迭代算法

数学模型：根据耗油量最少目标的分析，下面从后向前分段 讨论。 第一段长度为500公里且第一个加油点贮油为500加仑。 第二段中为了贮备油，吉普车在这段的行程必须有往返。下 面讨论怎样走效率高： 1）首先不计方向这段应走奇数次（保证最后向前走）。 2）每次向前行进时吉普车是满载。 3）要能贮存够下一加油点的贮油量，路上耗油又最少。
x1=x0-f0/f1;
} while(fabs(x1-x0)>=1e-4); return(x1); }
【例3】二分法求解方程f(x)=0根 用二 分法求解方程f(x)=0根的前提条件是： f(x)在求解的区间[a,b]上是连续的，且 已知f(a)与f(b)异号，即 f(a)*f(b)<0。
图4-6 二分法求解 方程示意
print(“storepoint”,k,”distance”,0,”oilquantity”,oil)；
}
3.3
迭代法解方程
迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造一个序列 x0,x1,…,xn, 来 逐步逼近方程f(x)=0的解：
1）选取适当的初值x0；
2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0改 写为x=φ (x)的等价形式；
desert（ ） { int dis，k，oil,k; dis=500;k=1;oil=500; do{
print(“storepoint”,k,”distance”,1000-dis,”oilquantity”,oil)；
k=k+1; dis=dis+500/(2*k-1); oil= 500*k; }while ( dis<1000) oil=500*(k-1)+(1000-dis)*( 2*k-1);
数学建模： y1=y2=1 ， yn=yn-1+yn-2 ， n=3 ， 4 ， 5，„„。
算法： main( ) { int i,a=1,b=1; print(a,b); for(i=1;i＜=10;i++) { c=a+b; print (c); a=b; b=c； } }
3.2
倒推法
所谓倒推法：是对某些特殊问题所采用的违反通常习惯的， 从后向前推解问题的方法。如下面的例题，因不同方面的需 求而采用了倒推策略。 例1在不知前提条件的情况下，经过从后向前递推，从而求解 问题。即由结果倒过来推解它的前提条件。又如例2由于存储 的要求，而必须从后向前进行推算。另外，在对一些问题进 行分析或建立数学模型时，从前向后分析问题感到比较棘手， 而采用倒推法（如例3），则问题容易理解和解决。下面分别 看这几个例子：
【例2】 输出如图4-1的杨辉三角形（限 定用一个一维数组完成）。 数学模型：上下层规律较明显，中间的数 等于上行左上、右上两数之和。 问题分析：题目中要求用一个一维数组即 完成。数组空间一定是由下标从小到大 利用的，这样其实杨辉三角形是按下图 4-2形式存储的。若求n层，则数组最多 存储n个数据。 算法设计：
【例1】猴子吃桃问题 一只小猴子摘了若干桃子，每天吃现有桃的一半多一个， 到第10天时就只有一个桃子了，求原有多少个桃？
数 学 模 型 ： 每 天 的 桃 子 数 为 ： a10=1, a9=(1+a10)*2, a8=(1+a9)*2,……a10=1， 递推公式为：ai=(1+ai+1)*2 i= 9,8,7,6……1 算法如下 ： main( ) { int i,s; s=1; for (i=9 ;i>=1;i=i-1) s=(s+1)*2 print (s)； }
1）确定迭代模型 2）建立迭代关系式 3）对迭代过程进行控制
3.1
递推法
【例1】兔子繁殖问题 问题描述：一对兔子从出生后第三个月开始，每月生一对小兔 子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子 只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问一年中每 个月各有多少只兔子。 问题分析：因一对兔子从出生后第三个月开始每月生一对小兔 子，则每月新下小兔子的对儿数(用斜体数字表示)显然由前 两个月的小兔子的对儿数决定。则繁殖过程如下： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 …… 1 1 1+1=2 2+1=3 3+2=5 5+3=8 ……
构造序列x0，x1，……，xn，即先求得x1=φ (x0)，再求
x2=φ (x1)，……如此反复迭代，就得到一个数列x0， x1，……，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数
φ (x)连续，则很容易得到这个极限值
x*就是方程f(x)=0的根。
【例1】迭代法求方程组根 算法说明：方程组解的初值X=（x0，x1，…，xn-1）,迭代关 系方程组为：xi=gi(X)(i=0,1,…,n-1),w为解的精度,则算法如 下： for (i=0;i<n;i++) x[i]=初始近似根; do { k=k+1; for (i=0;i<n;i ++) y[i]=x[i]; for (i=0;i<n;i++) x[i]=gi(X); for (i=0;i<n;i++) c=c+fabs(y[i]-x[i])； } while (c>w and k<maxn )； for (i=0;i<n;i++) print(i，“变量的近似根是”，x[i])； }
A[1] = A[i]=1 A[j] = A[j] + A[j-1] i行 i-1行 i-1行 j=i-1，i-2，……，2
1 1 1 2 1 1
1
1
3
3
1
4 6 4 1 …………… 图4-1 杨辉三角形
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 ……………
1
图4-2 杨辉三角形存储格式
500/5公里 <——— 500/3公里 ———> <——— <——— 500公里 第一 ———> 第二 ———> 第三 终点<——贮油点（500）<——贮油点（1000）<———贮油点（1500）……图-4贮油点及贮油量示意
综上分析，从终点开始分别间隔 500，500/3，500/5， 500/7，……（公里）设立贮油点，直到总距离超过1000 公里。每个贮油点的油量为500，1000，1500，……。 算法设计：由模型知道此问题并不必用倒推算法解决（只 是分析过程用的是倒推法），只需通过累加算法就能解决 。变量说明：dis表示距终点的距离，1000- dis则表示距 起点的距离，k表示贮油点从后到前的序号。
【例3】穿越沙漠问题 用一辆吉普车穿越1000公里的沙漠。吉普车的总装油量为 500加仑，耗油率为1加仑/公里。由于沙漠中没有油库， 必须先用这辆车在沙漠中建立临时油库。该吉普车以最少 的耗油量穿越沙漠，应在什么地方建油库，以及各处的贮 油量。 问题分析： 1 ）先看一简单问题：有一位探险家用 5 天的时间徒 步横穿 A 、 B 两村，两村间是荒无人烟的沙漠，如果一 个人只能担负3天的食物和水，那么这个探险家至少雇 几个人才能顺利通过沙漠。
A城雇用一人与探险家同带3天食物同行一天，然后被雇 人带一天食物返回，并留一天食物给探险家，这样探险 家正好有3天的食物继续前行，并于第三天打电话雇B城 人带3天食物出发，第四天会面他们会面，探险家得到一 天的食物赴B城。如图4-3主要表示了被雇用二人的行程。
A
B
图4-3 被雇用二人的行程
2）贮油点问题要求要以最少的耗油量穿越沙漠，即到达 终点时，沙漠中的各临时油库和车的装油量均为0。这样 只能从终点开始向前倒着推解贮油点和贮油量。
令[a0,b0]=[a,b]，c0=(a0+b0)/2，若f(c0)=0，则c0为 方 程 f(x)=0 的 根 ； 否 则 ， 若 f(a0) 与 f(c0) 异 号 ， 即 f(a0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[a0,c0]；若f(b0)与f(c0)异 号，即 f(b0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[c0,b0]。
……
下图是满足以上条件的最佳方案，此段共走 3 次：第一、二 次来回耗油2/3贮油1/3，第三次耗油1/3贮油2/3，所以第 二个加油点贮油为 1000 加仑。由于每公里耗油率为 1 加仑 ，则此段长度为500/3公里。 第三段与第二段思路相同。下图是一最佳方案此段共走 5 次 ：第一、二次来回耗油2/5贮油3/5，第三、四次来回耗油 2/5贮油3/5，第五次耗油1/5贮油4/5，第三个加油点贮油 为1500加仑。此段长度为500/5。 ……
3 迭代算法
1
主要内容

3.1 递推法 3.2 倒推法 3.3 迭代法解方程
2
迭代算法
迭代法（Iteration）也称“辗转法”，是一种不断用变量的 旧值递推出新值的解决问题的方法。迭代算法一般用于数
值计算。迭代法应该是我们早已熟悉的算法策略，程序设 计语言课程中所学的累加、累乘都是迭代算法策略的基础 应用。 利用迭代算法策略求解问题，设计工作主要有三步：
【例2】牛顿迭代法 牛顿迭代法又称为切线法，它比一般的迭代法有更高的收敛速 度，如图4-5所示。首先, 选择一个接近函数 f(x)零点的x0, 计 算相应的 f(x0) 和切线斜率 f„(x0) （这里 f ‟ 表示函数 f 的导数） 。然后我们计算穿过点(x0,f (x0))且斜率为f „(x0)的直线方程 为： y f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
fx (坐标 x0 ) ,f 也就是求如下方程的解： ( x0 )(x x0 ) 0 和x轴的交点的
将新求得交点的x坐标命名为x1。如
图所示，通常x1会比x0更接近方
程f(x) = 0的解。接下来用x1开始下 一轮迭代 .
图4-5 牛顿迭代法 示意图
迭代公式可化简为：
此公式就是有名的牛顿迭代公式。已经证明, 如果f„是连 续的, 并且待求的零点x是孤立的, 那么在零点x周围存在 一个区域, 只要初始值x0位于这个邻近区域内, 那么牛顿 法必定收敛。 下面给出用牛顿迭代法，求形如ax3+bx2+cx+d=0方程根 的算法，系数a、b、c、d的值依次为1、2、3、4，由主 函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输 出。
float f(a,b,c,d)
main( ) { float a , b, c, d, fx; print("输入系数 a,b,c,d:"); input(a,b,c,d); fx=f(a,b,c,d); printf("方程的根为：",fx); }
float a,b,c,d; { float x1=1 , x0, f0 , f1; do { x0=x1; f0=((a*x0+b)*x0+c)*x0+d; f1=(3*a*x0+2*b)*x0+c;
算法如下：
main( ) {int n,i,j,a[100]; input(n); print(“1”); print(“换行符”); a[1]=a[2]=1; print(a[1],a[2]); print(“换行符”); for (i=3;i<=n;i=i+1) {a[1]=a[i]=1; for (j=i-1，j>1，j=j-1) a[j]=a[j]+a[j-1]; for (j=1;j<=i;j=j+1) print(a[j]); print(“换行符”); } }
依此做下去，当发现f(cn)=0时，或区间[an,bn]足够小， 比如| an-bn |<0.0001时，就认为找到了方程的根。
用二分法求一元非线性方程f(x)= x^3/2+2x^2-8=0（其中 ^表示幂运算）在区间[0，2]上的近似实根r，精确到0.0001. 算法如下：
main( ) { float x,x1=0,x2=2,f1,f2,f; print(“input x1,x2(f(x1)*f(x2)<0)”); input(x1,x2); f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8; f2=x2*x2*x2/2+2*x2*x2-8; if(f1*f2>0) { printf("No root"); return;} do { x=(x1+x2)/2; f=x*x*x/2+2*x*x-8; if(f=0) break; if(f1*f>0.0) {x1=x; f1=f;} else {x2=x; f2=f;} }while(fabs(f)>=1e-4); print("root=",x); }