幂法-反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
数值分析幂法和反幂法
数值分析幂法和反幂法数值分析中的幂法和反幂法是求解矩阵最大特征值和最小特征值的常用方法。
这两种方法在许多数值计算问题中都有着广泛的应用，包括图像压缩、数据降维、谱聚类等。
幂法（Power Method）是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵与一个向量的乘积，来逼近原矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
其基本思想是，对于一个矩阵A和一维向量x，可以通过不断迭代计算Ax，Ax，Ax...，来使得向量x逼近最大特征值对应的特征向量。
具体的迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=Ax0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=Ax1，x3=Ax2...，直到收敛（即相邻迭代向量的差的范数小于一些阈值）为止4. 最终得到的向量xn就是A的最大特征值对应的特征向量在实际求解时，我们可以将迭代过程中的向量进行归一化，以防止数值溢出或下溢。
此外，为了提高迭代速度，我们可以选择使得xn与xn-1的内积大于0的方向作为迭代方向，这样可以使得特征值的模快速收敛到最大特征值。
幂法的收敛性是保证的，但收敛速度可能较慢，尤其是当最大特征值与其他特征值非常接近时。
此时可能需要使用一些改进的方法来加速收敛，例如Rayleigh商或位移策略。
相反，反幂法（Inverse Power Method）是求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量的方法。
它的基本思想和幂法类似，但在每次迭代中，需要计算A和依其逆矩阵A-1的乘积。
迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=A-1x0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=A-1x1，x3=A-1x2...4. 最终得到的向量xn就是A的最小特征值对应的特征向量反幂法和幂法的区别在于迭代过程中乘以了A的逆矩阵，从而可以利用矩阵的特殊结构或性质来提高迭代速度。
同时，在实际求解时，可能需要将矩阵进行一些变换，以确保A-1存在或数值稳定性。
矩阵计算与分析幂迭代法和逆幂迭代法
矩阵计算与分析幂迭代法和逆幂迭代法矩阵计算是数学中的一个重要分支，它涉及到对矩阵进行各种运算和分析。
其中，幂迭代法和逆幂迭代法是解决矩阵特征值和特征向量的常用方法。
本文将详细介绍这两种方法的原理、步骤及其在实际问题中的应用，并对它们进行比较与分析。
一、幂迭代法幂迭代法是一种通过不断迭代矩阵的幂次来逼近矩阵的最大特征值和对应的特征向量的方法。
其基本思想是利用矩阵的特征向量的方向不变性，将任意一个非零向量经过多次矩阵乘法后逼近于特征向量。
具体步骤如下：1.选取一个初始向量x0，通常为一个随机向量。
2. 计算xn+1 = Axn，其中A为给定矩阵。
3. 归一化xn+1，即xn+1 = xn+1/，xn+1，其中，xn+1，表示向量的模。
4. 如果迭代次数n足够大，那么xn将逼近A的最大特征值对应的特征向量。
幂迭代法的收敛性与初始向量的选择有很大关系，通常情况下，初始向量选取得越接近最大特征值所对应的特征向量，迭代次数越少，精度越高。
幂迭代法主要用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
在实际问题中，矩阵的最大特征值和特征向量常常具有重要的物理意义，比如在结构力学中，最大特征值代表了结构的自然频率，对应的特征向量则代表了结构的振型。
因此，幂迭代法在结构优化、振动分析等领域有广泛的应用。
逆幂迭代法是幂迭代法的一个改进方法，它主要用于计算矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
逆幂迭代法的基本思想是通过不断迭代矩阵的逆幂次来逼近矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
具体步骤如下：1.选取一个初始向量x0，通常为一个随机向量。
2. 计算xn+1 = A^-1xn，其中A为给定矩阵，A^-1为A的逆矩阵。
3. 归一化xn+1，即xn+1 = xn+1/，xn+1，其中，xn+1，表示向量的模。
4. 如果迭代次数n足够大，那么xn将逼近A的最小特征值对应的特征向量。
逆幂迭代法的收敛性与初始向量的选择有很大关系，与幂迭代法相同，初始向量选取得越接近最小特征值所对应的特征向量，迭代次数越少，精度越高。
数值分析第四章矩阵特征值与特征向量的计算
192.9996. 973
12
➢ 幂法的加速—原点移位法
应用幂法计算矩阵A的主特征值的收敛速度主要
由比值 r=|2/1|来决定, 但当r接近于1时, 收敛可能
很慢. 这时可以采用加速收敛的方法.
引进矩阵
B=A－0I
其中0为代选择参数. 设A的特征值为1, 2, …, n, 则B的特征值为1－0, 2－0, …, n－0, 而且A, B
10
2 1 0 例 用幂法求矩阵 A 0 2 1
0 1 2
的按模最大的特征值和相应的特征向量.
取 x(0)=(0, 0, 1)T, 要求误差不超过103.
解 y 0 x 0 0 ,0 ,1 T ,
x 1 A 0 0 y , 1 , 2 T , 1 m x ( 1 ) ) a 2 , x
y(1)
x(1)
1
(0,0.5,1)T
x ( 2 ) A ( 1 ) 0 . 5 y , 2 , 2 . 5 T ,2 m x ( 2 ) ) 12 1a . 5 ,
y(2)
x(2) 2
(0.2,0.8,1)T
x ( 3 ) A ( 2 ) 1 . 2 y , 2 . 6 , 2 . 8 T ,3 m x ( 3 ) ) 2 a . 8 ,
x
(
k
1
)
Ax
(k )
A k1 x (0)
在一定条件下, 当k充分大时:
1
x ( k 1) i
x
( i
k
)
相应的特征向量为: x(k1) 4
➢ 幂法的理论依据
n
对任意向量x(0), 有 x(0) tiui ,
i1
x(k1) Ax(k) Ak1x(0)
特征值和特征向量计算的数值方法
特征值和特征向量计算的数值方法在数学和计算机科学领域中，特征值和特征向量是非常重要的概念。
特征值和特征向量的计算有许多不同的数值方法，本文将介绍其中一些常见的数值方法，并分析它们的优劣和适用范围。
一、特征值和特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得Av=λv，那么称v为矩阵A的特征向量，λ为矩阵A的特征值。
特征值和特征向量的计算可以帮助我们理解矩阵的性质以及解决一些实际问题。
二、幂法幂法是计算特征值和特征向量的常用数值方法之一。
幂法的基本思想是通过多次迭代，逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。
具体操作如下：1. 初始化一个非零向量b0；2. 进行迭代计算：bi+1 = A * bi / ||A * bi||；3. 取出近似特征向量的最后一列：v = bn；4. 进行迭代计算特征值：λ = (Av)T * v / (vT * v)。
幂法的主要优点是简单易懂，且只需要进行矩阵向量乘法和内积计算。
然而，幂法仅能求取具有最大特征值的特征向量，而且对于存在多个特征值相等的情况并不适用。
三、反幂法反幂法是幂法的一种改进方法，用于求取矩阵A的最小特征值和对应的特征向量。
反幂法的基本步骤如下：1. 初始化一个非零向量b0；2. 进行迭代计算：bi+1 = (A - μI)^-1 * bi / ||(A - μI)^-1 * bi||；3. 取出近似特征向量的最后一列：v = bn；4. 进行迭代计算特征值：λ = (Av)T * v / (vT * v)。
反幂法的改进之处在于引入了矩阵的逆运算，通过使用矩阵A减去一个合适的常数μ乘以单位矩阵来实现。
反幂法适用于矩阵A的特征值接近于μ的情况。
四、QR方法QR方法也是一种常用的特征值计算方法，它适用于求解所有特征值以及对应的特征向量。
QR方法的基本思想是将一个矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，然后迭代地将矩阵A转化为更接近上三角形的形式。
幂法反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
幂法反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量幂法和反幂法是求解矩阵最大最小特征值及其对应特征向量的常用方法。
在本文中，我们将详细介绍这两种方法的原理和具体实现。
一、幂法（Power Method）幂法是一种迭代算法，用于求解矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。
其基本思想是通过多次迭代得到矩阵的一个特征值和特征向量的近似值，并使其逼近真实值。
幂法的原理如下：1.初始化一个非零向量b0作为初始特征向量；2.计算b0的归一化向量b0/，b0，得到新的向量b1；3.计算矩阵A和向量b1的乘积Ab1，得到新的向量b2；4.对b2进行归一化，得到新的向量b3；5.重复步骤3和步骤4，直到b的变化趋于稳定；6.计算矩阵A和向量b的乘积Ab，得到新的向量b；7.特征值的近似值λ=，Ab，/，b。
具体实现如下：1.初始化一个非零向量b0；2.迭代n次进行如下操作：a. 计算bn=A*bn-1；b. 将bn进行归一化，得到bn=bn/，bn；3. 计算特征值的近似值lambda=，A*bn，/，bn；4. 特征向量的近似值vbn=bn。
幂法的优点是计算简单、迭代次数少，但对于含有多个特征值接近的矩阵，可能会收敛到次大特征值。
二、反幂法（Inverse Power Method）反幂法是幂法的拓展，用于求解矩阵的最小特征值及其对应的特征向量。
其基本思想是通过多次迭代得到矩阵的一个特征值和特征向量的近似值，并使其逼近真实值。
反幂法的原理如下：1.初始化一个非零向量b0作为初始特征向量；2.计算b0的归一化向量b0/，b0，得到新的向量b1；3.计算矩阵A的逆矩阵Ai和向量b1的乘积Ai*b1，得到新的向量b2；4.对b2进行归一化，得到新的向量b3；5.重复步骤3和步骤4，直到b的变化趋于稳定；6.计算矩阵A的逆矩阵Ai和向量b的乘积Ai*b，得到新的向量b；7.特征值的近似值λ=，Ai*b，/，b。
具体实现如下：1.初始化一个非零向量b0；2.迭代n次进行如下操作：a. 计算bn=inv(A)*bn-1；b. 将bn进行归一化，得到bn=bn/，bn；3. 计算特征值的近似值lambda=，inv(A)*bn，/，bn；4. 特征向量的近似值vbn=bn。
幂法-反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
幂法-反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,211.1计算过程：i ni i i u xx αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有1111112211211111111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni ik i i ni i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈?+++======∑∑Λ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ===+++(k )(k k(k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。
2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k3 matlab 程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于βif abs(z-b)<="">t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<n< p="">k=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。
幂法和反幂法
此例中比值为 2 2 . 1 3
例2：用幂法计算下面矩阵的主特征值及对应的特征向量。
解： 取初始向量 01
2 4 A 3 9
4 16
v u 1 1 1 ,按(3.7)迭代5次得到数据T如下 表: 00
1 11
11
ukT
6 15 36
k
vkT
(规范化向量)
5 0.1859 0.4460 1 8.156 19.57 43.88
v (i) k 1 v (i) k
1?
即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值一定收敛到主特征值？
不一定. 先讨论以下情况：
情形1: 设n n阶实矩阵A的特征值i (i 1, 2, , n) 满足 1 2 n 且与i (i 1, 2, , n)相应的特征
向量x1 , x2 , , xn 线性无关。
v (1) 2
v (1) 1
0.41 ,
v (2) 2
v (2) 1
0.41666,
v (1) 3
0.41260,
v (2) 3
0.41249,
v (1) 2
v (2) 2
v (1) 4
v (1) 3
0.41263,
v (2) 4
v (2) 3
0.41263,
问题:是否任何矩阵的幂法，当k比较大时，一定有
故按模特征值为:
1 43.88 对应的特征向量为:
u1 0.1859 0.4460 1.0000T
例3 用幂法求矩阵 的主特征值和主特征向量.
1 1 0.5 A 1 1 0.25
0.5 0.25 2
解 : 取初始向量u0 (1,1,1)T , 按(3.2)的计算结果如表9 1。
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的一个重要问题，它在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
本文将介绍计算矩阵特征值和特征向量的方法，包括特征方程法、幂法、反幂法和QR方法。
一、特征值和特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，满足以下方程：Ax=λx其中，x被称为A的特征向量，λ被称为A的特征值。
二、特征方程法特征方程法是计算矩阵特征值和特征向量的一种常用方法，其基本思想是通过求解矩阵的特征方程来求得特征值。
对于一个n阶方阵A，其特征方程为：A-λI，=0其中，I是n阶单位矩阵，A-λI，表示A-λI的行列式。
解特征方程可以得到n个特征值λ₁,λ₂,...,λₙ。
然后，将这些特征值带入原方程组(A-λI)x=0，求解线性方程组得到n个特征向量x₁,x₂,...,xₙ。
三、幂法幂法是一种通过迭代来计算矩阵最大特征值和对应的特征向量的方法。
首先，随机选择一个非零向量b₀，并进行归一化，得到单位向量x₀=b₀/，b₀。
然后，通过迭代的方式，计算xₙ₊₁=Axₙ，其中xₙ为第k次迭代得到的向量。
在迭代过程中，向量xₙ的模长会逐渐趋近于最大特征值对应的特征向量。
当迭代收敛后，xₙ就是矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
四、反幂法反幂法是一种通过迭代来计算矩阵最小特征值和对应的特征向量的方法。
首先，随机选择一个非零向量b₀，并进行归一化，得到单位向量x₀=b₀/，b₀。
然后，通过迭代的方式，计算xₙ₊₁=(A-σI)⁻¹xₙ，其中σ为待求的特征值。
在迭代过程中，向量xₙ的模长会逐渐趋近于特征值σ对应的特征向量。
当迭代收敛后，xₙ就是矩阵A的特征值为σ的特征向量。
五、QR方法QR方法是一种通过迭代来计算矩阵特征值和特征向量的方法。
首先，将矩阵A进行QR分解，得到矩阵A=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然后，计算矩阵B=RQ，重复以上步骤，直到矩阵B收敛。
矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)
矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)以下是矩阵特征值求法的十种经典求法：1. 幂法（Power Method）幂法（Power Method）幂法是求解特征值的常用方法之一。
它基于一个重要的数学原理：对于一个非零向量$x$，当它连续乘以矩阵$A$的$k$次幂后，$Ax$的方向将趋于特征向量相应的特征值。
这种方法通常需要进行归一化，以防止向量过度增长。
2. 反幂法（Inverse Power Method）反幂法（Inverse Power Method）反幂法是幂法的一种变体。
它通过计算矩阵$A$的逆来求解最小的特征值。
使用反幂法时，我们需要对矩阵$A$进行LU分解，以便更高效地求解线性方程组。
3. QR方法QR方法QR方法是一种迭代方法，可以通过将矩阵$A$分解为$QR$形式来逐步逼近特征值。
这种方法是通过多次应用正交变换来实现的，直到收敛为止。
QR方法不仅可以求解特征值，还可以求解特征向量。
4. Jacobi方法Jacobi方法Jacobi方法是一种迭代方法，通过施加正交相似变换将矩阵逐步变为对角矩阵。
在每个迭代步骤中，Jacobi方法通过旋转矩阵的特定元素来逼近特征值。
这种方法适用于对称矩阵。
5. Givens旋转法Givens旋转法Givens旋转法是一种用于特征值求解的直接方法。
它通过施加Givens旋转矩阵将矩阵逐步变为对角矩阵。
这种方法是通过旋转矩阵的特定元素来实现的。
6. Householder变换法Householder变换法Householder变换法是一种用于特征值求解的直接方法。
它通过施加Householder变换将矩阵逐步变为Hessenberg形式，然后再进一步将其变为上三角形式。
这种方法是通过对矩阵的列向量进行反射来实现的。
7. Lanczos方法Lanczos方法Lanczos方法是一种迭代方法，用于对称矩阵的特征值求解。
该方法创建一个Krylov子空间，并使用正交投影找到最接近特征值的Krylov子空间中的特征值。
幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量(DOC)
数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,21 1.1计算过程：i ni i i u xx αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有1111112211211111111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni ik i i ni i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++======∑∑ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++(k )(k k(k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。
2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k3 matlab 程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于βif abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。
幂法与反幂法
幂法与反幂法1 功能 幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)及对应特征向量的迭代方法, 特别是用于大型稀疏矩阵。
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量，也可用来计算对应与一个给定近似特征值的特征向量。
2算法描述2.1 幂法（1）取初始向量u)0(（例如取u )0(=(1,1,…1)T ）,置精度要求ε，置k=1. （2）计算v )(k =Au )1(-k ,m k =max(v )(k ), u )(k = v )(k / m k（3）若| m k = m 1-k |<ε，则停止计算（m k 作为绝对值最大特征值1λ，u)(k 作为相应的特征向量）否则置k=k+1，转（2） 2.2 反幂法（1）取初始向量u )0(（例如取u )0(=(1,1,…1)T）,置精度要求ε，置k=1. （2）对A 作LU 分解，即A=LU（3）解线性方程组 Ly)(k =u )1(-k ,Uv )(k =y )(k （4）计算m k =max(v )(k ), u )(k = v )(k / m k（5）若|m k =m 1-k |<ε，则停止计算（1/m k 作为绝对值最小特征值n λ，u)(k 作为相应的特征向量）;否则置k=k+1，转（3）.3 Matlab 程序的实现3.1 幂法function [m,u]=pow(A,ep,N)%A 为矩阵；ep 为精度要求；N 为最大迭代次数；m 为绝对值最大的特征值；u 为对应最大特征值的特征向量。
N=100;ep=1e-6;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;while k<=Nv=A*u;[vmax,i]=max(abs(v));m=v(i);u=v/m;if abs(m-m1)<epindex=1;break;endm1=m;k=k+1;end输入：A=[7 3 -2;3 4 -1;-2 -1 3];[m,u]=pow(A,1e-6) Enter结果：m = 9.6056u =1.00000.6056-0.39444.2 反幂法function[m ,u]=pow_inv(A,ep,N)%A为矩阵；ep为精度要求；N为最大迭代次数；m为绝对值最大的特征值；u为对应最大特征值的特征向量。
数值分析幂法和反幂法
数值分析幂法和反幂法数值分析中，幂法（Power method）和反幂法（Inverse Power method）是求解矩阵的特征值和特征向量的两种常用方法。
它们都是通过迭代过程逼近特征值和特征向量。
1.幂法：幂法是求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方法。
幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵相乘，使其逼近对应最大特征值的特征向量。
幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{Ax^{(k)}}{\，Ax^{(k)}\，}$幂法的迭代过程是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最大特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最大特征值的估计。
2.反幂法：反幂法是幂法的一种变形，用于求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
反幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵的逆相乘，使其逼近对应最小特征值的特征向量。
反幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{A^{-1}x^{(k)}}{\，A^{-1}x^{(k)}\，}$反幂法的迭代过程同样是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最小特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最小特征值的估计。
3.收敛性分析：幂法和反幂法的收敛性分析与矩阵的特征值分布有关。
对于幂法而言，如果矩阵$A$的最大特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值小于最大特征值的绝对值，那么幂法是收敛的，而且收敛速度是指数级的。
对于反幂法而言，如果矩阵$A$的最小特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值大于最小特征值的绝对值，那么反幂法是收敛的，而且同样是指数级的收敛速度。
4.实际应用：幂法和反幂法在实际中广泛应用于各个领域，例如物理、工程、计算机科学等。
比如在结构力学中，幂法可以用来求解结构的自振频率和相应的振型；在电力系统中，反幂法可以用来求解电力系统决定性特征值，例如功率稳定性的最小特征值。
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量
a(k) kn
a(k) k 1,n
a(k) n,k 1
a(k) nn
17
其中
ck
(ak( k)1,k
,,
a(k) nk
)T
Rnk ,
A1(1k ) 为
k 阶上海森伯
格阵，A2(2k ) R . (nk )(nk )
设 ck 0，于是可选择初等反射阵 Rk 使 Rkck ke1， 其中, Rk 计算公式为
13
（1） 设
a11 a12 a1n
A
a21
an1
a22
an 2
a2n
ann
a11 c1
A(1) 12
A(1) 22
,
其中 c1 (a21,, an1)T R n1，不妨设 c1 0, 否则这一 步不需要约化.
本节讨论两个问题 （1） 用初等反射阵作正交相似变换约化一般实矩阵A 为上海森伯格阵. （2） 用初等反射阵作正交相似变换约化对称矩阵A 为 对称三对角阵. 于是，求原矩阵特征值问题，就转化为求上海森伯格阵 或对称三对角阵的特征值问题.
8.3.2 用正交相似变换约化一般矩阵为上海森柏格阵
设 A (aij ) R nn . 可选择初等反射阵U1,U2 ,,Un2 使 A 经正交相似变换约化为一个上海森伯格阵.
则
A2
U1 A1U1
a11 R1c1
A(1) 12
R1
R1
A(1) 22
R1
（3.1）
15
a11
数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量-附Matlab程序
矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。
矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。
其基本思想是任取一个非零的初始向量。
由所求矩阵构造一向量序列。
再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。
本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。
计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。
然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。
关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIXABSTRACTPhysics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix computation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value.Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence.The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectors and their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use the inverse power method to calculate the minimum eigenvalue of a matrix and its corresponding eigenvalues. The basic idea of calculating the minimum characteristic vector of a matrix is to transform it to the maximumc haracteristic vector of the modulus of the inverse matrix. Then, according to the model, the minimum feature vector of the original matrix is introduced.Key words: Matrix ；Eigenvalue ；Eigenvector ；Iteration methods;目录1引言 (1)2相关定理。
幂法和反幂法求矩阵特征值课程知识讲解
v (k ) =Au (k 1) ,m =max(v (k ) ), u (k ) = v (k ) / m
k
k
（3）若|
m= k
m k 1 |<
，则停止计算（m k 作为绝对值最大特征值 1 ，u (k) 作为
相应的特征向量）否则置 k=k+1，转（2）
2、反幂法算法
（1）取初始向量 u (0) （例如取 u (0) =(1,1,…1) T ）,置精度要求 ，置 k=1.
要
2.选择合适问题求解的数值计算方法；
求
3.设计程序并进行计算；
4.对结果进行解释说明；
对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量的问题将从问题分析，算 法设计和流程图，理论依据，程序及结果进行阐述该问题。
一．问题的分析：
求 n 阶方阵 A 的特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到的问题，如：
采
机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。对于 n 阶矩阵 A，若存在数 和
按式（1）计算出 m 和 u (k ) 满足 k
lim
k
m
k
=
1
,
lim u (k ) = x1
k
max( x1 )
（二）反幂法算法的理论依据及推导
反幂法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。是对 幂法的修改，可以给出更快的收敛性。 1、反幂法的迭代格式与收敛性质
设 A 是非奇异矩阵，则零不是特征值，并设特征值为 | 1 |≥| 2 |≥…≥| n1|>| n |
则按 A 1 的特征值绝对值的大小排序，有
| 1 |>| 1 |≥…≥| 1 |
n
n 1
1
计算方法52幂法与反幂法
*
13
3. 幂法的改进
用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果
,
,迭代向量的各个不等于零的分量将随
而趋
于无穷（或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了克 服这个问题，利用向量的方向与长度无关这一性质，将迭代 向量的长度规范化（“规一化”）以改进幂法。
所谓向量长度规范化,就是将向量的分量同除以一个常数,使 向量长度为1,向量长度有多种度量法,可以采用 或 ,
0.042292
0.034389
0.41260
4
0.017451
0.014190
0.41263
可取10.41263 ,v1(0.017451,0.014190)T
*
(vk)2 / (vk-1)2
0.41665 0.41267 0.41263
12
在幂法中，我们构造的序列
可以看出
因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0
计算方法52幂法与反幂 法
2020年5月17日星期日
问题的提法：
设
,其特征值为 ,对应特征向量为
即
，且
征值及对应的特征向量。
线性无关。求矩阵A的主特
幂法的基本思想: 任取一个非零初始向量
，
由矩阵A的乘幂构造一向量序列
称 为迭代向量。
2 *
(1)幂法:
1.A 特征值中 为强占优,即
问题： 设 即
的特征向量。
敛可能很慢。
8 *
定理7： （1）设
有n个线性无关的特征向量；
（2）设A的特征值满足
（3）幂法：
则
*
9
2. A的主特征值为实的r重根，即
问题： 设
幂法反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
幂法反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量幂法是一种迭代算法，用于求解矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。
反幂法是幂法的一种变体，用于求解矩阵的最小特征值及其对应的特征向量。
两种方法在求解特征值问题时有相似的步骤，但反幂法需要对矩阵进行一定的变换。
幂法的基本思想是通过不断迭代的方式逼近矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。
求解的过程如下：1.随机选择一个初始向量x0，并进行归一化，即使其模长为12. 根据公式计算新的向量xk+1 = Axk，其中A为待求解特征值的矩阵。
3. 对xk+1进行归一化。
4. 计算矩阵A关于xk+1的雷神特征值λk+1 = (Axk+1)·xk+1 / xk+1·xk+1，其中·表示向量的内积。
5.重复步骤2至4，直到满足收敛条件。
幂法的收敛条件一般是设置一个精度，当迭代的过程中特征向量的变化小于该精度时，认为结果已经收敛。
最终得到的特征值就是矩阵A的最大特征值，对应的特征向量为收敛时的xk+1反幂法是对幂法的一种改进，用于求解矩阵的最小特征值及其对应的特征向量。
反幂法的基本思想是通过将矩阵A的特征值问题转化为矩阵B=(A-μI)^-1的特征值问题来求解，其中μ为一个非常接近待求解特征值的数。
求解的过程如下：1.随机选择一个初始向量x0，并进行归一化，即使其模长为12. 根据公式求解新的向量xk+1 = (A-μI)^-1xk，其中A为待求解特征值的矩阵，μ为一个非常接近待求解特征值的数。
3. 对xk+1进行归一化。
4. 计算矩阵B关于xk+1的雷神特征值λk+1 = (Bxk+1)·xk+1 / xk+1·xk+1，其中·表示向量的内积。
5.重复步骤2至4，直到满足收敛条件。
反幂法的收敛条件与幂法相似，一般也是设置一个精度。
最终得到的特征值就是矩阵A的最小特征值，对应的特征向量为收敛时的xk+1总结：幂法和反幂法是求解矩阵最大最小特征值的常用迭代算法。
幂法及反幂法
, r 不全为零），则有 r r n k k k i k [ x [ x ( ) x ] vk Avk 1 A v0 1 i i k ] 1 i i i i 1 i 1 i 1 i r 1 n i k ( ) xi ，且 lim k 0, 其中 k i k 1 i r 1
从而
k
幂法: n n （且设 1 , 2 , 对任意的初始向量 v0 R , 且 v0 0, 有v0 i xi ,
i 1
k 1 i 1 vk 因此，当k充分大时, k 接近于与 1 对应的特征向量的某个 1 r 线性组合 i xi( 1 , 2 ,, r 不全为零) 。
(当k 时, k 0)
)k xi 0 (当k )。
(2) 对迭代向量序列: {vk } k Ak v0 1 (1 x1 k ) 1 x1 k vk 1 k 1 k 1 1 (1 x1 k 1 )) max(A v0 ) max( max( 1 x1 k 1 ) max( 1 x1 k ) max( v ) 1 当k k )) 于是， k k 1 1, (当 max( 1 x1 k 1 ) 即 vk 绝对值最大的分量当 k 时，趋向于特征根 1 。 结论： 定理 8 （1）设 A R n n 有n个线性无关的特征向量； （2）设A特征值满足 | 1 || 2 | | n |, 且 Axi i xi (i 1,, n); （3）{uk } 及 {vk }由改进幂法得到的规范化向量序列及迭代向量 序列((2.7)式),则有 x1 lim k lim max( v k ) 1 . (a ) limuk ; (b) k k k max(x1 ) 2 r | | 确定。 且收敛速度由比值 1
数值代数中的特征值计算算法
数值代数中的特征值计算算法在数值代数中，特征值计算是一项重要的任务，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学和计算机科学等。
特征值计算的目标是找到一个方阵的特征值以及对应的特征向量。
在本文中，我们将介绍几种常用的特征值计算算法，并对它们进行比较和评估。
一、幂法幂法是一种最简单且最常用的特征值计算算法之一。
它的基本思想是通过迭代过程逐渐逼近矩阵的最大特征值。
具体步骤如下：1. 初始化一个非零向量x，并对其进行归一化。
2. 计算矩阵A与向量x的乘积Ax。
3. 更新向量x为Ax，并进行归一化。
4. 重复步骤2和3，直到收敛或达到预设的迭代次数。
幂法的收敛条件是向量x的变化趋于稳定，即x的模长变化小于设定的阈值。
该算法的缺点是对于矩阵存在多个特征值的情况，只能收敛到模长最大的特征值对应的特征向量。
二、反幂法反幂法是幂法的一个变种，它用于计算矩阵的最小特征值。
相比于幂法，反幂法的迭代过程中需要对矩阵A的逆进行操作。
具体步骤如下：1. 初始化一个非零向量x，并对其进行归一化。
2. 计算矩阵A的逆与向量x的乘积A^(-1)x。
3. 更新向量x为A^(-1)x，并进行归一化。
4. 重复步骤2和3，直到收敛或达到预设的迭代次数。
与幂法类似，反幂法的收敛条件也是向量x的变化趋于稳定。
反幂法常用于计算矩阵的最小特征值，但对于特征值过接近零的情况，该算法可能会发散。
三、QR算法QR算法是一种迭代算法，用于计算一个方阵的特征值。
其基本思想是通过相似变换将方阵转化为上三角矩阵，从而容易求解特征值。
具体步骤如下：1. 初始化矩阵A为原始方阵。
2. 对矩阵A进行QR分解，得到矩阵Q和上三角矩阵R。
3. 计算矩阵R与Q的乘积QR。
4. 更新矩阵A为QR，并重复步骤2和3。
5. 当矩阵A的对角线元素收敛时，这些元素就是矩阵A的特征值。
QR算法的优点是适用于一般的方阵，并且通常具有较快的收敛速度。
但对于特征值重复且接近的情况，QR算法可能会产生不稳定的结果。
矩阵求解本证值方法
矩阵求解本证值方法
矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在很
多领域都有广泛的应用。
矩阵求解特征值和特征向量的方法有多种，其中比较常用的方法包括幂法、反幂法、QR方法、雅可比方法等。
下面我将从不同的角度对这些方法进行介绍。
首先，幂法是一种求解矩阵最大特征值和对应特征向量的迭代
方法。
它的基本思想是通过不断地对矩阵进行乘法运算，使得一个
向量不断地接近矩阵的最大特征向量。
幂法的收敛速度取决于矩阵
的特征值分布，通常情况下可以通过多次迭代得到一个较为接近的
最大特征值和对应的特征向量。
其次，反幂法是用来求解矩阵最小特征值和对应特征向量的方法。
它是在幂法的基础上进行改进得到的，通过对矩阵的逆进行迭
代来求解最小特征值和对应的特征向量。
另外，QR方法是一种通过矩阵相似变换将原矩阵转化为上（或下）三角矩阵，从而求解矩阵的特征值和特征向量的方法。
QR方法
的优点是收敛速度较快，适用于一般的矩阵求解问题。
此外，雅可比方法是一种通过多次相似变换将原矩阵对角化的方法，从而求解矩阵的特征值和特征向量。
雅可比方法的优点是简单易实现，适用于对称矩阵的特征值求解。
总的来说，矩阵求解特征值和特征向量的方法有多种，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际应用中，需要根据具体的情况选择合适的方法来求解矩阵的特征值和特征向量。
希望以上介绍能够对你有所帮助。
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数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,211.1计算过程：i ni i i u xx αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有1111112211211111111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni ik i i ni i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++======∑∑Λ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++(k )(k k(k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。
2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k3 matlab 程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量 k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于βif abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。
end4 举例验证选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。
结果如下：结果正确，表明算法和代码正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，与eig(A)的得到结果比较，再计算A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。
设置初始向量为x0=ones(15,1)，结果显示如下可见，结果正确。
得到了15阶Hilb 矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。
二.反幂法1.反幂法简介及其理论在工程计算中，可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。
其基本理论如下，与幂法基本相同：x x A x A x x Ax λλλ1)(11==⇒=--则，由，可知，A 和A -1的特征值互为倒数，求A 按模最小特征值即求A -1的按模最大特征值,取倒数即为A 的按模最小特征值所以算法基本相同，区别就是在计算)1()()1()(1-)1()()1()1(;,+++++===k k k k k k k k x LU A y Ax y A x Ay x x 分解，来计算做对具体计算时，变换为而是时，不是令2.算法实现., );4( ,))(max(, ,1,).7(),7(,,,1,||).6( ),max().5(),,().4().3(,))(max(,0 ,1).2(,,,,).1(000停机否则输出失败信息转置若否则转停机输出若解方程组作三角分解置最大迭代次数误差限初始向量输入矩阵x abs xy k k N k y x z Ux y Lz y LUx LUA x abs xy k N x A ←←+←<<-←←====←←←λλλελλμλμλε3 matlab 程序代码function [s,y]=invpower(A,x0,eps,n) % s 为按模最小特征值，y 是对应特征向量k=1; r=0; % r 相当于0λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量[L,U]=lu(A);z=L\y;x=U\z;u=max(x);s=1/u; % 按模最小为A-1按模最大的倒数.if abs(u-r)<eps % 判断第一次迭代后是否满足终止条件returnendwhile abs(u-r)>eps && k<n % 终止条件.k=k+1;r=u;y=x./max(abs(x));z=L\y;x=U\z;u=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值s=1/x(index); % 是原值，而非其绝对值。
end4 举例验证同幂法一样，选取一个矩阵A，代入程序，得到结果，并与eig(A)的得到结果比较，再计算A*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。
可见结果正确，然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵，eig(A)的得到结果比较，再计算A*y-s*y，验证y是否是对应的特征向量。
设置初始向量为x0=ones(15,1)，结果显示如下可见，结果真确。
得到了15阶Hilb 矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。
三. 计算条件数矩阵A 的条件数等于A 的范数与A 的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A ‖·‖A^(-1)‖，对应矩阵的3种范数，可以定义3种条件数。
函数 cond(A,1)、cond(A)或cond(A inf)是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大表明矩阵的病态程度越大.的最大和最小特征值矩阵分别为范数，即这里我们选择矩阵的A A A cond T 2121,,)(2λλλλ=,而如果A 为对称矩阵，如Hilb 矩阵，A A T 的最大最小特征值，分别为A 的最大最小特征值的平方。
所以cond(A) 为A 的最大最小特征值得比值。
对于本例中的15阶Hilb 矩阵来说，利用上面计算结果得其条件数(选择第二种条件数）为：3.0934e+017；这与直接利用cond(A)得到的结果：2.5083e+017 在同一数量级，再次表明了上述算得得最大最小特征值的正确性，同时又表明Hilb 矩阵是病态矩阵。
四.Aitken 商加速法1.简介与原理{}{}.,ˆˆ:2)( 2)(,,;0lim,122112212221211加速法这种方法称为逼近用有充分大时当线性收敛即且收敛与若Aitken a aaa a a a a a a x x x x x x y a a aa a a a a k a c a a aa a a k k kk k k k k nn n n n n n k k k k k kk k k =+---≈⇒+---=--≈--≠=--+++++++++++++∞→同幂法和反幂法计算最大和最小特征值类似，如果计算最大特征值，则迭代格式为)()1(k k Ay x=+；计算最小特征值时，迭代格式为)1()()(1)1(,+-+==k k k k Ax y y A x 即。
2.算法实现计算按模最大特征值算法如下：.,,),3()max(,,1 , , ,,).6(),6(,,,).5(,2)().4(,)max( , ).3(,)max( ,0.1 ,0 ,0 ,1).2(,,,),().1(01201001220102010停机输出失败信息否则转置若否则转停机输出若计算置计算置最大迭代次数误差限初始向量输入y x xk k N k y x Ay x x xy k N x a A ij ⇒⇒+⇒⇒⇒<<-+---=⇒=======λλααααλελλααααααλαλααε类似幂法和反幂法可以写出按模最小特征值算法，此处不再赘述。
3.matlab 程序代码function [r,y]=aitken(A,x0,eps,n) % r 按模最大特征值,y 为对应特征向量 k=1;a0=0; % a 相当于 0α a1=1; % a1 相当于 1α r0=1; % 相当于2中的 0λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量 x=A*y;a2=max(abs(x)); % a2相当于2αr=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0); % 相当于 λif (a2-2*a1+a0)==0 % 若上式中分母为0，则迭代失败，返回 disp "初始向量迭代失败"return;endif abs(r-r0)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求，如满足，则返回结果returnendwhile abs(r-r0)>eps && k<n % 终止条件k=k+1;a0=a1;a1=a2;r0=r;y=x./max(abs(x));x=A*y; % 迭代格式a2=max(abs(x));if (a2-2*a1+a0)==0 % 若分母为0，则迭代失败，返回return;endr=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0);[m,index]=max(abs(eig(A))); % 以下代码保证取出来的按模最大特征值aa=eig(A); % 是原值，而非其绝对值。
if aa(index)>0 ||aa(index)==0r=r;elser=-r;endendend类似可得按模最小特征值和特征向量的代码如下：与上面类似，所不同的只是迭代格式不同.function [r,y]=invaitken(A,x0,eps,n)k=1;a0=0;a1=1;r0=1;y=x0./max(abs(x0));[L,U]=lu(A); % 迭代格式的不同z=L\y;x=U\z;a2=max(abs(x));r=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0);if (a2-2*a1+a0)==0disp "初始向量迭代失败"return;endif abs(r-r0)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求，如满足，则返回结果returnendwhile abs(r-r0)>eps && k<nk=k+1;a=b;b=c;r0=r;y=x./max(abs(x));z=L\y;x=U\z;a2=max(abs(x));if (a2-2*a1+a0)==0return;endr=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0);end[m,index]=min(abs(eig(A))); % 以下代码保证取出来的按模最大特征值aa=eig(A); % 是原值，而非其绝对值。