有关三角形的证明PPT课件

等边三角形
已知：△ABC中，AB=BC=AC.
A
求证：∠A=∠B=∠C=60°
归纳：
B
C
等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°
定理：三边都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
三个角都等于60°的三角形是等边三角形。
反证法
在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等,那么这个角 也不相等. 即在△ABC中,如果AB≠AC,那么∠A≠∠C. 你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?
提示：构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边
归纳：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
小结：等腰三角形性质及其推论
等腰三角形的两个底角相等 有两个角相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形的“三线合一” 等腰三角形两底角的平分线相等 等腰三角形两腰上的中线相等 等腰三角形两腰上的高相等
等边对等角 等角对等边
提证示明：（依1）据∵等A腰C三⊥角BD形，的A有C=关B性C=质CD ∴ ∠ACB=∠ACD=90° 形为∴∴∴解如拼（△△A（图C成BAA2所）=的）CB示ADB，∵D≌，是其△A是等C中A⊥用腰C两DB两三条D个角，直形形A角C状。边=大B在小C同=完一C全D直相线同上的，一则个图角中为等3腰0°三的角直形角的三个角数 AC∴∴∴．．∠△∠31BBA个个=AC∠DB、D==9BD△0．4．A°5C°24个D个都是等腰直角三角形。
∠BAD=∠CAD
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合。
随堂练习
（2011铜仁）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（C） 如A．图等,在腰三三角角形形A两BD底中角,C相是等BD上的一点,且AC垂直BD,AC=BC=CD. B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 (C1．) 求等证腰:三△角AB形D是是中等心腰对三称角图形形； (D2．) 求等∠腰A三BD角的形度是数轴。对称图形
含30°角的直角三角形的性质定理
操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
300
300
由此你想到， 在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 证明你的结论。
结论: 在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的 一半.
复习：全等三角形的性质
性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
若△ABC≌△DEF，则有： AB= DE ,BC= EF ,AC= DF ; ∠A= ∠D ,∠B= ∠E ,∠C= ∠F.
典三例角分形析全等的判定
SSS SAS ASA AAS
性质
三条边对应相等的两个三角形全等 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 3 两角及夹边对应相等的两个三角形全等 4 两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等 5 全等三角形的对应边相等、对应角相等
A
∵BC=DC（作图）∠ACB=∠ACD（已证）AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴ AD=AB
∵∠提A示CB：=9延0°长,B∠CA至=3D0,°使(C已D知=B)C, ,连接AD ∴∠线B段=6的00倍(直、角分三→角线形段两相锐等角互余).
BC
D
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
数学 九年级/上 单元一
课题1 有关三角形的证明
目录CONTENTS
全等三角形
3
等腰三角形
6
等边三角形
13
反证法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
14
含30°直角三角形
17
创新思考：辅助线
20
课题总结
21
复习：全等三角形
（A．2如0B1D图1＝江，D西aC，），b如A，B图c＝分下A别列C表条示件△中A，B不C的能三证边明长△，ABD≌△ACD的是（D） B则．下∠A面D与B＝△∠AABDC一C，定B全D等＝的DC三角形是（ B ） C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
课题总结
三角形的证明
全等 三角形 的判定
等腰 （等边） 三角形
特殊三角形的判定 反证法的认识及应用 辅助线的做法
含30°直角 三角形
性质及证明
谢谢!
下列判断中错误的是（B） A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
提示提两：示边三：及条两夹边边角对及对应夹应相角相等对等的应的两相两个等个三的三角两角形个形全三全等角等；形；全等（SAS） 两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等。
含30°角的直角三角形性质定理的证明
定理:在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半.
解题步骤
证已明知: 延:如长图BC至,在D,△使CAD=BBCC,连中接AD
∵∴在,求∠∠△∠A证AACABCCDC:BBB=与=9C=9△00°=9°A(D012 C,平中°A(角已B,意∠.知义A),)=30°
BC=CB（公共边）, ∠1=∠2（已证）, ∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
12
探究：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他结论吗？ 通过几何语言尝试证明你的结论。
等腰三角形
等腰三角形的性质定理的推论（3）
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C； 求证：AB=AC.
随堂练习
如何证明这个结论:
如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数 ,a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有 一用反个证大法于来证或明等: 于1/5.
证明: 假设这五个数全部小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此假设不成立, 原命题成立, 即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.
等腰三角形的性质定理的推论（1）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
A
求证：∠B=∠C
B
C
归纳：等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的性质定理的推论（2）
在△ABC中，AD还具有怎样的性质？ △ABD≌△ACD
BD=DC
∠ADB=∠ADC
∠ADB+∠ADC=180
°
∠ADB=∠ADC=90°
归纳： “三线合一”
假设∠A=∠C, 那么根据“等角对等边” 得 AB=AC,与已知条件是AB≠AC相矛盾。因此假设不 成立,原命题成立，即∠A≠∠C.
反证法
在证明上题时，先假设命题的结论反面 成立，然后推导出与定义，公理、已证定 理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命 题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法 反证法是一种重要的数学证明方法.在 解决某些问题时常常会有出人意料的作用.
∴BC= BD= AB(等式性质).
随堂练习
创新思考
阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图1所示， E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE. 求证：AB＝CD.分析：证 明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判 定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中， 且它们分别所在的两个三角形也不全等. 因此，要证AB＝CD，必须添加 适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅 助线的方法，如图2所示. 请任意选择其中一种，对原题进行证明.
等腰三角形其他性质的证明
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分
线.
求证证明::∵BDAB==ACC(E已.知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵∠1= 1 ∠ABC,∠2= 1 ∠ACB(已知), ∴∠1=∠22(等式性质). 2 在△BDC与△CEB中 ∵∠DCB=∠ EBC（已知）,