第10部分_计算机图形学_Bezier曲线
第10部分_计算机图形学_Bezier曲线
n 1
• 当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)， • 当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)， • 说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的 第一条边及最后一条边的走向一致。
2013-8-20
第10部分 Bezier曲线
第11页
– 二阶导矢
P(t ) n(n 1) ( Pi 2 2 Pi 1 Pi ) Bi ,n 2 (t )
第10部分 Bezier曲线 第19页
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– 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线 Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条 (n-1)次Bezier曲线 P0n-1与P1n-1的线性组合： P0n (1 t ) P0n 1 tPn 1 t [0,1] 1 – 由此得到Bezier曲线的递推计算公式
P0 P01
P1 P11
P02
P2
Bezier曲线上的点
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P1
P01 (1 t ) P0 tP 1
P11
P1 (1 t ) P tP2 1 1 P02 (1 t ) P01 tP1 1
P2
P01
P0
P02
P02 (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P t 2 P2 1
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Bezier 曲线历史
– 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面 表示方法, 已不能满足用户的需求。 – 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种 以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用 这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
简述bezier曲线的特点
简述bezier曲线的特点
贝塞尔曲线是一种常见的计算机图形学曲线，其特点如下：
1. 可控性强
贝塞尔曲线是通过一系列控制点来定义的，控制点的位置会直接影响曲线的形状。
因此，可以通过调整控制点的位置来实现对曲线的微调和变形。
2. 线性变换下不变性
贝塞尔曲线在进行平移、旋转、缩放等线性变换时，其形状不会发生改变。
这使得贝塞尔曲线在计算机图形学中使用非常广泛。
3. 高阶平滑
贝塞尔曲线可以通过增加控制点的数量来提高曲线的平滑性。
在使用二次或三次贝塞尔曲线时，可以通过增加控制点来获得非常平滑的曲线。
4. 自然美感
贝塞尔曲线的形状可以通过控制点的位置来自由调整，因此可以创造出各种不同的图形。
在正确的使用下，贝塞尔曲线可以创造出非常自然美观的图形。
5. 应用广泛
贝塞尔曲线在计算机图形学中广泛应用，比如在Photoshop和Illustrator中使用的绘制曲线工具，以及3D建模软件中的平滑曲线工具等等。
此外，在基于贝塞尔曲线的动画和视频编辑中，也有广泛的应用。
bezier曲线
Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。
它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。
由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。
Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。
以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。
2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。
3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。
4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。
Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。
根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。
一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。
对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。
2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。
3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。
计算机图形学--第十一讲 Bezier曲线
任课教师：李陶深教授tshli@任课教师：李陶深教授tshli@12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面Bézier曲线是由法国雷诺汽车公司工程师的Pierre Bézier在1971年发明的一种构造样条曲线和曲面的方法, 用来进行雷诺汽车的车身设计, 现在Bézier曲线曲面广泛应用在计算机图形学中的外形设计, 以及字体表示中.◆Bé◆在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。
◆曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。
多边形折线又称的控制多边形，其顶点称为控制点。
6.3 Bézier 曲线—曲线的定义Bézier 曲线是由一组控制顶点和Bernstein 基函数混合(blending)得到的曲线.()[],0(), 0,1n i i n i t B t t ==∈∑C P 其中, P i (i =0,1,…,n)称为控制顶点; 顺序连接控制顶点生成控制多边形.()()[],1,0,1n i i i i n n B t C t t t -=-∈为Bernstein 基函数.Bézier 曲线的次数, 就是Bernstein 基函数的次数; Bézier 曲线的阶数, 就是控制顶点的个数. 阶数为次数加1.6.3 Bézier曲线—定义（2）给定空间n+1个点的位置矢量P i（i=0，1，2，…，n），则n次Bézier曲线上各点坐标的插值公式定义为：B i,n(t)是n次Bernstein基函数P i构成该Bézier曲线的特征多边形6.3 Bézier曲线—曲线的定义（3）Bézier曲线曲线的形状趋于特征多边形的形状①正性②权性由二项式定理可知：③对称性: 若保持原全部顶点的位置不变, 只是把次序颠倒过来, 则新的Bézier曲线形状不变, 但方向相反。
bezier曲线参数方程
bezier曲线参数方程贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线插值方法，它通过一系列的控制点来定义曲线的形状。
贝塞尔曲线的参数方程描述了曲线上每个点的位置，是使用参数来表示曲线的方程。
在二维空间中，贝塞尔曲线的参数方程可以表示为：B(t) = Σ [Pi * B(i,n,t)]其中，B(t)表示曲线上的某一点的坐标，Pi表示控制点的坐标，B(i,n,t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是与参数t有关的函数，用来计算权重。
它是通过递归定义的，可以分为两种类型：线性基函数和二次基函数。
线性基函数表示为：B(i,1,t) = (1 - t) * Pi + t * P(i+1)其中，i表示控制点的索引，t表示参数，Pi和P(i+1)表示相邻的两个控制点的坐标。
二次基函数表示为：B(i,2,t) = (1 - t)^2 * Pi + 2 * t * (1 - t) * P(i+1) +t^2 * P(i+2)同样，i表示控制点的索引，t表示参数，而Pi、P(i+1)和P(i+2)分别表示相邻的三个控制点的坐标。
贝塞尔曲线的参数方程可以从一阶一直推导到任意阶的情况，这里只给出了二阶贝塞尔曲线的参数方程。
对于更高阶的曲线，基本原理是一样的，只是计算方法更加复杂。
贝塞尔曲线的参数t通常取值范围为[0,1]，当t=0时，曲线对应于起始点的坐标，当t=1时，曲线对应于结束点的坐标。
中间的参数值会在控制点之间插值，从而定义了曲线的形状。
贝塞尔曲线有很多应用，最常见的是在计算机图形学中用于绘制平滑的曲线和曲面。
控制点的位置决定了曲线的形状，通过控制点的调整，可以得到各种不同形状的曲线。
此外，贝塞尔曲线还可以用于动画和插值计算。
在动画中，可以通过调整控制点的位置，使得曲线在不同时间点上的形状发生变化，从而实现动态的效果。
在插值计算中，可以通过贝塞尔曲线来计算两个数值之间的插值，从而可以实现平滑的过渡效果。
贝塞尔曲线的参数方程是贝塞尔曲线计算的基础，它提供了一种便捷的方式来描述曲线的形状。
课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
i0
p(t) (1 t)3 p0 3t(1 t)2 p1 3t 2 (1 t) p2 t3 p3
其中混合函数分别为：
B0，3 = 1- 3t + 3t2 - t3 =
B1，3 = 3t - 6t2 + 3t3 =
B2，3 = 3t2 - 3t3 =
（2）通过控制点即顶点直观而方便地调整曲线的形状， （3）仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。
三 贝塞尔曲线举例 曲线仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。
四 贝塞尔曲线的性质：
1 该曲线由一组多边形折线的多个顶点唯一地定义出来。
多边形折线又称特征多边形，顶点又称为控制点。
2 在多边折线的各个顶点中，只有第1点和最后1点在曲线上。
1 n!
nk j0
(1)
j
j (t n k j)n (0 t 1, k 0,1, n)
n1
P’(0) B2
2 例：n=3,m=1,
B1
P’(1)
表示有5个顶点， 能画出两段3次曲线
B02
B3
B0
P’’(0) P’’(1)
B4
3 n次B样条曲线
连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线。
j 0
j (t 2 j)2 1 (t 1)2
3
2
F1,2 (t)
1 2
(2t
2
2t
1)
t F2,2 (t)
1 2
2
因此，二次 B 样条曲线的分段表达式可以写成如下的形式：
Pi (t) F0,2 (t)Pi F1,2 (t)Pi1 F2,2 (t)Pi2
bezier曲线算法
bezier曲线算法摘要：一、贝塞尔曲线算法概述1.贝塞尔曲线的定义2.贝塞尔曲线在计算机图形学中的应用二、贝塞尔曲线算法的原理1.伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程2.控制点和结束点的关系3.细分方法三、常见的贝塞尔曲线算法1.线性插值法2.二次插值法3.三次插值法（de Casteljau 算法）四、贝塞尔曲线算法的应用实例1.绘制简单的贝塞尔曲线2.使用贝塞尔曲线绘制复杂图形五、贝塞尔曲线算法的优化1.减少计算量2.提高精度正文：贝塞尔曲线算法是一种在计算机图形学中广泛应用的数学方法，它能够根据给定的控制点和结束点，生成平滑的曲线。
这种算法基于伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程，通过细分方法，可以得到精确的曲线。
贝塞尔曲线是由三个点（控制点）和两个结束点组成的，其中控制点和结束点的关系可以通过伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程来描述。
在计算过程中，首先需要根据控制点和结束点计算出曲线的中间点，然后通过细分方法，将曲线分为两段，继续计算每一段的控制点和结束点，直到达到所需的精度。
在计算机图形学中，贝塞尔曲线算法被广泛应用于绘制复杂的图形和动画。
例如，可以利用贝塞尔曲线绘制平滑的曲线、折线、多边形等。
此外，该算法还可以用于生成纹理、阴影等视觉效果。
常见的贝塞尔曲线算法包括线性插值法、二次插值法和三次插值法（de Casteljau 算法）。
线性插值法是一种简单的方法，但是生成的曲线精度较低；二次插值法可以提高精度，但是计算量较大；而三次插值法（de Casteljau 算法）则在精度和计算量之间取得了较好的平衡。
在实际应用中，贝塞尔曲线算法需要考虑计算量和精度的平衡。
为了减少计算量，可以采用一些优化方法，例如使用分治策略、减少插值次数等。
为了提高精度，可以采用更高阶的插值方法或者增加细分次数。
总之，贝塞尔曲线算法是一种在计算机图形学中具有重要意义的数学方法。
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
Bezier曲线曲面的拼接
Bezier曲线曲面的拼接Bezier曲线曲面是一种常见的计算机图形学中的曲线曲面构造方法。
其原理是通过数学公式来描述一个点集合的形状。
在实际应用中，我们通常需要根据实际需求来构造或者拼接Bezier曲线曲面。
本文将着重介绍Bezier曲线曲面的拼接方法。
一、Bezier曲线曲面的构造Bezier曲线曲面的构造方法很简单，只需要给定点的坐标和曲线方程即可。
其中，点的坐标用于描述曲线上的控制点位置，而曲线方程则用于描述控制点间的线段的形状。
对于一条Bezier曲线，它的方程可以表示为：$$P(u)=\\sum_{i=0}^{n}B_i^n(u)P_i$$其中，$n$代表控制点的数量，$P_i$表示第$i$个控制点的坐标，$B_i^n(u)$是权重多项式，它可以通过如下公式计算：$$B_i^n(u)={n\\choose i}u^i(1-u)^{n-i}$$这个公式包含两个部分。
第一部分是二项式系数$C_n^i={n\\choose i}$，它描述的是从$n$个点中选取$i$个点的组合数。
第二部分是$u^i(1-u)^{n-i}$，它描述的是每个控制点在曲线上占据的位置和弧长。
通过这两部分的组合，我们可以得到一个平滑连续的Bezier曲线。
对于一条Bezier曲面，它的方程可以表示为：$$P(u,v)=\\sum_{i=0}^{n}\\sum_{j=0}^{m}B_i^n(u)B_j^m(v)P_{ij}$$其中，$n$和$m$分别代表控制点的数量，$P_{ij}$表示第$i$行，第$j$列的控制点的坐标。
这个方程就是通过控制点的二维数组来描述空间中的三维曲面的。
二、Bezier曲线曲面的拼接当需要在一个三维场景中绘制复杂的曲面形状时，往往需要将不同的曲面拼接起来。
Bezier曲线曲面的拼接可以通过各种方法实现。
以下介绍两种常用的拼接方法。
1. 曲面连接法曲面连接法需要将拼接曲面共享一个相邻控制点，从而使得两个曲面连接处的网格点重合。
bezier曲线绘制算法
bezier曲线绘制算法贝塞尔曲线绘制算法贝塞尔曲线是一种常用于计算机图形学中的数学曲线，具有平滑弯曲的特性。
通过控制点的位置和数量，可以绘制出各种形状的曲线，如圆弧、曲线等。
本文将介绍贝塞尔曲线绘制算法的基本原理和实现方法。
1. 贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线由两个或多个控制点决定，通过这些控制点的位置，可以确定曲线的形状和轨迹。
其中，起始点和结束点称为锚点，而其他点称为控制点。
贝塞尔曲线的形状由控制点之间的插值和权重决定，权重决定了每个控制点对曲线形状的影响程度。
2. 二次贝塞尔曲线绘制算法二次贝塞尔曲线由三个点决定，分别是起始点P0、控制点P1和结束点P2。
绘制二次贝塞尔曲线的算法如下：(1) 将曲线分为若干个线段，每段用t从0到1进行插值。
(2) 根据插值参数t，计算控制点P0、P1和P2在x和y轴上的值。
(3) 绘制连接P0和P1的线段，连接P1和P2的线段。
3. 三次贝塞尔曲线绘制算法三次贝塞尔曲线由四个点决定，分别是起始点P0、控制点P1、P2和结束点P3。
绘制三次贝塞尔曲线的算法如下：(1) 将曲线分为若干个线段，每段用t从0到1进行插值。
(2) 根据插值参数t，计算控制点P0、P1、P2和P3在x和y轴上的值。
(3) 绘制连接P0和P1的线段，连接P1和P2的线段，以及连接P2和P3的线段。
4. 高阶贝塞尔曲线的绘制算法除了二次和三次贝塞尔曲线，还存在更高阶的贝塞尔曲线。
对于n 阶贝塞尔曲线，需要n+1个点来确定。
其绘制算法与二次和三次贝塞尔曲线类似，通过插值参数t来计算各个控制点的值，并连接相邻控制点。
5. 贝塞尔曲线的应用贝塞尔曲线在计算机图形学中有广泛的应用，常用于绘制平滑曲线、图形变形、字体设计等方面。
在计算机动画、游戏开发等领域，贝塞尔曲线的应用也非常广泛。
贝塞尔曲线是一种常用于计算机图形学中的数学曲线，通过控制点的位置和数量，可以绘制出各种形状的曲线。
本文介绍了贝塞尔曲线的基本概念，以及二次、三次和高阶贝塞尔曲线的绘制算法。
计算机图形学-Bezier曲线算法de-Castljau
/*1.实现Bezier曲线2.数据由data.in读入,其格式为:点数各个点坐标例如:410 15050 50150 50190 1503.可以实现100阶以内Bezier*/#include <windows.h>#include <stdio.h>#include <vector>using namespace std;LRESULT CALLBACK WinSunProc(HWND hwnd, // handle to windowUINT uMsg, // message identifierWPARAM wParam, // first message parameter LPARAM lParam // second message parameter);void MidpointLine(int x0, int y0, int x1, int y1, HWND hwnd); void bezier(HWND hwnd);int cnt = 0;const int MAX = 105;const int COUNT = 1000;int n;int ptr;struct Point{double x, y;};vector<Point> p[2], vec;int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance, // handle to current instance HINSTANCE hPrevInstance, // handle to previous instanceLPSTR lpCmdLine, // command lineint nCmdShow // show state){WNDCLASS wndcls;wndcls.cbClsExtra=0;wndcls.cbWndExtra=0;wndcls.hbrBackground=(HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);wndcls.hCursor=LoadCursor(NULL,IDC_CROSS);wndcls.hIcon=LoadIcon(NULL,IDI_ERROR);wndcls.hInstance=hInstance;wndcls.lpfnWndProc=WinSunProc;wndcls.lpszClassName="Ted";wndcls.lpszMenuName=NULL;wndcls.style=CS_HREDRAW | CS_VREDRAW;RegisterClass(&wndcls);HWND hwnd;hwnd=CreateWindow("Ted","XukeIsDaHaoRen!",WS_OVERLAPPEDWINDOW, 0,0,600,400,NULL,NULL,hInstance,NULL);ShowWindow(hwnd,SW_SHOWNORMAL);UpdateWindow(hwnd);MSG msg;while(GetMessage(&msg,NULL,0,0)){TranslateMessage(&msg);DispatchMessage(&msg);}return 0;}LRESULT CALLBACK WinSunProc(HWND hwnd, // handle to windowUINT uMsg, // message identifierWPARAM wParam, // first message parameterLPARAM lParam // second message parameter){switch(uMsg){case WM_CHAR:char szChar[20];sprintf(szChar,"char is %d",wParam);MessageBox(hwnd,szChar,"Nothing",0);break;case WM_LBUTTONDOWN:MessageBox(hwnd,"Waiting...","Performance",0);//HDC hdc;//hdc=GetDC(hwnd);//MidpointLine(100, 100, 200, 200, hwnd);bezier(hwnd);break;case WM_PAINT:HDC hDC;PAINTSTRUCT ps;hDC=BeginPaint(hwnd,&ps);TextOut(hDC,0,0,"By Ted",strlen("By Ted"));EndPaint(hwnd,&ps);break;case WM_CLOSE:if(IDYES==MessageBox(hwnd,"Quit?(Y/N)"," ",MB_YESNO)){DestroyWindow(hwnd);}break;case WM_DESTROY:PostQuitMessage(0);break;default:return DefWindowProc(hwnd,uMsg,wParam,lParam);}return 0;}int curPtr(){return ptr % 2;}int prePtr(){return (ptr + 1) % 2;}Point cut(Point p1, Point p2, double t){Point temp;temp.x = p1.x + t * (p2.x - p1.x);temp.y = p1.y + t * (p2.y - p1.y);return temp;}Point deCasteljau(double t){//Point temp;for(int i = 0; i < n - 1; i++){int cur = curPtr(), pre = prePtr();p[pre].clear();for(int j = 0; j < (int)p[cur].size() - 1; j++){Point temp = cut(p[cur][j], p[cur][j + 1], t);p[pre].push_back(temp);}++ptr;}int cur = curPtr();return p[cur][0];}void bezier(HWND hwnd){HDC dc;dc = GetDC(hwnd);int i;Point temp;FILE *fp = fopen("data.in", "r");fscanf(fp, "%d\n", &n);//char str[20];//sprintf(str, "%d\n", n);//MessageBox(hwnd,"Waiting...",str,0);for(i = 0; i< n; i++){fscanf(fp, "%lf %lf\n", &temp.x, &temp.y);vec.push_back(temp);}//HDC dc;//dc = GetDC(hwnd);for(i = 0; i < (int)vec.size(); i++){SetPixel(dc, (int)vec[i].x, (int)vec[i].y, RGB(255,0,0));if(i < (int)vec.size() - 1){MoveToEx(dc, (int)vec[i].x, (int)vec[i].y, (LPPOINT) NULL);//MoveToEx(hdc, (int) 110, (int) 110, (LPPOINT) NULL);LineTo(dc, (int)vec[i + 1].x, (int)vec[i + 1].y);}}for(int t = 0; t <= COUNT; t++){ptr = 0;p[ptr] = vec;temp = deCasteljau((double)((double)t / (double)COUNT));SetPixel(dc, (int)temp.x, (int)temp.y, RGB(255,0,0));}return ;}void MidpointLine(int x0, int y0, int x1, int y1, HWND hwnd){HDC dc;dc=GetDC(hwnd);int a=0;int b=0;int d1=0;int d2=0;int d=0;int x=0;int y=0;a=y0-y1;b=x1-x0;d=2*a+b;d1=2*a;d2=2*a+2*b;x=x0;y=y0;SetPixel(dc,x,y,RGB(255,0,0));while(x<x1){if(d<0){x++;y++;d += d2;}else{x++;d =+ d1;}SetPixel(dc,x,y,RGB(255,0,0));}ReleaseDC(hwnd,dc);}。
计算机图形学10-曲线曲面参数表示的基础知识资料
参数曲线相关术语
用参数表示的3维曲线是一个有界的点集，可以写成一个带 参数的、连续的、单值的数学函数，形式为：
计算机图形学10_曲线曲面参数 表示的基础知识
曲线曲面概述
▪ 图形学中一个很复杂的又非常重要的研究 领域。
➢ 曲线曲面才是造型的真正统治者，它占据了我 们生活和幻想中的造型的绝大部分。
➢ 但曲线曲面又是如此地难以理解，让人们在一 段很长很长的时间内无法征服它。
曲线曲面概述
▪ 自由曲线和曲面发展过程
（6）规格化的参数变量t∈[0，1]，使其相应的几何分量 是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。
（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。基 于这些优点，我们在以后将用参数表达式来讨论曲线问题。
▪ 5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
（2）隐式
一般形式：f(x，y) = 0
注： 易判断某给定点是在曲线上还是曲线某一侧。
非参数表示形式（显示和隐式）存在如下问题： ① 与坐标有关 ② 出现斜率为无穷大的特殊情形 ③ 对于非平面曲线，曲面，难于用常系数的非参数化函
数表示 ④ 不便于计算机处理
（3）参数
一般形式： P(t)=[x(t),y(t)]
而当p0与p1的△ t→0时，p0p1可以 近似的表示为
bezier曲线曲面的性质及其应用毕业论文.docx
bezier曲线曲面的性质及其应用毕业论文本科毕业设计(论文)Bezier曲线曲面的绘制及性质研究学院名称理学院专业班级信息与计算科学（试点10）学生姓名导师姓名年月日目录摘要 (2)第一章绪论 (3)1.1发展历程 (3)1.2开发工具——Visual C++ 6.0简介 (4)第二章曲线基础 (5)2.1 曲线的参数表示 (5)2.2 插值与逼近 (6)2.2.1 插值 (6)2.2.1 逼近 (7)2.3.1 函数的可微性 (8)2.3.2 几何连续性 (8)2.4 样条描述 (9)2.5 三次样条 (10)第三章 Bezier曲线与Bezier曲面 (12)3.1 Bezier曲线 (12)3.1.1 Bezier曲线的定义 (12)3.1.2 Bezier曲线的性质 (15)3.1.3 Bezier曲线的拼接 (16)3.1.4 Bezier曲线的绘制 (18)3.1.5 Bezier曲线的几个不足 (19)3.2 Bezier曲面 (20)3.2.1 Bezier曲面的定义 (20)3.2.2 Bezier曲面的性质 (20)3.2.3 Bezier曲面的绘制 (22)3.2.4 Bezier曲面的拼接 (23)3.3 自由曲线是自由曲面的基础 (24)参考文献 (25)附录 (25)致谢 (33)摘要计算机图形学是一种使用数学算法将二维或三维图形转化为计算机显示器的栅格形式的科学。
简单地说，计算机图形学的主要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。
它的重要性体现在人们越来越强烈地需要和谐的人机交互环境：图形用户界面已经成为一个软件的重要组成部分，可视化已经成为信息领域的一个重要发展趋势。
样条曲线发展迅速。
在基于PC系统的Photoshop、3D Max、AutoCAD、Maya等建模工具中，“样条曲线”以“基本图形对象”的存在形式，实现平面绘图、立体绘图基本功能，是“三维动画”的重要组成元素；样条曲线也是几何造型技术的重要内容。
计算机图形学——绘制Bezier曲线
计算机图形学实验报告专业：信息与计算科学班级： 1002班学号： **********姓名： ****实验目的：（1）掌握直线的参数表示法。
（2）掌握德卡斯特里奥算法的几何意义。
（3）掌握绘制二维Bezier曲线的方法。
实验要求：（1）使用鼠标左键绘制个数为10以内的任意控制点，使用直线连接构成控制多边形。
（2）使用鼠标右键绘制Bezier曲线。
（3）在状态栏显示鼠标的位置坐标。
（4）B ezier曲线使用德卡斯特里奥算法绘制。
实验算法：Bezier曲线的分割递推德卡斯特里奥算法给定空间n+1个点P i(i=0,1,2,…,n)及参数t，有P r i(t)=(1-t)P1-r i(t)+t P1-r1i+(t)式中，r=1,2,…,n;i=0,1,…,n-r;t∈[0,1]。
且规定当r=0时，P0i(t)=P i, P n0(t)是在曲线上具有参数t的点。
德卡斯特里奥算法的基础就是在矢量−−→−PP10上选择一个点P，使得P点划分矢量−−→−PP10为|PP0|：|PP1|=t：1-t，给定点P0、P1的坐标以及t的值，点P的坐标为P=P0+t(P1-P0)=(1-t)P0+tP1。
式中，t∈[0，1]。
定义贝塞尔曲线的控制点编号为P r i，其中，r表示迭代次数。
德卡斯特里奥证明了，当r=n时，P n0表示Bezier曲线上的点。
函数功能介绍1.德卡斯特里奥函数：long CMy12View::DeCasteliau(double t,long *p){double P[N_MAX_POINT][N_MAX_POINT];int n=CtrlPNum-1;for(int k=0;k<=n;k++){P[0][k]=p[k];}for(int r=1;r<=n;r++){for(int i=0;i<=n-r;i++){P[r][i]=(1-t)*P[r-1][i]+t*P[r-1][i+1];}}return(long(P[n][0]));}函数功能介绍：此函数为德卡斯特里奥算法函数。
bezier曲线绘制算法
bezier曲线绘制算法贝塞尔曲线绘制算法贝塞尔曲线是一种常用于图形设计和计算机图形学中的数学曲线。
它根据给定的控制点，通过插值计算得出平滑曲线。
这种曲线有着良好的平滑度和逼真度，在二维和三维图形的绘制中被广泛使用。
本文将介绍贝塞尔曲线的绘制算法及其应用。
一、贝塞尔曲线的基本原理贝塞尔曲线的绘制基于控制点的位置和权重来计算曲线上的点。
以二次贝塞尔曲线为例，需要三个控制点P0、P1和P2。
曲线上的任意一点P(t)的坐标可以通过以下公式计算：P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1 + t^2 * P2其中，t为参数，取值范围为[0,1]之间。
当t=0时，P(t)为起点P0；当t=1时，P(t)为终点P2。
通过调整t的取值，可以得到不同位置的曲线上的点。
二、绘制贝塞尔曲线的算法绘制贝塞尔曲线的一种常用算法是利用递归和二项式展开来计算曲线上的点。
具体步骤如下：1. 确定控制点的数量和位置：根据需要绘制的曲线类型（二次、三次等），确定控制点的数量。
同时，确定每个控制点的具体位置。
2. 递归计算插值点：根据递推公式，计算参数t对应位置的插值点。
对于二次贝塞尔曲线，计算公式为P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1+ t^2 * P2。
对于每个t值，计算出对应的插值点坐标。
3. 绘制曲线：连接计算得到的插值点，绘制出平滑曲线。
三、贝塞尔曲线的应用贝塞尔曲线由于其良好的平滑性和可控性，在图形设计和计算机图形学中得到广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用领域。
1. 二维图形设计：贝塞尔曲线可以用于绘制二维图形和路径，如绘制平滑的曲线、绘制字体的曲线路径等。
通过调整控制点的位置和权重，可以绘制出各种形状的曲线和路径。
2. 三维图形建模：在三维图形建模中，贝塞尔曲线可用于绘制曲线型的三维物体，如飞机机翼的曲线形状、车辆车身的流线型等。
通过调整控制点的位置和权重，可以创建复杂的曲面。
bezier曲线的原理
bezier曲线的原理
bezier曲线的原理概括如下：
控制点：贝塞尔曲线的形状由一系列控制点来定义。
通常情况下，贝塞尔曲线由起始点、终止点和中间的控制点组成。
插值：贝塞尔曲线通过插值的方式连接这些控制点，生成一条平滑的曲线。
不同类型的贝塞尔曲线（如一阶贝塞尔曲线、二阶贝塞尔曲线、三阶贝塞尔曲线等）使用不同数量的控制点来定义。
递归计算：贝塞尔曲线的生成过程是通过递归计算来实现的。
通过不断将控制点的线性组合作为新的控制点，可以生成出任意次数的贝塞尔曲线。
参数方程：贝塞尔曲线通常使用参数方程来描述，参数方程可以根据参数t的取值，计算出曲线上的点的坐标。
参数t的取值范围一般是[0, 1]，当t在这个范围内变化时，曲线上的点也会相应地变化。
平滑性：贝塞尔曲线具有良好的平滑性，可以通过调整控制点的位置和数量来控制曲线的形状，使其满足设计需求。
总的来说，贝塞尔曲线的原理基于控制点的插值和递归计算，通过参数方程描述曲线的形状，具有良好的平滑性和灵活性，适用于各种图形设计和计算机图形学应用中。
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P0
P 1 P2 P3 n=3时
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P01
1 P 1
P02
2 P 1
P21
P03
Pi n 的递推关系
第21页
第10部分 Bezier曲线
2 P 1
P
2 0 1 P 0
P 1
P
1 1
P 2
1 P 2
P 0 0
3 P (1 / 3) P 0
P 3
1/3
1
几何作图法求Bezier曲线 上一点（n=3，t=1/3）
– 由控制顶点
Pi* Pn i ,(i 0,1,..., n)
构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同， 走向相反。因为：
C * (t ) Pi Bi ,n (t ) Pn i Bi ,n (t ) Pn i Bn i ,n (1 t ) Pi Bi ,n (1 t )
Bezier曲线
Ray
ray@
2015/11/14
李辉 副教授
内容
Bezier 曲线历史 Bezier 曲线的定义 Bernstein基函数的性质 Bezier 曲线的性质 Bezier 曲线的递推算法 Bezier 曲线的拼接 Bezier 曲线的升阶和降阶
第5页
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第10部分 Bezier曲线
Bernstein基函数的性质
1.
正性
t 0,1 t (0,1) i 1,2, , n 1
0 Bi ,n (t ) 0 2. 端点性质
(i 0) 1 Bi ,n (0) 0 otherwise (i n) 1 Bi ,n (1) 0 otherwise
P(t ) P i B i ,n (t ),
i 0 n
t [0,1]
其中：Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n 次Bernstein基函数：
i i Bi ,n (t ) C n t (1 t ) n i
n! t i (1 t ) n i i!(n i )! (i 0,1, , n)
i 0
n 1
• 当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)， • 当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)， • 说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的 第一条边及最后一条边的走向一致。
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第10部分 Bezier曲线
第11页
– 二阶导矢
P(t ) n(n 1) ( Pi 2 2 Pi 1 Pi ) Bi ,n 2 (t )
第10部分 Bezier曲线 第6页
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3.
权性
n
B
i 0 i 0
n
i ,n n
(t ) 1
t (0,1)
i i n i n B ( t ) C t ( 1 t ) [( 1 t ) t ] 1 i ,n n i 0
4.
对称性
Bi ,n (t ) Bni ,n (t )
n i Bn i ,n (t ) C n [1 (1 t )] n ( n i ) (1 t ) n i i i Cn t (1 t ) n i Bi ,n (1 t )
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第10部分 Bezier曲线
第7页
5.
递推性
Bi ,n (t ) (1 t ) Bi ,n 1 (t ) tBi 1,n 1 (t ), (i 0,1,..., n)
i 0 n2
• 当t=0时
• 当t=1时
P" (0) n(n 1)( P2 2 P 1P 0)
P " (1) n(n 1)( Pn 2 Pn1 Pn2 )
• 结论：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关
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第10部分 Bezier曲线
第12页
2.
对称性
第10部分 Bezier曲线 第15页
5.
变差缩减性
–
–
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Bezier曲线的矩阵表示
1 1 P0 C (t ) t 1 P 1 0 1
一次
1 3 3 3 6 3 t 1 3 3 0 0 0 1
C (t ) t 2
P1 P11 P01
P02
P2
P0 Bezier曲线上的点
2015/11/14 第10部分 Bezier曲线 第17页
P1
P01 (1 t ) P0 tP 1
P11
1 P 1 (1 t ) P 1 tP 2 1 P02 (1 t ) P01 tP 1
P01
P0
P02
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第10部分 Bezier曲线
第3页
三次Bezier曲线示例
P 1 P0
P2 P0
P 1
P3
P3
P2
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第10部分 Bezier曲线
第4页
Bezier 曲线的定义
定义
– 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…， n），则Bezier曲线可定义为：
第10部分 Bezier曲线 第2页
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Bezier 曲线历史
– 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面 表示方法, 已不能满足用户的需求。 – 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种 以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用 这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
P2
2 P02 (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P t P2 1
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第10部分 Bezier曲线
第18页
递推性质
– 当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点 定义的一条二次Bezier曲线。 – 二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点 （P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次 Bezier曲线的线性组合。 – 由四个控制点定义的三次Bezier曲线P30可被定义为 分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)确定的二条二 次Bezier曲线的线性组合
Pi Pi k k 1 k 1 ( 1 t ) P tP i i 1 k 0 k 1,2,..., n i 0,1,..., n k
– 这便是著名的de Casteljau算法。 – Pn0即为曲线P(t)上具有参数t的点。
2015/11/14 第10部分 Bezier曲线 第20页
n! t i (1 t ) n i i!(n i )! (i 0,1, , n)
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第10部分 Bezier曲线
第9页
Bezier 曲线的性质
1.
端点性质
– 曲线端点位置矢量
• 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时， P(0)=P0 ；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的 起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。
1 2 1 P0 P t 1 2 2 0 1 0 0 1 P2
二次
1 P0 P 0 1 0 P2 0 P3
第16页
C (
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组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中。
凸包
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第10部分 Bezier曲线
第14页
4.
几何不变性
– Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0, 1, … , n)的位置有关，不依赖坐标系的选择。 若Bezier曲线的特征多边形 是一个平面图形 P0P1…Pn， 则平面内任意直线与C(t)的交点个数不 多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性 质叫变差缩减性质。 此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还 小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光 顺。
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第10部分 Bezier曲线
第23页
• 要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn= Q0； • 要使它们达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三点 b1 an ( 0) 共线，即：
Pn-1 an Pn b1 Q1 b2 Q(t)
Pn-2
an-1
Q0
Q2
P(t)
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第10部分 Bezier曲线
第19页
– 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线 Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条 (n-1)次Bezier曲线 P0n-1与P1n-1的线性组合： n 1 P0n (1 t ) P0n1 tP t [0,1] 1 – 由此得到Bezier曲线的递推计算公式
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第10部分 Bezier曲线
第22页
Bezier 曲线的拼接
拼接的需求
– 几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的 曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数， 会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会 带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。 所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接 起来，并在接合处保持一定的连续条件。
(i 0) 1 Bi ,n (0) 0 otherwise (i n) 1 Bi ,n (1) 0 otherwise