欧拉公式的推导

y(i )
(2)
其中, ti i ti1, i 0,1, , n 1
因y(t)为(1)的解,所以将y(ti ) f (ti , y(ti ))代入(2)式得
y (ti 1 )
பைடு நூலகம்y(ti )
hf
(ti ,
y (ti 1 ))
h2 2!
y(i )
(3)
当h充分小时
y(ti1) y(ti ) hf (ti , y(ti1))
§9-1 欧拉法
一、欧拉公式的推导
对一阶方程的初值问题
dy
f
(t,
y)
at b
dt
(1)
y(a) y0
假设式(1)的唯一解y(t )在[a, b]上有二次连续导数,
则对i 0,1, , n 1,作泰勒展开得
y(ti1)
y(ti ) (ti1 ti ) y(ti )
(ti1 ti )2 2!
所谓欧拉法是指分别用yi1, yi作为y(ti1)与y(ti )的近似值 (i 1,2, , n),并满足
y0
yi1 yi
hf
(ti
,
yi
)
(4)
称(4)式为欧拉法的差分格式
二、欧拉法算法 目标 用欧拉法计算初值问题
dy
f (t, y)
dt
y(a)
atb
输入
的近似解.
区间端点a, b;区间等分个数n; 初值 .
i1
h2 2
(K
LM )(i
1,2,
, n 1)
其中, M max f (t, y(t)). atb
引理1 对任意x 0及任意正数n,有 (1 x)n enx
引理2 则
设s 0，t为非负实数,序列{ai}满足递推不等式 ai1 (1 s) ai t
ai1
e(i1)s ( t s
输出 n 1个节点ti处y的近似值yi.
步骤 S1令h b a ;t a; y ;
n
输出t和y.
S2 对i 1,2, , n做S 21 ~ S 23.
S 21 y y hf (t, y);
S 22 t a ih;
S 23 输出t和y.
S3 停机.
三、欧拉法的局部截断误差
假定第i步的准确值y(ti )和由差分格式求出的近似值yi相等的前提下,第 i 1步的准确值y(ti1)与近似值yi1的误差.即当y(ti ) yi时,局部截断误差
i1 y(ti1) yi1
因为
y(ti1) y(ti )
ti1 ti
f (t, y(t))dt
所以 i1 y(ti1) yi1
y(ti ) yi
ti1 ti
f (t, y(t))dt hf (ti , yi )
由局部截断误差假设 y(ti ) yi ,得
i1 y(ti1) yi1
ti1 ti
f
(t,
y(t))dt
hf
(ti ,
yi )
( 2)
定理1 若函数f (t, y)在凸区域D {(t, y) | a t b,
y }上关于变量t, y都满足李普希兹条件,即
f (t1, y) f (t2 , y) K t1 t2
f (t, y1) f (t, y2 ) L y1 y2 则欧拉法的局部截断误差满足
a0
)
t s
定理2 若函数f (t, y)在凸区域D {(t, y) | a t b, y }上关于变量t, y都满足李普希兹条件,即
f (t, y1) f (t, y2 ) L y1 y2 则欧拉法的整体截断误差为
Ei1
hM 2L
(e L (ba )
1)
其中, M max f (t). atb
作业
教材P198 习题1、2