton 插值公式
P3
(
x)
=
1
+
2x
+
2x(
数值分析误差限的计算公式
数值分析误差限的计算公式1、误差x∗为 x 一个近似值绝对误差：e∗=x∗−x相对误差：e∗r=e∗x=x∗−xx，由于真值 x 总是不知道的，通常取e∗r=e∗x∗=x∗−xx∗误差限：|x∗−x|≤ε∗相对误差限：ε∗r=ε∗|x∗|ε(f(x∗))≈|f′(x∗)|ε(x∗)2、插值法记ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn)Lagrange 插值多项式系数：lk(xk)=(x−x0)⋯(x−xk−1)(x−xk+1)⋯(x−xn)(xk−x0)⋯(xk−xk−1)(x −xk+1)⋯(x−xn)Lagrange 插值多项式：Ln(x)=∑k=0nlk(x)yk=∑k=0nykωn+1(x)ω′n+1(xk)(x−xk) 余项：记 Mn+1=maxa≤x≤b|fn+1(x)|R(x)=fn+1(ξ)ωn+1(x)(n+1)!≤Mn+1(n+1)!|ωn+1(x)|均差与 NewTon 插值多项式一阶均差：f[x0,xk]=f(xk)−f(x0)xk−x0k 阶均差：f[x0,x1,⋯,xk]=f[x0,⋯,xk−2,xk]−f[x0,⋯,xk−2,xk−1]xk−xk−1f[x0,x1,⋯,xn]=f(n)(ξ)n!(x0,x1,⋯,xn,ξ∈[a,b])f[x0,x1,⋯,xk]=∑j=0kf(xj)ω′k+1(xj)NewTon 插值多项式：Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)余项：R(x)=f[x0,x1,⋯,xn]ωn+1(x)Hermite 插值Taylor 多项式：Pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n余项：R(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1若已知 f(x0),f′(x1),f(x1),f(x2)：P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)其中 A 由 P′(x1)=f′(x1) 可得余项：R(x)=14!f(4)(ξ)(x−x0)(x−x1)2(x−x2)两点三次 Hermite 插值多项式：H3(x)=αk(x)yk+αk+1(x)yk+1+βk(x)mk+βk+1(x)mk+1其中 mk=f′(xk),mk+1=f′(xk+1)⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧αk(x)=(1+2x−xkxk+1−xk)(x−xk+1xk−xk+1)2αk+1(x)=(1+2x−xk+1xk−xk+1)(x−xkxk+1−xk)2⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧βk(x)=(x−xk)(x−xk+1xk−xk+1)2βk+1(x)=(x−xk+1)(x−xkxk+1−xk)2余项：R(x)=f(4)(ξ)4!(x−xk)2(x−xk+1)2分段低次插值h=b−an对每个小区间使用对应插值公式求 Ih(x)余项对分段线性插值函数：maxa≤x≤b|f(x)−Ih(x)|≤M28h2对分段三次埃尔米特插值：maxa≤x≤b|f(x)−Ih(x)|≤M4384h43、数值积分代数精度定义：如果某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能够准确成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，则称该公式具有 m 次代数精度梯形公式公式与中矩形公式梯形公式：∫baf(x)dx≈b−a2f(a)+b−a2f(b)余项：R[f]=−(b−a)312f′′(η)(η∈(a,b))矩形公式：∫baf(x)dx≈(b−a)f(a+b2)余项：R[f]=(b−a)324f′′(η)(η∈(a,b))Newton-Cotes 公式将积分区间 [a,b] 分成 n 等分Simpson 公式（n=2）：∫baf(x)dx≈b−a6f(a)+b−a6f(b)+2(b−a)3f(a+b2)余项：R[f]=−(b−a)5180∗24f(4)(η)(η∈(a,b))Cotes 公式（n=4）：C=b−a90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]余项：R[f]=−2(b−a)7945∗46f(6)(η)(η∈(a,b))复合求积公式积分区间 [a,b] 分成 n 等分，步长 h=b−an复合梯形公式：Tn=h2[f(a)+2∑k=0n−1f(xk)+f(b)]余项：Rn(f)=−b−a12h2f′′(η)复合 Simpson 求积公式：Sn=h6[f(a)+2∑k=0n−1f(xk)+4∑k=1n−2f(x(k+1)/2)+f(b)] 其中 x(k+1)/2=xk+h2Rn(f)=−b−a180(h2)4f(4)(η)龙贝格求积算法T(0)0=h2[f(a)+f(b)]求梯形值 T0(b−a2k)，利用递推公式求 T(k)0，递推公式：T2n=12Tn+h2∑k=0n−1f(xk+12)求加速值：T(k)m=4m4m−1Tk+1m−1−14m−1T(k)m−1k=1,2,⋯高斯-勒让德求积公式积分区间为 [−1,1]∫1−1f(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)余项：n=1 时，R1[f]=1135f(4)(η)4、解线性方程组的直接方法列主元高斯消去法在每次消元时，选取列主元在最前面，列主元为该列最大值矩阵三角分解法如果 n 阶矩阵 A 的各阶顺序主子式 Dk(k=1,2,⋯,n−1) 均不为零，则必有单位下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，使得 A=LU，并且 L 和 U 是唯一的。
数值分析Hermite
由（2.3）可设
0 x x x1 a x x0 b ,
2
再由（2.2）可求得
b 1
x1 x0
2
, a
2
x1 x0
பைடு நூலகம்
3
x x1 x x0 0 x 1 2 x1 x0 x0 x1
4!
3. 2n+1 次Hermite 插值多项式
给定n+1个节点和相应的函数值和导数值：
f xi yi , yi f xi mi , i 0,1,, n
则可构造2n+1 次Hermite 插值多项式H x 满足条件：
H 1） x 是不超过2n+1 次多项式； H 2） xi yi , H xi mi , i 0,1,, n
2
2
f , x0 , x1 4!
4
于是有下述定理
定理：设 H3 x 是以 x0 , x1 为插值节点的三次 f x C 3 a, b , f 4 x 在 a, b Hermite 插值多项式， 内存在，其中 a, b 是包含 x0 , x1 的任一区 间，则对任意给定的 x a, b ，总存在依赖 于 x 的点 a, b ，使 4 f 2 2 R3 x f x H 3 x x x0 x x1 .
插值法的推导过程
插值法生产实践中常常出现这样的问题：给出一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
因为由函数的表格形式不能直接得出表中未列点处的函数值，也不便于研究函数的性质。
此外，有些函数虽有表达式，但因式子复杂，不容易算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数()x f 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()x f 的近似。
这就是插值法。
另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下他在这些点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
1、 拉格朗日（Lagrange ）插值1. Lagrange 插值多项式先讨论只有两个节点0x ,()11=n x 的插值多项式。
由前所述，插值多项式应设为()x a a x 101+=ϕ，且满足插值条件()()0001001x f y x a a x ==+=ϕ()()1111011x f y x a a x ==+=ϕ解此方程组得1010010x x x y x y a --=，10101x x y y a --=0所以，两个节点的一次插值多项式为()x x x y y x x x y x y x 10101010011--+--=ϕ （5-6）这是用过两点()00,y x ，()11,y x 的直线()x y 1ϕ=近似曲线()x f y =，故这种插值又称为线性插值。
如果将式（5-6）改写成以下形式()01011011x x x x y x x x x y x --+--=ϕ (5-7) 式（5-7）中，()x 1ϕ被表成两个线性函数的线性组合。
记()1010x x x x x l --=，()0101x x x x x l --= 显然，它们满足()100=x l ，()010=x l ()001=x l ，()111=x l即()()10，=i x l i 在对应的插值点i x 处的取值为1，在其他点处取值为0，不难想象，以对应点处的函数值为系数对它们作线性组合所得的函数，不仅仍是线性的，且必定满足插值条件。
分段三次hermite函数
分段三次hermite函数
分段三次 Hermite 函数是一种用于插值数据、拟合数据以及数值微分的函数。
它的特点是可以通过选择足够的基函数来适应各种不同的非线性函数。
本文将深入探讨分段三次 Hermite 函数的定义、应用和优点。
一、定义
分段三次 Hermite 函数是一种三次多项式函数。
它由基函数和插值条件构成。
1. 基函数
1）常数项
2）线性项
3）二次项
这些基函数可以用于构建分段三次 Hermite 函数，使其适应不同的非线性函数。
2. 插值条件
1）值的匹配条件
二、应用
分段三次 Hermite 函数广泛应用于数值微分、插值和拟合。
下面将分别介绍这些应用。
分段三次 Hermite 函数可以用于插值数据。
通过确定插值条件，可以得到一个分段三次 Hermite 函数，使其在给定数据点处与目标函数匹配。
这种方法常常用于构建数值框架，如数值微分和数值积分。
3. 拟合
三、优点
1. 精确度高
2. 稳定性高
分段三次 Hermite 函数具有优良的稳定性。
它可以处理大量的数据，而不会出现精度问题或数值不稳定性。
3. 方便性高
4. 可扩展性高
分段三次 Hermite 函数具有非常强的可扩展性。
它可以扩展到高维空间，适应各种不同的数据类型，从而得到非常精确的结果。
三次Hermite插值
04 实例分析
CHAPTER
实例一：已知数据点的插值
总结词
利用已知数据点进行插值，可三次Hermite插值方法，利用已知的数据点来估计未知点的值。这 种方法能够更好地处理数据点的变化，并提高插值的精度。
CHAPTER
插值多项式的构造
定义
Hermite插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多 项式，使其能够准确地经过这些数据点，并尽可能地平滑地 连接这些点的方法。
构造方法
Hermite插值多项式由两个部分组成，一个是线性函数，另 一个是二次函数。线性函数部分用于确保插值多项式能够准 确地经过数据点，而二次函数部分则用于保证插值多项式的 平滑性。
实例二：未知数据点的插值
总结词
在未知数据点的情况下，可以通过三次 Hermite插值方法，预测并估计未知点的值。
详细描述
在数据点未知的情况下，可以利用三次 Hermite插值方法，根据已知的数据点来预 测和估计未知点的值。这种方法能够为后续 的数据分析和处理提供重要的参考依据。
实例三：复杂函数的插值
三次Hermite插值能够提供高精度的插值结果，特别是在处理
复杂函数时。
稳定性好
02
该方法在处理大数据集时表现出良好的稳定性，不易受到噪声
和异常值的影响。
易于实现
03
三次Hermite插值的算法相对简单，易于在计算机上实现和优
化。
三次Hermite插值的局限性
对初始数据敏感
三次Hermite插值的结果对初始数据的选择 较为敏感，不同的初始数据可能导致不同的 插值结果。
实验六 分段三次Hermite插值画函数图像
实验六: 分段三次Hermite插值画函数图像学号: 姓名:指导老师：马季骕班级:计算机科学与技术（非师范）1、算法说明：分段三次Hermit插值的做法是在每一个小区间上作三次Hermit插值，因此在每一个插值节点上都需要构造两个插值基函数，然后再作它们的线性组合。
分段三次Hermit插值基函数如下：H(x)=Σ(yihi(x)+y’iHi(x))给定的函数为f(x)=1/(25*x*x+1)，将给定区间分成10分，得到11个节点：x[0],x[1],...,x[10]，构造插值函数的基函数。
当x在(x[0],x[1])区间上时，H[0] = (x-x[0])*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。
其余的区间为H[0]=0。
h[0]= [1+2*(x-x[0])/(x[1]-x[0])]*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。
当x在[x[i-1],x[i]] (i=1,2,3,...,9)区间上时，H[i]=(x-x[i])*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2]，h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i-1]-x[i])]*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2)。
当x在(x[i],x[i+1]](i=1,2,3, (10)区间上其余的区间为H[i]=(x-x[i])[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+1]))^2],h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i+1]-x[i])]*[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+ 1]))^2]。
其余区间上均为H[i]=0,h[i]=0(i=1,2,…,10)。
当x在(x[9],x[10])区间上时，H[10] = (x-x[9])(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余的区间为H[10]=0.h[10]= (1+2*((x-x[9])/(x[10]-x[9])))(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余区间h[10]=0。
第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)
2.5 埃尔米特插值法
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点
问题的提出： 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要 求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度）， 甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是 埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨论函数值与导数 值个数相等的情况。
由 j ( x j ) 1 ，可得
Cj
1 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
故
j ( x) ( x x j )
( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
( x x j )l j 2 ( x)
2016/8/14 6
（ii）由条件(1)可知，x0 , x1,, x j 1, x j 1,, xn都是 j ( x)的二重根，令
j ( x) C j (ax b)( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2
17
即
x x1 x x0 2 0 ( x) (1 2l1 ( x)) l0 ( x) 1 2 x x x0 x1 1 0
Hermite插值多项式
1 例：在[5, 5]上考察 f ( x ) 1 x2 xi 5 10 i (i 0, ... , n) n
2.5 2
的 Ln(x)。取
1.5
n=10
1
0.5
n=2
n=5
0
n 越大， 端点附近抖动 越大
3 4 5
- 0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
事实上已被证明：对于 n 的高阶插值 公式 Ln ( x )只有当 x 3.63时才有 Ln ( x ) f ( x ).
( xi ) yi i 0,1 H3 ( xi ) yi , H3
则可选择基函数
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
使它们都是次数不超过3的多项式 ,且满足如下条件: 0 ( x0 ) 1 1 ( x0 ) 0 0 ( x0 ) 0 1 ( x0 ) 0 ( x ) 0 ( x ) 1 (x ) 0 (x ) 0 1 1 0 1 0 1 1 1 ( x ) 0 ( x ) 1 ( x ) 0 1 0 0 0 1( x0 ) 0 0 0 1( x1 ) 0 ( x1 ) 0 ( x ) 0 1( x1 ) 1 0 0 1
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式 化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步， 先将所考察的区间作一分划 ：a x0 x1 xn b
并在每个 xi , xi1 子区间上构造插值多项式，然后 把它们装配在一起，作为整个区间 a, b 上的插值 函数。
三次Hermite插值的扩展及其应用
厂）南 （ ｘ
删
妒ｏ ０ ＝ ｌ妒 （ ） 妒 （ ） （ ） ， ｏ １ ＝ ０ ＝妒 （ ） ０ １ ＝
妒（ ＝ｌ Ｉ０ ＝妒（） ） Ｉ ） 。 （） ： ＝妒（ ＝０ １ 妒 ０ １
方 法 以及 有 理 函数 的数 值 积 分 算 法 。 【 关键词】 ：三次 Ｈｅｍ ｔ插值 近似表示 数值 积分 ｒｉ ｅ
１引 言 ．
。
（） ， （ ＝ （） （） Ｏ ＝１ 。１ ０ ＝ ） ０ ＝０
插 值 法 作 为数 值 分 析 的 理 论 基础 。 着 十 分丰 富 的 内容 。 有 它 包 括 ｌ ｒｎｅ插 值 、 ｅ ｔｎ 值 、 ｅｍ ｔ 值 、 分 段 低 次 插 值 、 ａ ａｇ ｇ Ｎ ｗｏ 插 Ｈ ｒｉ ｅ插 样 条 插 值 等 。 它们 均 在 数 值 计算 领域 发 挥 着 不 同 程 度 的 作用 。
利 用 多 个 离 散 点 的 函数 值 信 息 给 出 函 数 的 近 似 多 项式 表 达 式 ， 进 一 步根 据 插 值 结 果 对 与 复杂 函数 或 未 知 函数 相 关 的理 论 和 应 用 问 题作 出讨 论 。 因 此 Ｔ ｙｏ 插 值 和 Ｌｇａ ｇ 插 值 有 着 紧密 的 ａｌｒ ａｒｎ ｅ
Ｈ ｒ ｉ 插 值 多项 式 是 对 三 次 Ｈ ｒ ｔ 值 公 式 的 推 广 和 扩 展 。 ｅｍ ｔ ｅ ｅｍｉ ｅ插
将 （ ） （ １式 代 入 （２ 式得 ： ８一 １） １）
由 此 得 到扩 展 的 三 次 Ｈｅｍ ｔ 插 值 多 项 式 。 ｒｉ ｅ
结合 实 际数 值 计算 验 证 了 这 种 新 型 的三 次 Ｈｅｍ ｔ 值 多 项 式 ３扩 展 的 三 次 ｈ ｒ ｉ ｒｉ ｅ插 ． ｅｍ ｔ ｅ插值 多 项 式 的 应用 ３１ 理 函数 的近 似 表示 ．有 的 正确 性 。
计算方法 13 Hermite插值资料
x x1
x0 x0
2
(x
x1 )l1( x)2.
记 h x1 x0
A0 (x)
1
2
x
x0 h
1
x
x0 h
2
A1 ( x)
3
2
x
x0 h
x
x0 h
2
B0 (x)
h
x
x0 h
1
x
x0 h
2
B1 ( x)
h
x
x0 h
1 x
x0
2
h
置 x0 0, x1 1，则
观察上面的条件，可知
n个插值节点xk , k 0,1,, n, k j是插值基函数Aj (x)的二重 零点, 而x j不是Aj (x)的零点，然而基函数Aj (x)是2n 1次多项 式。故我们可以假设
Aj ( x) D j (ax b)( x x0 )2 ( x x j1 )2 ( x x j1 )2 ( x xn )2
A0 ( x)
x0
x1
B0 ( x)
x0
x1
A1( x)
Bj (x) (x x j ) l j (x) 2
再构造 Aj ( x) ： 由于第一个方程用于确定与函数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n, 且k j; Aj ( xk ) 1, k j.
而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n.
令
n
n
H 2n1( x) Aj ( x) y j B j ( x) yj ,
j0
j0
其中插值基函数 Aj ( x) ，B j ( x) 都是 2n 1 次式。由于 插值问题的解存在唯一性定理，有
Hermite 插值解析
( x x1 )( x x2 )...( x xn 1 ))
所以有 1 l ( x0 ) (( x0 x2 )( x0 x3 )...( x0 xn ) A ( x0 x1 )( x0 x3 )...( x0 xn )
' 0
... ( x0 x1 )( x0 x2 )...( x0 xn 1 ))
j ( x) C ( x x j )
( x x0 )2 ( x x1 )2 ...( x x j 1 )2 ( x x j 1 )2 ...( x xn ) 2 ( x j x0 )2 ( x j x1 )2 ...( x j x j 1 )2 ( x j x j 1 ) 2 ...( x j xn ) 2
故得：
j ( x) (2l 'j ( x j ) x 1 2 x j l 'j ( x j ))l 2 j (x )
(1 2( x j x)l ( x j ))l ( x )
' j 2 j
j ( x)也为次数不超过2n 1的多项式，它的零点:
0 j ( x0 ) j ( x1 ) ... j ( x j 1 ) j ( x j 1 ) ... j ( xn )
函数逼近的插值法 ——Hermite插值多项式
主讲 孟纯军
Hermite 插值多项式
Lagrange插值公式所求得L(x)保证了节点处的 函数值相等，也就是保证了函数的连续性。 但不少实际问题还需要插值得光滑度，也就是 还要求它在节点处的导数值也相等，导数的阶 数越高则光滑度越高。 现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交 通具的外形，就是参照海豚的标本上已知点及 已知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚的 外形制成飞机、汽车等外形。
计算方法 1.3 Hermite插值
n个插值节点xk , k 0,1,, n, k j是插值基函数Aj (x)的二重 零点, 而x j不是Aj (x)的零点，然而基函数Aj (x)是2n 1次多项 式。故我们可以假设
Aj ( x) D j (ax b)( x x0 )2 ( x x j1 )2 ( x x j1 )2 ( x xn )2
而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有
Bj ( xk ) 0, k 0,1,, n, j k; Bj ( xk ) 1, j k
函数值
导数值
x0 x1 ... xn-1 xn x0 x1 … xn-1 xn
A0(x) A1(x) …
10 01 ……
An-1(x) 0 0
再构造 Aj ( x) ： 由于第一个方程用于确定与函数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n, 且k j; Aj ( xk ) 1, k j.
而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n.
j0
j0
其中插值基函数 Aj ( x) ，B j ( x) 都是 2n 1 次式。由于 插值问题的解存在唯一性定理，有
H 2n1 ( xk
)
n
Aj ( xk ) y j Ak ( xk ) yk
n
B j ( xk ) yj
j0 jk
j0
n
n
H
背景：Lagrange插值和Newton插值虽然构造比较简单， 但插值曲线只是在节点处与原函数吻合（但不一定光滑）， 若还要求在节点处二者相切，即导数值相等，使之与被插 函数的“密切”程度更好，这就要用到带导数的插值。
数值分析05-插值法(下)
5-7
阜师院数科院第五章 插值法
W
推广至n+1个点
H (x)
Y
( ( x ) h 0 ( x ) y 0 h1 ( x ) y 1 H 0 ( x ) y 0 H 1 ( x ) y 1 实际计算中经常用到下
2
0 ( x ) (1 2 x )( 1 x ) , 1 ( x ) x (1 x )
因此n =1的三次Hermite插值多项式可用标准化 的基函数表示为：
x x0 x x0 x1 x x x h 1 1 H (x) 0 y0 0 y0 y1 h 1 y1 h h h h
H ( x)
特别地，当n =1时，有:
x x0 h0 ( x ) 1 2 x1 x 0 x x1 x x 1 0
2
x x1 H 0 ( x ) ( x x 0 ) 阜师院数科院第五章 插值法 x 0 x 1
( x x 0 )( x x 2 ) ( x1 x 0 ) ( x1 x 2 )
2
, 可设： H 1 ( x ) C ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 )
将 h 0 ( x ), h1 ( x ), h 2 ( x ), H 1 ( x ) 代入 H ( x )中，可以检查按上述方 H (阜师院数科院第五章 插值法 x ) 满足前面条件，即为所 求。
Hermite插值
两点三次Hermite插值
构造方法
Hermite插 值基函数!
插值余项
仿照前面的证明给出证明过程。
设函数f(x) 在区间[ a, b] 上有 n+1个互异节点
a=x0<x1<x2<……<xn=b , 定义在[a,b]上函数f(x) 在节点上满足: f(xi) = yi, f ' (xi)=y ' i, i=0,1,2……n
求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x) 满足2n+2个条件:
称其为2n+1次的Hermite插值多项式.
方法1：
思路： 仿牛顿法 1）先利用已知条件：
构造二次多项式：
2）在 为：
的基础上构造
，定出。
方法2： 思路：仿拉格朗日法，构造插值基函数
。
需要满足如下插值条件：
其中的基函数需要满足条件：
根据这些条 件确定基函 数的具体形 式。
方法3：
基于带重节点的差商计算，构造差商表， 给出带重节点的牛顿插值多项式。
重节点均差的相关理论
定理：设 节点，则
为 上的相异 是其变量的连续函数 。
性质：
推论：设 为连续函数，则n阶均差有：
泰勒插值
牛顿插值公式：
将
带入后得到：
泰勒插值公式
泰勒插值 多项式
泰勒插值 余项
注： 满足插值条件：
带导数信息的插值多项式，是一种n次 埃尔米特插值。
二、两个典型的埃尔米特插值 1、满足如下条件的插值多项式
插值多项式为：
方法4：解线性方程组
插值余项及证明 插值余项为：
证明：由插值多项式满足的插值条件可知 构造辅助函数：
分段三次Hermite插值(可编辑修改word版)
摘要用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学科领域，但是在实际问题中，往往是通过实验、观测以及计算等方法，得到的是函数在一些点上的函数值。
如何通过这些离散数据找到函数的一个满足精度要求且便于使用的近似表达式，是经常遇到的问题。
对于这类问题我们解决的方法为插值法，而最常用也最简单的插值方法就是多项式插值。
当然用插值法得到的近似表达式必须满足插值条件即假设给定了 n+1 个点的自变量的值以及函数值，近似函数必须要过这n+1 个点。
多项式插值，从几何角度看，就是寻求 n 次代数曲线y=Pn （x）通过 n+1 个点作为 f（x）的近似。
但是随着插值节点个数的增加，高次插值多项式的近似效果并不理想。
根据大量实验得出，在进行高次多项式插值时，会出现龙格现象。
因此，为了解决这样的一个问题，我们可以通过缩小插值区间的办法达到减小误差的目的。
但是当在每个小区间上用一次函数进行插值时，有很好的收敛性但是光滑度不够，因此本实验将用三次 Hermite 进行插值，做具体的讨论和学习。
关键词：龙格现象分段差值三次Hermite 进行插值i i ‒ 1 i ‒ 1 i iH 2(x ),x ∈ [x 1,x 2] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ H n (x ),x ∈ [x n ‒ 1,x n ]1、实验目的1) 通过对分段三次 Hermite 插值算法程序的编写，提高自己编写程序的能力2) 体会分段三次 Hermite 插值比分段线性插值优越在哪里 3) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力2、算法流程分段线性插值多项式S (x )在插值区间[a ,b ]上只能保证连续性，而不光滑。
要想得到在插值区间上光滑的分段线性插值多项式，可采用分段埃尔米特（Hermite ）插值，这里我们考虑在整个[a ,b ]上用分段三次埃尔米特插值多项式来逼近f (x )。
一般的将带有导数的插值多项式称为 Hermite 插值多项式。
如果已知函数y = f (x )在节点a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b 处的函数的值 和导数值：y i = f (x i ),y ' = f '(x i ),i = 0,1,2,⋯,n则在小区间[x i ‒ 1,x i ]上有四个插值条件：y i ‒ 1 = f (x i ‒ 1),y i = f (x i )y ' = f '(x ),y ' = f '(x ) 故能构造一个三次多项式H i (x )，并称为三次 Hermite 插值多项式。
hermit插值
16 多项式(12)常用作分段低次插值，称为分段三次Hermite插值.
x − x1 2 h0 ( x) = ( x − x0 )( ) x0 − x1 x − x0 2 h1 ( x) = ( x − x1 )( ) x1 − x0
例1.
已知f ( x )在节点1，处的函数值为f (1) = 2 , f ( 2 ) = 3 2 f ( x )在节点1，处的导数值为f ′(1) = 0 , f ′( 2 ) = −1 2
8
其中，
wr ( x) = ∏ ( x − xi )
r
wr ( xk ) = ∏ ( xk − xi )
i =0
n
i =0 r
x − xi lkn ( x) = ∏ i =0 xk − xi
i≠k
综合(1)(2)得到 hk ( x) ( k = 0,1,⋯ n) 即式(6),(8)
2.求解 hk ( x) (k = 0,1,⋯ n)
i =0 i≠k i = r +1 r n
将A,B代入式(5)，得
′ ′ hk ( x) = {1 − ( x − xk )[lkn ( xk ) + lkr ( xk )]}lkn ( x)lkr ( x) ------(6) k = 0,1,⋯, r
6
其中，
x − xi lkn ( x) = ∏ i =0 xk − xi
n i≠k r
x − xi lkr ( x) = ∏ i =0 xk − xi
i≠k n
1 ′ lkn ( xk ) = ∏ i =0 xk − xi
i≠k
r
1 ′ lkr ( xk ) = ∏ i =0 xk − xi
i≠k
计算方法例题解答
计算方法例题解答绪论 1.在进行一个工程问题数值计算时，一般误差有哪些可能的来源？模型误差、参数误差（测量、计算等）、理论误差（算法、模型应用）、舍如误差（基本含义对即可）第一章插值 1.什么是插值？请写出线性插值公式和抛物插值公式。
2.已知，求的插值多项式。
解：由题意知：3.今需作满足条件的插值多项式，采用什么插值方法（多项式），请给出多项式的构造步骤。
解法1：根据三次Hermite插值多项式：并依条件，得解法2：由于，故可直接由书中（3.9）式，得 4.设分段多项式是以为节点的三次样条函数，试确定系数的值。
解：由可得解得 5.对某扭振减振器刚度进行了测量，得出了一组扭矩相对扭转角的数值如下表所示，现需要得出扭转角为0.3 o、0.8 o、2.3 o时的扭矩，请给出合适的拉格朗日插值方案，即如何选取积分节点和积分公式。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 扭转角(O) 0.0025 0.1504 0.4386 0.7038 0.9945 1.2903 1.647 1.9635 2.491 扭矩(Nm) 1.270 111.8 328.9 530.6 755.5 986.8 1271.0 1526.1 3140.2 （如下两种均可，每个4分）选择线性插值公式时：1) 0.3 o时，选择2、3点 2) 0.8 o时，选择4、5点 3)2.3 o时，选择8、9点选择抛物插值公式时：1) 0.3 o时，选择1、2、3点 2) 0.8 o时，选择3、4、5点 3) 2.3 o时，选择7、8、9点第二章数值逼近和曲线拟合1.计算下列函数关于的2范数：注：解：（1）（2） 2.求，使积分取得最小值。
解：题意即为在中求的最佳平方逼近多项式，故满足法方程或者按下述方法：因为上式分别对求偏导，并令其为零，有从而也有， 3.用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解。
注：给定线性代数方程组，，当时，称其为超定方程组。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(x)
1 2
x2
3 2
x
1 4
(x
3)x(x
1)(x
2)
1 4
x2
(x
3)2
第五节 分段低次多项式插值
一.高次插值的龙格 (Runge)现象
从插值余项角度分析
Rn1( x)
f ( x) Ln1( x)
f (
(n1) ( )
n 1)!
n1
(
x
)
为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的 个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简 单地这样认为，原因有三个：
10 n
i
(i 0,
x)
...,
n)
1
1 x
2
2.5
的 Ln(x)。
Ln(x) f (x)
2
n=10
1.5
1
n=2
0.5
0
增加插值多项式的次数 并不一定会有更好的插值结果， 这是因为高次多项式的振荡是很厉害的.
n 越大，
n=5
端点附近抖动
越大，称为龙格
（Runge） 现象
-0.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
•插值余项与节点的分布有关； •余项公式成立的前提条件是f ( x有) 足够阶连续导数 （即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这 个条件一般很难成立；
•随着节点个数的增加，f (n1)(可 )能会增大。
随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。
例：在[5, 5]上考察 f (
取
xi
5
1 0
1(x1) 0
0 (x0 ) 0
0 (x1) 0
0
(x0
)
1
0 (x1) 0
1(x0 ) 0
11((xx10
) )
0 0
1(x1) 1
2
两点三次Hermit插值（续2）
其中 0 (x),1(x), 0 (x), 1(x)
待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆
Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数
0 (x),1(x), 0 (x), 1(x)
使之满足
0 (x0 ) 1 0 (x1) 0 0 (x0 ) 0 0 (x1) 0
1(x0 ) 0
11((xx01))
分段低次插值
事实上已被证明：对于n 的高阶插值
公式L (x)只有当x 3.63时才有L (x) f (x).
n
n
分段插值的概念
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。 一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先 将所考察的区间作一分划 ：a x0 x1 L xn b
f
(4) (
4!
)
[(
x
x0
)(
x
x1 )]2
11
例 求一个次数为4的多项式P4(x)，使它满足 P4(0)= P'4(0)=0， P4(1)= P'4(1)=1 ，P4 (2)=1
先构造满足P2(0)= 0， P2(1)=1 ，P2(2)=1的插值
多项式P2 (x)，易得
设
P2
(x)
反复应用Rolle定理, 得F(4)(t)至少有一个零点设为 ξ∈(a, b)
10
F (t) f (t) H3 (t) C(x)(t x0 )2 (t x1)2
F (4) ( ) f (4) ( ) C( x)(4!) 0
f (4) ( )
C(x) 4!
R3 ( x) C( x)( x x0 )2 ( x x1 )2
定理 设 f(x) 在包含x0, x1的区间 [a, b]内存 在四阶导数，则对任意x[a,b] ，总存在一
个(a, b)（依赖于x）使
R3( x) f ( x) H3( x)
f
(4) (
4!
)
(
x
x0
)2
(
x
x1
)2
8
证明: 由插值条件知
R3(x0)=R3'(x0)=0, R3(x1)=R3'(x1)=0 取 x 异于 x0 和 x1, 设
都是次数为3的多项式
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
则H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件（*）
3
基函数求法：
求 0 (x)
0 (x1) 0 0 (x1) 0
0 (x0 ) 1
3
0 ( x) [a b( x x0 )]( x x1 )2
R3 ( x) C( x)( x x0 )2 ( x x1 )2 利用 f(x) – H3(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2
构造辅助函数
F (t) f (t) H3 (t) C(x)(t x0 )2 (t x1)2
9
显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Rolle定理知, F'(t) 至少有两个零点t0, t1满足x0<t0<t1<x1,而x0和x1也是 F'(t)零点, 故F'(t) 至少有四个相异零点.
1 a (x0 x1)2
b
( x1
2 x0 )(x0
x1 ) 2
0(
x)
(1
2
x x1
x0 x0
)(
x x1 x0 x1
)2
4
同理
1(
x1 x0 x1
)(
x x1
x0 x0
)2
5
设 0 ( x) a( x x0 )( x x1 )2
1 2
x2
3 2
x
P 4 (x) P2 (x) (Ax B)(x 0)(x 1)(x 2)
其中A，B为待定系数. 利用两个导数条件确定系数A、B.
由
P4(0)
3 2
2B
0
P4(1)
1 2
(A
B)
1
解得A=1/4, B=-3/4
故
P4
两点三次Hermit插值
已知：
x x0 x1 y y0 y1
y y0 y1
构造一个次数3的多项式H3(x) ，满足插值条件：
H3 (xi ) yi , H3(xi ) yi i 0,1
（*）
1
两点三次Hermit插值（续1）
5
直接设 H3 (x) ax3 bx2 cx d
由β'0(x0)=1 ，得
a
( x0
1 x1)2,
于是 同理有
0
(
x)
(
x
x0
)(
x x1 x0 x1
)2
1(
x)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
6
定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值 多项式H3(x)存在且唯一。
7
三次Hermite插值多项式的余项