牛顿运动定律中的临界和极值问题

牛顿运动定律中的临界和极值问题

1.动力学中的典型临界问题

(1)接触与脱离的临界条件

两物体相接触或脱离的临界条件是接触但接触面间弹力ＦＮ＝0.

(2)相对静止或相对滑动的临界条件

两物体相接触且处于相对静止时,常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是:静摩擦力达到最大值.

（3）绳子断裂与松弛的临界条件

绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力.绳子松弛的临界条件是F T ＝0．

(4)速度最大的临界条件

在变加速运动中,当加速度减小为零时，速度达到最大值.

2.解决临界极值问题常用方法

（1）极限法:把物理问题(或过程）推向极端，从而使临界现象(或状态）暴露出来,以达到正确解决问题的目的.

(２)假设法:临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时,或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时,往往用假设法解决问题.

(３)数学法:将物理过程转化为数学公式,根据数学表达式解出临界条件．

题型一:接触与脱离类的临界问题

例1: 如图所示，在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体,物体下有一托

盘,用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长，然后使托盘以加速度a竖直向下做匀速

直线运动(a

例2: 如图，竖直固定的轻弹簧，其劲度系数为ｋ=800N/m，上端与质量为3．0 kg

的物块B相连接。另一个质量为1.0 kg的物块A放在Ｂ上。先用竖直向下的力

F=120N压A，使弹簧被压缩一定量后系统静止,突然撤去力F，A、B共同向上运动

一段距离后将分离，分离后A上升最大高度为0.2 m,取g＝1０ｍ/ｓ2，求刚

撤去F时弹簧的弹性势能？

例3：如图所示，质量均为m 的A 、Ｂ两物体叠放在竖直轻质弹簧上

并保持静止，用大小等于mg 21的恒力F 向上拉A,当运动距离为ｈ时A 与Ｂ分离。则下列说法正确的是（ ）

A.A 和B 刚分离时,弹簧为原长

B.弹簧的劲度系数等于h

mg 23 C.从开始运动到Ａ和B 刚分离的过程中,两物体的动能先增大后减小

Ｄ.从开始运动到A 和B 刚分离的过程中,A 物体的机械能一直增大

例4:如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为ｋ,一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物

块Ａ连接；两物块Ａ、B 质量均为m,初始时均静止。现用平行于斜面向上的力F 拉动物块B ，使B 做加速

度为ａ的匀加速运动,A 、Ｂ两物块在开始一段时间内的ｖ-t 关系分别对应图乙中Ａ、Ｂ图线（t 1时刻A 、B 的图线相切,t ２时刻对应A 图线的最高点),重力加速度为ｇ,则（ )

A ．t １和t 2时刻弹簧形变量分别为k

ma mg +θsin 和0 B ．A 、B 分离时t 1()ak

ma mg +=θsin 2 C ．拉力F 的最小值ma mg +θsin ﻫD ．从开始到t 2时刻,

拉力F 逐渐增大

题型二:相对静止或相对滑动的临界问题

例1:如图所示,质量分别为15k ｇ和5kg 的长方形物体A 和Ｂ静止叠放在水平桌面上。Ａ与桌面以及A 、B

间动摩擦因数分别为μ1=0．1和μ2＝０.6,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问:

(1)水平作用力F作用在B上至少多大时，A、Ｂ之间能发生相对滑动？

（２）当Ｆ＝３0N或40N时，A、B加速度分别各为多少?

跟踪训练：（多选)如图甲所示，一质量为Ｍ的长木板静置于光滑水平面上，其上放置一质量为m小滑块．木板受到随时间t变化的水平拉力F作用时,用传感器测出长木板的加速度ａ与水平拉力F的关系如图乙所示，取ｇ=10m/s2,则（)ﻫA．小滑块的质量m=2kg B.当F＝8N时，滑块的加速度为1m／s2ﻫＣ．滑块与木板之间的动摩擦因数为0.1

D．力与加速度的函数关系一定可以表示为Ｆ＝６ａ(Ｎ）

例2:如图所示，两个质量均为m的小木块A和B放在转盘上，且木块A、Ｂ与转盘中心在同一条直线上,两木块用长为L的细绳连接,木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，Ａ放在距离转轴Ｌ处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴Ｏ1O2转动。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动,使角速度ω缓慢增大。为使细绳有弹力,而木块A和B又能相对转盘保持静止,求角速度ω的取值范围和细绳张力的最大值。

例３: 如图所示的水平转盘可绕竖直轴OＯ′旋转，盘上水平杆上穿着两个质量均为m=2ｋg的小球A 和B。现将A和Ｂ分别置于距轴r A=0.５m和rＢ=1m处，并用不可伸长的轻绳相连。已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是f m=1N。试分析转速ω从零缓慢逐渐增大(短时间内可近似认为是匀速转动)，两球对轴保持相对静止过程中,在满足下列条件下,ω的大小。ﻫ（１)绳中刚要出现张力时的ω1；ﻫ（2)Ａ、B中某

个球所受的摩擦力刚要改变方向时的ω2,并指明是哪个球的摩擦力方向改变;ﻫ（３)两球对轴刚要滑动时的ω3。

跟踪训练: （多选)圆形转盘上的A、Ｂ、C三个物块如图放置,A、O、B、Ｃ在一条直线上，Ａ、B间用一轻质细线相连（开始细线刚好伸直),三个物块与转盘间的动摩擦因数均为μ,A、B、C三个物块的质量分别为m、m、２m，到转盘中心O的距离分别为3r、r、2r，现让转盘以角速度ω（可调)匀速转动,重力加速度为ｇ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（ )

A、当物块Ｃ相对转盘刚要滑动时,物块B所受摩擦力为μmｇ

B、当物块C相对转盘刚要滑动时，细线张力为0.５μmg

C、当细线内刚出现张力时,物块C所受摩擦力为μｍg

D、当细线内刚出现张力时，A、Ｂ、C所受摩擦力大小之比为３：1:４

题型三：绳子断裂与松弛的临界问题

例５．如图所示,在竖直的转动轴上,a、ｂ两点间距为40 ｃｍ，细线ａc长50 cｍ，ｂｃ长30 ｃm,在c点系一质量为m的小球,在转动轴带着小球转动过程中，下列说法不正确的是( )