线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上(下)三角行列式、对角行列式(教材P7例5、例6)

2. 以副对角线为标准的行列式

11112112,1

221222,11,21,1

1,11

2

,1

(1)2

12,11

000000

0000

0000

(1)

n n n n n n n n n n n nn

n n n n n nn

n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L

L L M

M M M M M M M M N

L L

L

L 3. 分块行列式(教材P14例10)

一般化结果:

00n n m n n m n m m n m m n

m

A C A A

B B

C B ⨯⨯⨯⨯=

=⋅

0(1)0n m n n m n

mn n m m

m n

m

m n

A C A A

B B

C B ⨯⨯⨯⨯=

=-⋅

4. 范德蒙行列式(教材P18例12) 注:4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 (教材P2、P3) 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式;

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式;

3) 利用行列式的行(列)扩展定理以及行列式的性质,将行列式降阶进行计算—

—适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素,并且非零元素的代数余子式很容易计算; 4) 递推法或数学归纳法; 5) 升阶法(又称加边法)

【常见的化简行列式的方法】

1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 (2001年考研题)

0001000

20

0019990002000000

002001

D =

L L

M M M M M M L L L

分析:该行列式的特点就是每行每列只有一个元素,因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一:定义法

(1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-=

解法二:行列式性质法

利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换(这里n =2001),即进行2000次换行以后,变成副对角行列式。

2001(20011)

20011

200112

000020010

001

00200(1)

(1)(1)2001!2001!019990002000

000D ⨯---=-=--=L L

L M M M M M

M

L L

解法三:分块法

0001000

20

0019990002000000

002001

D =

L L

M M M M M M L L L

利用分块行列式的结果可以得到

2000(2000-1)

20

001

0020=2001=2001(-1)

2000!=20010199900

2000000

D ⋅

⋅L L M

M

M M M L L

！ 解法四:降阶定理展开

按照每一行分别逐次展开,此处不再详细计算。

2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例2

1111111111111

1

1

1a a D b b

+-=

+-

分析:该行列式的特点就是1很多,可以通过12r r -与34r r -来将行列式中的很多1化成0、 解:

2141

43

2200110011001111111101

100001

1

001

1

11111

1

110

111

10

001100110

0r r r r r r a a a a a D ab

ab

b b b b b

a ab

a b b

------=

==----==-

例3

3

22

3

111

111322

32

22222

3

2233

3333332234

44

44

4

a a

b a b b a a b a b b D a a b a b b a a b a b b = ,(0)i a ≠ 分析:该类行列式特点就是每行a 的次数递减,b 的次数增加。特点与范德蒙行列式相似,因此可以利用行列式的性质将D 化成范德蒙行列式。 解: