矩阵理论最小多项式

(0) 1n
(n1) n1 2n
(0) 2n
(n1) n1 nn
(0) nn
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 10
Hamilton-Cayley定理
1(1n1)n1
(0) 11
B()
(n1) n1
21
(0) 21
(n1) n1
n1
(0) n1
(n1) n1 12
(0) 12
1
J
2
n
1 i
i1 i
J i I
0
i1 i
n
i
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 6
Hamilton-Cayley定理
P(J 1I )( J 2I ) (J nI )P1
0
P
0 0
2
1
1 2
0
n
1
0
0 0
n
2
1 n
B()
B n1 n1
B n2 n1
B0
Bi C nn (i 1, n 1)
考察等式 B()(I A) det(I A)I 的右边：
B()(I A) (n1Bn1 n2Bn2 B1 B0 )(I A) nBn1 n1(Bn2 Bn1A) (B0 B1A) B0 A
考察其左边：
det(I A)I [(n tr A (1)n det A]I
[(n
n1
n1
1 0 ]I
n I n1n1I 1I 0I
比较两边的系数：
Bn1 I
Bn2 Bn1 A n1I B0 A 0I
那么与常数矩阵类似：
A() A*() A*() A() det A()I
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 9
Hamilton-Cayley定理
设 B() 是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么 B()(I A) det(I A)I
det(I A) 是次数为n的多项式： det(I A) n (tr A)n1 (1)n det A
矩阵理论-第四讲
兰州大学信息科学与工程学院 2004年
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 1
上节内容回顾
• 化方阵A为Jordan标准形
– 特征向量法 – 初等变换法
• 多项式矩阵（ λ矩阵） • 多项式矩阵的Smith标准型 • 不变因子、初等因子
1. 在A的Jordan矩阵中构
造k个以i 为对角元素
将J写成如下形式：
1
J
2
n
上式中 1, 2 , , n 是A 的n个根，所以 () det(I A) ( 1)( 2 ) ( n )
将矩阵A代入上式，形成一个矩阵多项式，：
( A) ( A 1I )( A 2I ) ( A nI )
将 A PJP1 代入上式：
( A) (PJP1 1I )(PJP1 2I ) (PJP1 n I )
– 证明： 仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵：
设 A() ( fij ())Cnn
f1*1()
A* ( )
f1*2 ()
f1*n ()
f
* 21
(
)
f
* 22
(
)
f
* 2n
(
)
f
* n1
(
)
f
* n2
(
)
C
nn
f
* nn
(
)
其中： fij*() 是 A() 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式，
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 2
Hamilton-Cayley定理
• 任一方阵都是它的特征多项式的根
– Hamilton-Cayley定理
设 ACnxn ，() det(I A) ，则 (A) 0
– 证明：
运算结果是一个零矩阵
由于
() det(I A)
运算结果是一个多项式
显然
(A) det(AI A) 0
的Jordan块
2. k个Jordan块的阶数之
和等于 ri
•
–
行列式因子法
A ~ J 的相似变换矩阵P的求法
dk
()
Dk () Dk 1 ( )
(1 k n)
AP PJ
Api1 i pi1
Apiri
piri1
i piri
(A
B)
Ir 0
Cr( nr ) 0
D~D(mrr1)1 F m(n1)
2 n
0
P
1
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 7
Hamilton-Cayley定理
0 0 * * 1 3
P00
0 0
* **
2 3
0
4 3
1 n
2 n
0
P
1
0
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 8
Hamilton-Cayley定理
• 任一方阵都是它的特征多项式的根
( n 1) 2n
B0
(0) 21
(0) 22
(0) 2n
( n 1) n1
(n1) n2
(n1) nn
(0) n1
(0) n2
(0) nn
利用矩阵加法的定义 A B(aij bij ) 将B()分解
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 11
Hamilton-Cayley定理
再考察 B() ，其每个元素的次数均不超过n – 1:
1(1n1)n1
(0) 11
B(
)
( n 1) 21
n1
(0) 21
( n 1) n1
n1
(0) n1
(n1) n1 12
(0) 12
(n1) n1 22
(0) 22
(n1) n1 n2
(0) n2
)
(n1) n1 1n
运算结果是一个数
运算结果是一个矩阵
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 3
Hamilton-Cayley定理
• 任一方阵都是它的特征多项式的根
– 证明：
P
C nn n
考察J：
1 1
1
1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P1AP J
0
2 1
1
2 0
信息科学与工程学院
1
i
矩阵理论第4讲 - 4
Hamilton-Cayley定理
信息科学与工程学院
矩阵理论第4讲 - 5
Hamilton-Cayley定理
(PJP1 P(1I )P1)( PJP1 P(2I )P1) (PJP1 P(n I )P1) P(J 1I )P1P(J 2I )P1P P1P(J n I )P1 P(J 1I )( J 2I ) (J nI )P1
(n1) n1 22
(0) 22
(n1) n1 n2
(0) n2
)
(n1) n1 1n
(0) 1n
(n1) n1 2n
(0) 2n
(n1) n1 nn
(0) nn
令:
1(1n1)
(n1) 12
(n1) 1n
1(10)
(0) 12
(0) 1n
Bn1
(n1) 21
(n1) 22