软件组合数学第四章容斥原理(二)PPT课件
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错位排列源自一个古老的“装错信封问题”， 它是由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli)的 儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoull)提出来的， 并曾被著名数学家欧拉(Euler)称为“组合数论 的一个妙题”。其大意为：一个人写了n封不同 的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都 装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？
第四章 容斥原理
Inclusion and Exclusion Principle
(包含排斥原理)
主要内容
§4.1 容斥原理
§4.2 多重集的r-组合数
§4.3 错位排列
应用
§4.4 有限制条件的排列问题
§4.5 有禁区的排列问题
§4.6 Möbius反演
这时容斥原理可叙述为：
定理4.1.1 （容斥原理）
• 多重集的r－组合数等于方程的非负整数解 的个数。 • 用容斥原理来确定方程的非负整数解的个数
例4.2.2 确定方程 x1+x2+x3=12
(-1≤ x1 ≤2, 1≤ x2 ≤5, 2≤ x3 ≤7) 的整数解的个数.
解：令y1= x1+1, y2= x2-1, y3= x3-2, 则有0≤ y1 ≤3， 0≤ y2 ≤4， 0≤ y3 ≤5，
W (0) | S |
m
W (1) | A | i i 1
W (2) | A A |
Baidu Nhomakorabea
i
j
1 i j m
W (m) | A A A |
1
2
m
则定理4.1.1的公式可写成：
|A 1 A 2 A m|W (0)W (1 )W (2) W (3) ( 1 )m W (m )
定理4.1.2（Jordan公式） 集合 S中恰具有 r(0≤r ≤m)种性质的事物的个数
N(r)W(r)r1W(r1)r2W(r2) (1)mrmW(m)
r
r
r
m r(1)iriW(ri) i0 r
（广义包含排斥原理）
§ 4.2 多重集的r-组合数
求多重集S={n1·a1, n2·a2, …,nk·ak} r-组合数 假定每个ni≤r，i=1,2,…,n. 用容斥原理求S的r-组合数， 第五章将介绍另外一种方法-生成函数的方法
2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321， D4=9; … … … … … … 对于一般的n, 有以下的定理.
定理4.3.1 对于n≥1有
D n !(1 111 ( 1 )n1)
n
1 ! 2 ! 3 !
n !
证明：
设 τ = 12,…,n，
X={1,2,…,n}.
所以 |A|(n1)!。 1
同理，对于j=
2,3,…,n,有
|
A|(n1)! j
(2) A A中的排列具有下面的形式：
1
2
12i3…in ，其中i3i4…in是{3,4,…,n}的一个
排列，所以 |AA|(n2)!
1
例4.2.1 确定多重集S={3·a,4·b,5·c} 的10-组合数。
解：令T= {∞·a,∞ ·b，∞ ·c} ,T的所有10-组合构成 集合W,根据定理3.3.3得：
|W | 31 0 1 1 2 1 2 66 10 102
任取T的一个10-组合， 如果其中的a多于3个，则称它具有性质P1; 如果其中的b多于4个，则称它具有性质P2; 如果其中的c多于5个，则称它具有性质P3， 因此S的10-组合数就是W中同时不具有性质P1,P2和P3
S---X的所有排列的集合。
性质Pj---在一个排列中，如果j在第j个位置 上，则该排列具有性质Pj,对j=1,2,…,n,.
Aj表示S中具有性质Pj的排列的集合，
则 τ 的错位排列数就是 AA2 A
1
n
中的排列。
（1）A1中的排列具有下面的形式1i1i2…in,
其中i1i2…in是{2,3,…,n}的一个排列，
2
3
1
2
3
所以S的10-组合数为
| A A A | 66 （28 2115）（3 1 0） 0 6.
1
2
3
列出这6个10-组合如下： {1·a,4·b,5·c}， {2·a,3·b,5·c}， {2·a,4·b,4·c} {3·a,2·b,5·c}， {3·a,3·b,4·c}， {3·a,4·b,3·c}
用y1-1代替 x1 ，y2+1代替x2，y3+2代替x3得： y1+y2+y3=10 (0≤ y1 ≤3， 0≤ y2 ≤4， 0≤ y3 ≤5) 这个 方程的整数解的个数就是原来方程的整数解的个 数，即为多重集{3·a,4·b,5·c}的10-组合数。参 照例4.2.1的方法，结果为6。
§ 4.3 错位排列
这个问题就是一个典型的错位排列问题。
一、定义
设τ={1,2,…,n}, τ的一个错位排列就是排列
i1i2…in, 且ij≠j, j=1,2, …,n.
用Dn表示τ的错位排列数。
二、计算公式
当n=1时，不存在错位排列， D1=0; 当n=2时，错位排列只有21， D2=1;
当n=3时，错位排列有231, 312， D3=2; 当n=4时，错位排列有
361 8 8
|A|
28
1 6 6 2
同理可得： 351 7 7
|A|
21
2 5 5 2
341 6 6
|A|
15
3 4 4 2
用类似的方法可以计算
| A A | 3 11 3, 1 2 1
| A A | 3 0 1 3,
1
3
0
| A A | 0,| A A A | 0.
S中不具有性质P1, P2,…,Pm的元素数是
A1 A2 Am
m
SAi Ai Aj Ai Aj Ak
i1
1ijm
1ijkm
A A A (1)m
12
m
这样定理4.1.1就变成下面的形式：
N(0)NmN(1)mN(2)(1)mmN(m)
1 2
m
m m
N(1)i N(i)
i1
i
对称筛公式
3, 引入如下的记号：
的元素个数，即W中同时满足a的个数小于等于3， b的个数小于等于4， 并且c的个数小于等于5的10组合个数。
令Ai={ x|x∊W并且x具有性质Pi} A1中的每个10-组合至少含有4个a, 把4个a 拿走就得到T的一个6-组合。反之，对T的
任意一个6-组合加上4个a就得到A1的一个 10-组合，所以|A1|就是T的6-组合数，即
第四章 容斥原理
Inclusion and Exclusion Principle
(包含排斥原理)
主要内容
§4.1 容斥原理
§4.2 多重集的r-组合数
§4.3 错位排列
应用
§4.4 有限制条件的排列问题
§4.5 有禁区的排列问题
§4.6 Möbius反演
这时容斥原理可叙述为：
定理4.1.1 （容斥原理）
• 多重集的r－组合数等于方程的非负整数解 的个数。 • 用容斥原理来确定方程的非负整数解的个数
例4.2.2 确定方程 x1+x2+x3=12
(-1≤ x1 ≤2, 1≤ x2 ≤5, 2≤ x3 ≤7) 的整数解的个数.
解：令y1= x1+1, y2= x2-1, y3= x3-2, 则有0≤ y1 ≤3， 0≤ y2 ≤4， 0≤ y3 ≤5，
W (0) | S |
m
W (1) | A | i i 1
W (2) | A A |
Baidu Nhomakorabea
i
j
1 i j m
W (m) | A A A |
1
2
m
则定理4.1.1的公式可写成：
|A 1 A 2 A m|W (0)W (1 )W (2) W (3) ( 1 )m W (m )
定理4.1.2（Jordan公式） 集合 S中恰具有 r(0≤r ≤m)种性质的事物的个数
N(r)W(r)r1W(r1)r2W(r2) (1)mrmW(m)
r
r
r
m r(1)iriW(ri) i0 r
（广义包含排斥原理）
§ 4.2 多重集的r-组合数
求多重集S={n1·a1, n2·a2, …,nk·ak} r-组合数 假定每个ni≤r，i=1,2,…,n. 用容斥原理求S的r-组合数， 第五章将介绍另外一种方法-生成函数的方法
2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321， D4=9; … … … … … … 对于一般的n, 有以下的定理.
定理4.3.1 对于n≥1有
D n !(1 111 ( 1 )n1)
n
1 ! 2 ! 3 !
n !
证明：
设 τ = 12,…,n，
X={1,2,…,n}.
所以 |A|(n1)!。 1
同理，对于j=
2,3,…,n,有
|
A|(n1)! j
(2) A A中的排列具有下面的形式：
1
2
12i3…in ，其中i3i4…in是{3,4,…,n}的一个
排列，所以 |AA|(n2)!
1
例4.2.1 确定多重集S={3·a,4·b,5·c} 的10-组合数。
解：令T= {∞·a,∞ ·b，∞ ·c} ,T的所有10-组合构成 集合W,根据定理3.3.3得：
|W | 31 0 1 1 2 1 2 66 10 102
任取T的一个10-组合， 如果其中的a多于3个，则称它具有性质P1; 如果其中的b多于4个，则称它具有性质P2; 如果其中的c多于5个，则称它具有性质P3， 因此S的10-组合数就是W中同时不具有性质P1,P2和P3
S---X的所有排列的集合。
性质Pj---在一个排列中，如果j在第j个位置 上，则该排列具有性质Pj,对j=1,2,…,n,.
Aj表示S中具有性质Pj的排列的集合，
则 τ 的错位排列数就是 AA2 A
1
n
中的排列。
（1）A1中的排列具有下面的形式1i1i2…in,
其中i1i2…in是{2,3,…,n}的一个排列，
2
3
1
2
3
所以S的10-组合数为
| A A A | 66 （28 2115）（3 1 0） 0 6.
1
2
3
列出这6个10-组合如下： {1·a,4·b,5·c}， {2·a,3·b,5·c}， {2·a,4·b,4·c} {3·a,2·b,5·c}， {3·a,3·b,4·c}， {3·a,4·b,3·c}
用y1-1代替 x1 ，y2+1代替x2，y3+2代替x3得： y1+y2+y3=10 (0≤ y1 ≤3， 0≤ y2 ≤4， 0≤ y3 ≤5) 这个 方程的整数解的个数就是原来方程的整数解的个 数，即为多重集{3·a,4·b,5·c}的10-组合数。参 照例4.2.1的方法，结果为6。
§ 4.3 错位排列
这个问题就是一个典型的错位排列问题。
一、定义
设τ={1,2,…,n}, τ的一个错位排列就是排列
i1i2…in, 且ij≠j, j=1,2, …,n.
用Dn表示τ的错位排列数。
二、计算公式
当n=1时，不存在错位排列， D1=0; 当n=2时，错位排列只有21， D2=1;
当n=3时，错位排列有231, 312， D3=2; 当n=4时，错位排列有
361 8 8
|A|
28
1 6 6 2
同理可得： 351 7 7
|A|
21
2 5 5 2
341 6 6
|A|
15
3 4 4 2
用类似的方法可以计算
| A A | 3 11 3, 1 2 1
| A A | 3 0 1 3,
1
3
0
| A A | 0,| A A A | 0.
S中不具有性质P1, P2,…,Pm的元素数是
A1 A2 Am
m
SAi Ai Aj Ai Aj Ak
i1
1ijm
1ijkm
A A A (1)m
12
m
这样定理4.1.1就变成下面的形式：
N(0)NmN(1)mN(2)(1)mmN(m)
1 2
m
m m
N(1)i N(i)
i1
i
对称筛公式
3, 引入如下的记号：
的元素个数，即W中同时满足a的个数小于等于3， b的个数小于等于4， 并且c的个数小于等于5的10组合个数。
令Ai={ x|x∊W并且x具有性质Pi} A1中的每个10-组合至少含有4个a, 把4个a 拿走就得到T的一个6-组合。反之，对T的
任意一个6-组合加上4个a就得到A1的一个 10-组合，所以|A1|就是T的6-组合数，即